苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练：3.2.2 空间线面关系的判定 Word版含答案
2018版高中数学苏教版选修2-1学案3.2.2 空间线面关系的判定(一)平行关系
．空间线面关系的判定(一)平行关系[学习目标].能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系．知识点空间平行关系的向量表示()线线平行设直线，的方向向量分别为＝(，，)，＝(，，)，则∥⇔∥⇔＝λ⇔＝λ，＝λ，＝λ(λ∈)．()线面平行设直线的方向向量为＝(，，)，平面α的法向量为＝(，，)，则∥α⇔⊥⇔·＝⇔＋＋＝.()面面平行设平面α，β的法向量分别为＝(，，)，＝(，，)，则α∥β⇔∥⇔＝λ⇔＝λ，＝λ，＝λ(λ∈)．思考．用向量法如何证明线面平行？答案证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．．直线的方向向量是惟一的吗？答案不惟一．题型一证明线线平行问题例已知直线与的方向向量分别是＝(，－)，＝(－，－)．证明：∥.证明∵＝(，－)，＝(－，－)，∴＝－，∴∥，即∥.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练已知在四面体中，、分别是△和△的重心，则与的位置关系是．答案平行解析设、分别为和的中点，则＝＋＝(＋)＝，所以∥，所以∥.题型二证明线面平行问题例在四棱锥－中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，＝，是的中点．证明：∥平面.证明如图所示，建立空间直角坐标系，是坐标原点，设＝＝.方法一连结，交于点，连结，依题意得()，()，(，)，(，，)．因为四边形是正方形，所以是此正方形的中心，故点的坐标为(，，)，所以＝(，，－)．又＝(，－)，所以＝，这表明∥.而⊂平面，且⊄平面，所以∥平面.方法二设平面的法向量为＝(，，)，＝(，，)，＝(，，－)，则有即即。
2018版高中数学苏教版选修2-1学案3.2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系
．空间线面关系的判定(二)垂直关系[学习目标].会利用平面法向量证明两个平面垂直.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．知识点空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直 面面垂直 设直线的方向向量为＝(，，)，直线的方向向量为＝(，，)，则⊥⇔⊥⇔·＝设直线的方向向量为＝(，，)，平面α的法向量为＝(，，)，则⊥α⇔∥⇔＝，∈ 设平面α的法向量为＝(，，)，平面β的法向量为＝(，，)，则α⊥β⇔⊥⇔·＝思考．用向量法如何证明线面垂直？答案证直线的方向向量与平面的法向量平行．．平面α上的向量与平面β上的向量垂直，能判断α⊥β吗？答案不能．题型一证明线线垂直问题例如图，△和△所在平面互相垂直，且＝＝＝，∠＝∠＝°，，分别为，的中点．求证：⊥. 证明由题意，以点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过点作垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得()，(，－，)，(，－)，()，因而(，，)，(，，)，所以＝(，，－)，＝()，因此·＝.从而⊥，所以⊥.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练如图所示，在四棱锥－中，⊥底面，垂足为，⊥于，⊥于，∠＝°，＝＝，是的中点．求证⊥.证明以为坐标原点建立空间直角坐标系，设＝＝＝，则()，()．∵∠＝°，∴△为正三角形．∴(，，)，(，，)．设(，)，由⊥得·＝，即＝，则(，，)，∴＝(－，，)．又＝(，，)，∴·＝－×＋×＝，∴⊥，即⊥.题型二证明线面垂直问题。
苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练：3.2.2 空间线面关系的判定 Word版含答案
1．已知平面α，β的法向量分别是u1＝(2,3，－1)，u2＝(1，－1，－1)，则平面α，β的位置关系是__________．2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是__________．3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝__________.4．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是____．5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是________．6．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是__________．(1)a⊥c，b⊥c；(2)a∥b，a⊥c；(3)a∥c，a⊥b.7．如图，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF ⊥PE时，AF∶FD的值为__________．8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是__________．参考答案1.答案：垂直 解析：∵u 1＝(2,3，－1)，u 2＝(1，－1，－1)，u 1·u 2＝0， ∴u 1⊥u 2，∴平面α，β相互垂直.2.答案：AB ∥α或AB ⊂α 解析：AB ＝(－1,0,1).于是n ·AB ＝－1＋0＋1＝0，所以AB ⊥n ，因此AB ∥α或AB ⊂α.3.答案：3 解析：由已知平面α的法向量为u ＝(1,3，z ).而又∵v 与面α平行，∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0.解得z ＝3.4.答案：1或－3 解析：依题意，得6,4420,y x =++=⎪⎩解得4,3,x y =⎧⎨=-⎩或4,1.x y =-⎧⎨=⎩∴x ＋y ＝1或－3. 5.答案：垂直 解析：以D 为坐标原点， DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则1AC ＝(－2,2,2)，CE ＝(1，－1,2).∵1AC ·CE ＝0，∴1AC ⊥CE ，即AC 1与CE 垂直.6.答案：(3) 解析：∵c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a ∥c .又a·b ＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a ⊥b .7.答案：1∶1 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B(1,0,0)，E1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，P(0,0，a).设点F坐标为(0，y,0)，则BF＝(－1，y,0)，PE＝1,1,2a⎛⎫-⎪⎝⎭.∵BF⊥PE，∴BF·PE＝0.解得12y=，即F坐标为10,,02⎛⎫⎪⎝⎭.∴F为AD中点.∴AF∶FD＝1∶1.8.答案：①②③解析：∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴①②正确.由①②AP⊥面ABCD，∴③正确.由③AP⊥BD，∴④错误.。
数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2(二) Word版
3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1，∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)， BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算． (2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A 与平面上的线AB ，CD 都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面P AC ，故PC ⊥BD ，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 10解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 答案 －10解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12. 4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21， 解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)．(1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0， 设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4， 又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )，A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
苏教版高中数学选修2-13.2.2 空间线面关系的判定.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2.2空间线面关系的判定双基达标 (限时20分钟)1．若a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为________． 解析 因为k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，5－k )，a －3b ＝(7，－4，－16)，由(k a ＋b )∥(a －3b ) 得k －27＝5k ＋3－4＝5－k －16，解得k ＝－13. 答案 －132．已知点A (1，2，1)、B (－1，3，4)、D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．解析 设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝83，z ＝3.∴|PD →|＝（－13－1）2＋（83－1）2＋（3－1）2＝773. 答案 773 3．已知在四面体ABCD 中，G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________．解析 设E 、F 各为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .答案 平行4．已知空间四点A (－2，3，1)，B (2，－5，3)，C (10，0，10)，D (8，4，a )，如果四边形ABCD 为梯形，则实数a 的值为________．解析 因为AB →＝(4，－8，2)，BC →＝(8，5，7)，DC →＝(2，－4，10－a )，AD →＝(10，1，a－1)，四边形ABCD 为梯形，则AB →∥DC →，解得a ＝9，此时BC →与AD →不平行．答案 95．对任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，并且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，若四点P 、A 、B 、C 共面，则x ＋y ＋z ＝________.答案 16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面BDE .证明 以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2，则A (2，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，B (2，2，0)，P A →＝(2，0，－2)，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)．设n 1＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0n 1·DB →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝02x ＋2y ＝0 取y ＝－1，得n 1＝(1，－1，1)．∵P A →·n 1＝2－2＝0，∴P A →⊥n 1，又P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE .综合提高（限时25分钟）7．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(1，2，－2)，n 2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________．解析 ∵n 2＝－3n 1，∴n 1∥n 2，∴α∥β.答案 平行8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥面ABC ，则BP →等于________．解析 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，解得z ＝4，又因为BP →⊥面ABC ，所以BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，解得x ＝407，y ＝－157. 答案 (337，－157，－3) 9．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是________．解析 求得AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，因为AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →，所以△ABC 是直角三角形．答案 直角三角形10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1B 1上任意一点，则DP 与BC 1始终________．解析 因为DP →·C 1B →＝(DA 1→＋A 1P →)·C 1B →＝(CB 1→＋A 1P →)·C 1B →＝CB 1→·C 1B →＋A 1P →·C 1B →＝A 1P →·C 1B →＝A 1P →·(C 1C →＋CB →)＝A 1P →·C 1C →＋A 1P →·CB →＝0，所以DP →⊥C 1B →，即DP 与BC 1始终垂直．答案 垂直11．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝1，BC ＝a ，a >1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，点Q 在BC 上，问：是否对任意的a >1，都存在Q ∈BC ，使得PQ ⊥DQ ，请给出结论，并且说明理由．解 如图，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，D (0，a ，0)．令Q (1，t ，0)，t ∈[0，a ]，则PQ →＝(1，t ，－1)，QD →＝(－1，a －t ，0)，假设PQ ⊥DQ ，则PQ →·QD →＝0，即－1＋(a －t )t ＝0在t ∈[0，a ]上有解，当a ≥2时，存在点Q (1，a ±a 2－42，0)，使得PQ ⊥DQ ； 当1<a <2时，不存在满足条件的点Q .12．如图所示，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.求证：(1)A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面；(2)平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.证明 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则有A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，2)，B 1(1，1，2)，C 1(0，1，2)，D 1(0，0，2)．(1)∵A 1C 1→＝(－1，1，0)，AC →＝(－2，2，0)，D 1B 1→＝(1，1，0)，DB →＝(2，2，0)，∴AC →＝2A 1C 1→，DB →＝2D 1B 1→.∴AC →与A 1C 1→平行，DB →与D 1B 1→平行，于是A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面．(2)DD 1→·AC →＝(0，0，2)·(－2，2，0)＝0，DB →·AC →＝(2，2，0)·(－2，2，0)＝0.∴DD 1→⊥AC →，DB →⊥AC →.DD 1与DB 是平面B 1BDD 1内的两条相交直线，∴AC ⊥平面B 1BDD 1.又平面A 1ACC 1过AC ，∴平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.13．(创新拓展)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．解 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设正方体的棱长为a (a >0)，假设点P 存在，且DP ＝m (a ≥m ≥0)，则由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1.因此DB →＝(a ，a ，0)是平面ACC 1的法向量．因为平面APC 1⊥平面ACC 1，所以DB →在平面APC 1内或与平面APC 1平行，所以存在实数x 和y ，使得DB →＝xAC 1→＋yAP →， 又因为AC 1→＝(－a ，a ，a )，AP →＝(－a ，0，m )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－ax －ay a ＝ax ＋00＝ax ＋my ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2m ＝12a. 由此可见点P 存在，且当点P 为DD 1的中点时，平面APC 1⊥平面ACC 1.。
高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.2 空间线面关系的判定(二)
3.2.2空间线面关系的判定(二)学习目标1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？梳理设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔________⇔________.知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔________.知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔________________.类型一证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面P AC.类型三证明面面垂直例3在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点.求证：平面BDE ⊥平面ABCD.1.有如下四个命题①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. 其中为真命题的是________.2.若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________.3.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________.4.平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________.空间垂直关系的解决策略答案精析问题导学 知识点一思考l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理a·b ＝0a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 知识点二思考垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α. 梳理a ＝k μ(k ∈R ) 知识点三思考x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 题型探究例1证明设AB 中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1证明∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∵AC →＝(－3,0,0)， BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.例2证明如图所示，取BC 的中点O ，连结AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC . 因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0). 所以AB 1→＝(1,2，－3)， BA 1→＝(－1,2，3)， BD →＝(－2,1,0).因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0. 所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →， 即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ， 所以AB 1⊥平面A 1BD .跟踪训练2证明如图建系，C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)， P A →＝(0,1，－1)，PB 1→＝(1,1,1)，B 1C →＝(0，－1，－2)， B 1A →＝(－1,0，－2).PB 1→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .例3证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)， AE →＝(－2,0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1， 故n 2＝(1，－1,4).因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .跟踪训练3证明设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，12)，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为(12，12，0).因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝(0,0，12)，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 当堂训练1.②③④2.垂直3.垂直4.垂直5.5。
3.2.2空间线面关系的判定 学案 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版
3.2.2 空间线面关系的判定法向量证明平行和垂直问题.1．空间平行关系的向量表示(1)线线平行：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则l ∥m ⇔______⇔______(k ∈R )⇔________________________.(2)线面平行：设直线l 的方向向量为a ＝(x 1，y 1，z 1)，平面α的法向量为u ＝(x 2，y 2，z 2)，则l ⊂α或l ∥α⇔______⇔______⇔______________________.(3)面面平行：设平面α，β的法向量分别为u ＝(x 1，y 1，z 1)，v ＝(x 2，y 2，z 2)，则α∥β⇔______⇔______(k ∈R )⇔________________________.预习交流1直线l 的方向向量为a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－1,2，－1)，则直线l 与平面α的位置关系是______．2．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔________⇔__________________.(2)线面垂直：设直线l 的方向向量为a ＝(x 1，y 1，z 1)，平面α的法向量为u ＝(x 2，y 2，z 2)，则l ⊥α⇔__________⇔______(k ∈R )⇔______________________.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u ＝(x 1，y 1，z 1)，平面β的法向量为v ＝(x 2，y 2，z 2)，则α⊥β⇔____________⇔______⇔__________________.预习交流2如何利用向量法处理空间中的垂直问题？一、空间内平行关系的证明已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .思路分析：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用方向向量和法向量的关系证明线面平行、面面平行．另外，对于(1)，还可以根据共面向量定理证明，即将向量1FC用平面ADE 中的两个不共线向量线性表示，从而证明线面平行．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点，求证PQ ∥RS .(1)用空间向量证明线面平行通常有两种方法：一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；二是利用共面向量定理；若l 的方向向量是u ，平面α内两个不共线向量是v 1和v 2，则l ∥α⇔存在实数λ，μ，使u ＝λv 1＋μv 2.证明时，只需将直线的方向向量用平面内的两个不共线向量线性表示即可，可通过待定系数法获得线性表示时λ，μ的值．(2)证明直线与平面平行时，还应说明直线不在平面内．(3)用空间向量证明平行问题时，并不一定非要建立空间直角坐标系，也可直接通过向量的运算进行证明．二、空间内垂直关系的证明如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .思路分析：建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标．求出平面B 1AC 的法向量，然后证明EF与法向量共线，也可结合线面垂直的判定定理，用向量数量积证明EF 与平面内两相交直线均垂直．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .用向量法证明线面垂直的方法与步骤：(1)基向量法①设出基向量，用基向量表示直线所在的向量．②找出平面内两条相交的向量并分别用基向量表示．③利用数量积运算分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量． (2)坐标法①建立空间直角坐标系．②将直线的方向向量用坐标表示． ③求平面的法向量．④说明平面的法向量与直线的方向向量平行．1．设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断直线l 1，l 2的位置关系： (1)a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，l 1与l 2__________； (2)a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，l 1与l 2__________.2．直线l 的方向向量为a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－6，－4，－2)，直线l 与平面α的位置关系是________．3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k等于__________．4．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝__________.5．如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10，G 是OC 的中点，则FG 与平面BOE 的位置关系是__________．课前预习导学1．(1)a ∥b a ＝k b x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2 (2)a ⊥u a·u ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0 (3)u ∥vu ＝k v x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2预习交流1：提示：∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a·b ＝0，∴l ⊂α，l ∥α. 2．(1)a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0 (2)a ∥u a ＝k u x 1＝kx 2，y 1＝ky 2，z 1＝kz 2 (3)u ⊥v u·v ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0预习交流2：提示：用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题．课堂合作探究活动与探究1：证明：如图所示建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC=(0,2,1)，DA =(2,0,0)，AE=(0,2,1)．(1)(方法1)设n 1=(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即1111120,20,DA x AE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 1=2，则y 1=－1，所以n 1=(0，－1,2)．因为1FC ·n 1=－2+2=0，所以1FC ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(方法2)若设1FC =λDA+μAE ，则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1)．所以2=0,2=2,=1,λμμ⎧⎪⎨⎪⎩解得=0,=1,λμ⎧⎨⎩即1FC =0DA+AE ，于是1FC 与DA，AE 是共面向量．又因为FC 1⊄平面ADE . 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为11C B=(2,0,0)，设n 2=(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B，得212221122+=0,2=0,FC y z C B x ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得222=0,=2x z y ⎧⎨-⎩ 令z 2=2得y 2=－1，所以n 2=(0，－1,2)．因为n 1=n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .迁移与应用：证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，PQ ＝(－3,2,1)，RS ＝(－3,2,1)，∴PQ ＝RS.又P ，Q ，R ，S 不共线，∴PQ ∥RS ，即PQ ∥RS.活动与探究2：证法一：设AB ＝a ，AD ＝c ，1AA＝b ，则EF ＝1EB ＋1B F＝12(1BB ＋11B D )＝12(1AA ＋BD )＝12(1AA ＋AD －AB )＝12(－a ＋b ＋c )， ∵1AB ＝AB＋1AA ＝a ＋b ， ∴EF ·1AB ＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c·a ＋c·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF ⊥1AB，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF=(1,1,2)－(2,2,1)=(－1，－1,1)． 1AB=(2,2,2)－(2,0,0)=(0,2,2)． AC=(0,2,0)－(2,0,0)=(－2,2,0)． ∴EF ·1AB=(－1，－1,1)·(0,2,2)=(－1)×0+(－1)×2+1×2=0.EF ·AC=(－1，－1,1)·(－2,2,0)=2－2+0=0，∴EF ⊥1AB ，EF ⊥AC.∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC =A ，∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同证法二得1AB＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，EF ＝(－1，－1,1)．设平面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则1AB·n ＝0，AC ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1， ∴n ＝(1,1，－1)．∴EF ＝－n ，∴EF∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .迁移与应用：证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA ，BC，1BB 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，1AA ＝(0,0,1)，AC ＝(－2,2,0)，1AC ＝(－2,2,1)，AE ＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1110,0AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0. 令x 1＝1，得y 1＝1，∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则2120,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0. 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1，∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 当堂检测1．(1)平行 (2)相交或异面2．垂直 解析：∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－6，－4，－2)， ∴u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.3．4 解析：由α∥β知两法向量共线，所以1－2＝2－4＝－2k ，可得k ＝4.4．a 或2a 解析：建立如图所示的坐标系，则B 1(0,0,3a )，D ⎝⎛⎭⎫2a 2，2a 2，3a ，C (0，2a,0)．设E 的坐标为(2a,0，z )， 则CE ＝(2a ，－2a ，z )，1B E＝(2a,0，z －3a )．由已知，2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .∴AE ＝a 或2a .5．FG ∥平面BOE 解析：如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意得G (0,4,0)，因为OB ＝(8,0,0)，OE＝(0，－4,3)，因此平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)．由FG ＝(－4,4，－3)，得n ·FG ＝0，又直线FG 不在平面BOE 内， 因此有FG ∥平面BOE .。
2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.2 空间线面关系的判定 Word版含解析
3.2.2空间线面关系的判定1．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点) 2．向量法证明空间平行与垂直．(重点、难点)3．向量法证明线面平行．(易错点)[基础·初探]教材整理向量法判定线面关系阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 ∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.【答案】 垂直3．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．【解析】 ∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.【答案】 垂直4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________. 【导学号：09390083】 【解析】 ∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.【答案】 平行[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]11111AC ，A 1C 1的中点，求证：图3-2-7(1)BO 1∥OD 1；(2)BO 1∥平面ACD 1；(3)平面A 1BC 1∥平面ACD 1.【精彩点拨】 画图→建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→判断向量关系→确定线面关系【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2，2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，O 1(1,1,2)，O (1,1,0)．(1)由上可知BO 1→＝(－1，－1,2)，OD 1→＝(－1，－1,2)，∴BO 1→＝OD 1→，∴BO 1→∥OD 1→，又直线BO 1与OD 1无公共点，∴BO 1∥OD 1.(2)法一：由上可知，AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,2)，∴BO 1→＝－12AC →＋AD 1→，∴BO 1→，AC →，AD 1→共面，∴BO 1→∥平面ACD 1，又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.法二：设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴BO 1→·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，∴BO 1→⊥n .又∵BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.(3)法一：∵BC 1→＝(－2,0,2)，AD 1→＝(－2,0,2)，∴BC 1→∥AD 1→，又BC 1与AD 1不重合，∴BC 1∥AD 1，又BC 1⊄平面ACD 1，∴BC 1∥平面ACD 1.又由(1)知，BO 1∥平面ACD 1.∵BC 1，BO 1⊂平面A 1BC 1，且BC 1∩BO 1＝B ，∴平面A 1BC 1∥平面ACD 1.法二：设平面A 1BC 1的一个法向量为n ′＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧ n ′·A 1B →＝0，n ′·BC 1→＝0，可求得n ′＝(1,1,1)，∴n ′＝n ，∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.1．证明线面平行常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．(2)证明两个平面的法向量平行．(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．[再练一题] 1．如图3-2-8所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点，求证：MN ∥平面A 1BD .图3-2-8【证明】 法一：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，从而可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0， 令x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)，∴MN →·n ＝0，∴MN →⊥n .∵MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→.∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法三：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12D 1A 1→－12D 1D →＝12(DB →＋BA →)－12(D 1A 1→＋A 1D →)＝12DB→＋12BA →－12D 1A 1→－12A 1D →＝12DB →＋12DA 1→＋12(BA →－DA →)＝12DB →＋12DA 1→＋12BD →＝12DA 1→＋0·DB →，∴MN →可用DA 1→与DB →线性表示，故MN →与DA 1→和DB →是共面向量，∵MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝图3-2-9 AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.【精彩点拨】建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系【自主解答】AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴C⎝⎛⎭⎪⎫12，32，0，E⎝⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC→·CD→＝0，即y＝233，则D⎝⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0. 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE .∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直．2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．3．证明面面垂直常用的方法(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．[再练一题]2．在例2中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【解】 由例2，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例2知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)，∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m ⊥n .所以平面ABE ⊥平面PDC .[探究共研型]【提示】 向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．探究2 用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？【提示】 (1)建立空间图形与空间向量的联系；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．探究3向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？【提示】在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．如图3-2-10所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．图3-2-10(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【精彩点拨】根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论．【自主解答】(1)证明：连结BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0，故OC ⊥SD ，从而AC⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE →·DS →＝0，∴－12a 2＋32a 2t ＝0，∴t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC . [再练一题]3．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图3-2-11【解】 假设在线段AB 上存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，c 2，A (a,0,0)，A 1(a,0，c )，B (0，b,0)．设M (x 0，y 0,0)，且0≤x 0≤a,0≤y 0≤b ，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 2，c 2，CA 1→＝(a,0，c )，CM →＝(x 0，y 0,0)，设平面A 1MC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·CA 1→＝ax ＋cz ＝0，n ·CM →＝x 0x ＋y 0y ＝0，令x ＝1，则z ＝－a c ，y ＝－x 0y 0，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－x 0y 0，－a c .若DE ∥平面A 1MC ，则n ·DE →＝bx 02y 0－a 2＝0，即bx 0－ay 0＝0.①又AM →＝λMB →，即(x 0－a ，y 0,0)＝λ(－x 0，b －y 0,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－a ＝λ(－x 0)，y 0＝λ(b －y 0)，解得bx 0＋ay 0－ab ＝0.② 由①②解得x 0＝a 2，y 0＝b 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，0，所以存在点M 为线段AB 的中点时，使DE ∥平面A 1MC .[构建·体系]1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填序号)．①n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1)；②n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1)；③n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1)；④n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2)．【解析】 两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直． 【答案】 ①2．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)3．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 ∵v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2，又l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 【答案】 平行4．下列命题中，正确的是________(填序号)．①若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合． 【答案】 ②③④5．如图3-2-12, 在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .图3-2-12【证明】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.∴PB →＝(1,1，－1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF→＝(x ，y ，z －1)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －12，z －12.∵EF →⊥PB →，∴x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.①又∵PF →∥PB →，可设PF →＝λPB →，∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0⇒12y 1＋12z 1＝0，n 1·EB →＝0⇒x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1.取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵P A →＝(1,0，－1)，∴P A →·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0⇒13x 2－16y 2＋16z 2＝0，n 2·DE →＝0⇒12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)，∴PB →＝－n 2. ∴PB →∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．【解析】 ∵u ＝－3ν，∴u ∥ν，∴α∥β. 【答案】 平行2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】 ∵α⊥β，∴－x －2－8＝0，∴x ＝－10. 【答案】 －103．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________. 【导学号：09390084】【解析】 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →，∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内，∴B 1C ∥平面ODC 1.【答案】 平行4．若AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，∴AB →与CD →，CE →共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .【答案】 AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．【解析】 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，46．如图3-2-13，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1B 1上任意一点，则DP 与BC 1始终________(填“垂直”或“平行”)．图3-2-13【解析】 因为DP →·C 1B →＝(DA 1→＋A 1P →)·C 1B →＝(CB 1→＋A 1P →)·C 1B →＝CB 1→·C 1B →＋A 1P →·C 1B →＝A 1P →·C 1B →＝A 1P →·(C 1C →＋CB →)＝A 1P →·C 1C →＋A 1P →·CB →＝0，所以DP →⊥C 1B →，即DP 与BC 1始终垂直． 【答案】 垂直7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________三角形．【解析】 求得AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，因为AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →，所以△ABC 是直角三角形．【答案】 直角8．如图3-2-14所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点，则AM 与PM 的位置关系为________．图3-2-14【解析】 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，依题意，可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .【答案】 垂直 二、解答题9．已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，图3-2-15且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点． (1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)在平面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD .【解】 (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD .所以以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D -xyz (如图所示)．由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)，所以BM →＝(－2,0,1)，DC →＝(0,2,0)，因为DC ⊥平面P AD ，所以DC →是平面P AD 的法向量，又因为BM →·DC →＝0，且BM ⊄平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)设N (x,0，z )是平面P AD 内一点，则MN →＝(x ，－1，z －1)，DP →＝(0,0,2)，DB →＝(2,1,0)，若MN ⊥平面PBD ，则⎩⎪⎨⎪⎧2(z －1)＝0，2x －1＝0，即⎩⎨⎧x ＝12，z ＝1，所以在平面P AD内存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，使MN ⊥平面PBD .10．如图3-2-16所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：图3-2-16(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .【证明】 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .法二：∵PD →＝(0,1，－2)，P A →＝(23，4，－2)，令CM →＝xPD →＋yP A →，则⎩⎪⎨⎪⎧ 32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →，由共面向量定理知CM →与PD →，P A →共面．又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连结BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD .又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD .[能力提升]1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是________________．【导学号：09390085】【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .【答案】 平行2.如图3-2-17，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-17【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)．∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ， ∴EF ⊥平面PBC .【答案】 垂直3．已知空间两点A (－1,1,2)，B (－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →，∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y . 又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)4．如图3-2-18所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论．图3-2-18【解】 法一：当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，B (0，a,0)，A (3a,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，－12a ，0，F (0,0，a )，E (3a,0，a )，因为AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF ⇔AM →与FB →，FD →共面，所以存在实数m ，n ，使AM →＝mFB →＋nFD →，设EM →＝tEF →.因为EF →＝(－3a,0,0)，EM →＝(－3at,0,0)，所以AM →＝AE →＋EM →＝(－3at,0，a )，又FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a ，FB →＝(0，a ，－a )，从而(－3at,0，a )＝m (0，a ，－a )＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ －3at ＝32an ，0＝ma －12an ，a ＝－am －an ，解得t ＝13， 所以当EM＝33a 时，AM ∥平面BDF .法二：当EM＝33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连结FN，则CN∶NA＝1∶2，因为EM＝33a，而EF＝AC＝3a，所以EM∶MF＝1∶2，所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又因为NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，所以AM∥平面BDF.。
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.2 3.2.2 空间线面关系的判定
3．2.2 空间线面关系的判定[对应学生用书P65]以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使重量为100 kg 的石墩垂直离开地面．每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？ 提示：垂直．问题3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量u 和平面的的法向量n 有什么关系？若直线垂直于平面呢？提示：u ⊥n ，u ∥n .1．空间中平行关系的向量表示设两直线l 、m 的方向向量分别为a ，b ，两平面α、β的法向量分别为u ，v ，则2．空间垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则用空间向量解决立体几何问题的步骤为 (1)化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、线、面等元素． (2)进行向量运算：进行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系． (3)回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义．[对应学生用书P65][例1] 在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .[思路点拨] 先将1A F 与1C E 用向量表示，利用向量法证明．[精解详析] 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴1A F ＝(－x ，a ，－a )，1C E ＝(a ，x －a ，－a )．∵1A F ·1C E ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F ⊥1C E ，即A 1F ⊥C 1E . [一点通]利用空间向量证明线线垂直的方法：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零．(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.1.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN . 证明：法一：(基向量法)设AB ＝a ，AC ＝b ，1AA ＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·c ＝b ·c ＝0，1AB ＝a ＋c ，AM ＝12(a ＋b )，AN ＝b ＋14c ，MN ＝AN －AM ＝－12a ＋12b ＋14c ，∴1AB ·MN ＝(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋14c ＝－12＋12cos 60°＋14＝0.∴1AB ⊥MN ，∴AB 1⊥MN . 法二：(坐标法)设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点，∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN ＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，1AB ＝(1,0,1)，MN ·1AB ＝－14＋0＋14＝0.∴MN ⊥1AB ，∴AB 1⊥MN .2．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点．在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由．解：如图所示，建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则C 1(0,2,3)，M (12，2,0)，D (0,0,0)，设存在N (0,0，h )， 则MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ， 1DC ＝(0,2,3)，MN ·1DC ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ， ∴当h ＝43时，MN ·1DC ＝0， 此时MN ⊥1DC ，∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.[例2] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[思路点拨] 建立直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的关系来确定线面平行，面面平行．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，∴⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x ＝0，n 1·AE ＝2y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－2y ，取y ＝1，则n 1＝(0,1，－2)．同理可求n 2＝(0,1，－2)．(1)∵n 1·1FC ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴n 1⊥1FC ，又FC 1⊄平面ADE ，∴FC 1∥平面ADE . (2)∵n 1∥n 2，∴平面ADE ∥平面B 1C 1F . [一点通]利用向量法证明几何体的平行问题的途径：(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 1为B 1D 1的中点，求证：BO 1∥平面ACD 1.证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，O 1(1,1,2)， ∴1AD ＝(－2,0,2)，1CD ＝(0，－2,2)，1BO ＝(－1，－1，2)，∴1BO ＝121AD ＋121CD ，∴1BO 与1AD ，1CD 共面， ∴1BO ∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则O (1,1,0)，∴1D O ＝(1,1，－2)．又1BO ＝(－1，－1,2)，∴1D O ＝－1BO ， ∴1D O ∥1BO .又∵1D O 与1BO 不共线，∴D 1O ∥BO 1. 又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.4．长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，DA ＝2，DC ＝3，DD 1＝4，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，取MN 、DB 及EF 的中点R ，T ，S ，则 A (2,0,0)，M (1,0,4)， N ⎝⎛⎭⎫2，32，4，D (0,0,0)， B (2,3,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，4， F (1,3,4)，R ⎝⎛⎭⎫32，34，4， S ⎝⎛⎭⎫12，94，4，T ⎝⎛⎭⎫1，32，0， ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫1，32，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫1，32，0， AR ＝⎝⎛⎭⎫－12，34，4，TS ＝⎝⎛⎭⎫－12，34，4， ∴MN ＝EF ，AR ＝TS ，N ∉EF ，R ∉TS ， 得MN ∥EF ，AR ∥TS ，∴MN ∥平面EFBD ，AR ∥平面EFBD ， 又∵MN ∩AR ＝R ，∴平面AMN ∥平面EFBD .[例3] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1B 、DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，证明AE ⊥11A D ，AE ⊥1D F 即可．[精解详析] 设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， 11A D ＝(－1,0,0)，1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，∴AE ·11A D ＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE ·1D F ＝12－12＝0，∴AE ⊥11A D ，AE ⊥1D F .即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F . [一点通]用向量法证明线面垂直的方法及步骤： (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量． ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示． ③利用数量积计算． (2)坐标法：①建立空间坐标系，将直线的方向向量用坐标表示． ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量．③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行．5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，1AB ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·1AB ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．又1AB ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，AB 1∩AC ＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥1AB ，n ⊥AC ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1) 又EF ＝(－1，－1,1)＝－1·(1,1，－1)＝－n . ∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .6.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．确定F 点的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F .解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设DF ＝x ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)， D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， F (x ，1,0)．∴1D E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－1， 1AB ＝(1,0,1)，AF ＝(x,1,0)．∴1D E ·1AB ＝1－1＝0，即D 1E ⊥AB 1. 由D 1E ⊥平面AB 1F ⇒D 1E ⊥AF ⇔1D E ·AF ＝0 ⇔x －12＝0，即x ＝12.又AB 1∩AF ＝A ，∴当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F .[例4] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .[思路点拨] 画图→建系→写出相关点的坐标并设出点P 的坐标→相关向量坐标→求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量→列方程求出点P 的坐标→确定点P 位置.[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)． 设点P 的坐标为(0,1，a )．∴11A B ＝(0,1,0)，1A P ＝(－1,1，a －1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，1DC ＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·11A B ＝0，n 1·1A P ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.令z 1＝1，则得x 1＝a －1，所以平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(a －1,0,1)． 设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE ＝0，n 2·1DC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.取y 2＝1，则得x 2＝－2，z 2＝－1，∴平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(－2,1，－1)， 因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ⇔n 1⊥n 2. ⇔n 1·n 2＝0⇔－2(a －1)－1＝0， ∴a ＝12.故当点P 为CC 1的中点时， 平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE . [一点通]证明面面垂直的方法：(1)利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．(2)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．7.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .求证：平面AMD ⊥平面CDE .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)， C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)， F (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 则AM ＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE ＝(－1,0,1)，AD ＝(0,2,0) ∴AM ·CE ＝－12＋0＋12＝0， ∴AM ⊥CE ，又AD ·CE ＝0，∴AD ⊥CE ， 又AM ∩AD ＝A ， ∴CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面AMD . 法二：由法一得CE ＝(－1,0,1)，DE ＝(0，－1,1)，AD ＝(0,2,0)，AM ＝(12，1，12)．设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧u ·CE ＝0，u ·DE ＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．设平面AMD 的法向量为v ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎨⎧v ·AD ＝0，v ·AM ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧2y ′＝0，12x ′＋y ′＋12z ′＝0. 令z ′＝1，可得v ＝(－1,0,1)． ∵u ·v ＝(1,1,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋1＝0. ∴u ⊥v .∴平面CDE ⊥平面AMD .8．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明：建系如图，取A (0,0，a )，则易得B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，则有EF ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，∵EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0， ∴EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC .9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：(1)CE ∥平面C 1E 1F ； (2)平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2. (1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵11C E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11C E ＝0，n ·1FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE ＝(1，－1,1)，n ·CE ＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， ∵EF ＝(0,1,0)，FC ＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF ＝0，m ·FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵n ·m ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .1．利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2．用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题．[对应课时跟踪训练(二十四)]1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，v ＝⎝⎛⎭⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．解析：∵u ＝－3v ，∴u ∥v ，∴α∥β. 答案：平行2．若平面α、β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 解析：∵α⊥β， ∴－x －2－8＝0. ∴x ＝－10. 答案：－103．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________．解析：∵1B C ＝11B C ＋1B B ＝1B O ＋1OC ＋1D O ＋OD ＝1OC ＋OD ，∴1B C ，1OC ，OD 共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内， ∴B 1C ∥平面ODC 1.答案：平行4．若AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是_____． 解析：∵AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )， ∴AB 与CD ，CE 共面． ∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE . 答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4. BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0， 且BP ·BC ＝3(x －1)＋y －12＝0， 得x ＝407，y ＝－157.答案：⎝⎛⎭⎫407，－157，4 6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0⇒12y 1＋12z 1＝0，n 1·EB ＝0⇒x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0⇒13x 2－16y 2＋16z 2＝0，n 2·DE ＝0⇒12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .7．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝2 3，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (2 3，0,0)，A (2 3，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP ＝(0，－1,2)，DA ＝(2 3，3,0)，CM ＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎨⎧DP ·n ＝0，DA ·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，2 3x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM ＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM ，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . 法二：∵PD ＝(0,1，－2)，PA ＝(23，4，－2)，令CM ＝x PD ＋y PA ，则⎩⎨⎧32＝2 3y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM ＝－PD ＋14PA ，由共面向量定理知CM 与PD ，PA 共面，又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE ＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴则BE ⊥P A .又∵BE ·DA ＝(－3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， ∴BE ⊥DA ，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A . ∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明： (1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A 1(1,0,1)、B (1,1,0)、D 1(0,0,1)、B 1(1,1,1)、C (0,1,0)、A (1,0,0)、C 1(0,1,1)．(1)∴1A D ＝(－1,0，－1)，1A B ＝(0,1，－1)，11D B ＝(1,1,0)， 1D C ＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1A D ＝0，n 1·1A B ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·11D B ＝0，n 2·1D C ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)． ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又1AC ＝(－1,1,1)，∴1AC ∥n 1. ∴1AC 是平面A 1BD 的一个法向量， ∴1AC ⊥平面A 1BD .。
2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.2 3.2.2 空间线面关系的判定 Word版含解析
3．2.2 空间线面关系的判定[对应学生用书P65]以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使重量为100 kg 的石墩垂直离开地面．每个人至少需要用10023kg 的力．问题1：在空间中给定一个定点A (一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能．问题2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？ 提示：垂直．问题3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量u 和平面的的法向量n 有什么关系？若直线垂直于平面呢？提示：u ⊥n ，u ∥n .1．空间中平行关系的向量表示设两直线l 、m 的方向向量分别为a ，b ，两平面α、β的法向量分别为u ，v ，则2．空间垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则用空间向量解决立体几何问题的步骤为 (1)化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、线、面等元素． (2)进行向量运算：进行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系． (3)回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义．[对应学生用书P65][例1] 在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .[思路点拨] 先将1A F 与1C E 用向量表示，利用向量法证明．[精解详析] 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴1A F ＝(－x ，a ，－a )，1C E ＝(a ，x －a ，－a )．∵1A F ·1C E ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F ⊥1C E ，即A 1F ⊥C 1E . [一点通]利用空间向量证明线线垂直的方法：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零．(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.1.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN . 证明：法一：(基向量法)设AB ＝a ，AC ＝b ，1AA ＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a |＝|b |＝|c |＝1， a ·c ＝b ·c ＝0，1AB ＝a ＋c ，AM ＝12(a ＋b )，AN ＝b ＋14c ，MN ＝AN －AM ＝－12a ＋12b ＋14c ，∴1AB ·MN ＝(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋14c ＝－12＋12cos 60°＋14＝0.∴1AB ⊥MN ，∴AB 1⊥MN . 法二：(坐标法)设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点，∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN ＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，1AB ＝(1,0,1)，MN ·1AB ＝－14＋0＋14＝0.∴MN ⊥1AB ，∴AB 1⊥MN .2．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点．在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由．解：如图所示，建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则C 1(0,2,3)，M (12，2,0)，D (0,0,0)，设存在N (0,0，h )， 则MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ， 1DC ＝(0,2,3)，MN ·1DC ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ， ∴当h ＝43时，MN ·1DC ＝0， 此时MN ⊥1DC ，∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.[例2] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[思路点拨] 建立直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的关系来确定线面平行，面面平行．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面ADE 、平面B 1C 1F 的法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，∴⎩⎨⎧n 1·DA ＝2x ＝0，n 1·AE ＝2y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－2y ，取y ＝1，则n 1＝(0,1，－2)．同理可求n 2＝(0,1，－2)．(1)∵n 1·1FC ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴n 1⊥1FC ，又FC 1⊄平面ADE ，∴FC 1∥平面ADE . (2)∵n 1∥n 2，∴平面ADE ∥平面B 1C 1F . [一点通]利用向量法证明几何体的平行问题的途径：(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 1为B 1D 1的中点，求证：BO 1∥平面ACD 1.证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，O 1(1,1,2)， ∴1AD ＝(－2,0,2)，1CD ＝(0，－2,2)，1BO ＝(－1，－1，2)，∴1BO ＝121AD ＋121CD ，∴1BO 与1AD ，1CD 共面， ∴1BO ∥平面ACD 1.又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则O (1,1,0)，∴1D O ＝(1,1，－2)．又1BO ＝(－1，－1,2)，∴1D O ＝－1BO ， ∴1D O ∥1BO .又∵1D O 与1BO 不共线，∴D 1O ∥BO 1. 又BO 1⊄平面ACD 1，∴BO 1∥平面ACD 1.4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝2，DC ＝3，DD 1＝4，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，取MN 、DB 及EF 的中点R ，T ，S ，则 A (2,0,0)，M (1,0,4)， N ⎝⎛⎭⎫2，32，4，D (0,0,0)， B (2,3,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，4， F (1,3,4)，R ⎝⎛⎭⎫32，34，4， S ⎝⎛⎭⎫12，94，4，T ⎝⎛⎭⎫1，32，0， ∴MN ＝⎝⎛⎭⎫1，32，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫1，32，0， AR ＝⎝⎛⎭⎫－12，34，4，TS ＝⎝⎛⎭⎫－12，34，4， ∴MN ＝EF ，AR ＝TS ，N ∉EF ，R ∉TS ， 得MN ∥EF ，AR ∥TS ，∴MN ∥平面EFBD ，AR ∥平面EFBD ， 又∵MN ∩AR ＝R ，∴平面AMN ∥平面EFBD .[例3] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1B 、DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，证明AE ⊥11A D ，AE ⊥1D F 即可．[精解详析] 设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12， 11A D ＝(－1,0,0)，1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，∴AE ·11A D ＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE ·1D F ＝12－12＝0，∴AE ⊥11A D ，AE ⊥1D F .即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F . [一点通]用向量法证明线面垂直的方法及步骤： (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量． ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示． ③利用数量积计算． (2)坐标法：①建立空间坐标系，将直线的方向向量用坐标表示． ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量．③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行．5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．法一：EF ＝(－1，－1,1)，1AB ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)， ∴EF ·1AB ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．又1AB ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，AB 1∩AC ＝A ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥1AB ，n ⊥AC ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝2y ＋2z ＝0，n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1) 又EF ＝(－1，－1,1)＝－1·(1,1，－1)＝－n . ∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .6.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．确定F 点的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F .解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设DF ＝x ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)， D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， F (x ，1,0)．∴1D E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－1， 1AB ＝(1,0,1)，AF ＝(x,1,0)．∴1D E ·1AB ＝1－1＝0，即D 1E ⊥AB 1. 由D 1E ⊥平面AB 1F ⇒D 1E ⊥AF ⇔1D E ·AF ＝0 ⇔x －12＝0，即x ＝12.又AB 1∩AF ＝A ，∴当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F .[例4] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .[思路点拨] 画图→建系→写出相关点的坐标并设出点P 的坐标→相关向量坐标→求出平面A 1B 1P 与平面C 1DE 的法向量→列方程求出点P 的坐标→确定点P 位置.[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)． 设点P 的坐标为(0,1，a )．∴11A B ＝(0,1,0)，1A P ＝(－1,1，a －1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，1DC ＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·11A B ＝0，n 1·1A P ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.令z 1＝1，则得x 1＝a －1，所以平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(a －1,0,1)． 设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE ＝0，n 2·1DC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.取y 2＝1，则得x 2＝－2，z 2＝－1，∴平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(－2,1，－1)， 因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ⇔n 1⊥n 2. ⇔n 1·n 2＝0⇔－2(a －1)－1＝0， ∴a ＝12.故当点P 为CC 1的中点时， 平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE . [一点通]证明面面垂直的方法：(1)利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．(2)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．7.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .求证：平面AMD ⊥平面CDE .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)， C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)， F (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 则AM ＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE ＝(－1,0,1)，AD ＝(0,2,0) ∴AM ·CE ＝－12＋0＋12＝0， ∴AM ⊥CE ，又AD ·CE ＝0，∴AD ⊥CE ， 又AM ∩AD ＝A ， ∴CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面AMD . 法二：由法一得CE ＝(－1,0,1)，DE ＝(0，－1,1)，AD ＝(0,2,0)，AM ＝(12，1，12)．设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧u ·CE ＝0，u ·DE ＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．设平面AMD 的法向量为v ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎨⎧v ·AD ＝0，v ·AM ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧2y ′＝0，12x ′＋y ′＋12z ′＝0. 令z ′＝1，可得v ＝(－1,0,1)． ∵u ·v ＝(1,1,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋1＝0. ∴u ⊥v .∴平面CDE ⊥平面AMD .8．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明：建系如图，取A (0,0，a )，则易得B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，则有EF ＝⎝⎛⎭⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，∵EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0， ∴EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC .9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：(1)CE ∥平面C 1E 1F ； (2)平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2. (1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵11C E ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·11C E ＝0，n ·1FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE ＝(1，－1,1)，n ·CE ＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， ∵EF ＝(0,1,0)，FC ＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF ＝0，m ·FC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵n ·m ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .1．利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2．用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题．[对应课时跟踪训练(二十四)]1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，v ＝⎝⎛⎭⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．解析：∵u ＝－3v ，∴u ∥v ，∴α∥β. 答案：平行2．若平面α、β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 解析：∵α⊥β， ∴－x －2－8＝0. ∴x ＝－10. 答案：－103．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________．解析：∵1B C ＝11B C ＋1B B ＝1B O ＋1OC ＋1D O ＋OD ＝1OC ＋OD ，∴1B C ，1OC ，OD 共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内， ∴B 1C ∥平面ODC 1.答案：平行4．若AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是_____． 解析：∵AB ＝λCD ＋μCE (λ，μ∈R )， ∴AB 与CD ，CE 共面． ∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE . 答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4. BP ·AB ＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP ·BC ＝3(x －1)＋y －12＝0， 得x ＝407，y ＝－157.答案：⎝⎛⎭⎫407，－157，4 6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，EB ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，EF ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，∴x ＋⎝⎛⎭⎫y －12－⎝⎛⎭⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，∴EF ＝⎝⎛⎭⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 1·DE ＝0⇒12y 1＋12z 1＝0，n 1·EB ＝0⇒x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0. 又∵P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB .(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有⎩⎨⎧n 2·EF ＝0⇒13x 2－16y 2＋16z 2＝0，n 2·DE ＝0⇒12y 2＋12z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .7．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝2 3，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (2 3，0,0)，A (2 3，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP ＝(0，－1,2)，DA ＝(2 3，3,0)，CM ＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎨⎧DP ·n ＝0，DA ·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，2 3x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM ＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM ，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . 法二：∵PD ＝(0,1，－2)，PA ＝(23，4，－2)，令CM ＝x PD ＋y PA ，则⎩⎨⎧32＝2 3y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM ＝－PD ＋14PA ，由共面向量定理知CM 与PD ，PA 共面，又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE ＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴则BE ⊥P A .又∵BE ·DA ＝(－3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， ∴BE ⊥DA ，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A . ∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD .8.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明： (1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A 1(1,0,1)、B (1,1,0)、D 1(0,0,1)、B 1(1,1,1)、C (0,1,0)、A(1,0,0)、C 1(0,1,1)．(1)∴1A D ＝(－1,0，－1)，1A B ＝(0,1，－1)，11D B ＝(1,1,0)， 1D C ＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1A D ＝0，n 1·1A B ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·11D B ＝0，n 2·1D C ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)． ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又1AC ＝(－1,1,1)，∴1AC ∥n 1. ∴1AC 是平面A 1BD 的一个法向量， ∴1AC ⊥平面A 1BD .。
苏教版高中数学选修(2-1)-3.2《空间线面关系的判定》同步练习 (1)
3.2.2 空间线面关系的判定1．平面ABCD 中，A (0，1，1)，B (1，2，1)，C (－1，0，－1)， 若a ＝(－1，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y 2＝______。
2．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为u ＝(－2，0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为__________。
3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)。
对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →。
其中正确的是________。
(写出所有正确的序号)4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝________。
5．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是________________。
6．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(1，1，1)，若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，则b 1，b 2分别为________________。
7．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a ，且a ⊥AB→，a ⊥AC→，则向量a 的坐标为________。
8．设平面α、β的法向量分别为u ＝(1，2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α、β的位置关系为________。
9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1。
10．如图所示，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2。
学年高中数学 第3章 3.2.2空间线面关系的判定(二)同步训练 苏教版选修2-1
3.2.2 空间线面关系的判定二
——垂直关系的判定
一、基础过关
1．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝1,1,2，b＝，－2，3，且α⊥β，则＝___ 2．已知a＝1,1,0，b＝1,1,1，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1，b2分别为________________．
3．已知错误!错误!1C1C错误!是满足______时，平面
MBD⊥平面1C2a3a1C1A1C1F1C是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝错误!CC1求证：AB1⊥MN
11．
如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA
三、探究与拓展
12．
如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°
1求证：EF⊥平面BCE；
2设线段CD、AE的中点分别为，求证：⊥2a1F
为BC中点，
∴M错误!
∴错误!N
11．
证明建立如图所示的空间直角坐标系C—，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C0,0,0，
A错误!，1,0，B0,2,0，E0,0,2，D0,2,1．
所以错误!错误!错误!，⊥⊥平面BCE，直线∥平面BCE。
苏教版数学高二- 选修2-1试题 空间线面关系的判定
3.2.2 空间线面关系的判定 一、填空题 1．若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l 上，则l 的一个单位方向向量为________．【解析】 ∵AB →＝(2,4,6)，|AB →|＝4＋16＋36＝214.∴l 的一个单位方向向量为AB →|AB →|＝1214(2,4,6)＝(1414，147，31414)． 【答案】 (1414，147，31414) 2．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量的坐标为________．【解析】 设n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，|n |＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1.∴n ＝(13，－23，23)或(－13，23，－23)． 【答案】 (13，－23，23)或(－13，23，－23) 3．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b ＋2)在同一直线上，那么a ＝________，b ＝________.【解析】 AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)．∵A ，B ，C 三点在同一条直线上，∴AB →＝λBC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λa －2－1＝－λ3＝λb ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2. 【答案】 3 24．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，若点P(x,3,3)也在平面α内，则x ＝________.【解析】 MP →＝(x －1,4,1)，∵n ·MP →＝0，∴6(x －1)－12＋6＝0，x ＝2.【答案】 25．已知A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________．【解析】 PA →＝(－x,1，－z)，AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，因为PA ⊥平面ABC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ PA →⊥AB →PA →⊥AC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·AB →＝0PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0－2x －z ＝0，解得x ＝13，z ＝－23. 【答案】 (13，0，－23) 6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．【解析】 AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ；AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴2－1≠32≠4－1，所以AP →与BD →不平行． 【答案】 ①②③7．若A(0,2，198)，B(1，－1，58)，C(－2,1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z)，则x ∶y ∶z ＝________.【解析】 AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0－2x －y －74z ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝23y z ＝－43y ，则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－43y)＝2∶3∶(－4)． 【答案】 2∶3∶(－4)8．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点中，在平面α内的是________．(把所有正确的序号都填上)①(1，－1,1)；②(1,3，32)；③(1，－3，32)； ④(－1,3，－32)． 【解析】 平面α的方程为3(x －2)＋(y ＋1)＋2(z －2)＝0即3x ＋y ＋2z －9＝0，代入检验可知②符合．【答案】 ②二、解答题9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB 1→是平面PAC 的法向量．【证明】 如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2,0,1)．由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0及OB 1→·AP →＝－2＋2＝0，∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →.∵AC∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．图3－2－410．如图3－2－4，已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．求平面ABC 的一个法向量．【解】 由已知可得AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)， AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ·AB →＝(x ，y ，z)·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0，n ·AC →＝(x ，y ，z)·(－a,0，c)＝－ax ＋cz ＝0，于是得y ＝a b x ，z ＝a cx. 不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab.因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab)为平面ABC 的一个法向量．图3－2－511．如图3－2－5，四棱锥P —ABCD 中，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，F 在PB 上，问F 在何位置时，PB →为平面DEF 的一个法向量？【解】 建系如图，设DA ＝2，则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)．∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)，∴PB →＝(2,2，－2)，设PF →＝λPB →，F(x ，y ，z)，∴(x ，y ，z －2)＝λ(2,2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2λ，y ＝2λ，z －2＝－2λ，∴F(2λ，2λ，2－2λ)，∴DF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．∵PB →·DF →＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝13， ∴F 为PB 的一个三等分点(靠近P 点).。
2019-2020学年苏教版选修2-1 3.2.2 空间线面关系的判定 课时作业
1．已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .建立空间直角坐标系A (O )xyz 如图：设|PA |＝|AD |＝b ，|AB |＝a ，则B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0，b,0)，P (0,0，b )，因为M 、N 分别为AB 、PC 的中点，所以M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，b 2)． (1)因为MN →＝(0，b 2，b 2)， 显然MN →＝12AD →＋12AP →，所以MN →与AD →、AP →共面， 因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)因为DC →＝(a,0,0)，DP →＝(0，－b ，b )所以MN →·DC →＝0，MN →·DP →＝0，即MN ⊥DC ，MN ⊥DP ⇒MN ⊥平面PDC ，又MN ⊂平面PMC ，所以平面PMC ⊥平面PDC .2．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)求证：AM ⊥平面BDF .(1)建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是(22，22，0)、(0,0,1)，所以NE →＝(－22，－22，1)，又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)，(22，22，1)， 所以AM →＝(－22，－22，1)． 所以NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM .又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，所以AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝(－22，－22，1)， 因为D (2，0,0)，F (2，2，1)，所以DF →＝(0，2，1)，所以AM →·DF →＝0，所以AM →⊥DF →，所以AM ⊥DF ，同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，所以AM ⊥平面BDF .3．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系，依题意，得B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，E (0,1，12)， 所以BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0，所以x ＝z ，y ＝12z ，令z ＝2得，n ＝(2,1,2)， 设F 是棱C 1D 1上的一点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是，B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0，所以2(t －1)＋1＝0，得t ＝12， 故F 是C 1D 1的中点，这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .4．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使AC 1⊥CD?(3)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1?在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)．(1)证明：AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，因为AC →·BC 1→＝0，所以AC →⊥BC 1→.所以AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)．于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)．由于AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ，所以－9＋9λ＝0，得λ＝1.所以在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，且这时点D 与点B 重合．(3)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)． B 1D →＝(3－3λ，4λ－4，－4)．又B 1C →＝(0，－4，－4)，由于AC 1→＝(－3,0,4)，AC 1∥平面CDB 1，所以存在实数m ，n ，使AC 1→＝mB 1D →＋nB 1C →成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －3λ＝－3，mλ－－4n ＝0，－4m －4n ＝4.所以λ＝12. 所以在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，且D 是AB 的中点．。
2022-2021学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评3.2.2 空间线面关系的判定
学业分层测评(建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题1．若两平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,4)，ν＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．【解析】 ∵u ＝－3ν，∴u ∥ν，∴α∥β. 【答案】 平行2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 【解析】 ∵α⊥β，∴－x －2－8＝0，∴x ＝－10. 【答案】 －103．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，则B 1C 与平面ODC 1的关系是________. 【导学号：09390084】【解析】 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →，∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又∵B 1C 不在平面ODC 1内，∴B 1C ∥平面ODC 1.【答案】 平行4．若AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →(λ，μ∈R )，∴AB →与CD →，CE →共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .【答案】 AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )等于________．【解析】 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，46．如图3-2-13，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1B 1上任意一点，则DP 与BC 1始终________(填“垂直”或“平行”)．图3-2-13【解析】 由于DP →·C 1B →＝(DA 1→＋A 1P →)·C 1B →＝(CB 1→＋A 1P →)·C 1B →＝CB 1→·C 1B →＋A 1P →·C 1B →＝A 1P →·C 1B →＝A 1P →·(C 1C →＋CB →)＝A 1P →·C 1C →＋A 1P →·CB →＝0，所以DP →⊥C 1B →，即DP 与BC 1始终垂直． 【答案】 垂直7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的外形是________三角形． 【解析】 求得AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，由于AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →，所以△ABC 是直角三角形．【答案】 直角8．如图3-2-14所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点，则AM 与PM 的位置关系为________．图3-2-14【解析】 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，依题意，可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .【答案】 垂直 二、解答题9．已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，图3-2-15且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点． (1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)在平面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD . 【解】 (1)证明：由于PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD . 所以以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D -xyz (如图所示)．由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，M (0,1,1)，所以BM →＝(－2,0,1)，DC →＝(0,2,0)，由于DC ⊥平面P AD ，所以DC →是平面P AD 的法向量，又由于BM →·DC →＝0，且BM ⊄平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)设N (x,0，z )是平面P AD 内一点，则MN →＝(x ，－1，z －1)，DP →＝(0,0,2)，DB →＝(2,1,0)，若MN ⊥平面PBD ，则⎩⎪⎨⎪⎧2(z －1)＝0，2x －1＝0，即⎩⎨⎧x ＝12，z ＝1，所以在平面P AD 内存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，使MN⊥平面PBD .10．如图3-2-16所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：图3-2-16(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .【证明】 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)． ∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . 法二：∵PD →＝(0,1，－2)，P A →＝(23，4，－2)， 令CM →＝xPD →＋yP A →，则⎩⎪⎨⎪⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →，由共面对量定理知CM →与PD →，P A →共面．又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，连结BE ，则E (3，2,1)， BE →＝(－3，2,1)， ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ， ∴BE ⊥平面P AD .又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD . [力量提升]1．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是________________．【导学号：09390085】【解析】 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点．∴AB ∥CD .【答案】 平行2.如图3-2-17，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-17【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)．∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面PBC . 【答案】 垂直3．已知空间两点A (－1,1,2)，B (－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →， ∴x －2＝y －1＝z 2，∴x ＝2y ，z ＝－2y . 又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)4．如图3-2-18所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论．图3-2-18【解】 法一：当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，B (0，a,0)，A (3a,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，－12a ，0，F (0,0，a )，E (3a,0，a )，由于AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF ⇔AM →与FB →，FD →共面，所以存在实数m ，n ，使AM →＝mFB →＋nFD →，设EM →＝tEF →.由于EF →＝(－3a,0,0)，EM →＝(－3at,0,0)，所以AM →＝AE →＋EM →＝(－3at,0，a )，又FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a ，FB →＝(0，a ，－a )，从而(－3at,0，a )＝m (0，a ，－a )＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，－a成立，需⎩⎪⎨⎪⎧－3at ＝32an ，0＝ma －12an ，a ＝－am －an ，解得t ＝13，所以当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF .法二：当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，在梯形ABCD 中， 设AC ∩BD ＝N ，连结FN ， 则CN ∶NA ＝1∶2， 由于EM ＝33a ， 而EF ＝AC ＝3a ， 所以EM ∶MF ＝1∶2，所以MF 綊AN ，所以四边形ANFM 是平行四边形，所以AM ∥NF ，又由于NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF .。
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1．已知平面α，β的法向量分别是u 1＝(2,3，－1)，u 2＝(1，－1，－1)，则平面α，β的位置关系是__________．
2．已知平面α的一个法向量是n ＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，则直线AB 与平面α的关系是__________．
3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝__________.
4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且l 1⊥l 2，则x ＋y 的值是____．
5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．
6．已知向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是__________．
(1)a ⊥c ，b ⊥c ；(2)a ∥b ，a ⊥c ；(3)a ∥c ，a ⊥b.
7．如图，PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为__________．
8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD
＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：
①AP ⊥AB ；
②AP ⊥AD ；
③AP 是平面ABCD 的法向量；
④AP ∥BD .
其中正确的是__________．
参考答案
1.答案：垂直 解析：∵u 1＝(2,3，－1)，u 2＝(1，－1，－1)，u 1·u 2＝0， ∴u 1⊥u 2，∴平面α，β相互垂直.
2.答案：AB ∥α或AB ⊂α 解析：AB
＝(－1,0,1). 于是n ·AB ＝－1＋0＋1＝0，
所以AB ⊥n ，因此AB ∥α或AB ⊂α.
3.答案：3 解析：由已知平面α的法向量为u ＝(1,3，z ).
而又∵v 与面α平行，
∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0.
解得z ＝3.
4.答案：1或－3 解析：
依题意，得6,4420,
y x =++=⎪⎩
解得4,3,x y =⎧⎨=-⎩或4,1.x y =-⎧⎨=⎩
∴x ＋y ＝1或－3. 5.答案：垂直 解析：以D 为坐标原点， DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为2，则1AC ＝(－2,2,2)，CE ＝(1，－1,2).
∵1AC ·CE ＝0，∴1AC ⊥CE ，即AC 1与CE 垂直.
6.答案：(3) 解析：∵c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，
∴a ∥c .
又a·b ＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a ⊥b .
7.答案：1∶1 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，
则B (1,0,0)，E 1,1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
，P (0,0，a ). 设点F 坐标为(0，y,0)，
则BF ＝(－1，y,0)，PE ＝1,1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. ∵BF ⊥PE ，
∴BF ·PE ＝0.解得12y =，即F 坐标为10,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ∴F 为AD 中点.∴AF ∶FD ＝1∶1.
8.答案：①②③ 解析：∵AB ·AP ＝0，AD ·AP ＝0，
∴①②正确.
由①②AP
⊥面ABCD ，∴③正确. 由③AP ⊥BD ，∴④错误.。