拉氏变换
拉氏变换
于是 L[ f (t )] e
skT
所以
对周期函数来说，求广义积分就转化为求
0
1 L[ f (t )] 1 e sT
k 0
T
T
0
1 f (t ) e dt 1 e sT
st
T
0
f (t ) e st dt
f (t ) e st dt
在一个周期区间[0, T]上的定积分，上式就是 周期函数的拉氏变换公式．
15
故
1 1 2 sb 1 1 sb sb 2 L[ f (t )] [ ( e 2 e 1 )] [ ( 1 e )] 2 sb 2 st 2 2 1 e s 1 (e ) s 1 e sb 1 sb 2 2 th( ) sb s (1 e ) s 2
0
f (t ) e st dt
st ( k 1)T kT
f (t ) e dt f (t ) e dt ..........
k 0 ( k 1)T kT
2T
f (t ) e st dt ......
f (t ) e st dt
kt kt st ( s k )t
所以
1 L[e ] sk
kt
(s k )
为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出 收敛区域。
7
二、常用函数的拉氏变换 我们已经求了常值函数，指数函数的拉氏变
换，下面我们再求其它常用函数的拉氏变换。
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。
19
2.求下列函数的拉氏变换 (1) 0t 4 1
拉氏变换
)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理 若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理 （处理复杂时间函数） 若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换
质
此式可由定义证明。
机 械 控 制 理 论
实 数 域 的 位 移 定 理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实 数a有,
L[f ( t a )] e as F(s)
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t) 延迟时间a.
对于象函数F(s),常可写成如下形式：
B(s) b m s m b m 1s m 1 b 0 F(s) A(s) a n s n a n 1s n 1 a 0 k(s z1 )(s z 2 ) (s z m ) (s p1 )(s p 2 ) (s p n )
机 械 控 制 理 论
拉普拉斯反变换
在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简 单的象函数，可直接查拉氏变换表， 但对于复杂的，可利用部分分式展开 法，即通过代数运算将一个复杂的象 函数化为数个简单的部分分式之和， 再求出各个分式的原函数，从而求出 总的原函数 。
部分分式展开法
机 械 控 制 理 论
s 2
1
解二
2 1 F(s) s 1 s 2
A '(s) 2s 3 A '( 1) 1 B( 1) 2 A '( 2) 1 B( 2) 1
f (t) 2e t e 2t
k1 B(1) 2 A '(1) k2 B( 2) 1 A '( 2)
其中f(0+)由正向使 t 0时的f(t)值。
L f ( t ) s F ( s ) f ( k 1 ) ( 0) s n k
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉氏变换
1 1 1 2 = − + 2 2 s ⎛ 3⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜s+ ⎟ +⎜ ⎜s+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ s+
3 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
续
⎡ s+1 ⎤ 所以f (t ) = L ⎢ 2 ⎥ s s + s + 1 ⎣ ⎦
−1
(
)
－ 1 式中，L 是表示进行拉氏反变换 的符号
常用函数拉氏变换对照表
s s 2 + w2
拉 氏 变 换 续 表
典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1 （ t） ⎧0( t < 0) 1( t ) = ⎨ ⎩1( t ≥ 0)
F ( s ) = L[1( t )] = ∫
∞
0
1 − st ∞ 1( t )e dt = − e s 0
A3 A1 s + A2 + = (s + p1 )(s + p2 ) s + p3
1
系数求法：
An + ... + s + pn
s=− p [F ( s )(s + p1 )(s + p2 )]或 s=− p
2
⎡ A1 s + A2 A3 An ⎤ =⎢ + + ... + ⎥ (s + p1 )(s + p2 ) s = − p1 ( )( ) s + pn ⎦ s + p3 ⎣ s + p1 s + p2 或s = − p2
s −s+2 F (s ) = s s2 − s − 6
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
第二节 拉氏变换
解：令 t
a
则 再令
L[ f ( t )] f ( t )estdt
a 0a
f ( )eas d (a ) 0
a f ( )eas d 0
as
则
L[ f ( t )] a f ( )eas d a f ( )e d
a
0
0
aF () aF (as)
例2－7：求函数
阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换幂函数拉氏变换法1幂函数的拉氏变换法2抛物线函数单位加速度函数拉氏变换洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换指数函数的拉氏变换欧拉公式三角函数的拉氏变换高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数三拉氏变换的主要运算定理线性定理线性定理微分定理微分定理积分定理积分定理位移定理位移定理延时定理延时定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理终值定理终值定理比例定理比例定理线性定理线性定理叠加定理叠加定理微分定理微分定理原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式多重微分多重微分积分定理积分定理原函数的原函数的nn重积分重积分像函数中除以像函数中除以ssnn多重积分多重积分原函数乘以指数函数e像函数fs在复数域中作位移a衰减定理衰减定理复位移定理复位移定理原函数平移延时定理延时定理实位移定理实位移定理原函数原函数ftft的稳态性质的稳态性质sfssfs在在s0s0邻域内的性质邻域内的性质终值定理终值定理初值定理初值定理卷积定理卷积定理例26
F
S
S
A1S A2
P1S
P2
FS
S
A01
P0 r
S
A02
P0 r1
....
A0r S P0
S
Ar 1 Pr1
S
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换.设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数.按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(式中，n s s s ,,,21 是特征方程A （s)＝0的根.i c 为待定常数，称为F(s ）在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F （s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s ）的n-r 个单根；其中，1+r c ,…， n c 仍按式（F-2）或（F-3)计算，r c ,1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-4)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F —6）。
拉氏变换
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
3.信号典型函数 拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
阶跃信号（Step Function）
R t 0 r (t ) R u (t ) 0 t 0
s t 0
f ( ) lim f ( t ) lim SF ( S )
t s 0
证：利用导数性质
lim 0 s 0
d f ( t )e st dt lim[ SF ( S ) f (0 )] s 0 dt
0
d st f ( t ) lim e dt f ( t ) s0 dt 0 f ( ) f ( 0 ) lim SF ( S ) f ( 0 )
反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F (S ) 简写 f (t )
注
1
f (t ) 1 F (S )
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
du (t ) (t ) dt
1 [u (t )] s
δ(t )
推广：
1 d [ u (t )] S 1 dt S
d 2 f (t ) ' [ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt
拉氏变换
拉氏变换和反变换拉氏变换的作用： 用拉氏变换求解线性微分方程可将微分运算转化为代数运算；可将系统的微分运动方程转化为传递函数，并由此发展出用传递函数的零点分布、频率特性等间接地分析和设计控制系统的工程方法。
一、 拉氏变换的定义⎰∞-==0)()]([)(dt e t f t f L s F st （0≥t ）其中 ωσj s += 是一复变函数，F(s)称为象函数，f(t)称为原函数。
意义： 在一定条件下把一实数域中的实变函数f(t)转换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。
二、几种典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数1(t)定义：⎩⎨⎧≥<=)0(1)0(0)(1t t tss e s dt e t t L s F stst 1)1(01)(1)](1[)(0=--=-===∞-∞-⎰2、指数函数at e t f -=)(（a 为常数）as e as dt e dt e e e L s F ta s t a s st at at +=+-====∞+-∞+-∞---⎰⎰11][)(0)(0)(03、正、余弦函数t t f ωsin )(1=，t t f ωcos )(2=⎰∞-⋅==01sin ][sin )(dt e t t L s F st ωω由欧拉公式： je e t tj t j 2sin ωωω--=220)(0)(0)(0)(001)11(21)11(21)(21)(21)(ωωωωωωωωωωωω+=+--=++--=-=-=∞+-∞--∞+-∞--∞--∞-⎰⎰⎰⎰s j s j s j e j s e j s j dt e dt e j dt e e dt e e j s F tj s t j s t j s t j s st t j st t j同理： 222][cos )(ωω+==s st L s F4、单位脉冲函数)(t δ的拉氏变换定义： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤><=→)0(1lim ),0(0)(0εεεδεt t t t1)!2(1lim )]!21(1[1lim )1(1lim 1lim 1lim1lim)]([)(2202200000=+-=-+--=-=-⋅====∆→→-→-→-→-∞→⎰⎰ s s s s s s e ss e dt e dt et L s s st st stεεεεεεεεεεδεεεεεεεεε5、单位速度函数的拉氏变换定义： ⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(t t t t ff(t)ε1200001101][)(s dt e s dt e s e s tde s t dt te t L s F st st stst st =+=+-=-===⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞--∞-6、单位加速度函数的拉氏变换定义：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=)(21)0(0)(2t t t t f321]21[)(st L s F ==通常用查表法求解象函数和原函数三、拉氏变换的主要定理对于标准函数可用拉氏变换定义或查表法进行拉氏变换和反变换；而对于一般的函数可以利用以下定理使运算简化。
拉氏变换 (3)
拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。
它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。
通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。
拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。
通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。
2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。
给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。
拉氏变换有许多重要的性质。
以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。
对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。
•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。
类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。
•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。
即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。
•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。
即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。
3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。
通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
拉氏变换定义
拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。
拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。
通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。
拉氏变换的一个重要性质是线性性质。
即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。
拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。
平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。
拉氏变换还有微分和积分性质。
微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。
积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。
拉氏变换的应用非常广泛。
在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。
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（2）f(t)=e-0.5tcos10t
（3）f(t)=sin(5t+600)
（4）f(t)=tneat
2.试求下列函数的拉氏变换
（1）f(t)=2t+3t3+2e-3t
（2）f(t)=t3e-3t+e-tcos2t+e-3tsin4t
（3）f(t)=5*1(t-2) +(t-1)2e2t
3.已知 F(S) 10
K11 K12 L K1r Kr1 L Kn
(s p1)r (s p1)r1
s p1 s pr1
s pn
其中
Kim
1 d m1 (m 1)! dsm1
[F (s)(s
p1)r ]
s p1
其余系数同无重极点时一样。
1.试求下列函数的拉氏变换，假设当t<0时f(t)=0
（1）f(t)=5(1-cos3t)
2
L sin t
sin t est dt
1
e jt e jt
e st dt
0
0 2j
1 2j
0
e
(s
jt)dt源自e(sjt
)
dt
0
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2 2
同理也可得：
Lcost
s2
s
2
❖ 幂函数 t n
拉普拉斯变换
L[t n ] t n e st dt
❖ 查表法应用
1
▪ 例1：F(s)= s2 4
es
▪ 例2： F(s)= s 1
s 1
▪ 例3： F(s)= s2 9
f(t)= 1 sin2t
2
f(t)= e t-1
f(t)=
1 3
sin3t+cos3t
❖ 部分分式法应用 一般F(s)为复数s的有理代数式，可表示为
F(S)
B(S) A(S )
拉普拉斯变换
❖ 概述
❖ 系统分析的过程或方法： ❖ 系统微分方程
拉氏变换 ❖ 系统传递函数
拉氏反变换 ❖ 系统输出时域表达式
拉普拉斯变换及其反变换的定义
▪ 拉氏变换定义
▪ 拉氏反变换 定义
L[ f (t)] F(s) f (t)estdt 0
f (t) L1[F(s)] 1 j F(s)estds
0
令u st t u , dt 1 du
s
s
L[t n
]
0
un sn
e u
1 du s
1 s n1
un
0
e u du
1
n!
Γ(n 1)
s n1
s n1
❖ 拉氏变换的性质
1. 线性性质（叠加性质和比例性质）
Lf (t) LK1f1(t) LK2f2 (t) K1F1(s) K2F2 (s)
10. 复数域卷积定理
L[f1(t)f2 (t)]
1 2j
c j
cj F1 (s )F2 ()d
拉普拉斯变换
11. 初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且lim sF(s) 存在，则
s
f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
12. 终值定理
若L[f(t)]=
F(s)，且
拉普拉斯变换
❖
单位抛物线函数f(t)=
1 2
t2
f
(t)
01 2
t
2
t0 t0
根据拉普拉斯变换的定义，
单位抛物线函数的拉普拉斯变换为：
F
s
L[1 t 2 ] 1 t 2est dt
2
02
1 s3
Re (s) 0
拉普拉斯变换
0
❖ 指数函数e-at f (t) eat
t0 t0
根据拉普拉斯变换的定义，指数函数的拉普拉斯变换为：
f(t) 2/T
T/2 T t
❖ 例3：求函数f(t)=(t-t2-3)e-2t+2e-3t+4的拉氏变换
❖ 拉氏反变换的数学方法
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有： 1. 查表法——对比较简单的象函数可利用拉普拉斯变换表
直接查得或利用拉氏变换的性质推得其原函数；（简单 举例） 2. 部分分式法——将复杂的象函数通过代数运算化为多个 简单的部分分式之和，再分别求出每个分式的原函数， 总的原函数即为所求。（重点介绍）
s pn
Ki
B(s) (s-pi)
A(s)
s
pi
B( pi ) A' ( pi )
得到各系数后 n F(S) i 1
B( pi ) • 1 A' ( pi ) s pi
再用查表法即可求得。
❖ 举例：
F(s)= 14s2 55s 51
2s3 12s2 22s 12
F(s)=
20(s 1)(s 3) (s2 2s 2)(s 2)(s 4)
Fs L1(t) u(t)est dt est dt
0
1 est 1
s
0s
0
(Re (s) 0)
t
拉普拉斯变换
❖ 单位脉冲函数δ(t)
(t)
0
t0 t0
(t)dt 1
δ(t)
t
根据拉普拉斯变换的定义，单位
脉冲函数的拉普拉斯变换为：
Fs L(t) (t)estdt 0
❖ 延迟定理 L[f(t-a)]=e-asF(S)
❖ 相似性质 L[f(at)]=1/aF[s/a]
❖ 初值定理 limf(t)=limSF(S)
t→0
s →∞
20❖20/4/14终值定t理→∞
s→0
拉普拉斯变换
❖ 单位阶跃函数
u(t)
1 0
t0 t0
u(t)
1
根据拉普拉斯变换的定义，单位 阶跃函数的拉普拉斯变换为：
求:f(0)和f( )
S(S 1)
2. 时移性质（延时定理或实数域位移定理）
❖
L[f(t-)]=e-s F(s)
（ 0）
3. 频移性质（复数域位移定理） L[eat f (t)] F (s a)
4. 相似性质（尺度变换性质）
5.
L[ f (at)] 1 a
时域微分定理
F
s a
a0
L
d dt
f (t)
sF (s)
f (0)
F s L[eat ] eat est dt
0
e(as)t dt
1
e(sa)t
1
0
sa
0 sa
同理也可得：
Fs L eat 1 sa
❖ 正弦函数sinωt
❖ 余弦函数cos ωt
由欧拉公式：
sin t 1 2j
e jt
e jt
cos t 1 e jt e jt
bmsm bm1sm1 L ansn an1sn1 L
b0 a0
K(s z1)(s z2 )L (s zm ) (s p1)(s p2 )L (s pn )
F(s)无重极点，即pi≠pj(i ≠j)
F (S) B(s) K1 K2 ...... Kn
A(s) s p1 s p2
拉普拉斯变换
6. 时域积分定理
L f (t)dt F(s) s f (t)dt s
7. 复数域微分定理
t 0
L[tf (t)] dF(s)
8. 复数域积分定理ds
1
9. 时域L[卷t f积(t)定] 理s F(s)ds
t
L[0 f (t )g()d L[f (t) g(t)] F(s)G(s)
j2 j
▪ f(t)——原函数 F(s)——象函数
f (t) F(s)
常用函数的拉氏变换
序号 1 2 3 4 5
6 7
f(t) 1(t) δ(t)
t eat sinωt、cosωt
tn tneat
2020/4/14
F(s) 1/s 1 1/s2 1/(s-a) ω、s／（s2+ω2）
n!/sn+1 n!/(s-a)n+1
lim
t
f
(t)存在，则
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
❖ 拉氏变换及其性质的应用
例1：求图示方波的拉氏变换
f(t) 1/T
Ff((ts))==L1T1[f-(t)T1]=×T1ls(-t-TT1s)e-sT
T
t = Ts (1-e-sT)
例2：求图示三角波的拉氏变换
0
(t)est dt (t)est dt
0
0
0
(t)es0dt 1 0
拉普拉斯变换
❖ 单位斜坡函数f(t)=t
f
(ft(t))
0
t
t0 t0
t
根据拉普拉斯变换的定义，单位 斜坡函数的拉普拉斯变换为：
Fs Lt test dt
t
0
e st
1 est dt
s
0 s0
1 s2
R e (s) 0
拉氏变换性质
叠加性 若 L[f1(t)]=F1(S) L[f2(t)]=F2(S) 则 L[af1(t)+bf2(t)]=a F1(S) +b F2(S)
❖ 微分性 L[fn(t)]=SnF(s)
❖ 积分性 L[∫…∫f(t)(dt)n]=F(S)/Sn
❖ 位移定理 L[e-atf(t)]=F(s+a)
对于有共轭复根的分式有两种处理方法：
a. 该部分分式的系数仍可由前面的方法求得；