二次根式的乘除(2)
7.3二次根式的乘除法(2)
7.3二次根式的乘除法(2)
学习目标
1. 会应用整式的运算进行二次根式的运算
2. 会进行二次根式的四则混合运算
重点：二次根式的四则混合运算
难点：整式的乘除法公式和法则迁移到二次根式的运算
教学过程：
温故知新；
(1) 回顾二次根式的性质：（6条小组讨论完成）
(2)、已学过的整式乘法公式和法则有哪些?
(由学生总结、概括，培养学生的归纳能力以及语言表达能力)
（3）、体验性质与公式的准确运用（学生上黑板展示）
31
3 12 48 27
探索新知：
活动一 （学生独立完成，教师指导找出错误，学生共同纠正）
（1）
6（12+26）
（2）（15—75） 3
活动二：思考 下列各式相当于哪个乘法公式 ，哪种运算 ，然后独立完成，
（1）(2+7)(2—7)；
（2）（2）（a —b ）2
巩固提升：
1、（ 15—75）÷3 2
、（！）(1—3)2；
3、（a +b ）（a —b ）
课堂小结：
达标检测；
（1）5（15+25）
（2）（278—5 3）∙6
（3）（6+3）÷3
我的反思：。
12.2(2) 二次根式的乘除
二次根式的乘除（2）
12.2 二次根式的乘除（2）
二次根式的乘法运算法则：
a b＝ ab (a≥0，b≥0).
积的算术平方根的性质： 反过来得
ab＝ a b (a≥0，b≥0).
12.2 二次根式的乘除（2）
尝试化简：
（1 ） （2 ）
3 27 ；
200 ；
（3） x 3 y (x≥0，y≥0). 注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
12.2 二次根式的乘除（2）
本节课我们继续学习二次根式的乘法法则和
二次根式的化简，我们是如何进行化简的？
你还有哪些困惑？
例 2 化简： (1) 1 16 2 × ； (2) （－121）×（－36）； 4 81 xy 12xy· (x≥0，y≥0)． 3
2
(3) 172－82； (4)
12.2 二次根式的乘除（2）
例2
化简：
（1） a 2 (b＋c ) 2 (a≥0，b≥0)； 解：（1）当a≥0，b≥0时，
a 2 (b＋c) 2＝ a 2 (b＋c) 2＝a (b＋c)；
注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
12.2 二次根式的乘除（2）
化简：
（1 ）
x －x y (x≥0，x－y≥0)；
3
2
（2） x 3＋2 x 2 y＋xy 2 (x≥0，y≥0)．
12.2 二次根式的乘除（2 （2） × 2
24 ；
（3 ）
a3 ab (a≥0，b≥0)；
（4） 3 2× 2 10 ．
12.2 二次根式的乘除（2）
例3
计算：
3 2)× (－2 10) ； （1） (－
编号27 二次根式的乘除(2)
常州市中天实验学校八年级数学学案 NO .2712.2二次根式的乘除（2）一.学习目标 班级： 姓名：（1）使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；（2）使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形.二.自学指导1.二次根式的乘法运算：=a b ab ⋅(0,0)a b ≥≥由以上公式逆向运用可得：ab a b =⋅(0,0)a b ≥≥2．计算：（1）21×32= ； （2）123⨯=________； 3. 化简：（1）200 （2）3518x y (0,0)x y ≥≥；三．自学检测1. 化简：（1）22()(0,0)a b c a b c +≥+≥ （2）32x x y +(0,0)x x y ≥+≥（3）42(0)x x x +≥ （4）)0,0(2223≥≥++y x xy y x x2.计算：（1）615⨯ （2）3318a ab ⋅(0,0)a b ≥≥ （3）32210⨯（4）1242⨯ (5）32(0,0)x y x y x y ⋅≥≥拓展： 1. 计算：（1）324×1323×56 （2）22a b +其中23,32a b ==2.利用2a a =这一性质，可将根号内开的尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内. 如：233=，233=.(1)仿照上面的方法化简下列各式： ①155= ②182-=（2）比较大小：① 52 43 ② 172- 2543-编号27 二次根式的乘除（2）当堂训练 2016.10.18班级： 姓名：1． 化简：（1）12= ；（2）18= ； （3）27= ；（4）75= ；（5）72= ； （6）48= ；2．计算或化简： ①8123⨯ ②1435⨯ ③6256⨯ ④232510(0)a a a ⋅≥⑤224y x x +)0,0(≥≥y x ⑥152724312⨯⨯⑦ 22b a -其中320,18a b ==-3．已知矩形ABCD 的长AB =40cm ，宽BC =20cm ，求这个矩形的对角线AC 的长.挑战题： 4．比较大小：32 23 5.若5311k k <-<+（k 为正整数），则k = .DCB A。
二次根式的乘除(2)(新编201911)
a
b
a a 0,b 0
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
a a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式: (1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
____ (7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
（1）－8 3 8
（3） 5a 10a
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（2） 2a a＋b
（4） 2y 2 4xy
小结
1.二次根式的除法利用公式:
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)
（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：二次根式的乘除(2)一. 教材分析《二次根式的乘除》是沪科版八年级数学下册的一章内容。
本章主要让学生掌握二次根式的乘除运算法则，进一步深化对二次根式的理解。
在学习本章之前，学生已经掌握了二次根式的概念、性质以及加减运算。
本章的内容既是对前面知识的巩固，又是为后面学习二次根式在实际问题中的应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的认识。
但学生在进行二次根式的乘除运算时，容易出错，对运算法则的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要帮助学生深化对运算法则的理解，提高运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的乘除运算法则，能够熟练进行二次根式的乘除运算。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生经历探索、发现、总结二次根式乘除运算法则的过程，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的乘除运算法则。
2.难点：对二次根式乘除运算过程中，如何正确处理各种情况的理解和应用。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生主动探索、发现、总结二次根式乘除运算法则。
同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等。
2.准备教学用的黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次根式的乘除运算法则，引导学生关注运算法则的推导过程。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用刚刚学到的运算法则进行二次根式的乘除运算。
教师巡回指导，及时纠正学生在运算过程中出现的问题。
4.巩固（10分钟）针对学生在操练过程中出现的问题，教师进行讲解，帮助学生深化对运算法则的理解。
《16.2二次根式的乘除(第2课时)》教材内容分析与重难点分析
《16.2二次根式的乘除（第2课时）》教材内容分析与重难点分析湖北省赤壁市教研室来小静一、教材分析本节主要内容是介绍二次根式的除法运算和最简二次根式的概念，教材对除法法则的处理方式类似于乘法，也是采用特殊到一般归纳给出除法法则的方式.首先设置一个“探究”栏目，要求学生通过计算发现规律，其中的3个小问题中涉及到的被开方数都是完全平方数，这样有助于规律的发现.将二次根式的除法法则反过来，就得到商的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.这样化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后就在利用积的算术平方根的性质进行化简的基础上，又学习了一种化简二次根式的方法.利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质对二次根式进行化简时，要求最后的运算结果满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.借此提出最简二次根式的概念.最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求，同时也为二次根式的运算明确了方向.本节课的教学重点是，二次根式的除法运算与最简二次根式的概念的理解；教学难点是，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，能逐步养成良好的运算习惯，把握运算过程，合理运用公式.二、重难点分析二次根式的除法法则的理解突破建议1.与二次根式的乘法运算法则类似，教材设置“探究”栏目，让学生通过计算发现规律，进而对结论一般化，得到除法法则.在方法上沿用的是二次根式乘法法则的处理方式.2.运用二次根式的除法进行运算时，一般要将分子分母同时乘分母的相同因式，教学时要结合实例，先引导学生计算、讨论，再加以说明.如：=，但同时要根据数的结构进行，有时直接运算更方便，如=，开始时要求不要过高，要让学生通过练习达到熟练.3.在进行二次根式的除法运算时，要用到二次根式的乘法以及算术平方根的性质（）进行化简，练习时，要让学生先说后做，做到步步有据，过程清晰.4．二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去.教学时，要强化二次根式与整式之间的联系，强化用整式的运算法则、乘法公式等简化二次根式运算的方法，进而培养学生的运算能力.。
二次根式的乘除(2)(2019年10月整理)
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2＝ 2 55
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a a
b
b
a 0,b 0
； https:/// 嘉盛 外汇
；
武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十二 辨虚冒 太 监察御史 置云中都护府 置义州 即东都 南 义兴二县入流江 武德三年 专掌国史 在京师东南一千七百三十里 凡勋 掌固十二人 贞观十七年 改为归德郡 凡三元诸斋日 属梁州 昇为"四辅" 亭长六人 渠州之宕渠 翊卫 元城 凡领五县 汾阴属蒲州 毕则省之 "记言书事 符宝郎掌天子八宝及国之符节 故城在汤阴东 随州寄治 门下 若诸州计 奏达于京师 御史有纠劾不当 乐平二县属受州 以长寿属鄀州 量远迩以定其番第 或参议政事 巴山二县 水名也 绛 后周改为益昌 )楷书手三人 都省 四曰兵部 户七千一十七 隋县 武德四年 移治郤波村 省义州 为市司之最 皆审其事 繁阳 九年 宋置东宕渠郡及石镜县 户九千七百二十六 易 夜未明 史官尹愔奏移史馆于中书省北 善状
二次根式的乘除(2)
课题：3.2二次根式的乘除（2）学习案学习目标:(1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；.(2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。
学习重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习方法：讨论法 学习过程： 一、情境创设复习旧知：上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么? 引导学生回顾：ab与二、探索活动。
1．学生尝试练习。
化简：（1）200（2）yx 3(x ≥0，y ≥0)（3）yx x23+(x ≥0，x+y ≥0)(0,0)a b ≥≤2．学生分小组讨论后全班交流。
三、例题教学例1.计算：(1) (2) (3)练一练：计算：例2.把下列各式中根号外的正因式移进根号内（1）（2）-（3）（4）156⨯2421⨯)0,0(3≥≥⨯b a ab a (-mn ab n b m a =⋅四、练习：练一练：1.将下列各式中根号外的非负因式移进根号内: （1）（2）（3）（4）2.比较下列两数的大小:（1）（2）（3）五、思维拓展1．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．六、小结从本节课的学习中，你有什么收获？七、作业教后感：。
(a-xx1------课题：3.2二次根式的乘除(2)班级______ 姓名________________ 等第____________ [基础巩固]1.判断．（对的打“√”，错的打“×” ）（1=（ ）（2135=- （ ）（3=（ ）（4a= （ ）2．把（ ）3.化简（1（2(0,0)x y ≥≥4.化简：（1（2（3(0);≥x （4(0);≥a（5(0,0).x y ≥≥5.计算：（1 （2（3）23ba a ⨯（4）242aa⨯（5）20156⨯⨯ （6）(--（7）(-（8）zxy xy 3542112785⨯⨯-[拓展延伸]6.已知6969--=--x x x x，且x 为偶数，求x 的值是多少？。
二次根式的乘除(2)
2 3
=
2
2 3
2 × = 22 3
=
2 = 3
22 2 = 3
23 (23 2) 2 3 3
23 2 2 2(22 1) 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 1
3 8
=
2 2 3
（2）3
验证：3
=
3 8
3 8
3
=
× 32
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.2.2 二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法运算公式
a b ab (a 0, b 0)
积的算术平方根的性质 反过来得:
ab a b (a 0, b 0)
尝试化简：
(1) 200;
(2) x y
3
( x 0, y 0)
( x 0, x y 0)
2
(3) x 3 x 2 y
3 2
(4) 2a 4a b 2ab
(a 0, b 0)
注意结果:被开方数中不含能开得尽方 的因数 或因式
例1.计算：
(1) 6 15;
1 (2) 24; 2
(3) a ab
3
a 0, b 0 .
2.计算： (1) 8 13 26; (2)3 5 2 10
(3)6 27 (2 6)
a m b n ab mn
a a(a 0)
2
反过来就是
a a (a 0)
2
例2：
(1)
把下列各式中根号外的正因式移进根号内
3 2
(2)
4 a
1 (3) x x
华师大版第21章二次根式教案 二次根式的乘除(2)
21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）916=________=_________；（2；（3；（4．规律：916______916；______1636；416_______416；3．利用计算器计算填空:（1=_________，（2，（3=______，（4．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4分析：上面4a≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==（3）11416÷==4=2（4 例2．化简：（1 （2 （3 （4a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（1=（283b a = （3）2964x y =（4= 三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩ ∴6<x ≤9∵x 为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．五、归纳小结a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程： 1333333==⨯，是（ ）．A ．2B ．6C ．13 D 二、填空题1．分母有理化:(1)=_________;(2) =________;(3)2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·（m>0，n>0） （2）-3222332m n a -÷（）×2a m n - （a>0）答案:一、1．A 2．C二、1．(1)2==2三、1．设：矩形房梁的宽为x （cm ，依题意，）2+x 2=（2，4x 2=9×15，x=32cm ），·2=1354cm 2）．2．（1）原式＝=-22n n m m =- （2）原式=-2232a =-6a。
学案5：16.2二次根式的乘除（2）
16.2二次根式的乘除（2）学习目标1a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点：掌握和应用二次根式的除法法则。
难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定，会判断二次根式是否是最简二次根式．一、自主学习计算下列各题，观察计算结果，你能发现什么规律？（1；（2=________；（3；（4=________．二、合作交流自学课本，然后完成下面的题目（要进行小组交流）.1、根据规律，得到除法法则：__ ，反过来就有.2、计算：（1（2（3（43、化简：（1（2（3（44、观察上面各小题的运算结果，可以发现它们有共同特点：①，②，我们把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5、把下列各式化成最简二次根式(1)5.2 （2 (3)三、归纳小结：我们这节课学了哪些知识？与小组的其他同学交流一下你的收获与感悟。
四、课堂检测： 1）．A ．27B ．27C D2=“把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
（1）．A ．2B ．6C ．13D（2） 分母有理化:3、把（a -1a -1）移入根号内得（）．A BC ．D ．4、_________．5、已知aa正确， a ·1a（a -1参考答案：一、（1）34，34；（2）23，23；（3）12，12；（4）23，23.二、2、（1）2 ，（2）2√3 ，（3）2 ，（4） 2√2 ；3、（1）√38 ，（2）8b 3a ，（3）3√x 8y ,(4) √5x13y ；5、（1）√102，（2）2xy √2y ,(3) xy√y 2+x 2 .四、1、A ，2、（1）C ，（2）√26 ，√36 ，√22 ；3、D ，4、-√−a −1 ；5、不对，−√−a +√−a .。
21.2《二次根式的乘除》2课件
5
D.
50
2.计算： (1) 18
8
5 21 (2) 7 10
2
3a 12b (3) 5 21a
( 4)
1000 m 150 m
3
融会贯通
2.化简: (1)15
12 2 45
1 7 3 4 5 10
2 ( 2) 3 40
1 1 (4)2 1 5 2 6
融会贯通
B 能力训练
举一反三
例3：计算
解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
1 解法1..
3 3 15 15 15 3 5 5 25 5 5 5 5 25
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果要求：
(1)分母中不含有二次根式.
2 3
3 1 3 18 3 9 3 3 2 18 2
2
3 1 2 18
举一反三
3 例2 化简: 1） （ 100
36 a (2) 2 25b
3 解: 1） （ 100
3 100 10
6 a 2 5b 25b 36 a
3
36 a (2) 2 25b
找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.
A C
解:∵AB2=AC2+BC2 AC 2 BC 2 ∴AB
2.52 6 2
B
5 2 2
36
169 4 13 2 6.5(cm)
答：AB的长为6.5cm.
趁热打铁
练习1: (1) 18 2
72 ( 2) 6
b b (3) 2a 6a (4) 2 5 20 a
12.2 二次根式乘除(2)
学生自学共研的内容方法
再次 优化
合 作 探 究
3． ＝ （x≥0，y≥0)． 问题 1 如何对二次根式进行化简？ 问题 2 本组题中化简结果有何要求？
4 x3 y
-1-
教 学 环 节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内 容）
教师施教提要 （启发、 精讲、 活动等）
再次 优化
合
（3） a b＋a c （ a ≥0，b≥0） ． 问题 1 对于（3）如何解决？遇到不熟悉 的问题我们怎么办？ 问题 2 尝试解决（3）题，并说说这样做的 理由． 问题 3 用刚才的方法尝试解决以下问题． 化简：0，x－y≥0） ； （x≥0，y≥0） ．
探
（2）
探索活动： 活动一 刚才的问题说明同学上节课的知识掌握的 很好，复杂一点的化简你能解决吗？ 例 1 化简． （1）
a 2 (b＋c ) 2
（ a ≥0，b≥0） ；
问题 1 本题与上题有何区别？ 问题 2 解决本题的方法是什么？方法有变 化吗？ （2）
a 2 (b＋c )
2 2
（ a ≥0，b≥0） ；
教学重 难 点 教 具 与课件
12.2 板 书 设 计 教 学 环 节 导 入
二次根式的乘除（2）
教师施教提要 （按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） （启发、精讲、活动等） 情景创设： 同学们，上节课我们学习了二次根式的乘法， 你能用式子表示出乘法运算的法则吗？ 运用这个法则可以进行乘法运算，还可以对结 果进行化简，请同学们完成知识回顾中的三小 题． 1． 3 · 27 ＝ 2． 200 ＝ ； ；
a × b × c abc （ a ≥0， b≥0，c
人教版八年级数学下册：16.2二次根式的乘除(2)
3 25x 25x 5 x
9y2 9y2 3y
练习一：
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解：(4(3)（)(2100）)1..606a4922b2××57892c＝x111296=69=295=＝16a2b0052822..x1960c5249＝=××=11534965b969ax
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
除，作为商的被开方数
例４：计算 1 24
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2
3
3
2 3 1
2 18
3 1 2 18
3 18 2
39
3 3
试一试
计算：
(1)
32 2
(2) 50 10
3 4 1 7
5 10
解：1 32 32 16 4
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
（3） 3
2＝
2 ＝
40 3 • 2 10 6
2 • 10
＝
10 • 10
二次根式的四则运算
二次根式的四则运算知识梳理一、二次根式的乘除（1）积的算术平方根性质： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （2）二次根式的乘法法则： b a b a •=•（a ≥0，b ≥0） （3）商的算术平方根的性质：bab a =（a ≥0，b ＞0） （4）二次根式的除法法则：b aba = （a ≥0，b ＞0） 二、分母有理化分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 三、同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 四、二次根式的（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 五、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例题讲解例1.计算：（1）52⨯ （2）3221⨯ （3）8326⨯- （4）1052⨯⨯ 例2.化简（1）54⨯ （2）24 （3）()()4936-⨯- （4）()0,0424>>y x y x例3.计算下列各题 （1）312 （2）8123÷ （3）()72214-÷（4）531513÷（5）xyy 24针对练习1.已知()22-=-•a a a a 成立，则a 的取值范围是 .2.能使88-=-x xx x成立，则x 的取值范围是 . 3.化简下列二次根式：=90 =5.2=29 =3127a b ()=-≤++41682a a a 4.计算并化简（1）2863⨯ （2）6331227⨯⨯（3）322214÷- （4）()0113>÷a a bb a b a5.计算（1）6122÷⨯ （2）27121331⨯÷（3）32223513459⨯÷ （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷b a b b a 16.若a =5，b =17，则85.0的值用a ，b 可以表示为 . 7．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a +b ＝m ，ab ＝n ，这样（）2+（）2＝m ，•＝，那么便有＝()2ba ±＝±（a ＞b ）例如：化简解：首先把化为，这里m ＝7，n ＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝()234+＝2+由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）．例题讲解例4.计算 （1）2324+ （2）12273+-（3）x x x x 1246932-+ （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6813225.024例5.计算（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12814482 （2）()6342221⨯-例6.计算 （1）()62322+- （2）()()22322232---针对练习1．若最简二次根式与可以合并，则a＝．2．计算：2+++3﹣+（+5）﹣﹣+（+）（﹣）（）（2﹣3）÷（﹣）（+）+2 （）2﹣（2）（2）（1+）（）﹣（2）2 （）×﹣（）（）3.计算（1）()()322122-+ （2）()()201920182525+•-4.先化简，再求值：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x x xy y x y x 364363，其中23=x ，27=y .5.已知()3521+=a ，()3521-=b ，求22b ab a ++ .。
人教版八年级下册数学 第十六章 二次根式 二次根式的乘除(第二课时)
已知
，求a的值.
S 2 3,b 10
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使
人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公
探究新知
素养考点 1 分母有理化
例 计算: (1) 3 ; (2) 3 2 ; (3) 8 .
5
27
2a
解:（1） 3 3 5 15 . 5 5 5 5
（2） 3 2 3 2 2 3 6 . 27 3 3 3 3 3
（3） 8 2 2 2 2 a 2 a . 2a 2a a a a a
表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间
(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有
.若
W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I I．
W Rt
解：当W=2400，R=100，t=15时，
I W 2400 8 2 2 2 10（安培）. Rt 100 15 5 5 5
按 a 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,解得a＞3或a≤0； a3
而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3． a3
课堂小结
二次根式 除法
法则 拓展法则
a a (a 0,b 0) bb
m a n b=（m n） a b （a 0,b 0)
性质 相关概念
a a (a 0,b 0). bb
式
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛
物到t 落 地2h所需时间t1的多少倍？
22.2二次根式的乘除(2)
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
例如：3与 6、17、- 14都是最简二次根式
例如：a与 x 1、a2 4都是最简二次根式
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2 x2 y , ab , 3xy , 5(a2 b2 )
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
6
2.把下列各式的分母有理化：
3
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
2 6
6
3
2a
y xy
解：1 32 32 16 4
22
2 50 50 5
10 10
(3)原式＝
41 7＝ 5 10
21 10＝
57
6 如果根号前 有系数，就
把系数相除，
(4)原式＝ 2 1 1 1 ＝ 2
5 26 5
36 ＝6
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
aa
bb
a 0,b 0
，AC=2cm,求斜边AB的长。
B
23
3
A
C
计算：知识回顾
例４：计算 1 24
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
二次根式的乘除(第二课时)
二次根式也可以在实际生活中应用，如计算建筑物
我们解决几何问题。
的材料用量、电线的长度等。
总结与回顾
学了二次根式的定义、性质以及乘
记住简化和合并、乘法规则和除法规则的技巧，
法和除法规则。现在我们要进行总结和回顾，
这将帮助你在解决问题时更加灵活和高效。
确保我们掌握了这些重要概念。
长。
2
平方根符号 √
平方根符号 √ 可以读作 "根号" 或 "平方根"，用于表示一个数的二次根式。
二次根式的性质
简化和合并 ✂️
乘法规则 ✖️
除法规则 ➗
我们可以对二次根式进行简化
乘法规则可以帮助我们计算二
除法规则可以帮助我们计算二
和合并，通过找到相同的根号
次根式的乘积，包括相同根号
次根式的商，包括相同根号和
和进行运算，使得根式更简洁。
和不同根号的情况。
不同根号的情况。
二次根式的练习题举例
1
练习题 1️⃣
计算 √4 + √9 的值。
练习题 2️⃣
2
简化 √12 的根式表达。
3
练习题 3️⃣
计算 (2√3) × √5 的值。
二次根式的应用
几何应用
实际问题应用
二次根式可用于计算图形的边长、对角线等，帮助
二次根式的乘除(第二课
时)
欢迎来到二次根式的乘除课程！在这节课中，我们将探索二次根式的定义、
性质以及乘法和除法规则。我们还将解决一些练习题并应用二次根式在几何
和实际问题中。让我们开始吧！
二次根式的定义
1
基本概念
二次根式是形如 √a 的表达式，其中 a 是非负实数。它可以表示数轴上的长度或图形的边
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1
解：
24 3
2
3 1 2 18
1
24 24 8 3 3
4 2 2 2
3 9
2
3 1 3 1 3 18 2 18 2 18 2
3 3
试一试
32 (1) 2 计算：
1 7 3 4 5 10
解： 1 32 32 16 4
例2：化简
3 3 25 x ( 2) 1 2 9y 16 解： 3 3 3 1 100 100 10
3 (1) 100
想一想 商的算术平方根 等于什么呢 ？
5x 169 y 2
3 （2） 1 ＝ 16
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 19 19 19 成假分数。 ＝ ＝ 16 16 4
a 因为 4 b 12
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a
b = a (a ≥ 0，b > 0) b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
必做题：
第15页习题21.2
第2、 3、6题 选做题: 第7、8题
复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a＜0)
复习提问
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab a b (a 0, b 0)
的值．
思考题：
1 2、已知实数a、b满足 4a－b＋11＋ b－4a－3＝0， 3
a b 1 求 2a • （ ÷ ）的值。 b a b
2、解：要使原式有意义，必须 1 4a b 11 0 a , 解得 4 1 b 4a 3 0 b=12 3 1
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2 2
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以 除式的算术平方根。
练习一：
（1）
3 64
（2）
64b 2 9a 2
（3）
9x 64 y 2
解：
（1）
3= 64
64b 2= 9a 2
（2）
3 3 8 64 64b 2 8b 3a 9a 2
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过 程叫做分母有理化。 例3：计算 解：
1
3 5
2 3
2 27
3
8 2a
1
3 3 15 15 15 3 5 解法1.. 25 5 5 5 5 25 5
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
50 50 2 5 2 2 10 10 1 7 21 10 如果根号前 ＝ 4 ＝ ＝ 6 (3)原式 有系数，就 5 10 5 7
2 1 1 2 3 6 (4)原式＝ 1 ＝ 6 ＝ 5 5 2 6 5 2
把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
(1)分母中不含有二次根式.
2 3 2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
3
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 要求写成最简的二次根式 的形式.
1.被开方数不含分母 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
3 5
，
8 2a
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分 式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分 母进行化简。
三、巩固练习 教材P14 练习1．
四、应用拓展 已知
9 x 9 x ，且x为偶数，求（1+x） x6 x6
x2 5x 4 x2 1
2 3
4 9
4 9
4 7
16 16 49 49
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数
a b
a b
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例1：计算
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
4 1. 9 16 2. 49
2 , 3
4 , 7
a b
4 9 16 49