自编相交线与平行线讲义1
七年级数学培优提高讲义：相交线与平行线(一) (1)
七年级数学竞赛讲座：相交线与平行线一、知识要点：1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________. 7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。
七年级数学相交线与平行线讲义
相交线与平行线一、相交线同步知识梳理1．如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．2．如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．3．对顶角的重要性质是对顶角相等．4．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．5．垂线的性质性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．7．内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型。
二、同步题型分析题型1：对顶角以及邻补角例题1：图中是对顶角的是( )．例题2：如图，∠1的邻补角是( )．(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF题型2：垂线例题3：如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．题型3：同位角、内错角、同旁内角例题4：如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．三、课堂达标检测1、如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°2、判断正误（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( )（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( )（3）有一条公共边的两个角是邻补角．( )（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( )（5）对顶角的角平分线在同一直线上．( )（6）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )3、如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．图a 图b 图c4、如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．5、如图，下列结论正确的是( )．(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角6、如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )．(A)4对(B)8对(C)12对(D)16对一、平行线及其判定同步知识梳理1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作a∥b．2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行．3．平行公理是：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．4．平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：同位角相等，两直线平行．(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．二、同步题型分析题型1：例题1：如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD＝∠ADB；⑵∠BCD＋∠ADC＝180°⑶∠ACD＝∠BACAB C DO例题2：已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．(____________，____________)(6)如果∠6＝∠3，那么____________．(____________，____________)例题3：已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．(1)∵∠B＝∠3(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(2)∵∠1＝∠D(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(3)∵∠2＝∠A(已知)，∴______∥______．(____________，____________)(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，∴______∥______．(____________，____________)例题4：已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．三、课堂达标检测1、如图① 不能判定a ∥b 的一组条件是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠3=∠4D ．∠2=∠62、如图② 能够判定DE ∥BC 的条件是（ ）A ． ∠DCE+∠DEC= 180B ． ∠EDC=∠DCBC ． ∠BGF=∠DCBD ． CD ⊥AB ，GF ⊥AB3、已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB ∥CD ．(1)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠1＝______．证法1：∵∠1＝∠2，(已知)又∠3＝∠2，( ) ∴∠1＝_______．( )∴AB ∥CD ．(___________，___________)(2)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠3＝∠4．证法2：∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( ) 又∠1＝∠2，(已知)从而∠3＝_______．( )∴AB ∥CD ．(___________，___________)4、如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴ （ ）又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ）∴AB ∥DE （ ）5、已知：如图，CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2．试确定射线DF 与AE 的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：DF ______AE ．(2)证明思路分析：欲证DF ______AE ，只要证∠3＝______． (3)证明过程：证明：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，( )∴∠CDA ＝∠DAB ＝______°．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( )从而∠CDA －∠1＝______－______，(等式的性质)A B CD EF 1 2即∠3＝＿＿＿．∴DF ＿＿＿AE ．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)6、已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ．证明：∵∠ABC ＝∠ADC ，.2121ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，.212,211ADC ABC ∠=∠∠=∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( )∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) ∴______∥______．( )7、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a 与直线c 的位置关系，并说明你的理由．(1)问题的结论：a ______c ．(2)证明思路分析：欲证a ______c ，只要证______∥______且______∥______． (3)证明过程：证明：∵∠1＝∠2，( )∴a ∥______．(________，________)① ∵∠3＋∠4＝180°，( )∴c ∥______．(________，________)② 由①、②，因为a ∥______，c ∥______， ∴a ______c ．(________，________)8、如图，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．E BAFDC一、能力培养1、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.3、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．解析：考察角平分线的性质，对顶角的性质34l3l2l1124、当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.5、已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同的垂足?画图说明．6、已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．·M2、已知∠B＝∠C，∠1＝∠2。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义知识点精讲：一、同一平面内两条直线的位置关系1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．3．对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．4．平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．二、平行公理1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．提问垂线的性质，并进行比较．3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．三、三线八角由前面的教具演示引出．如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中对顶角有______对．______邻补角有______对．______同位角有______对，______内错角有______对，______同旁内角有______ 对．______ 四、典例探究（一）、平行性质与判定的综合应用1、如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由．C2、如图，已知∠1=∠2，再添上什么条件可使AB ∥CD 成立？并就你添上的条件证明AB ∥CD ．3、如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=72°，求∠2的度数。
第五章平行线与相交线讲义
第五章 相交线与平行线一、学习目标重点：垂直的概念，平行线的判定和性质； 难点：用定理或性质进行简单的推理 二、知识要点 第一节 相交线知识点1.相交线---对顶角、邻补角 1.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等 2.邻补角（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为 反向延长线，具有这 种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：邻补角互补例．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _．基础练习：1.直线AD 、BC 交于O 点，∠+∠=︒A O B C O D 110， 则∠C O D的度数为 ． 2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______拓展练习：AB O CD图1FE OD CB A123 4知识点2垂线及其性质1、定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2、表示方法：用“⊥”表示垂直，读作“垂直于”3、性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线的画法基础练习：1.过P 点，画出OA 、OB 的垂线．APO BAO P B知识点3 垂线段与点到直线的距离1、垂线段：P 为直线l 外一点，PC ⊥l ，垂足为C ，则线段PC 就是点P 到直线l 的垂线段。
2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
平行线与相交线 讲义
相 交 线 和 平 行 线一、知识结构：⑴直线公理 ⑵线段公理⑶相交线⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧同旁内角内错角同位角所截两条直线被第三条直线点到直线的距离垂线的性质唯一性互相垂直对顶角邻补角一般情况两条直线相交 ⑷平行线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ 平移的特征平行线的性质及其推论平行线的判定平行公理及其推论重要考点：1、认识常用角的概念、性质、计算2、垂线、垂线的性质3、平行线的性质与判定4、平移的性质与应用 综合考点： 1、公理的应用2、平行线的性质与判定的综合3、平行线与角平分线的综合4、平面内直线交点的个数二、典型例题：例1.已知mm 26,mm 42,30===︒=∠BC BA MBN （如图所示），过点A 分别画AB 和BC 的垂线，画点C 到AB 的垂线段，画点B 到AC 的垂线段，并量出点A 到BC 的距离和点C 到AB 的距离及A ，C 两点间的距离．例2. 如图，直线DE 交射线BA 和BC 于点F 和G ，请找出CGD ∠的同位角与B ∠的同旁内角．例3 .如图 1－18，直线a ∥b ，直线 AB 交 a 与 b 于 A ，B ，CA 平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°.变式练习：如图 1－20，CA ，CB 分别是∠BAE 与∠ABF 的平分线，若∠C=90°，问直线a 与直线b 是否一定平行？例4 .如图1－21所示，AA 1∥BA 2求∠A 1-∠B 1+∠A 2．变式1. 如图1－24所示．∠A 1+∠A 2=∠B 1，问AA 1与BA 2是否平行？变式2. 如图1－25所示．若∠A1+∠A 2+…+∠A n =∠B 1+∠B 2+…+∠B n-1，问AA 1与BA n 是否平行？例5 .如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．例6. 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF ⊥CD ．求证：∠3=∠B ．例7．如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E=∠3 试说明：AD 平分∠BAC 答：因为AD ⊥BC ，EG ⊥BC所以AD ∥EG （ ） 所以∠1=∠E （ ）∠2=∠3（ ） 又因为∠3=∠E 所以∠1=∠2所以AD 平分∠BAC （ ） 例8． 用六根火柴摆三角形．（1）摆出三个三角形，（2）摆出六个三角形； （3）摆出八个三角形；（4）摆出四个三角形．三、练习题1．填空题（1）在同一平面内，经过直线上或直线外一点，有且只有________条直线与已知直线垂直． （2）如图（1），︒=∠⊥⊥28,,AOC BO AO DO CO ，那么.________=∠BOD （3）如图（2），BC AD AC AB ⊥⊥,，垂足分别为D A ,点，C 点到直线AB 的距离是垂线段______的长度，B 点到直线AD 的距离是垂线段_________的长度，A 点到直线BC 的距离是垂线段的__________的长度，A 点到B 点的距离是线段_________的长度． （4）如图（3），已知AB 和CD 相交于O 点，︒=∠︒=∠18,50AOE BOC ，那么._______=∠COE （5）如图（4），①1∠和2∠是_____和______被_______截得的_________________； ②_______和_______被_________所截，1∠和B ∠是_________角； ③_______和_______被_________所截，EFC ∠和C ∠是_______角．2．选择题（1）下列图中，1∠和2∠不是同位角的是（ ）（2）图中，3∠和4∠不是内错角的是（ ）图8（3）图中，5∠和6∠不是同旁内角的是（ ）（4）观察图知，在下列语句中，正确的是（ ）A ．若21∠=∠，则CD AB //． B ．若21∠=∠，则BC AD //． C ．若BCD B ∠=∠，则AD BC //． D ．若D B ∠=∠，则AD BC //． （5）如果1∠和2∠是同旁内角，且︒=∠751，那么=∠2（ ）A ．75°B ．105°C ．75°或105°D ．大小不定．（6）如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么，这两个角（ ） A ．相等． B ．互补． C ．相等或互补． D ．相等且互补． （7）有下列语句：①直线a 与b 相交，若c a //，则b 不与c 平行． ②直线a 、b 被直线c 所截，同位角相等．③如果直线AB 与直线CD 平行，则点A 、B 在直线CD 的同侧． ④如果直线AB 与直线CD 相交，则点A 、B 在直线CD 的异侧． 其中，正确的是（ ）A ．①②③④．B ．①③．C ．①③④．D ．①②④．(8)一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）A ．第一次右拐50°，第二次左拐130°B ．第一次左拐50°，第二次右拐50°C ．第一次左拐50°，第二次左拐130°D ．第一次右拐50°，第二次右拐50(9). 如图4，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于O ，若∠COE=55°，则∠BOD 的度数为（A. 40° B. 45° C. 30° D. 35°(10). 如图5，已知ON ⊥l ，OM ⊥l ，所以OM 与ON 重合，其理由是（ ）A. 过两点只有一条直线B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C. 垂线段最短D. 过一点只能作一条垂线(11).下列说法正确的有（ ） ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②互为邻补角的角平分线互相垂直；③过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；④直线外一点到这条直线的垂线的长叫做这点到这条直线的距离。
(人教版七年级数学)第1讲-相交线与平行线(经典讲义)
第一讲相交线与平行线◆了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．◆了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义．◆知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．◆知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．◆知道两直线平行的条件并会正确判断．◆知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质．◆体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离．◆利用相关知识会进行有关推理和计算．◆会借助长方体了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．➢点、线、角1．点、直线、面（不定义概念）及其表示；2．射线、线段、线段的中点及其表示；3．两点确定一条直线；4．两点之间线段最短（两点之间的距离）；5．角、角的顶点、边、角平分线的表示及其性质；6．角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）、度量（度、分、秒）及计算．➢关系角及其性质1．对顶角、余角、补角（邻补角）、同位角，内错角、同旁内角；2．对顶角相等；3．同角（或等角）的余角（或补角）相等．➢相交线、平行线1．垂线、垂线段最短（点到直线的距离）；2．过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线和已知直线垂直；3．会过一点画（作）已知直线的垂线；（一落，二靠，三画）4．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；5．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．6．三线八角与平行线的关系；①判定公理：同位角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．②判定定理1：内错角相等，两直线平行．∵∠1=∠2，∴a∥b．③判定定理2：同旁内角互补，两直线平行．∵∠1+∠2=1800，∴a∥b．④性质公理：两直线平行，同位角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑤性质定理1：两直线平行，内错角相等．∵a∥b，∴∠1=∠2．⑥性质定理2：两直线平行，同旁内角互补．∵a∥b，∴∠1+∠2=1800．7．平行线之间的距离.8．会过直线外一点，画已知直线的平行线．【例题1】（06南通）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于（）A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′【例题2】（05南通）已知，如图（1）直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（） A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【例题3】（06南通）如图（2），AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的平分线交CD于G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（）A．36° B．54° C．72° D．108°【例题4】（04南通）如图（3），在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列棱中与面CC1D1D垂直的棱（）A．A1B1 B．CC1 C．BC D．CD【例题5】如图所示，已知∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在OB上有一点P，从P 点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°【例题6】如图，已知∠C=∠AOC，OC平分∠AOD，OC⊥OE，∠D=54°．求∠C、∠BOE的度数．【例题7】探究：如图所示，已知： AB∥CD，分别探究下面三个图形中∠A、∠C、∠P之间的数量关系，并选一个给予证明．【精练1】如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（）A．∠1+∠2 B．∠2-∠1图（3）图（1）图（2）例5图C．180°-∠2 +∠1 D．180°-∠1+∠2【精练2】如图1，小明要由A村去B村，现有三条路可走，走路最近理由是．【精练3】如图2，要从水渠向水池C引水，在哪里开沟可使水渠最短，请画出图形．理由是．【精练4】如图3，已知，∠1=35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．则∠2= 度，∠3= 度，∠4= 度．【精练5】（05年临汾）如图4，将一副三角板的直角顶点重合，•摆放在桌面上，•若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度．【精练6】（05年烟台）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○，第二次拐的角∠B是150○，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是【精练7】判断题：（1）和为180°的两个角是邻补角．（）（2）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．（）（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（）（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直．（）（5）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．（）【精练8】如图1，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．图3图4图3图1图2【精练9】如图2，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝_____．【精练10】如图3，∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，则∠4＝．【精练11】下列语句中，正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角 B．互为邻补角的两个角不相等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角 D．交于一点的三条直线形成3对对顶角．【精练12】如图，AB∥CD．若∠2是∠1的两倍，则∠2等于（）A．60°B． 90°C． 120°D． 150°【精练13】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（） A．第一次向左拐30○，第二次向右拐 30○B．第一次向右拐30○，第二次向左拐130○C．第一次向右拐50○，第二次向右拐130○D．第一次向左拐50○．第二次向左拐130○【精练14】如图，已知：AB∥CD，∠1=55°∠2=80°，求∠3的度数．【精练15】如图，已知： AB∥CD，BE∥CF．求证：∠1=∠4．。
相交线与平行线讲义
相交线与平行线讲义(总9页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-本章总结本章主要讲述的知识点有相交线与平行线。
其中相交线当中，两线相交，共产生两对对顶角，还引入了邻补角的概念。
相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。
经过直线外一点，作直线的垂线，有且只有一条；点到直线上各点的距离中，垂线段最短。
两条直线的另外一种关系是平行，平行就是指两条直线永不相交。
平行线之间的距离处处相等。
过直线外一点，作已知直线的平行线，有且只有一条。
当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。
两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢答案是可以的。
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB∠∠∠∠∠∠︒∠∠︒∠∠︒∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。
初中数学相交线与平行线讲义
学科教师辅导讲义认识并堂握相交线、平行线的相关知识：运用两条直线平行的条件.证明两条直线平行: 平行线的性质进行简单•的推理及有条理的表达: 学握尺规作图的基木方法。
二-知识概念（一）相交线1、对顶角的概念及性质概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点, 这样的两个角叫做对顶角。
性质：对顶角相等。
2、垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
3、点到线的距离：如右图所示，过点A作直线/的垂线，垂足为点B,则线段AB的长度叫做点A到直线/授课日期及时段T (TeXtbOOk-BaSed) 同步课堂体系搭建一、知识框架相交线L->对顶角、垂直互为余角、补角相交线与平行线学员编号:学员姓名:年级：七年级辅导科目：数学课时数：3学科教师：授课主题授课类型第Ol讲-一相交线与平行线T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标的距离，此时线段AB叫垂线段。
4、互补与互余互补：如果两个角的和是180° ,那么称这两个角互为补角，也称互补。
互余：如果两个角的和是90° , 那么称这两个角互为余角，也称互余。
性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等。
（二）平行线1、两条直线平行的条件两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简称为：同位角相等，两直线平行。
两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简称为：内错角角相等，两直线平行。
两条宜线平行的条件3：两条直线被第三条宜线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简称为：同旁内角互补，两直线平行。
2、平行线基本公理①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②平行于同一条直线的两条直线平行3、平行线的性质和判眾中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等，内错角相等或同旁内角互补，推岀两直线平行，这是平行线的判定：而从两直线平行推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，这是平行线的性质。
平行线与相交线(讲义)
七年级寒假讲义38页第一讲相交线第二讲三线八角第三讲平行线及其判定第四讲平行线性质第五讲平行线判定与性质综合第六讲习题课（格式规范训练）第一讲相交线【相交线、对顶角、邻补角】4．三条直线AB，CD，EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是_________ ，∠FOB的对顶角是_________ ，∠EOB的邻补角是_________ ．5．如图，图中有_________ 对对顶角，_________ 对邻补角．6．如图所示，已知三条直线AB、CD、EF两两相交于点P、Q、R，则图中邻补角共有_________ 对，对顶角共有_________ 对（平角除外）．7．下列说法：①对顶角的角平分线在同一条直线上；②相等的角是对顶角；③一个角的邻补角只有一个；④补角即为邻补角．其中正确的有_________ ．9．如图，三条直线交于同一点，∠1：∠2：∠3＝2：3：1，则∠4＝_________ ．10．如图，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于（）【垂线、垂线段、点到直线距离】11．在同一平面内，过一点有_________ 条直线与已知直线垂直．12．如图，AB⊥BC，则AB_________ AC（填“＞”或“＝”或“＜”），其理由是_________ ．13．已知如图，CD⊥AD于D，BE⊥AC于E．（1）点B到AC的距离是_________ ；（2）线段AD的长度表示_________ 的距离或_________ 的距离．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则点A到BC的距离为线段_________ 的长度；点A到CD的距离为线段_________ 的长度；点B到AC的距离为线段_________ 的长度；点B到CD的距离为线段_________ 的长度．15．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）16．分别过点P作线段MN的垂线．17．如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是_________ ，点P到直线l的最短路线是_________ （只填写序号即可）．18．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是_________ ．19．某中学创建绿色和谐校园活动中要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点A修建一条花间小径到边B C．若要使修建小路所使用的材料最少，请在图中画出小路AD，你这样画的理由是_________ ．20．直线m外有一定点A，A到直线m的距离是7cm，B是直线m上的任意一点，则线段AB的长度：AB_________ 7cm．（填＞或者＜或者＝或者≤或者≥）．21．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，则点C到AB的距离是___ cm．【拓展练习】22．平面内有a、b、c三条直线，则它们的交点个数可能是_________ 个．23．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（）个．24．（1）三条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数（2）四条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，分别画出图形，并数出图中对顶角和邻补角的个数（3）依此类推，n条直线相交，最少有_________ 个交点，最多有_________ 个交点，对顶角有_________ 对，邻补角有_________ 对．25．（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是_________ ．（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．（不要求写出理由）图2：_________ 图3：_________（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角_________ ．（不要求写出理由）第二讲三线八角【同位角、同旁内角、内错角】1．看图填空：（1）∠1和∠4是____________角；（2）∠1和∠3是____________角；（3）∠2和∠D是____________角；（4）∠3和∠D是____________角；（5）∠4和∠D是____________角；（6）∠4和∠B是____________角．2．看图填空：（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与____________是同位角．（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与____________是内错角．（3）∠1与∠3是AB和AF被____________所截构成的____________角．（4）∠2与∠4是____________和____________被BC所截构成的____________角．3．如图，下列结论正确的有__________________．①∠ABC与∠C是同位角；②∠C与∠ADC是同旁内角；③∠BDC与∠DBC是内错角；④∠ABD的内错角是∠BDC；⑤∠A与∠ABD是由直线AD，BD被直线AB所截得到的同旁内角．4．在图中，∠1与∠2是同位角的有__________________．）6．如图，与∠B是同旁内角的角有__________________．7．如图所示，与∠C构成同旁内角的有__________________．8．如图，在∠1，∠2，∠3，∠4中，是内错角的是（）9．如图，在所标识的角中，是内错角的是（）10．如图，CM、ON被AO所截，那么（）11．如图，下列说法不正确的是（）12．如图，下列说法中，错误的是（）13．如图，下列判断错误的是（）14．如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们一一写出来．15．观察下图，图中有多少同位角、内错角、同旁内角？请把它们列出来．16．如图所示，同位角一共有_________对，内错角一共有_________对，同旁内角一共有有_________对．17．如图，有下列说法：①若DE∥AB，则∠DEF＋∠EFB＝180°；②能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个；③能与∠BFE构成同位角的角的个数有2个；④能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个．其中结论正确的是（）【拓展练习】18．图中，与∠1成同位角的个数是__________对19．图中所标出的角中，共有同位角__________对20．如图所示，同位角共有__________对21．如图，其中同旁内角有__________对22．如图所示，直线AB∥CD，两相交直线EF、GH与AB、CD都相交，图中的同旁内角共有__________对23．如图所示，图中能与∠C构成同旁内角的有__________个．24．如图所示，与∠A是同旁内角的角共有_________个．25．如图所示，图中共有内错角__________对26．如图，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F，则图中的内错角有__________对27．如图一共有__________对内错角．第三讲平行线及其判定【平行线定义、平行线公理与推论】4．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．理由是：_________．6．如图，直线AB，CD表示一条公路的两边，且AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点，现过点E作边CD的平行线，只需过点E作_________的平行线即可，其理由是_________．8．下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③平行于同一条直线的两条直线互相平行9．下列结论正确的个数是（）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线；【平行线判定】11．如图，直线a，b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件_________（填一个即可）．12．如图，下列条件中，不能判定直线a平行于直线b的是（）13．如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）14．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1＝140°，则当∠2等于（）时，AB∥C D．16．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）17．几何推理，看图填空：（1）∵∠3＝∠4（已知）∴_________∥_________（___________________________）（2）∵∠DBE＝∠CAB（已知）∴_________∥_________（___________________________）（3）∵∠ADF＋_________＝180°（已知）∴AD∥BF（__________________________）18．如图，∠B＝55°，∠EAC＝110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：AD∥BC，理由如下：∵AD平分∠EAC，∠EAC＝110°（已知）∴∠EAD＝∠EAC＝_________ °又∠B＝55°（已知）∴∠B＝∠_________∴AD∥BC（___________________________）19．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2．证明：DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．证明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA＝90°，∠DAB＝90°．（___________________________）∴∠CDA＝∠DA B．（等量代换）又∠1＝∠2，∴∠CDA﹣∠1＝∠DAB﹣_________．（等式的性质）即∠3＝_________．∴DF∥AE．（___________________________）．20．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，∠1＝∠B，求证：AB∥EF，DE∥B C．21．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？22．如图所示，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP．为什么？23．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°．求证：AB∥C D．24．如图所示，FG平分∠CFN，∠1＝∠3＝60°，求证：AB∥C D．25．已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？【拓展练习】26．如图，已知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，证明：AB∥C D．27．如图，已知∠BED＝∠B＋∠D，求证：AB∥C D．28．如图，∠BEC＝95°，∠C＝45°，∠ABE＝130°，则AB与CD平行吗？请说明理由．29．如图，若∠ABC＋∠CDE﹣∠C＝180°，试证明：AB∥DE．30．已知：E是AB、CD外一点，∠D＝∠B＋∠E，求证：AB∥C D．第四讲平行线性质第五讲平行线判定与性质综合第六讲习题课（格式规范训练）。
初一数学：相交线与平行线课程讲义
第一章相交线与平行线相交线与平行线（一）相交线1.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
2.邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线.3.垂线：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂线的性质：（1）经过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到这条直线的距离。
练习：一、判断题1.邻补角可以看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.（）[答疑编号500200010101] 『正确答案』正确2.邻补角是互补的两个角，互补的两个角是邻补角（）[答疑编号500200010102] 『正确答案』错误3.对顶角相等，相等的两个角是对顶角（）[答疑编号500200010103] 『正确答案』错误4.有公共顶点且相等的两个角是对顶角（）[答疑编号500200010104] 『正确答案』错误5.两条直线相交，有两组对顶角（）[答疑编号500200010105] 『正确答案』正确6.两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么其余的三个也是直角（）[答疑编号500200010106] 『正确答案』正确二、填空题1.如图，已知AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC =28°，则∠AOD=度.[答疑编号500200010107]答：62°；2.已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为度.[答疑编号500200010108] 『正确答案』130°3.如果∠α=55°，那么它的余角为______________.[答疑编号500200010109] 『正确答案』35°4.已知一个角的2倍恰好等于这个角的补角的，则这个角等于.[答疑编号500200010110]答：20°；5.如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB +∠DOC =.[答疑编号500200010111]答：180°；6.两条直线相交，所成的所有小于平角的角中，有对对顶角，有对邻补角；三条直线交于一点，所成的所有小于平角的角中，有对对顶角，有对邻补角。
相交线与平行线
相交线与平行线第一讲1.如图所示，直线AB，CD交于点O，∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，∠AOC=30°，试试∠EOF的度数。
2.如图所示，直线AB、CD、EF两两相交，若∠1=30°，∠2=60°，则∠3= ，∠4= ，∠5= ，∠6= 。
二、垂线及其性质1.概念：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.画法：“一落”“二移”“三画”3.性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
练习：1、在右图中，∠ACB=90°，AC AB（填“＞”或“＜”或“=”），AC+BC AB（填“＞”或“＜”或“=”）。
2、如图所示，计划把河中的水引到水池C中，怎样开渠道最短？并说明理由。
练习：1、如右图所示(1)∠1和∠2是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(2)∠2和∠3是直线和直线被第三条直线所截而成的角；(3)∠4和∠A是直线和直线被第三条直线所截而成的角。
2、如图所示，在∠1、∠2、∠3、∠4、∠5和∠B中，错角是，同旁内角是。
四、应用1、如图所示，将长方形纸片折叠，使A点落在A’处，BC为折痕，BD是∠A’BE的平分线，试求∠CBD的度数。
（折叠问题）2、如图所示，将五边形纸片ABCDE折叠，折痕为AF，点E，D分别落在点E’，D’上，已知∠AFC=76°，求∠CFD’的度数。
（折叠问题）3、下列说法正确的是（）A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离。
B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度是这点到已知直线的距离。
C.画出直线外一点到已知直线的距离。
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
综合练习一、选择题1、下列说法中正确的个数是（）①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2；②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1=∠2；③因为∠1与∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；④因为∠1与∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°A.0B.1C.3D.42、如右图所示，直线AB，DC交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠COM=38°，则∠BOD等于（）A.76°B.142°C.144°D.104°3、如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（）A.125°B.135°C.145°D.155°4、∠1与∠2互为邻补角，则下列说法不一定正确的是（）A.∠1＞∠2 C.∠1与∠2有一条公共边B.∠1+∠2=180° D.∠1与∠2有一条边互为反向延长线5、已知∠1与∠2互为对顶角，且∠1+∠2=168°，则∠1=（）A.134°B.12°C.84°D.78°二、填空题1、已知∠1与∠α互余，∠α与∠3是邻补角，如果∠1=63°，那么∠3=2、如图所示，PO⊥OR，垂足为O，OQ⊥PR，垂足为Q，且PO=4cm，RO=3cm，，PQ=3.2cm，则点O到直线PR的距离是cm；点P到的距离是cm；点R到直线的距离是3cm.第2题第3题3、如上图所示，直线AB、CD交于点O（1）如果∠1－∠2=85°，那么∠AOC=；（2）如果∠1∶∠2=3∶2，那么∠BOC=。
相交线与平行线讲义 1
相交线与平行线讲义一、章节知识点总结和回顾(一)、知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移（二）、知识定义邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
（三）、定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：平行线的判定：性质1：两直线平行，同位角相等。
判定1：同位角相等，两直线平行。
性质2：两直线平行，内错角相等。
判定2：内错角相等，两直线平行。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
（四）、经典例题例1 如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=54°，∠EOD=90°，求∠EOB，∠COB的度数。
EDC BA例2 如图AD 平分∠CAE ，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB 等于多少？例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不 相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。
相交线和平行线讲义[1]
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豫华教育辅导讲义课 题相交线和平行线讲义教学内容相交线和对顶角的概念两直线相交：若两直线只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫交点。
对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线。
对顶角的本质特征：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线。
另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个。
例题：图中∠1和∠2是对顶角的是 （ ）A B C D例题：如图所示，三条直线相交于点O ，说出图中的对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等例题：如图所示，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是∠DOB 的平分线， 若∠AOC=76°，则∠EOB= 。
例题：如图所示：直线AB 与CD 相交于点O ，已知∠BOC=60°，说出下列各个角的度数。
例题：如图所示：直线AD 与BE 相交于点O ，∠DOE 与∠COE 互余，∠COE=62°，求∠AOB 的度数。
理解两条直线互相垂直的有关概念 若两直线l 与m 先交构成的四个角中有一个角是直角，就说着两条直线互相垂直，记作：m l ，直线称为垂线，交点就是垂足。
例题：如图所示：OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，若∠AOD=144°，则∠BOC= 。
例题：如图所示：如果D 是BC 的中点，那么B 、C 两点到直线AD 的距离相等， 试写出已知、求证，并补全图形（不证明）。
EA BO D CODEBCACO A B DEOA DBFC A OCDB A CBD垂线的性质（1）一般地，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线。
（2）一般地，直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
例题：判断：平面内两条不平行的线段必相交。
（ ） 掌握用符号表示两条直线互相平行“平行”用符号“∥”表示。
如图，直线AB 和CD 是平行线，记作AB ∥CD （CD ∥AB ），读作“AB 平行CD ”（“CD 平行AB ”）如果用m ，n 表示这两条直线，那么直线m 与直线n 平行，记作m ∥n （n ∥m ），读作“m 平行n ”（“n 平行m ”）会用三角形、直尺、量角器、方格纸等画平行线平行线的两种画法：（1）画垂线法作平行线；（2）推平行线法。
相交线和平行线讲义(1)
求实教育学科教师辅导讲义学员姓名：教师：课题相交线和平行线讲义授课时间：2014年月日教学目标1、理解对顶角的定义；掌握对顶角的性质，能进行简单的应用。
2、理解垂直的概念；掌握垂直的画法和性质。
3、了解两条直线的平行关系，掌握有关的符号表示；理解平行线的性质。
重点、难点重难点：利用对顶角和平行线的相关性质解决问题。
教学内容【知识点回顾】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
相交线与平行线讲义
欢迎阅读相交线与平行线一、邻补角、对顶角及其性质1、邻补角的概念例：两个角互为邻补角，它们的平分线所成的角是 度. 练习：（1）、若三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，一共构成多少对邻补角？ （2）、一个角的余角是这个角的补角的1/3?，试求这个角。
2对顶角的概念例：下列说法正确的是（ ）A ．有公共顶点，且方向相反的两个角为对顶角B ．有公共顶点，且又相等的角为对顶角C ．角的两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角为对顶角D ．有公共顶点的两个角为对顶角练习（1）下列各图中∠1和∠2为对顶角的是（ ）（2）如图2—12直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠1=∠2，试说明OE 是∠AOC 的平分线. （3）如果4条不同的直线相交于一点，那么图形中有多少对对顶角呢？如果是n 条不同的直线相交于一点呢？ 3对顶角的性质例：已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC+∠BOD=230°，求∠BOC 的度数.练习（1）如图2—14，已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠2：∠3=2：3：4，求 ∠4的度数.（2）如图2—15，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠BOD=10°，求∠AOC 的度数.4、垂线的定义例：下列说法是否正确：两条直线相交，有一条角是直角，则两条直线互相垂直。
两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
两条直线相交，四个角都相等，则两条直线互相垂直。
两条直线相交，有一组邻补角相等，则两条直线互相垂直。
练习（1）如图一所示，当∠1与∠2满足 时，能使OA ⊥OB （2）过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在( ) A 、这条线段 B 、这条线段的端点上 C 、这条线段的延长线上 D 、以上都有可能5垂线的画法例：①请画出∠AOB 的角平分线OC ，②在OC 上任取一点P ，过点P 画OA 、OB 的垂线，垂足分别为点E 、F ③量出点P 到OA 、OB 的距离，你有什么发现？ ④把你发现的结论用一句话描述出来。
相交线与平行线(一)
授课内容 平行线和相交线（一） 学生姓名 严承希 授课教师彭老师教学效果识别对顶角和邻补角 对顶角①两条直线相交而成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边 .对顶角相等 对顶角的性质：对顶角相等 邻补角①两条直线相交而成的角 ②有一个公共顶点③有一条公共边 邻补角互补 相同点和不同点1. 都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现. 对顶角没有公共边 而邻补角有一条公共边；2. 两条直线相交时，一个角的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个.【巩固练习】1、如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______2、如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是_______，∠COF 的邻补角是________，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________.4、如图，直线a ，b 相交，（1）若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数 （2）若∠2比∠1大40°, 求∠4的度数b a 4321第1题 F EO D C B A 第2题 F E O D C B A 第3题 ba4321第4题5、如图所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于Ｏ点，∠1＝４0°, ∠2=75°，则∠3等于多少度？6、如图，已知直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOE=90°，∠DOE=40°，求∠AOC 和∠BOC 的度数7、如图,直线AB 、CD 相交于点O. (1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.(2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求各角的度数.认识“三线八角” 【例1】(1)如图2-32，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的？∠1与∠2，∠2与∠4，∠2与∠3．答：∠1与∠2是 被 所截而得到的一对 角． ∠2与∠4是 被 所截而得到的一对 角 ∠2与∠3是 被 所截而得到的一对 角 (2)如图2-33，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角．OD CBA 32O F E DB AC 1A O E DBC答：同位角有：；内错角有: ；同旁内角有: .(3)如图2-34，指出图中∠1与∠2，∠3与∠4的关系．答：∠1与∠2是，∠3与∠4是．4．正确识别这三类角应注意的问题．(1)识别这三类角首先要抓住“三条线”，即：哪两条直线被哪一条直线所截．(2)抓住“截线”，截线的同侧有哪些角、从中找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角．【巩固练习】如下图（1），l2364 51 2 l1l3图（1）（1）∠∠12与是两条直线_________________与_________________被第三条直线_________________所截构成的___________________角。
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赵老师一对一个性化教案学生姓名教师姓名赵老师授课日期授课时段课题相交线和平行线复习巩固点线面体角的相关知识教学步骤及教学内容第一部分：复习总结第二部分：真题演练1.相交线了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.2.垂线1）了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；2）会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离.3.同位角、内错角、同旁内角1)使学生理解三线八角的意义，并能从复杂图形中识别它们；2)通过三线八角的特点的分析，培养学生抽象概括问题的能力.4.平行线1)使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；2)了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线.第三部分：回顾总结第四部分：课后练习第五章 相交线与平行线5.1.1 相交线相交线的性质：两条直线相交，有且只有一个交点。
对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
邻补角定义：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。
对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角的性质：邻补角互补。
例一：1．如图1所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：____ _ ___ __； （2）写出∠COE 的邻补角： __； （3）写出∠BOC 的邻补角：____ _ ___ __； （4）写出∠BOD 的对顶角：____ _． 2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）3．如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______4．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____.练习：1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为 度 2．如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=60°，∠2=23∠4，•求∠3、∠5的度数．图1b a 4321第1题 F EO D C B A第2题F E OD C BA第3题3．如图所示，有一个破损的扇形零件，•利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？4．探索规律：（1）两条直线交于一点，有 对对顶角； （2）三条直线交于一点，有 对对顶角； （3）四条直线交于一点，有 对对顶角； （4）n 条直线交于一点，有 对对顶角．5.1.2 垂线当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图用几何语言表示：方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD ，垂足是_____ 方式⑵∵ AB ⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即垂线段最短。
在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．例一：1．如图所示，OA ⊥OB ，OC 是一条射线，若∠AOC=120°， 求∠BOC 度数2．如图所示，直线AB ⊥CD 于点O ，直线EF 经过点O ， 若∠1=26°，求∠2的度数．CDA BO3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）比较线段PE，PF，PO三者的大小关系探索二：仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离，你还有什么收获？请将你的收获记录下来：_______________________________________________简单说成：．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离.注意：垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离.例二：1．在下列语句中，正确的是（）．A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离2．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是________，点A到BC的距离是_______，点C到AB•的距离是_______，•AC>CD•的依据是_________．练习：1．如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大 B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等 D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．3．如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC的度数；（2）判断AB与OC的位置关系．5.1.3 同位角、内错角、同旁内角如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？观察填表：表一位置1 位置2 结论∠1和∠5 处于直线c的同侧处于直线a、b的同一方这样位置的一对角就称为同位角∠2和∠8 处于直线c的（）侧这样位置的一对角就称为（）∠3和∠6 处于直线a、b的（）方这样位置的一对角就称为（）∠1和∠5这样位置的一对角就称为（）表二位置1 位置2 结论∠4和∠8 处于直线c的两侧处于直线a、b之间这样位置的一对角就称为内错角∠3和∠5这样位置的一对角就称为（）表三位置1 位置2 结论∠3和∠8 处于直线c的（）侧处于直线a、b（）这样位置的一对角就称为同旁内角∠4和∠5 这样位置的一对角就称为（）abc例：1．如图1所示，∠1与∠2是__ _角，∠2与∠4是_ 角，∠2与∠3是__ _角．(图1) (图2) (图3)2．如图2所示，∠1与∠2是___ _角，是直线______和直线_______•被直线_______所截而形成的，∠1与∠3是___ __角，是直线________和直线______•被直线________所截而形成的．3．如图3所示，∠B同旁内角有哪些？练习：1．如图，(1)直线AD、BC被直线AC所截，找出图中由AD、BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________(2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截，构成内错角.2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（）A. 60°B. 120°C. 60°或120°D.无法确定3．如图，判断正误①∠1和∠4是同位角；（）②∠1和∠5是同位角；（）③∠2和∠7是内错角；（）④∠1和∠4是同旁内角；（）4．如图，直线DE、BC被直线AB所截.⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？341E2B CDA341E2B CDA5.2.1 平行线平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：（1）前提“在同一平面内”不可忽视，因为在空间图形中存在两条直线既不平行也不相交的情形；（2）平行线指的是两条直线，而不是射线或线段，虽然有时我们也说线段或射线平行，但实际上是他们所在的直线平行；（3）我们把相互重合的两条直线认为是同一条直线，所以在同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们一定相交；反之，在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们一定平行。
平行线的表示方法：如果直线AB 平行于直线CD ，我们可以写成：AB ∥CD.例一：1．下列说法中，正确的是（ ）．A ．两直线不相交则平行B ．两直线不平行则相交C ．若两线段平行，那么它们不相交D ．两条线段不相交，那么它们平行2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个.（平行公理）：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行. 同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.用几何语言可表示为：如果b ∥a ，c ∥a ，那么 .例二：1．如图1所示，与AB 平行的棱有_______条，与AA ′平行的棱有_____条． 2．如图2所示，按要求画平行线． （1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ．3．如图3所示，点A ，B 分别在直线1l ，2l 上，（1）过点A 画到2l 的垂线段；（2）过点B 画直线3l ∥1l ．(图1) (图2) (图3)4．下列说法中，错误的有（ ）．①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交; ②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个练习：1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________. 3．判断题（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( )4．读下列语句，并画出图形：⑴点P 是直线AB 外一点，直线CD 经过点P ，且与直线AB 平行，直线EF 也经过点P•且与直线AB 垂直．⑵直线AB ，CD 是相交直线，点P 是直线AB ，CD 外一点，直线EF 经过点P•且与直线AB 平行，与直线CD 相交于E ．5.2.2 平行线的判定判定方法1（判定公理） 几何语言表述为：∵ ∠___=∠___ ∴ AB ∥CD由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到： 判定方法2（判定定理） 几何语言表述为：∵ ∠___=∠___ ∴ AB ∥CD 由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到：判定方法3（判定定理） 几何语言表述为：∵ ∠___+∠___=180° ∴ AB ∥CD平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。