高中数学复习 专练 11.3 二项式定理
高中数学选修--二项式定理(练习)
二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 1、展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 二项式系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C ΛΛ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. 2 二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.3 二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.1、621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___．（用数字作答）2、91)x展开式中的常数项是（ ）(A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84 3、()221x -展开式中2x 的系数为（ ）（A ）15（B ）60 （C ）120 （D ）2404、921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）5、5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．6、（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 7、6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 8、72(1)x -的展开式中21x 的系数为 ．(用数字作答)9、()()34121x x +-展开式中x 的系数为______________。
10.52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为 （用数字作答）．11、64(1(1的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．412、512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．113.若(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6(B)7(C)8(D)914 求()x x2912-展开式的： （1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）x 9的系数。
高考数学专题《二项式定理》练习
专题11.3 二项式定理1．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知()1nx +=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+…+a n =16，则自然数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．（2021·福建宁德·高三期中）对任意实数x ，有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，则3a =（）A ．6B ．7C ．8D ．103．（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ）A.-80B.-40C.40D.804．（2021·上海·闵行中学高三期中）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭ax x 展开式的常数项为20，则实数a =_____________．5．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________.6．（2021·广东福田·高三月考）已知多项式()()34432123411x x x a x a x a x a ++-=++++，则1a =________．7．（2021·浙江·模拟预测）已知()()()5455410212121x a x a x a x a =+++++++ ，则4a =___________.8．（2021·浙江·模拟预测）已知88018(1)x a a x a x +=+++…，2x 的系数为______；系数最大的项是第______项.9．（2020·上海市浦东中学高三月考）在1)2nx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于__________.10．（2021·山东师范大学附中高三月考）在二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中恰好第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是___________.1．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若()()()()34520122201201220121111x x x x a a x a x a x ++++++++=++++ ，则3a 等于（）x y x y x y 练基础练提升A ．42012C B ．32013C C ．42013C D ．52012C 2.【多选题】（2021·贵州遵义·高二期末（理））将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数()11r n n C +，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x 使得()()111111r xr n n n n C n C nC -+=++，则x 的值是（）．11121213 16 1314 1121121415120 130 120 151613016016013016A ．rB ．1r -C ．1r +D ．2r +3．【多选题】（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式6ax ⎛⎝，则下列说法正确的是（ ）A ．若2a =，则展开式的常数为60B ．展开式中有理项的个数为3C ．若展开式中各项系数之和为64，则3a =D ．展开式中二项式系数最大为第4项4．（2021·全国·模拟预测）()6213x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数是___________.（用数字作答）5.（2021·浙江·学军中学高三期中）在nx ⎛⎝的展开式中，所有项的系数和为64，则n =___________.常数项的系数为___________.6．（2021·河南·高三月考（理））若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.7．（2021·全国·高二课时练习）在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为3:4:5.8．（2021·浙江·模拟预测）二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.9．（2021·全国·高二课时练习）求31||2||x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．10．（2021·全国·高二课时练习）求3451920(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++++++++++ 的展开式中含3x 的项．1.（2019·全国高考真题（理））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．103．（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．204.（2021·北京高考真题）341()x x-展开式中常数项为__________．5.（2021·浙江高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.6．（2019·浙江高考真题）在二项式9)x +的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.练真题。
二项式定理专项训练 高三数学一轮复习
高考数学一轮复习-二项式定理-专项训练[基础强化]一、选择题1.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5 的展开式中x 4的系数为( ) A ．10 B ．20C ．40D ．802.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－403．(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．244．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．45．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．2406．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A. 6 B ．9C ．12D ．187．⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．208．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)49．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120二、填空题10．⎝⎛⎭⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答). 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.12．⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).参考答案与解析1．C 由展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (x 2)5－k ·(2x －1)k ＝2k C k 5 x10－3k ，令10－3k ＝4，得k ＝2， ∴x 4的系数为C 25 ·22＝40.2．C 由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．A 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.4．B ⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2.5．B 由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．B 在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7．C 要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.8．C S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．ABC 对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.10．－28解析：(1－y x )(x ＋y )8＝(x ＋y )8－y x(x ＋y )8，由二项式定理可知其展开式中x 2y 6的系数为C 68 －C 58 ＝－28.11．162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．240解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 (x 2)6－k ·⎝⎛⎭⎫2x k ＝2k C k 6 x12－3k ，令12－3k ＝0，解得k ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.。
高考数学一轮复习 11-3 二项式定理 新人教A版
精品课件
课堂总结
规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类 问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式
系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，
如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根 据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加 法计数原理讨论求解．
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课堂总结
【训练1】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋ x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
()
A．－4
B．－3
C(2．)(－20124·湖南卷)12x－2yD5．的－展1开式中 x2y3 的系数是(
)
A．－20
B．－5
C．5
D．20
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课堂总结
解析 (1)由二项式定理得(1＋x)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝ Cr5·xr，所以当 r＝2 时，(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数 为 C52，当 r＝1 时，x2 的系数为 C15·a，所以 C25＋C51·a＝5， a＝－1，故选 D. (2)展开式的通项为 Tk＋1＝Ck512x5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Ck5 x5－k·yk，令 5－k＝2，得 k＝3.则展开式中的 x2y3 的系数为(－ 1)3·22×3－5C53＝－20，故选 A.
精彩 (×)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两×
项．
(
)
√
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无×
关．
()
(4)(a＋b)2n中系数最大的精品项课件是第n项．
高考数学一轮复习第11章第3讲二项式定理训练含解析
第十一章 第3讲[A 级 根底达标]1．⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含x 32 项的系数为30，那么a 等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【答案】D2．(4x －2－x )6(x ∈R )的展开式中，常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20【答案】C3．(x 2＋x )5(x 2－2x ＋1)10的展开式中，含x 7项的系数为( ) A ．100 B ．300 C ．500 D ．110【答案】A4．(2022年重庆模拟)假设(a －3x )⎝⎛⎭⎫x －12x 10的展开式中含x 12 项的系数为－30，那么实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A5．(2022年河北月考)将二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式各项重新排列，那么其中无理项互不相邻的概率是( )A ．27B ．37C ．835D ．724【答案】A【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式通项为：T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 6x 6－32 r ，知当r ＝0,2,4,6时为有理项，那么二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6展开式中有4项有理项，3项无理项，所以根本领件总数为A 77，无理项互不相邻有A 44A 35，所以所求概率p ＝A 44A 35A 77＝27.6．(2022年黄冈模拟)⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，那么由曲线y ＝x 13 和y ＝x a 围成的封闭图形的面积为( )A ．512B ．53C ．1D ．1312【答案】A【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x 6展开式的中间项为第4项且第4项为T 4＝C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫a 2x 3，因为系数为20，所以C 36·⎝⎛⎭⎫a 23＝20，解得a ＝2.由x 13 ＝x 2得x ＝0或x ＝1，所以封闭图形的面积为⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x 13 －x 2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫34 13 －13x 310＝512. 7．(2022年湖南省雅礼中学月考)如果⎝⎛⎭⎫x 3－1x n ()n ∈N *的展开式中存在正的常数项，那么n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．28【答案】C【解析】二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x n (n ∈N *)的展开式通项为T k ＋1＝C k n x 3(n －k )⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k nx 3n －4k ，令3n －4k ＝0，那么n k ＝43，由于展开式中存在正的常数项，那么k 为偶数，设k ＝6t (t ∈N *)，所以n ＝8t ，当t ＝1时，n 取最小值8.8．(2022年河北衡水月考)在(x 3－1)⎝⎛⎭⎫1x －x 8的展开式中，含1x 2项的系数等于( ) A ．98 B ．42 C ．－98 D ．－42 【答案】D【解析】⎝⎛⎭⎫1x －x 8二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫1x 8－r (－x )r ＝(－1)r C r 8x 3r 2 －8，令3r 2－8＝－5，得r ＝2，那么含x －5项的系数为C 28，令3r 2－8＝－2，得r ＝4，那么含x －2项的系数为C 48，故含1x2项的系数等于C 28－C 48＝－42.9．(2022年湖南模拟)假设⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项为________．【答案】60【解析】依题意，⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.所以二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6(2x 2)6－k ·(－x －1)k ＝(－1)k ·26－k ·C k 6·x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为22×C 46＝6010．(2022年新课标Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________(用数字作答)． 【答案】240【解析】因为⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6，其二项式展开通项T r ＋1＝C r 6·()x 26－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6·x 12－2r ·2r ·x －r ＝C r 6·2r ·x 12－3r ，当12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝C 26·16＝15×16＝240.11．(2022年嘉祥月考)()ax 2－17()a >0的展开式中第6项的系数为－189，那么展开式中各项的系数和为________．【答案】128【解析】由题意，通项为T k ＋1＝C k 7(ax )7－k ·(－1)k ＝(－1)k a 7－k C k 7x 7－k ，由于(ax 2－1)7(a >0)的展开式中第6项的系数为－189，那么第六项系数为(－1)5a 7－5C 27＝－189，解得a ＝3，故该二项式为(3x 2－1)7，令x ＝1得展开式各项系数的和为27＝128.12．(2022年河南模拟)⎝⎛⎭⎫ax －2x 25的展开式中，含x 项的系数为40，那么a ＝________. 【答案】1【解析】⎝⎛⎭⎫a x －2x 25的展开式中通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫a x 5－r(－2x 2)r ＝(－2)r a 5－r C r 5 x 3r －5，令3r －5＝1，解得r ＝2.因为含x 项的系数是40，所以(－2)2a 3C 25＝40, 解得a ＝1.[B 级 能力提升]13．(2022年驻马店期末)在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，x 的幂指数是整数的共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项【答案】D【解析】在⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－3r2 ，令10－3r 2为整数，求得r ＝0,2,4,6,8,10，共计6个，故x 的幂指数是整数的共有6项．14．(2022年山东模拟)假设⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，那么展开式中x 的系数是( )A ．54B ．81C ．96D ．106【答案】A 【解析】因为⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中各项系数之和为256，所以(1＋3)n ＝256＝28，解得n ＝4，因此⎝⎛⎭⎫x ＋3x 4的展开式的通项是T r ＋1＝C r 434－r ·x r x －4－r2 ＝C r 434－r x 3r2-2 ，由32r －2＝1得r ＝2，所以展开式中x 的系数为C 24×32＝54.15．(2022年安徽模拟)假设二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中x－1项的系数为________(用数字作答)．【答案】1 792【解析】由题意可知，n ＝8，所以二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 5n 的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·28－k ·x k －8·(－1)k ·x 5k 2 ＝(－1)k ·28－k ·C k 8·x 7k2－8 ，由7k 2－8＝－1，得k ＝2.所以展开式中x －1的系数为(－1)2·26·C 28＝64×28＝1 792.16．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，那么a ＝________. 【答案】3【解析】设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5①， 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5②. 令①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[C 级 创新突破]17．(多项选择)假设⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 展开式存在常数项，那么n 的取值可以为以下选项中的( )A ．3B ．4C ．5D ．10【答案】CD【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫2x 3r ＝C r n ·2r ·x 2n －5r ，r ＝0,1,2，…，n ，由题意可得2n －5r ＝0，即n ＝5r2，由n 为正整数，可得r ＝2时，n 取得最小值5，当r ＝4时，n ＝10.18．(一题两空)(2022年浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9，当r ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数为5.。
高中数学二项式定理经典练习题专题训练（含答案）
⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练（含答案）⾼中数学⼆项式定理经典练习题专题训练姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分。
满分100分。
考试时间90分钟。
２、考⽣请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）⼀．单选题（每题,3分，39分）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．72、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-424．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．1905．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-156．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-108．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-109、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．5610．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-212．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．713．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240第Ⅱ卷（⾮选择题）⼆．填空题（14-25题，每题3分，26-30题5分，共61分）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．16．（x2-）5展开式中的常数项为______．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．18、的展开式中x的系数是______．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．20、的展开式中的第四项是______．21．（x-）4的展开式中的常数项为______．22、的展开式中x2的系数为______．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．24．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．28．（1-）4展开式中的系数是______．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．30．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．参考答案⼀．单选题（共__⼩题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10B．9C．8D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为??为常数项，则n=10，故选：A．2、的展开式中第三项的系数是（）A．B．C．15D．答案：B解析：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B3、的展开式中常数项是（）A．14B．-14C．42D．-42答案：A解析：解：展开式的通项为=令得r=6故常数项为2C76=14故选A4．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192B．-190C．192D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴⼜∴a=cos2xdx=2∵==由⼆项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．5．在（x-1）6的⼆项展开式中，x3的系数是（）A．-20B．20C．15D．-15答案：A解析：解：设（x-1）6的⼆项展开式的通项为T r+1，则T r+1=?x6-r（-1）r，令6-r=3得r=3，∴x3的系数是（-1）3?=-20．故选A．6．在的⼆项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：⼆项式的⼆项展开式的通项公式为=T r+1=??=（-1）r??32r-6?．令x的系数=2，解得=r=1，故x2的系数为-1×6×=-，故选B．7．在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是（）A．20B．-20C．10D．-10答案：D解析：解：在（1-2x）（1+x）5的展开式中，x3的系数是=1×+（-2）?=-10，故选D．8．在⼆项式（）n的展开式中，各项系数之和为M，各项⼆项式系数之和为N，且M+N=64，则展开式中含x2项的系数为（）A．-90B．90C．10D．-10答案：A解析：解：∵⼆项式（）n的展开式中，令x=1得：各项系数之和M=2n，⼜各项⼆项式系数之和为N，故N=2n，⼜M+N=64，∴2×2n=64，∴n=5．设⼆项式（）5的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?35-r?（-1）r?，令-（5-r）+r=2得：r=3．∴展开式中含x2项的系数为?（-1）3?35-3=-90．故选A．9、展开式中含x项的系数是（）A．-28B．28C．-56D．56答案：B解析：解：展开式的通项为令解得r=2故展开式中含x项的系数是C82=28；故选B．10．（x-1）10展开式中系数最⼤的项是（）A．第五项和第六项B．第六项C．第五项和第七项D．第四项和第七项答案：C解析：解：由于（x-1）10展开式的通项公式为?x10-r?（-1）r，故当r=4，或r=6时，展开式中系数最⼤为，即第五项和第七项得系数最⼤，故选C．11．在（ax-1）6的⼆项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a的值为（）A．2B．C．D．-2答案：D解析：解：在（ax-1）6的⼆项展开式中，中间项是第四项，由通项公式求得中间项的系数是?a3?（-1）3=160，∴a=-2，故选D．12．若（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，则n等于（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：解：∵（1+x）n=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6，∴n=6．故选C．13．设a=，则⼆项式的展开式中的常数项为（）A．120B．-120C．-240D．240答案：D解析：解：∵a==（x3-x2）=4-0=4，则⼆项式=的通项公式为T r+1=?（-1）r?46-r?x12-3r，令12-3r=0，求得=r=4，可得展开式中的常数项为?42=210，故选：D．⼆．填空题（共__⼩题）14．已知（x2-）n）的展开式中第三项与第五项的系数之⽐为，则展开式中常数项是______．答案：45解析：解：第三项的系数为C n2，第五项的系数为C n4，由第三项与第五项的系数之⽐为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10-i（-）i=（-1）i C10i=，令40-5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（-1）8C108=45，故答案为：45．15．已知的展开式中x3的系数为，则x3的⼆项式系数为______，常数a的值为______．答案：841解析：解：设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=?a9-r??x-（9-r）+r，令2r-9=3，解得r=6，∴x3的⼆项式系数为==84；⼜的展开式中x3的系数为，∴×a3×84=，∴a3=1，∴a=1．故答案为：84，1，116．（x2-）5展开式中的常数项为______．答案：40解析：解：（x2-）5展开式中的通项公式为=T r+1=?x10-2r?（-2）r?x-3r=（-2）r??x10-5r，令10-5r=0，r=2，故展开式的常数项为=4?=40，故答案为=40．17．（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数为______．答案：-6解析：解：∵（1+2x）3（1-x）4展开式中x2项为C3013（2x）0?C4212（-x）2+C3112（2x）1?C4113（-x）1+C3212（2x）2?C4014（-x）0∴所求系数为C30?C42+C31?2?C41（-1）+C32?22?C4014=6-24+12=-6．故答案为：-6．18、的展开式中x的系数是______．答案：-4解析：解：∵=（1-x）4，它的展开式的通项公式为=T r+1=?（-x）r，令r=1，可得展开式中x的系数是-4，故答案为-4．19．f（x）是（1-2x）6展开式的第五项，则f（x）=______，所有⼆项式系数的和为______．答案：240x464解析：解：（1-2x）6展开式的第五项为?（-2x）4=240x4，∴f（x）=240x4．所有⼆项式系数的和为=2n=26=64，故答案为=240x4、64．20、的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．（x-）4的展开式中的常数项为______．答案：6解析：解：的通项为=（-1）r C4r x4-2r令4-2r=0得r=2∴展开式的常数项为T3=C42=6故答案为622、的展开式中x2的系数为______．答案：7解析：解：因为的展开式的通项公式为：=，当8-2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．23．若（2x2-）n（n∈N×）展开式中含有常数项，则n的最⼩值是______．答案：5解析：解：展开式的通项T r+1=（-1）r2n-r C n r x2n-5r其中r=0，1，2，3…n令2n-5r=0得到当r=2时n最⼩为5故答案为524．⼆项式（2-）6展开式中常数项是______．答案：-160解析：解：因为=20×8×（-1）=-160．所以展开式中常数项是-160．故答案为：-160．25．设a=（cosx-sinx）dx，则⼆项式（x2+）6展开式中不含x6项的系数和是______．答案：161解析：解：由于a=（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）=-1-1=-2，∴（x2+）6=（x2-）6的通项公式为=T r+1=?（-2）r?x12-2r，令12-2r=6，求得r=3，故含x6项的系数为-×23=-160．由于所有项的系数和为（1-2）6=1，故不含x6项的系数和1+160=161，故答案为：161．26．（x+）9展开式中x3的系数是______．（⽤数字作答）答案：84解析：解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9-2r=3得r=3，∴C93=84故答案为：84．27．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．28．（1-）4展开式中的系数是______．答案：-8解析：解：（1-）4展开式的通项公式为T r+1=?（-2）r?x-r，令-r=-1，可得r=1，故展开式中的系数是?（-2）=-8，故答案为：-8．29．在的展开式中，x2的系数为______（⽤数字作答）．答案：-14解析：解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（-2）×C71=-14故答案为-1430．⼆项式的展开式中，x3项的系数为______．答案：20解析：解：⼆项式展开式的通项为T r+1=C6r?x6-r?（-）r=（-1）r?C6r?，令=3，解可得r=2，当r=2时，T3=（-1）2?C62?x3=20x3，即x3项的系数为20；故答案为20．。
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5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。
四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。
2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。
(完整版)高考数学二项式定理专题复习(专题训练)
(a
x )n
Cn0a n x0
Cn1a n 1x
C
2 n
a
n
2 x2
L
C
n n
a
0
x
n
a0 a1x 1 a 2 x 2
( x a)n
Cn0a 0 xn
Cn1ax n 1
C
2 n
a
2
x
n
2
L
C
n n
a
n
x
0
an xn L
a2 x2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3L an (a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a4 L
n
n
an (a 1) ( a 1) (奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a1 a3 a5L
an ( a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
L anx n a1x1 a0
（ 5）二项式系数的最大项 ：如果二项式的指数 n 是偶数时，则中间项为第 （ n 1）项的二项式 2
（ 6）系数的最大、最小项的求法：求 (a bx) n 展开式中最大、最小项，一般采用待定系数
法。设展开式中各项系数分别为 A1 , A2 , , An 1 ，设第 r 1 项系数最大，应有：
Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ；如果设第 r 1 项系数最小，应有 Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ，从而解出 r 的范围。
与 (b a)n 的二项展开式是不同的。
（ 3）二项式项数共有 (n 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式。
（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为
高考数学一轮总复习 11.3 二项式定理课件(含高考真题)文 新人教版
∴A=(-a)2C62=15a2,
B=(-a)3C63=-20a3.
又∵B=4A,∴-20a3=60a2.
∴a=-3(a=0 舍去).
-3
关闭
关闭
解析
答案9
梳理自测
-10-
5.
������-
1 3 ������
18
的展开式中含 x15 的项的系数为
.(结果用数值表示)
������-
1 3 ������
-4-
3.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
C������������ = C������������-������ .
������
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C���2��� 最大;
������-1
������+1
当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数 C������2 、 C������2 相等且最大.
3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为( )
A.9
B.8
C.7 D.6
(x-1)4=1+C41x(-1)3+C42x2(-1)2+C43x3(-1)+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,∴ a0=1,a2=C42=6,a4=1.∴a0+a2+a4=8.
(3)各二项式系数的和:C���0��� + C���1��� + C���2��� +…+C������������ = 2n ,其中C���0��� +
超实用高考数学专题复习教学课件：11.3 二项式定理
二项式系数
(a+b)n=
C0 an+C1 an-1b+…+C an-rbr+…+C bn (n∈N )
+
n-r r
C
Tr+1= a b ,它表示第
r+1
项(0≤r≤n,r∈N)
0 1
C
,
C
,…,C
二项展开式中各项的系数为
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称
5-3r=2,得 r=1.
∴x2 的系数为 21·
C51 =2×5=10.
1 6
(2)∵(- ) 的展开式的通项为
6-r 6-2r
r 6-r 6-r-r
Tr+1=C6 (-1) a x =C6 (-1) a x ,令
6-2r=0 得 r=3,可得常数项为C63 (-1)3a3=-20a3=-20,得 a=1.
步骤
(1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;
(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些
项相乘得到;
(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
对点训练 2(1)(1-√)6(1+√)4 的展开式中 x 的系数是(
A.-4
r=1,则可
-1
3.已知C0 3n+C1 3n-1+C2 3n-2+…+C 3+C =212,则 n=(
A.8
B.6
C.4
)
D.2
答案 B
-1
2022版高中数学 11.3 二项式定理训练 理 新人教A版
"【全程复习方略】（福建专用）2022版高中数学 二项式定理训练 理 新人教A 版 "45分钟 100分一、选择题（每小题6分，共36分）12022·泉州模拟2-16=a 66a 55a 44a 33a 22a 1a 0，则a 2=A60 B-60 C160 D152（2022·重庆高考）（13）n （其中n ∈N 且n ≥6）的展开式中5与6的系数相等，则n=A6 B7 C8 D93＋12＋＋111＝a 0＋a 1＋2＋a 2＋22＋…＋a 10＋210＋a 11＋211，则a 1＝A9 B-10 C11 D-124（预测题）若n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n 的最小值是（A ）3 （B ）4 （C ）10 （D ）1251＋a ＋b n 展开式中不含的项的系数绝对值的和为243，不含的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为Aa ＝2，b ＝－1，n ＝5Ba ＝－2，b ＝－1，n ＝6Ca ＝－1，b ＝2，n ＝6Da ＝1，b ＝2，n ＝56若1-22 013=a 0a 1…a 2 0132 013∈R,则 2 013122 2 013a a a 222++⋯+的值为 A2 B0 C-1 D-2二、填空题（每小题6分，共18分）7（2022·莆田模拟）已知61（）x 的展开式中的第5项的值等于5，则＝_____ 8（2022·安徽高考）设-121=a 0a 1a 22…a 2121，则a 10a 11=_______．9（2022·福州模拟）已知()0a sin t cos t dt ，π=+⎰则61x ax（）-的展开式中的常数项为_____ 三、解答题（每小题15分，共30分）10已知1-27=a 0a 1a 22…a 77求:1a 1a 2…a 7;2a 1a 3a 5a 7;3a 0a 2a 4a 6;4|a 0||a 1||a 2|…|a 7|11（易错题）已知()25f x 3x ).＝ 1求展开式中二项式系数最大的项；2求展开式中系数最大的项．【探究创新】（16分）设11n32(5x x )-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N,M-N=9921判断该展开式中有无2项若有，求出它的系数；若没有，说明理由;2求此展开式中有理项的项数答案解析1【解析】选A 由题意可知2-16=1-26∴()2262236T C 12x 60x ,-=-= 因此a 2=602【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出5与6的系数,然后根据系数相等求出n 的值【解析】选的系数为55n 3C ,6的系数为66n 3C ,由5566n n 3C 3C =,可得56n n C 3C =,解之得n=7 3【解析】选A ＋12＋＋111＝＋2－12＋＋2－111，所以10111a 2C 2119＝－＋＝－＋＝ 4【解析】选B)r n r n r rr r rr n r 3r 1n n T C (C (1)x x -•••－－－＋＝＝－＝4n r n r r r 3n C (x －－，令n －4r 3＝0，得n ＝4r 3 ∴n 取最小值为45【解析】的项的系数的绝对值为1＋|b|n ＝243＝35，不含的项的系数的绝对值为1＋|a|n ＝32＝25，∴n ＝5，1b 31a 2.⎧⎪⎨⎪⎩＋＝，＋＝再验证选项知应选D 6【解析】=0得a 0=1；令=12得 2 0131202 2 013a a a a 0222+++⋯+=，故 2 013122 2 013a a a 222++⋯+=-1 7【解析】4245611T C ()15,x x=-=∴=3 答案：38【解析】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而这两项的系数互为相反数,即a 10a 11=0答案:09【解析】()()00a sin t cos t dt sin t cos t (sin cos )sin 0cos 02,ππ=+=-⎢=π-π--=⎰（） 61 (x x)2-中的常数项为 33361T4C x 2x ＝-（）=20·315().22-=- 答案：52-10【解析】令=1,则a 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7=-1①令=-1,则a 0-a 1a 2-a 3a 4-a 5a 6-a 7=37②1∵a 0=07C =1,∴a 1a 2…a 7=-22 ①－②÷2得：a 1a 3a 5a 7=7132--=-1 094 3 ①②÷2得：a 0a 2a 4a 6=7132-+=1 093 4∵1-27展开式中，a 0,a 2,a 4,a 6大于零，而a 1,a 3,a 5,a 7小于零，∴|a 0||a 1||a 2|…|a 7|=（a 0a 2a 4a 6）－（a 1a 3a 5a 7）=1 0931 094=2 18711【解析】1由题意可知展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们是 ()222326335T C (x )3x 90x ＝＝， ()22233223345T C (x )3x 270x＝＝ 2展开式通项为2(52r)r r3r 15T C 3x •＋＋＝ ．假设T r ＋1项系数最大，则有r r r 1r 155r r r 1r 155C 3C 3C 3C 3.⎧≥•⎪⎨≥•⎪⎩－－＋＋， 553(5r)r (6r)(r 1)55 3.(5r)r (4r)(r 1)31r 6r 13.5r r 179r r N r 4.22⎧⨯≥⎪⎪∴⎨⎪≥⨯⎪⎩⎧≥⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩∴≤≤∈∴！！，－！！－！－！！！－！！－！＋！，－－＋，，＝ ∴展开式中系数最大的项为()2264423355T C x 3x 405x .＝＝【方法技巧】关于最大项的求解技巧1求二项式系数最大的项：①如果n 是偶数，则中间一项（第（n 12+）项）的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项（第n 12+项与第n 112++项）的二项式系数相等并最大2求展开式系数最大的项：如求ab n a ，b ∈R 的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 0,A 1,A 2，…,且第r1项系数最大，应用r r 1r r 1A A A A -+≥⎧⎨≥⎩解出r 来，即得系数最大项 【变式备选】在1210的展开式中,1求系数最大的项;2若=，则第几项的值最大【解析】1设第r1项的系数最大，由通项公式得T r1=r r r 10C 2x ，依题意知T r1项的系数不小于T r 项及T r2项的系数则r r r 1r 11010r r r 1r 11010C 2C 2C 2C 2--++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩解得()()211r r r 1210r -≥⎧⎪⎨+≥-⎪⎩ ∴1922r 33≤≤且r ∈Z,∴r=7, 故系数最大的项为7777810T C 2x 15 360x ==2设展开式中的第r1项的值最大，则T r1≥T r ＞0,T r1≥T r2＞0 ∴r 1r 2r r 1T T 1,1T T +++≥≤ ∴()()()()r r 10r 1r 110r 1r 110r r 10C 2x 11r 2x 1r C 2x C 2x 10r 2x 1r 1C 2x --++⎧-=≥⎪⎪⎨-⎪=•≤⎪+⎩ 将=代入得()()511r 1r 510r 1r 1-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩+得4955r 66≤≤ ∴r=9，即展开式中的第10项的值最大【探究创新】【解析】令=1得M=4n ,而N=2n ,由M-N=992,得4n -2n =992即2n -32·2n 31=0，故2n =32,n=5 1()()1k 15k 15k k k k 5k k k 5k k 5k 33622k 1555T C (5x )(x )1C 5x x 1C 5x -----+=-=-=- 由题意，令15k 26-=,解得=3，故含2项存在 它的系数为()335351C 5--=-2502展开式中的有理项应满足15kZ60k5k Z-⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩,故只能取3，即展开式中只有一项有理项。
新高考数学复习考点知识与题型专项训练54---二项式定理 解析版
新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题11.3 二项式定理1．（2019·山东高二期末）4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D 【解析】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r rr r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ， 所以3x 的系数为8. 故选D2.（2019·浙江高三期末）设()42801832x x a a x a x -+=+++，则7a =（ ）.A ．-4B ．-8C ．-12D ．-16【答案】C 【解析】()()()44423212x x x x -+=--，7a 是展开式中7x 的系数，∴()()()100174444124812a C C C C =⋅-⋅+⋅⋅-=-+-=-，故选C ．3．（2020·山东济南外国语学校高三月考）二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ）A ．8B ．6C ．5D ．10【答案】C 【解析】由二项式*(1)()n x n +∈N 的展开式的通项1rn rr n T C x-+=得：令3n r -= ，得3r n =-，则3310r n n n n C C C -=== ，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =，故选C ．4.（2019·浙江高三月考）若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ）A.1B.5C.10D.20【答案】C 【解析】对2nx ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C.5.（2019·陕西高三月考（理））722x ⎛⎫⎝ 的展开式中，4x 项的系数为( ) A.-28 B.280 C.-560 D.560【答案】C 【解析】722x ⎛⎫- ⎝展开式的通项公式为()1014727331477C 2C 2(1)rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅- ⎪⎝⎭，令101443r -=，解得3r =，故所求系数为3437C 2(1)3516560⋅⋅-=-⨯=-. 故选C . .6．（2020·广东高三月考）在()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，34x y 的系数是（ ）A ．20B ．152C ．5-D ．252-【答案】D 【解析】()()()66622x x y x y x y y x y ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭， ()6x y +的展开式的通项是616r rr r T C xy -+=，令62r -=，则4r =，则()6x y +的展开式中24x y 的系数为4615C =，令6r 3-=，则3r =，则()6x y +的展开式中33x y 的系数为3620C =，故()62x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中34x y 的系数是251522102⨯-=-.故选：D.7.（2020·内蒙古高三其他模拟（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．5000【答案】B 【解析】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B .8.（2019·浙江温州中学高三月考）已知()()321x a x ++展开式中所有项的系数之和为4-，则a =__________，2x 项的系数为__________．【答案】2- 10 【解析】取1x =得到()()321114,2a a ++=-=-()()323221(2)(21)x x x x x -+=-++()32x -展开式中：313(2)r rr r T C x -+=-2x 项的系数为：332211333(2)1(2)2(2)110C C C ⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=故答案为2-，109．（2019·上海市奉贤中学高二期末）112除以9的余数为_______； 【答案】5 【解析】由题意得：()311322282912=⨯=-⨯()()()()3232203212222333339122929129121C C C C -⨯=⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-112∴除以9的余数为：233925C -=本题正确结果：510.（2019·浙江师范大学附属中学高三月考）在二项式82x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是__________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】280 5 【解析】82x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式的通项8182()k kk k T C x x -+=，若为常数项则 8k k -=即4k =，448(2)280C ∴=,即常数项为280；由通项可知系数为有理项即(2)k 为有理数，即k 可取0,2,4,6,8，共有5项 所以答案分别为280,51．（2020·河北高三期中）523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．60【答案】A 【解析】因为523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第1r +项为()521031553C C 3rr r r rr r T x x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=，得2r ，则4x 的系数为225C 390⋅=．故选：A.2．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ）A ．363C B ．463C C ．364C D ．464C【答案】A 【解析】由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n 行n 个数，所以前n 行共有：()12n n +，当63n =时，()6363120162+=， 所以第2020项是第64行的第4个数字，即为363C ， 故选：A .3．（2020·云南高三期末（理））()()5121x x -+展开式3x 的系数为（ ） A ．-10 B ．10C ．-30D ．30【答案】A 【解析】()51x +的通项公式为15rr r T x C +=，因为()()()()555121121x x x x x -+=+-+。
2020高考数学 11章3课时二项式定理巩固练习 新人教A版
2020高考数学 11章3课时二项式定理巩固练习 新人教A 版1．(2x －1)6的展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．60C ．120D ．240解析：选B.(2x －1)6＝(－1＋2x )6⇒T 3＝C 62(－1)4·(2x )2＝60x 2.选B.2．(2008年高考安徽卷)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.由(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8可以知道，a 0、a 1、a 2、…、a 8均为二项式系数，依次是C 80、C 81、C 82、…、C 88，∵C 80＝C 88＝1，C 81＝C 87＝8，C 82＝C 86＝28，C 83＝C 85＝56， C 84＝70，∴a 0，a 1，…，a 8中奇数只有a 0和a 8两个．3．(2020年沈阳高中质检)已知n 为等差数列－4，－2,0，…中的第8项，则二项式(x 2＋2x)n 展开式中常数项是( ) A ．第7项 B ．第8项C ．第9项D ．第10项解析：选C.由前几项可得通项为a m ＝2m －6，a 8＝2×8－6＝10，T r ＋1＝C 10r x 20－2r ·2r x －r 2＝2r C 10r x 20－52r ， 令20－52r ＝0，得r ＝8.故为8＋1＝9项，故选C.4．若(x 2＋1x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则n ＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．解析：令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C 5r ·(x 2)5－r ·(1x 3)r ＝C 5r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项T 3＝10.答案：5 105.(2020年高考广东卷)(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________．解析：(x －y )10的展开式中含x 7y 3的项为C 103x 10－3y 3(－1)3＝－C 103x 7y 3，含x 3y 7的项为C 107x 10－7y 7(－1)7＝－C 107x 3y 7.由C 103＝C 107＝120知，x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－240.答案：－2406．已知(x ＋12 41x )n 的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x 项的系数．解：(1)前三项系数为1，12C n 1，14C n 2成等差数列．∴2·12C n 1＝1＋14C n 2，即n 2－9n ＋8＝0. ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C 8r .(x )8－r .(12 41x )r ＝(12)r .C 8r .x 4－34r ，r ＝0,1， (8)∴第三项的二项式系数为C 82＝28.第三项系数为(12)2·C 82＝7.(3)令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 项的系数为(12)4·C 84＝358.。
2021新高考数学专项训练题-二项式定理(含解析)
2021新高考数学专项训练题-二项式定理考点一 二项式定理的展开式 二项式定理中的r r n r n ba C -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，即展开式的第1+r 项；r r n r n r ba C T -+=1。
注意：（1）展开式中通项是1+r 项，而不是r 项。
（2）展开式中r nC 是二项式系数，上标r 比项数少1。
（3）展开式中a 是二项式的第一项，b 是二项式的第二项，a 和b 的位置不能颠倒，且a ，b 要带符号。
考点二 二项展开式的性质 1、项数：共有1+n 项；2、指数：a 的指数从n 起逐项减1直到0，b 的指数从0开始逐项增1直到n ，每一项中a 与b 的指数之和为n 。
3、二项式系数：展开式中共有1+n 个二项式系数：n nn n n C C C C ,,,,210 ，它们满足： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：二项式系数C kn，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n，C n ＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 总结一、单选题（共8题；共16分）1.（2021·吉安模拟）展开式中项的系数为160，则（）A. 2B. 4C. -2D.2.（2021·郑州一模）式子的展开式中，的系数为（）A. 3B. 5C. 15D. 203.（2021·八省联考）的展开式中的系数是（）A. 60B. 80C. 84D. 1204.（2020·深圳模拟）的展开式中的系数是（）.A. -210B. -120C. 120D. 2105.（2020·济宁模拟）在的展开式中，常数项为( )A. B. C. D.6.（2020·新课标Ⅰ·理）的展开式中x3y3的系数为（）A. 5B. 10C. 15D. 207.（2020·北京）在的展开式中，的系数为（）．A. -5B. 5C. -10D. 108.（2020高三上·宁波期末）在的展开式中，含的项的系数是（）A. -10B. 10C. 25D. -25二、填空题（共20题；共24分）9.（2021·淄博零模）在二项式的展开式中，所有项系数之和为________，含的项的系数是________（用数字作答）．10.（2021·江西一模）数列中，，（），则________11.（2021·高州一模）当为常数时，展开式中常数项为，则________．12.（2021·淮北模拟）二项式的展开式中的常数项为________．13.（2021·崇明一模）若的展开式中有一项为，则________．14.（2021·宝山模拟）已知二项式，则其展开式中的常数项为________．15.（2021·成都一诊）7的展开式中x-1的系数是________。
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双基限时练
巩固双基,提升能力
一、选择题 1．(2012·天津)在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40
解析：T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝C 25(－1)r 25－r x 10－3r ， 令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－1)322＝－40.
答案：D
2．(2012·安徽)(x 2
＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3
解析：因为(x 2
＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15，所以要找原二项式展开式中的常数项，只要找⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项和含x －2
项即可．
T ＝x 2T 5＋2T 6＝x
2C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21(－1)4＋2C 55⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 20(－1)5＝5－2＝3. 答案：D
3．(2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
解析：512 012＋a ＝a ＋(1－13×4)2 012＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012
(13×4)2＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 012，又512 012＋a 能被13整除，又∵0≤a ＜13，∴a ＋1＝13，故a ＝12.
答案：D
4．(2013·河南四校联考)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于( )
A ．8
B ．16
C ．80
D ．70
解析：由第四项与第六项的系数相等得C 3n ＝C 5n ，故n ＝8.则展开
式中的常数项为
T 5＝C 48x 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4＝C 48＝70. 答案：D 5．(2013·厦门质检)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大项是( )
A ．15x 2
B ．20x 3
C ．21x 3
D ．35x 3
解析：令x ＝0，得a 0＝1，再令x ＝1，得2n ＝64，∴n ＝6，故展
开式中系数最大项是T 4＝C 36x 3＝20x 3.
答案：B
6．(2013·石室中学月考)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为
( )
A ．－19
B ．19
C ．20
D ．－20 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.
答案：C
二、填空题
7．(2012·广东)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为__________．(用数字作答)
解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，
代入得：T 4＝C 36x 3＝20x 3.
答案：20
8．(2012·湖南)⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为__________．(用数字作答)
解析：T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝
⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 626－r (－1)r x 3－r ，令3－r ＝0，所以r ＝3，所以常数项为C 362
6－3(－1)3＝－160. 答案：－160
9．(2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5，为实数，则a 3＝__________.
解析：由于f (x )＝x 5＝[(1＋x )－1]5，那么a 3＝C 25(－1)2＝10，
故应填10.
答案：10
三、解答题
10．已知(a 2＋1)n
展开式中各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．
解析：由⎝
⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得，。