《自动控制原理》第五章习题解答

=−
1 8
cos(2t − 45 0 − 45 0 ) = −0.354 cos(2t − 90 0 )
所以：
c ss (t ) = c ss1 (t ) + c ss 2 (t )
= 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 )
e ss (t ) = c ss (t ) − r (t ) = 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 ) − sin(t + 30 0 ) + cos(2t − 45 0 )
r (t ) = sin(t + 300 ) − cos(2t − 450 )
作用下，系统的稳态误差 ess (t ) 。 解：系统的闭环传递函数为：
1 1 G ( s) = s + 1 = 1 s+2 1+ s +1
根据公式（5-16）和公式（5-17） 得到： c ss (t ) = A G ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G ( jω ))
根据题目给定的条件： ω = 1 A = 2 所以： G B ( jω ) =
2 (ω n − ω 2 ) + (2ζω nω ) 2
=
=1
（1）
∠G B ( jω ) = − arctan
2ξω nω 2ξω = − arctan 2 n = −45 0 2 2 ωn − ω ωn −1
（2）
由式（1）得 ω n = (ω n − 1) + ( 2ζω n )
即： 1 − T1T2 = 0
T1 + T2 = −1800 1 − T1T2
10 (T2 ) 2 + 1 1 T1 = 代入到 G ( j ) = = 0.5 中得到： T2 (T1 ) 2 + 1
T2 =
1 20
T1 = 20
Байду номын сангаас
所以系统的开环传递函数为： G ( s ) =
10( − s / 20 + 1) s( 20s + 1) 10( − jω / 20 + 1) jω ( 20 jω + 1)
（2）ν = 2 时系统的概略开环幅相曲线如下：
（3）ν = 3 时系统的概略开环幅相曲线如下：
5-7
已知系统开环传递函数
G( s) =
K ( −T2 s + 1) ; s (T1 s + 1)
K , T1 , T2 > 0
0
当取 ω = 1 时， ∠G ( jω ) = −180 ， G ( jω ) = 0.5 。当输入为单位速度信号时，系统的稳 态误差为 0.1，试写出系统开环频率特性表达式。 解： KV = lim sG ( s ) = K = 10
100(0.001s / ω1 + 1) ( s / ω1 + 1)( s / 100 + 1)
（b） G ( s ) =
10 ( s / ω1 + 1) s 2 ( s / ω 2 + 1)
2 Ks 2ω n 2 ( s 2 + 2ξω n s + ω n )( s / 10 + 1)
（c） G ( s ) =
(1)
τ < T 时， ϕ (ω ) < −180 0 概略开环幅相曲线如下
5-6
已知系统开环传递函数
G( s)H ( s) =
1 s ( s + 1)( s + 2)
ν
3
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
试分别绘制ν = 1,2,3,4 时系统的概略开环幅相曲线。 解： （1）ν = 1 时系统的概略开环幅相曲线如下：
-26
-20
5-12 已知最小相位系统的对数幅频渐进特性曲线如图 5-50 所示， 试确定系统的开环传递函 数。 解： （a） G ( s ) =
100( s / ω 2 + 1) ( s / ω1 + 1)( s / ω 3 + 1)
由图（a）得到 ω 3 = 100 所以： G ( s ) =
ω 2 = 1000ω1
5-13 试用奈氏判据分宾判断题 5-5，5-6 系统的闭环稳定性。 解：5-5 （1） τ > T 时系统闭环稳定。 （2） T > τ 时系统闭环不稳定。 5-6 （1）ν = 1 时系统闭环稳定。 （2）ν = 2,3,4 时系统闭环不稳定。
9
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
G( s)H ( s) =
( s + 1) 2 s s s + + 1 s + 1 2 9 3
要求选择频率点，列表计算 A(ω ) ， L(ω ) 和 ϕ (ω ) ，并据此在对数坐标纸上绘制系统开环 对数频率特性曲线。
解 由题给传递函数知，系统的交接频率依次为 1，2，3。低频段渐近线的斜率 为-20，且过（1,0dB）点。 ω ω /3 系统相频特性按下试计算 ϕ (ω ) = −90o + arctgω − arctg − arctg 2 1−ω2 /9 令 ω 为不同值，将计算结果列表如下 ω 0.1 0.5 1 3 5 7 10 15
ξ = 0.6532
G( s) H ( s) =
K (τs + 1) ; s 2 (Ts + 1)
K ,τ , T > 0
试分析并绘制 τ > T 和 T > τ 情况下的概略开环幅相曲线。 解：相频特性为
ϕ (ω ) = −180 0 + arctan τω − arctan Tω
(1)
τ > T 时， ϕ (ω ) > −180 0 概略开环幅相曲线如下
（2） ω = 2 时
0.5ω = −90 0 − 45 0 − 18.4 0 = 153.4 0 2 1−ω = 10 2 17 10 = 0.383
A(ω ) =
10
ω 4ω 2 + 1 (1 − ω 2 ) 2 + (0.5ω ) 2
ϕ (ω ) = −90 0 − arctan 2ω − arctan
2 ( 2 s + 1)(8s + 1) 200 s ( s + 1)(10s + 1)
2
（2） G ( s ) =
s + 1) 0.1 （3） G ( s ) = s s( s 2 + s + 1)( + 1) 2 2 s s 10( + + 1) 400 10 （4） G ( s ) = s s( s + 1)( + 1) 0 .1 8(
1 = 0.512 G ( jω c )
γ = 180 o + ϕ (ω r ) = −16.1o
6
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
L（ ω ） （dB）
60 40 20 0 0.1
-20 -40 -20 -40 20 -60
1
2
10
100 ω
ω
0o − 90 o − 180 o
5-11 绘制下列函数的对数幅频渐进特性曲线： （1） G ( s ) =
对数幅频渐进特性曲线如下：
-20 L(ω) 38 26 ω 0.1 1 2 -60 -40
（4）系统的交接频率为 0.1
1 20，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,40dB）
8
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
点，截止频率为 ω c = 1 。
对数幅频渐进特性曲线如下：
-20 40
L(ω)
-40 20 0.1 1 -60 ω
5-9 已知系统开环传递函数
0.5ω = −90 0 − 76 0 − 180 0 + 18.4 0 = 327.6 0 2 1−ω
G( s)H ( s) =
10 s( s + 1)( s 2 / 4 + 1)
试绘制系统概略开环幅相曲线。
5
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
解：
5-10
已知系统开环传递函数
1，低频段渐近线的斜率为-40，且过（0.1,66dB）
和（1,6dB）点，截止频率为 ω c = 2.1 。
对数幅频渐进特性曲线如下：
-40 L(ω) 66 -60 6 0.1 1 -80 ω
（3）系统的交接频率为 0.1
1
2，低频段渐近线的斜率为-20，且过（0.1,38dB）
点，截止频率为 ω c = 5.43 。
s →0
当 ω = 1 时 G ( jω ) =
K (T2ω ) 2 + 1 (T1ω ) 2 + 1
=
10 (T2 ) 2 + 1 (T1 ) 2 + 1
4
= 0.5
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
∠G ( jω ) = −900 − arctan T1ω − arctan T2ω = −900 − arctan T1 − arctan T2 = −900 − arctan
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
2 ωn s( s + 2ζω n )
G( s) =
当取 r (t ) = 2 sin t 时，系统的稳态输出
css (t ) = 2 sin(t − 450 )
试确定系统参数 ω n , ζ 。 解：根据公式（5-16）和公式（5-17） 得到： c ss (t ) = A G B ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G B ( jω ))