1.3.1单调性与最大(小)值(2)
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1
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(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
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3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
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2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
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②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
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规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
1.3.1 单调性与最大(小)值 教案
1。
3.1 单调性与最大(小)值第1课时错误!教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点:归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．错误!创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图,捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息?预案：（1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；（2)在某时刻的温度；(3）某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y ＝错误!的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：（1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大;函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．（2）函数y＝x2在［0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．（3）函数y＝错误!在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在（－∞，0）上y随x的增大而减小．引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f（x)在某个区间上随自变量x的增大,y 越来越小,我们说函数f(x)在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y＝x＋错误!(x＞0）的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1）在给定区间内取两个数，例如1和2,因为12＜22，所以f(x）＝x2在[0，＋∞）为增函数．(2)仿(1），取很多组验证均满足,所以f(x)＝x2在［0，＋∞）为增函数．(3）任取x1,x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2）（x1－x2）＜0，即x12＜x22，所以f(x）＝x2在［0,＋∞）为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2。
【高中数学必修一】1.3.1 单调性与最大(小)值-高一数学人教版(必修1)(解析版)
第一章 集合与函数概念1.3.1 单调性与最大(小)值一、选择题1．集合{x |x ≤–1}用区间形式表示正确的是A ．（–∞，–1]B ．（–∞，–1）C ．[–1，+∞）D ．（–1，+∞）【答案】A【解析】集合{x |x ≤–1}用区间表示为（–∞，–1]，故选A ． 2．区间（–3，2]用集合表示为A ．{–2，–1，0，1，2}B ．{x |–3<x <2}C ．{x |–3<x ≤2}D ．{x |–3≤x ≤2}【答案】C【解析】由开区间闭区间的概念，可得区间（–3，2]可表示为{x |–3<x ≤2}，故选C ． 3．设集合A ={x |–4<x <3}，B ={x |x ≤2}，则A ∩B =A ．（–4，3）B ．（–4，2]C ．（–∞，2]D ．（–∞，3）【答案】B【解析】∵集合A ={x |–4<x <3}，B ={x |x ≤2}，∴A ∩B ={x |–4<x ≤2}，故选B ． 4．函数f （x ）=1xx-的单调增区间是 A ．（–∞，1）B ．（1，+∞）C ．（–∞，1），（1，+∞）D ．（–∞，–1），（1，+∞）【答案】C 【解析】()()111111x f x xx --+==-+--，∴f （x ）的图象是由y =1x-的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到，而y =1x-的单调增区间为（–∞，0），（0，+∞），∴f （x ）的单调增区间是（–∞，1），（1，+∞）．故选C ．5．函数f （x ）=–|x –2|的单调递减区间为A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）【答案】B6．函数254y x x =-+A ．52⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．542⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．[4，+∞）D ．[)5142⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，，【答案】C【解析】令x 2–5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2–5x +4的对称轴是x =52，由复合函数同增异减的原则，可得函数254y x x =-+[4，+∞），故选C ． 7．f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f [8（x –2）]的解集是A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（2，167） 【答案】D【解析】由f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，得()()82082x x x x ⎧>⎪->⎨⎪>-⎩，解得2<x <167，故选D ．8．已知y =ax +1，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是A ．2B ．–2C ．2，–2D ．0【答案】C【解析】①当a =0时，y =ax +1=1，不符合题意；②当a >0时，y =ax +1在[1，2]上递增，则（2a +1）–（a +1）=2，解得a =2；③当a <0时，y =ax +1在[1，2]上递减，则（a +1）–（2a +1）=2，解得a =–2．综上，得a =±2，故选C ．9．函数y =（k +2）x +1在实数集上是减函数，则k 的范围是A ．k ≥–2B ．k ≤–2C ．k >–2D ．k <–2【答案】D【解析】要使函数y =（k +2）x +1在实数集上是减函数，则k +2<0，∴k <–2，故选D ． 二、填空题10．函数f （x ）=–x 2+2（a –1）x +2在（–∞，4）上为增函数，则a 的范围是__________．【答案】a ≥511．已知f （x ）在R 上是增函数，且f （2）=0，则使f （x –2）>0成立的x 的取值范围是__________．【答案】（4，+∞）【解析】∵f （x ）在R 上是增函数，且f （2）=0，要使f （x –2）>0，则有x –2>2，即x >4，成立的x 的取值范围是（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．12．已知函数y =f （x ）是R 上的增函数，且f （m +3）≤f （5），则实数m 的取值范围是__________．【答案】（–∞，2]【解析】由题意，得m +3≤5，解得m ≤2，故答案为：（–∞，2]．13．已知y =f （x ）在定义域R 上是减函数，且f （1–a ）<f （2a –1），则a 的取值范围是__________．【答案】（–∞，23） 【解析】因为y =f （x ）在定义域R 上是减函数，且f （1–a ）<f （2a –1），所以1–a >2a –1，解得a <23．所以a 的取值范围是（–∞，23）．故答案为：（–∞，23）． 14．已知函数f （x ）=246222x x x ax x -<⎧⎨-≥⎩，，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】∵函数f （x ）=246222x x x ax x -<⎧⎨-≥⎩，，是R 上的增函数，∴24486a a ≤⎧⎨-≥-⎩，∴a ≤12，故答案为：12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 三、解答题15．用单调性定义证明函数f （x ）=21x x +-在（1，+∞）上单调递减． 【解析】任取x 1、x 2，且1<x 1<x 2≤+∞， 则f （x 1）–f （x 2）=121221121222233–11(1)(1)x x x x x x x x x x +++-=----． ∵1<x 1<x 2<+∞，∴x 1–1>0，x 2–1>0，x 1x 2>0，x 2–x 1>0， ∴f （x 1）–f （x 2）>0． ∴f （x 1）>f （x 2）．∴f （x ）=在（1，+∞）上是单调减函数． 16．若函数f （x ）=1axx +在（2，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】f （x ）=1ax x +=a –1ax +由于函数f （x ）在（2，+∞）上为增函数，所以a >0， 故所求的a 的范围为（0，+∞）．17．函数f （x ）=x 2–ax +b 在（–∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，求a ．【解析】∵函数f （x ）=x 2–ax +b 在（–∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数 ∴函数f （x ）=x 2–ax +b 的对称轴为x =2a=1， 解得a =2．18．已知f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （2）=1，试解不等式f （x ）+f （x –2）<3．【解析】∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （2）=1， ∴f （2×2）=f （2）+f （2）=2， f （2×4）=f （2）+f （4）=3， 由f （x ）+f （x –2）<3，又f（x）的定义域为（0，+∞），得()()2820f x x fxx⎧⎡⎤-<⎣⎦⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，又在其上为增函数所以()2820x xxx⎧-<⎪>⎨⎪->⎩解得，2<x<4．所以不等式f（x）+f（x–2）<3的解集为{x|2<x<4}．19．已知函数()28f x x x=-．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的最值．（2）由8x–x2=0求得x=0，或x=8，所以，当x=0，或x=8时，f min（x）=0；当x=4时，u max=16，这时()max 164f x==．。
单调性与最大 最小值 第二课时
解：由例题解答可得出 x∈(1,2]时是减 函数，f(x)≥f(2)； x∈[2,3)时是增函数，f(x)≥f(2)， ∴x∈(1,3)时，函数只有最小值 f(2)＝2 4 ＋ ＝4，无最大值． 2
函数最值的实际应用 根据实际问题，建立函数关系，然后求函数 的最值转化为实际问题的最值．
例3 某公司生产一种电子仪器的固定总成
本是2万元，每生产一台需另投入100元，已 知总收益满足
1 2 400x－ x 0≤x≤400 2 k(x)＝ x＞400 80000
，其中 x
是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量 x 的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最 大？
小结： 1．求二次函数的最值时，应判断它的开口 方向及对称轴与区间的关系．若含有字母， 要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论， 解题时要注意数形结合．(如例1) 2．分段函数的最大值为各段上最大值的最 大者，最小值为各段上最小值的最小者，故 求分段函数的最大或最小值，应先求各段上 的最值，再比较即得函数的最大、最小 值．(如例3)
考点突破
利用图象求函数最值 先作出函数图象，寻找闭区间上的图象的最 高点或最低点． 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变 量x在下列范围内取值时，求函数的最大值 和最小值：
例1
(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
【思路点拨】 作出y＝3x2－12x＋5(x∈R) 的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的 图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标．
失误防范
1．利用图象求函数最值时，要注意定义域 所对应的图象．(如例1) 2．作为函数的最值，一定能使函数等于这 个值．
1.3.1单调性与最大(小)值(2)导学案
1.3.1《单调性与最大（小）值》（2）导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分，要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】1、理解函数的最大（小）值及其几何意义；2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.【课前导学与自测】预习教材第30-32页，找出疑惑之处，完成新知学习1、思考：先完成下表，上述表格体现了函数值的什么特征？问题：最高点的函数值与其它函数值有什么关系？最低点呢？2、归纳定义：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于 x ∈I ，都有 ；存在 ，使得 . 那么，称M 是函数y =f (x )的最大值（Maximum Value ）.试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．1. 函数2()2f x x x =-的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 22．函数f （x ）=2x 2+4x+5,x ∈[-3,-2]的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 3．函数f （x ）=3│x │+2的最小值是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．函数f （x ）=x 2+2x+b 的最小值为5，则b= 。
【合作探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示对于函数94)(2++-=x x x f ，求在下列区间上的最值：;)1(R x ∈ [];0,3)2(-∈x ](;6,3)3(∈x [];6,3)4(-∈x由此归纳：求二次函数的最值的方法是应该注意什么 。
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【精讲点拨】例1．求32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值.变式：求3,[3,6]2xy x x +=∈-的最大值和最小值.反思：你现在有什么方法可以求最大（小）值？ 探究：32y x =-的图象与3y x=的关系？例2．求二次函数[]4,222)(2在+-=ax x x f 的最小值。
《函数单调性与最大(小)值(第2课时)》教学设计
第三节 函数的基本性质1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值（李波）一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值． 详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x =,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,=-43[,3]2m ∴∈． 【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.同类训练:函数2()23f x x x =-+在[0,]a （0a >）上最大值是3,最小值是2,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:22()23(1)2f x x x x =-+=-+如图:要取到最小值2,a 必须对称轴1x =右侧取值．最大值为3,则a 的必须在对称轴1x =左侧取值．[1,2]a ∴∈．【答案】[1,2]a ∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.【设计意图】通过值域寻求定义域的问题,结合二次函数图象,找出对应的坐标轴的取值范围．●活动④函数关系中恒成立问题例5已知函数223()x x f x x++=([2,)x ∈+∞)． (1)求()f x 的最小值;(2)若()f x a >恒成立,求a 的取值范围．【知识点】函数单调性求最值，恒成立问题转化．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:(1) 12,[2,)x x ∀∈+∞,且12x x <，223()x x f x x++=则12121212(3)()()()x x f x f x x x x x --=-．12x x <,120x x ∴-<，12,[2,)x x ∈+∞,124x x ∴>,1230x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 故函数223()x x f x x++=在[2,)+∞上为增函数． ∴当2x =时,()f x 有最小值,即11(2)2f =． (2) ()f x 有最小值为11(2)2f =． ()f x a >恒成立,只需min ()f x a >,即112a <． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】（1）112;（2）112a <． 同类训练 函数2()3f x x x a =++-,[1,1]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】函数单调性、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:[1,1],()0x f x ∈-≥恒成立，23a x x ∴≤++,[1,1]x ∈-时恒成立．记:2()3g x x x =++， 只需min 11()4a g x ≤=,即114a ≤． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题． 【答案】114a ≤． 例6 函数2()3,f x x ax a =++-若[2,3]a ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围.【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想、分类讨论思想．【解题过程】解:22()3(1)(3)f x x ax a a x x =++-=-++,[2,3]a ∈-,()0f x ≥恒成立，记:2()(1)(3)g a a x x =-++，转化为()0g a ≥恒成立,[2,3]a ∈-．当1x =时,()40g a =>恒成立1x ∴=…………….①当1x >时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单增,22min ()(2)25(1)40g a g x x x =-=-+=-+>恒成立,1x ∴>…………….②当1x <时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单减，2min ()(3)30g a g x x ==+> 31x x ∴≤-≤<或0…………….③由①②③:(,3][,)x ∈-∞-⋃+∞0．【思路点拨】也可用二次函数图象问题求解,若向一次函数图象问题转化,问题变得相对容易．【答案】(,3][,)-∞-⋃+∞0．同类训练 函数2()3,f x x ax a =++-[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】函数2()3f x x ax a =++-图象的对称轴是2a x =-． 当22a -≤-,即4a ≥时,()f x 在[2,2]-上单增,min ()(2)730f x f a =-=-≥73a ∴≤． a ∴∈Φ………….① 当22a -≥,即4a ≤-时,()f x 在[2,2]-上单减,min ()(2)70f x f a ==+≥7a ∴≥-， [7,4]a ∴∈--．…………….②当222a -<-<,即44a -<<时,2min 412()()024a a a f x f ---+==≥62a ∴-≤≤， (4,2]a ∴∈-．………….③由①②③:[7,2]a ∈-．【思路点拨】对称轴与给定区间位置不同关系,由函数图象观察单调性,结合最值求解．【答案】[7,2]a ∈-．【设计意图】函数的最值与单调性的关系:若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f a ,最小值为()f b ;若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f b ,最小值为()f a ．探究三 函数最大（小）值的实际问题中的应用●活动① 生活问题构建函数模型例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:2400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数()f x ;（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:（1）月产量为x 台,则总成本为20000100x +元,从而⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(,10060000)4000(,2000030021)(2x x x x x x f（2）当0400x ≤≤时,21()(300)25000,2f x x =--+ 当300x =时,max ()25000f x =；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数,()60001004002000025000.f x <-⨯=<综上所述：300x ∴=时,max ()25000f x =．即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．【思路点拨】分段函数模型要注意x 的不同取值范围,所对应的利润求值问题．【答案】（1）2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩;（2）每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．同类训练 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润是多少？【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:设售价为x 元,利润为y 元,单个涨价50x -元,销量减少10(50)x -个． 2(40)[50010(50)](40)(100010)10(70)9000.y x x x x x =---=--=--+故当70x =时,max 9000y =所以售价为70元时,利润最大为9000元．【思路点拨】构建一元二次方程求最值．【答案】售价为70元时,利润最大为9000元．【设计意图】 （1）解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决．（2）分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．3. 课堂总结知识梳理（1）通过函数图象,探究函数最大（小）值及几何意义．（2）结合函数单调性求函数最大（小）值．（3）函数最大（小）值在实际问题中的应用．重难点归纳（1）函数最大（小）值概念的生成．（2）求函数最大（小）值．（三）课后作业基础型 自主突破1.若函数()f x x =则（ ） A ()f x 的最大值为0,无最小值 B ()f x 无最大值,最小值为0C ()f x 的最大值为+∞,最小值为0D ()f x 的最大值为0,最小值为-∞【知识点】图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图: ()f x x =在(,0),[0,)-∞+∞在0x =处有最小值(0)0f =,无最大值【思路点拨】由图象观察求最值【答案】B 2.若函数26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为（ ） A 10,6 B 10,8 C 8,6 D 8,8【知识点】一次函数图象性质【数学思想】【解题过程】解:由一次函数单调性26,(1,2]y x x =+∈,7,[1,1]y x x =+∈-,因此26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩在区间[1,2]x ∈-,min max ()(1)6,()(2)10f x f f x f =-===【思路点拨】也可用图象观察的方法.【答案】A3.函数2()2f x x x =+（1）在(2,5]-的最大值,最小值分别是________（2）在(1,2]-的最大值,最小值分别是________【知识点】二次函数图象【数学思想】数形结合思想【解题过程】函数2()2f x x x =+对称轴1x =-（1）(2,5]x ∈-,函数在1x =-处有最小值,min ()(1)1f x f =-=-在5x =处有最大值,max ()(5)35f x f ==（2）函数在(1,2]-上单增,在2x =处有最大值,max ()(2)8f x f ==【思路点拨】给定区间求最值,作图观察.【答案】（1）35,-1;（2）8,无4.函数1()12f x x=--在(2,5]x ∈上的值域是______ 【知识点】函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:函数11()122x f x x x-=-=--,定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ 由一次分函数图象知: ()f x 在(2,5]上单减min 4()(5)3f x f ==,函数无最大值【思路点拨】可用定义法证明函数单调性,也可分析法2y x =-在(2,5]为减,12y x =-在(2,5]为增, 112y x=--在(2,5]为减. 【答案】4[,)3+∞ 5. 已知二次函数()f x 满足且()f x 的最大值为8,求此二次函数的解析式【知识点】待定系数法求函数解析式 【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)(1)1f f =-=-,()f x 的最大值为824211484a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2()447f x x x ∴=-++【思路点拨】也可以用顶点式、两点式求解【答案】2()447f x x x =-++6. ()1f x ax =+在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,求a 的值【知识点】一次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:()1f x ax =+当0a =时,()1f x =常值函数,在[1,2]上无单调性当0a >时,()1f x ax =+在[1,2]上单增,min max ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+ max min ()()(21)(1)2f x f x a a a ∴-=+-+==当0a <时,()1f x ax =+在[1,2]上单减,max min ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+max min ()()(1)(21)22f x f x a a a a ∴-=+-+=-=⇒=-【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性,0,();0,()k f x k f x ><【答案】2或-2能力型 师生共研7.已知2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[1,5]上的最小值为(5)f ,求a 的范围【知识点】二次函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()2(1)2f x x a x =+-+对称轴为1x a =- min ()(5)f x f =2()2(1)2f x x a x ∴=+-+在区间[1,5]单减,称轴为154x a a =-≥⇒≤-【思路点拨】【答案】4a ≤-8.设1()1f x kx x =--,其中1k >,若()f x 在[2,)+∞上有最小值,求k 的值 【知识点】单调性应用【数学思想】【解题过程】解:11()11f x kx kx x x =-=+--,其中y kx =,11y x =-在[2,)+∞均单调递增1()1f x kx x ∴=--在[2,)+∞单增min 3()(2)2f x f k ⇒=⇒= 【思路点拨】性质法判断函数单调性【答案】32k = 探究型 多维突破9.若函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-的最大值为178,求a 的值.【知识点】二次函数根的分布【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想【解题过程】解:函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-当0a =时,()f x x =在[1,1]-上单增,max ()(1)1f x f ==矛盾当0a >时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a =-< max ()(1)1f x f ∴==矛盾当0a <时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a=-> 当112a -≤,即12a ≤-时, 2max14117()()248a f x f a a --=-==,2a ∴=- 当112a ->,即102a -<<时max ()(1)1f x f ∴== 矛盾 综上所述:2a =-【思路点拨】二次函数根的分布问题,结合函数图象及函数在区间上的单调性讨论【答案】2a =-10.建造一个容积为6400立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数;（2）由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？【知识点】数学建模【数学思想】函数与方程思想【解题过程】解:（1）由已知池底的面积为640016004=平方米,底面的另一边长为1600x 米, 则池壁的面积为:160024()x x⨯⨯+平方米． 所以总造价: 16001600()160000,(0,)y x x x=++∈+∞ （2）由题意知16001600()160000,(0,40]y x x x=++∈ 设12040x x <<≤,则121212121212(1600)160016001600()1600()1600()x x y y x x x x x x x x --=+-+=- 12040x x <<≤,120x x ∴-<,1201600x x ∴<<1216000x x ∴-<,120y y ∴->即12y y >从而这个函数在(0,40]上是减函数,故当40x =时,min 288000y =所以当池底是边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.【思路点拨】函数单调性求最值【答案】边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.自助餐1.函数2()43,[1,4]f x x x x =-+∈,则()f x 的最大值为（ ）A. -1B.0C.3D.-2【知识点】二次函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()43(1)(3)f x x x x x =-+=--, 如图:max ()(4)3f x f ==【思路点拨】给定区间求最值【答案】C2.函数()21f x x x =-+的值域为（ ）A.1[,)2+∞B.1(,]2-∞ C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【知识点】函数值域【数学思想】等价转化思想【解题过程】()21f x x x =-+定义域1[,)2+∞ 21,y x y x =-=在1[,)2+∞上单增 ()21f x x x ∴=-+在1[,)2+∞上单增,∴值域1[,)2+∞ 【思路点拨】性质法判断函数单调性,再求最值【答案】A3. 函数2202,()02,x x x f x x x -≤≤⎧--=⎨<≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为______ 【知识点】分段函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:如图所示max ()(2)2f x f ==min ()(2)(0)0f x f f =-==【思路点拨】分段函数在对应区间求一次函数、二次函数的最值【答案】2,04.函数2()45f x x x =-+在[0,]m 上的最大值5,最小值1,则m 的取值范围______【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:22()45(2)1f x x x x =-+=-+如图所示:max ()(0)(4)5f x f f ===min ()(2)1f x f == [2,4]m ∴∈【思路点拨】由值域反推定义域【答案】[2,4]5.已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时,求函数()f x 的最大值和最小值（2）函数()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数,则a 的取值范围【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:（1）当1a =-时,22()22(1)1f x x x x =++=++ [5,5]x ∈-,min ()(1)1f x f ∴=-=,max ()(5)37f x f =-=（2）22()()2f x x a a =++-,函数对称轴x a =-函数在区间[5,5]-上是单调函数,5a ∴≤-或5a ≥【思路点拨】二次函数的对称轴与开口方向,决定了函数单调区间6.求函数223,[1,2]y x ax x =--∈的最大值()M a 和最小值()m a .【知识点】二次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:函数2()23f x x ax =--的对称轴是x a = 当1a <时,()f x 在[1,2]上单增,min ()(1)22()f x f a m a ==--=max ()(2)14()f x f a M a ==-=当2a >时,()f x 在[1,2]上单减,max ()(1)22()f x f a M a ==--=min ()(2)14()f x f a m a ==-=当12a ≤≤时,2min ()()3()f x f a a m a ==--= 最大值由区间端点与对称轴决定1 1.5a ≤≤max ()(2)14()f x f a M a ==-=1.52a <≤max ()(1)22()f x f a M a ==--=综上所述:222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩ 【思路点拨】对称轴与区间的位置关系,分类讨论【答案】222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩。
1：1.3.1单调性与最大小值
函数的单调性
（第二课时）
1．增函数: 如果对于区间 D 上的任意两个 x 的 y x1<x2 时， f(x1)＜f(x2) ， 值 x1， x2， 当_________ 都有_______________
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数． 图象特征：由左至右，图象上升。
y f ( x)
定义法判断函数增减性的步骤：
1.设变量：任取区间上的x1，x2，设x1<x2；
2. 作差变形 3.定号：判断f(x1) – f(x2)的正、负情况 4.下结论
疑难辨析
1．在增、减函数定义中，能否把“任取两个自变量的值x1， x2”改为“存在两个自变量的值x1，x2”？ 答案：不能．如图所示． 能改为“任取两个自变量的值 x1，x1＋a(a>0) 吗？
y
1 y x
O
x
（1）试求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值； （2）试求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值。
m
nx
如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 D 上 是
增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有单调性， _______________ 单调区间 区间 D 叫做 y＝f(x)的_____________A.函数y 2 x 1的单调增区间是（－ ，＋） B.函数y 2 x 1在区间 [3,3]上是增函数 C.函数y x 2是R上的增函数 D.若函数y kx b是R上的减函数，则 k 0, b 0
x1
x2
例1、 根据下图象说出y＝f（x）的单调区间
y
3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x 作图是判断 函数单调性 的方法之一.
1.3.1 单调性与最大(小)值(2)(教案)
§1.3 函数的基本性质§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）【教学目标】l.知识与技能理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2. 过程与方法通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识。
3. 情感态度与价值观利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性。
【教学重点】函数的最大（小）值及其几何意义。
【教学难点】利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
【教学方法】学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤。
【教学过程】【导入新课】思路：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+； ②()3[1,2]f x x x =-+∈-；③2()21f x x x =++； ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-。
【推进新课】【新知探究】【知识点1】1、函数的最大（小）值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）存在0x I ∈，使得()0f x M =；（2）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≤）。
那么称M 是函数()y f x =的最大（小）值。
【注意】（1）函数的最大（小）值首先应该是该函数的函数值，即存在0x I ∈，使得()0f x M =；（2）函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()fx M ≤）。
【知识点2】2、求函数最值的方法： （1）图像法；（2）配方法；（3）换元法；（4）分离常数法；（5）判别式法； （6）单调性法。
结论：最大值：已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，a c b <<，当[],x a c ∈时，()f x 是单调增函数；当[],x c b ∈时，()f x 是单调减函数，则当x c =时()f x 取得最大值()()m ax f x f c =。
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
人教版高中数学必修一1.3.1__单调性与最大(小)值_第2课时__函数的最大值、最小值ppt课件
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3.求函数 f ( x)在区x间2[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3] 上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数 值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明 地使用他们的单调性求函数最值
在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是 后退.
——亚里士多德
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1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体 性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单 调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有 利于问题的解决.
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求函数 f (x) 在区3x间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
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1. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是(
)
(A)a≥3
D
(C)a≥-3
(B)a≤3 (D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2, +∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________. [21,49]
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5.求函数 f (x) x2在区2间ax[0,4]上的最小值.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界 点.根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分
高中数学1.3.1函数的单调性与最大小值第2课时教学设计新人教A版必修1
1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。
《金版新学案》高一数学 第一章1.3.1单调性与最大(小)值(第2课时函数的最大值、最小值)练习题
1．函数f(x)(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f(2)，f(-2)B ．f(12)，f(－1)C ．f(12)，f(－32)D ．f(12)，f(0)【解析】 根据函数最值定义，结合函数图象知，当x ＝－32时，有最小值f(－32)；当x ＝12时，有最大值f(12)．【答案】 C2．y ＝2x 在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，12 B.12，1C.12，14D.14，12【解析】 因为y ＝2x 在[2,4]上单调递减，所以y max ＝22＝1，y min ＝24＝12.【答案】 A3．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.【解析】 若a<0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a<0；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.【答案】 14．已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．(1)写出函数的单调区间；(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．【解析】y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]．所以(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.一、选择题(每小题5分，共20分)1.函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知y max＝3.【答案】 D2．函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋8 x ∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值为( ) A ．10,7 B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对【解析】 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，7≤x ＋8≤9.∴f(x)min ＝f(－1)＝7，f(x)max ＝f(2)＝10.【答案】 A3．函数f(x)＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值－14【解析】 f(x)＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14，∵－5＜－23＜5，∴无最大值f(x)min ＝f(－32)＝－14.【答案】 D4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C．1 D．2【解析】函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝－3x，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．【解析】y＝－3x在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．【答案】(0,1]∪[－1,0)6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．【解析】f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝1 3，当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.【答案】13或－5三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．【解析】设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)= -== .由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以，函数y= 是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y= 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2＋2－a2，当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；当2<a<4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2；当a≥4时，f(x)min＝f(4)＝18－8a.综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a (a ≤2)2－a 2 (2<a<4)18－8a (a ≥4)9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?【解析】 若设每天从报社买进x(180≤x ≤400，x ∈N )份，则每月(按30天计算)可销售(18x ＋12×180)份，每份获利0.20元，退回报社12(x －180)份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．设每天从报社买进x 份报纸，每月获利为y 元，则有y ＝0.20(18x ＋12×180)－0.35×12(x －180)＝－0.6x ＋1 188,180≤x ≤400，x ∈N .函数y ＝－0.6x ＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x ＝180时函数取最大值，最大值为y ＝－0.6×180＋1 188＝1 080.即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.。
必修1课件1.3.1-2单调性与最大(小)值 (二)
思考3:设函数f(x)=1-x2，则 f ( x ) 2 成立吗？ f(x)的最大值是2吗？为什么？
f ( x) 思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号 表示？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
理论迁移
2 例2.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和 x 1 最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[( x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1 ) ( x2 1)( x1 1) ( x2 1)( x1 1)
记作:
f ( x )max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？ 如果函数y=f(x)的值域是(a,b)，则函数y=f(x)存在 最大值吗？ 思考6:函数 f ( x ) 2 x 1, x (1, ) 有最大值吗？为什么？
思考:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数y=f(x) 的最小值？
§1.3.1-2单调性与最大(小)值 (二)
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？ 2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象： y M x o x0 o
y M
x0 图2
x
图1
思考1:这两个函数图象有何共同特征？ 函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
1.3.1函数单调性与最值
一、函数的单调性与单调区间 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数 1 对函数单调性的理解
（3）单调区间一般不能取并集，如 y=
1 x
例 2、若函数 f(x)在区间（a,b）上是增函数，在区间(b,c)上也是增函 数，则函数 f(x)在区间（a,b）∪(b,c)上（ A、必是增函数 B 必是减函数 ）
C 是增函数或减函数 D 无法确定单调性 例 3、下列说法正确的有（ ）
①若 x1,x2∈I，当 x1<x2 时，f(x1)<f(x2)，则 y=f(x)在 I 上是增函数 ②函数 y=x2 在 R 上是增函数 ③函数 y=1 x 1 x
在定义域上是增函数
④ y= 的单调区间是（−∞, 0）∪（0， + ∞） A、0 个 B 、1 个 C、2 个 D、3 个
3、利用定义法证明函数的单调性 第一步：取值，即设 x1、x2 是该区间内的任意俩个值，且 x1<x2 第二步：作差变形， 第三步：判断符号 第四步：定论 例 4、研究函数 y=x+ 的单调性
（1） 任意性，即从定义域中任取 x1、x2，证明单调性时不可随意用
俩个特殊值代替。 有序性， 同常规定 x1<x2. 同区间性， 即 x1,x2 属于同一个单调区间。
《1.3.1单调性与最大(小)值》课件 必修1
类型一 函数单调性的判断与证明 9 【例1】 求证：y＝x＋ (0<x≤3)为减函数． x
证明：任取 x1，x2∈(0,3]且 x1<x2(即 x2－x1>0)， 9(x1－x2) 9 9 则 f(x2)－f(x1)＝x2＋ －(x1＋ )＝x2－x1＋ x2 x1 x1x2 x1x2－9 9 ＝(x2－x1)(1－ )＝(x2－x1)· . x1x2 x1x2 ∵x2－x1>0，x1x2>0,0<x1<x2≤3， ∴x1x2<9，有 x1x2－9<0， ∴f(x2)－f(x1)<0，故 f(x)在(0,3]上为减函数．
)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C
3．函数f(x)在R上是减函数，则有
(
)
A．f(3)<f(5)
C．f(3)>f(5) ∴f(3)>f(5)． 答案：C
B．f(3)≤f(5)
D．f(3)≥f(5)
解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，
类型二 求函数的单调区间 【例2】 求函数f(x)＝－2 9－4x2的单调区间．
解：设9－4x2＝t(t≥0)， 3 3 2 由9－4x ≥0，得－ ≤x≤ . 2 2 3 当－ ≤x≤0时，随着x增大，t增大； 2 3 当0<x≤ 时，随着x增大，t减小． 2 又函数y＝－2 t在[0，＋∞)上是减函数， 3 2 所以，f(x)＝－2 9－4x 在[－ ，0]上是减函数，在 2 3 (0， ]上是增函数． 2 3 即函数f(x)的单调减区间为[－ ，0]，单调增区间为 2 3 (0， ]． 2
求下列函数的单调区间： 1 2 (1)y＝ －x ＋2x；(2)y＝ . x＋1
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三、总结
本节主要学习了:
函数的最大值与最小值的图象特征与数值 特征. 利用函数的单调性来求函数的最大值与最 小值的一般方法.
复习：
1.函数的单调性概念; 2.增(减)函数的定义; 3.增(减)函数的图象特征; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.
一、引入新课
观察下面两幅函数图象：
可以发现，函数f（x）=x2的图象上有一个最低点（0，0），即 对于任意x∈R，都有f（x）≥f（0）.当一个函数f（x）的图象有 最低点时，我们就说函数f（x）有最小值.而f（x）=x的图象没有 最低点，所以函数f（x）=x没有最小值.
同样的可以给出最小值的定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M； （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值(minimum value).
二、巩固练习
2 例1 求函数 y = 在区间[2，6]上的最大值和最小值. x −1 2 分析:由函数 y = x −1
例2 画出函数y=2x2-5x+5的图象，并结合图象写出函数 在下列区间上的最大值与最小值. (1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3] 解:根据题意画出如下函数图象
(1) (1)最大值为f(-2)=23,最小值为f(1)=2; f(-2)=23, f(1)=2; (2)最大值为f(6)=47,最小值为f(3)=8; (3)最大值为f(3)=8,最小值为f(5/4)=15/8.
(x∈[2,6])的图象可知,函数
2 y= 在区间[2,6]上递减. x −1 2 所以函数 y = 在区间 x −1
[2,6]的两个端点上分别取得 最大值和最小值.
先说明函数是在区 间上的减函数， 复习一下判定函数 单调性的基本步骤。
利用函数的单调性来求函数的最大值 与最小值是一种十分常用的方法，要 注意掌握。
根据上面的观察和学习，我们可以总结出下面表格：
最 值
函数图象特征
函数值特征
最 函数图象上有最低点 存在x0，使对于任 意x∈R，都有f（x） 小 ≥f（x0） 值
存在x0，使对于任 最 大 函数图象上有最高点 意x∈Ry=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M； （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值(maximum value).