③第二章 二叉树、资产组合复制和套利
二叉树遍历操作的基本应用(复制、求深度、求叶子数、求节点数等)
二叉树遍历操作的基本应用（复制、求深度、求叶子数、求节点数等）1. 引言1.1 概述二叉树是计算机科学领域中常用的数据结构之一，具有广泛的应用场景。
在二叉树的操作中，遍历是其中最基本和常见的操作之一。
通过遍历，我们可以按照特定规则依次访问二叉树中的所有节点。
本文将探讨二叉树遍历操作的基本应用，包括复制、求深度、求叶子数、求节点数等。
这些操作不仅在实际开发中有重要意义，而且对于理解和掌握二叉树数据结构及其相关算法也具有重要作用。
1.2 文章结构本文将分为五个部分进行论述。
首先，在引言部分（第1节）我们将概述文章的主题和目标。
紧接着，在第2节中，我们将介绍二叉树遍历的基本应用，包括复制、求深度、求叶子数和求节点数等。
在第3节中，我们将详细解析这些基本应用，并给出相应算法和实例分析。
接下来，在第4节中，我们将通过实际案例应用来验证并讨论这些基本应用的性能与适用范围。
最后，在第5节中总结全文内容，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文的目的是通过对二叉树遍历操作的基本应用进行详细剖析，帮助读者深入理解和掌握二叉树数据结构及其相关算法。
同时，我们希望通过实际案例应用与讨论，探讨如何优化算法性能、提高效率以及适应大规模二叉树遍历问题。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解并应用二叉树遍历操作的基本方法，在实际开发中解决相关问题，并为进一步研究和探索提供思路与参考。
该部分主要介绍了文章的概述、结构和目的，引导读者了解全文并明确阅读目标。
2. 二叉树遍历的基本应用:二叉树是一种常见的数据结构，其遍历操作可以应用于多种实际问题中。
本节将介绍四个基本的二叉树遍历应用：复制二叉树、求二叉树的深度、求二叉树的叶子数和求二叉树的节点数。
2.1 复制二叉树:复制一个二叉树意味着创建一个与原始二叉树结构完全相同的新二叉树。
该应用场景在涉及对原始数据进行修改或者对数据进行独立操作时非常有用。
复制操作可以以递归方式实现，通过先复制左子树，再复制右子树，最后创建一个与当前节点值相等的新节点来完成。
二叉树模型介绍
②期权定价: 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率 为0.6523，价值为零的概率为0.3477。 看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
三、两步二叉树图
1、两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树 图的每个单步二叉树图中，股票价格可 以上升10％或者下降10％。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三 个月，无风险利率是年率12％。 期权的执行价格为$21
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值 对两个股票价格都是相等的，则该组合 就是无风险的。
22Δ—1=18Δ
Δ=0.25
一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权
4）定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值 为：22×0.25＝4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值 为：18×0.25＝4.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权 有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
二叉树模型的原理
二叉树模型的原理二叉树是一种最常见和最基础的数据结构之一，在计算机科学领域中被广泛应用。
它是由一组节点组成的层次结构，每个节点最多有两个子节点，被称为左子节点和右子节点。
每个节点可以包含一个值，也可以为空。
二叉树的例子包括：家谱树、文件系统树、数据库索引树等。
二叉树的特点是具有层次结构，即根节点处于树的顶部，其他节点按照从上到下、从左到右的顺序排列。
左子节点相对于父节点在树的左侧，右子节点相对于父节点在树的右侧。
二叉树模型的原理包括以下几个方面：1. 根节点：二叉树的根节点是整个树的起始点，它没有父节点。
根节点是二叉树中其他节点的起点。
2. 子节点：每个节点最多可以有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。
左子节点位于父节点的左侧，右子节点位于父节点的右侧。
3. 叶节点：没有任何子节点的节点被称为叶节点，或称为终端节点。
它们位于二叉树的最底部，是树的末端。
4. 祖先节点：对于任意节点，它的所有父节点（包括父节点的父节点）都被称为该节点的祖先节点。
5. 子树：对于任意节点，以该节点为根的子树都包含该节点以及该节点的所有后代节点。
6. 深度：节点的深度是从根节点到该节点的路径的长度。
7. 高度：二叉树的高度是根节点到最深叶节点的路径的长度。
8. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。
这样的性质使得查找、插入和删除操作都能够在平均情况下以O(log n)的时间复杂度完成。
9. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的任意节点的左右子树的高度差不超过1。
平衡二叉树的优点是能够保持树的平衡性，这样查找操作的时间复杂度能够保持在O(log n)。
10. 遍历：二叉树的遍历是指按照某种规则依次访问树中的每个节点。
常用的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树；中序遍历是先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树；后序遍历是先递归地遍历左子树和右子树，最后访问根节点。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
金融工程与金融数学的期末考试要点总结
第一章金融市场§1-1 基本思想——复制技术与无套利条件§1-2 股票及其衍生产品§1-3 债券市场§1-4 利率期货§1-2 股票及其衍生产品股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。
卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。
买方(holder)：购买该合约的个人或公司。
标的资产：股票。
远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。
f t＝S t－Xe－rT卖空条款：1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。
2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。
3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。
期货合约定价期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。
X＝S0e rT看涨期权到期时损益：Call=(S T－X)＋看跌期权到期时损益：Put = (X －S T)＋§1-3 债券市场票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。
即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。
到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。
若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。
到期收益率R为：利率与远期利率：f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1）§1-4 利率期货国债期货定价F t＝(P－C) e r(T－t)C表示债券所有利息支付的现值．P为债券的现在价格。
第二章二叉树、资产组合复制和套利§2-1 博弈法§2-3 概率法§2-2 资产组合复制§2-4 多期二叉树和套利§2-1 博弈法假设：●v市场无摩擦●v存在一种无风险证券●v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷●v股票的价格运动服从二叉树模型无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即U－aS u＝D－aS d无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)，e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d要点：构造一个无风险投资组合§2-2 资产组合复制思想：构造资产组合复制衍生产品。
二叉树定价原理
二叉树定价原理二叉树定价原理通常是指在金融数学中，使用二叉树模型来对具有不确定性收益的金融衍生品进行定价的方法。
这种方法由经济学家Fischer Black和Myron Scholes在1973年提出，后来由Robert C. Merton 进一步发展，因此也被称为B-S模型或Merton模型。
在二叉树模型中，未来的资产价格被表示为一系列的二元选择，即资产价格要么上升，要么下降。
每一时期的结束都是一个决策点，在这里投资者必须决定是否购买、持有或出售资产。
每一时期结束时，资产价格要么翻倍，要么减半，这取决于模型的参数设置。
这种结构形成了一个二叉树，每一层的节点代表在下一时期结束时的可能资产价格。
二叉树定价模型的核心思想是通过反向递归的方式来计算每个时期结束时资产的期望收益，并且结合无风险利率和资产的当前价格来计算期权的价格。
具体步骤如下：1. **构建二叉树**：根据资产的波动率和其他参数（如无风险利率、到期时间等）构建二叉树。
2. **计算内在价值**：从二叉树的最后一个节点开始向前计算每个期权的内在价值。
对于看涨期权，内在价值为max(S_T - K, 0)，其中S_T 是到期时的资产价格，K是执行价格。
对于看跌期权，内在价值为max(K - S_T, 0)。
3. **计算期权价格**：对于欧式期权，使用布莱克-斯科尔斯定价公式来计算期权价格。
该公式考虑了期权的内在价值和时间价值，公式如下：\[ C(S, t) = S_0N(d_1) - Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \]\[ P(S, t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - S_0N(-d_1) \]其中，\( C(S, t) \) 是看涨期权的价格，\( P(S, t) \) 是看跌期权的价格，\( S_0 \) 是当前资产价格，\( K \) 是执行价格，\( r \) 是无风险利率，\( T \) 是期权到期时间，\( t \) 是当前时间，\( N(\cdot) \) 是累积标准正态分布函数，\( d_1 \) 和\( d_2 \) 是由以下公式计算得到的：\[ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \] \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t} \]其中，\( \sigma \) 是资产价格的波动率。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
以下是关于二叉树的知识点总结。
1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。
二叉树可以为空。
2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。
中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。
后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。
3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。
它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。
它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。
4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。
最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。
在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。
二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。
5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。
判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。
5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。
数据结构二叉树知识点总结
数据结构二叉树知识点总结二叉树是指每个节点最多有两个子节点的树结构。
它是一种重要的数据结构，在算法和程序设计中被广泛应用。
下面是对二叉树的主要知识点进行详细总结。
1.二叉树的基本概念：-树节点：树的基本单元，包含数据项（节点值）和指向其他节点的指针。
-根节点：树的第一个节点。
-叶节点（又称为终端节点）：没有子节点的节点。
-子节点：一些节点的下一级节点。
-父节点：一些节点的上一级节点。
-兄弟节点：拥有同一父节点的节点。
-深度：从根节点到当前节点的路径长度。
-高度：从当前节点到最远叶节点的路径长度。
2.二叉树的分类：-严格二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
-完全二叉树：除了最后一层外，其他层的节点数都达到最大，并且最后一层的节点依次从左到右排列。
-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点，并且所有叶节点都在同一层上。
-平衡二叉树：任意节点的两棵子树的高度差不超过13.二叉树的遍历：-前序遍历：根节点->左子树->右子树。
递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树和右子树。
-中序遍历：左子树->根节点->右子树。
递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树。
-后序遍历：左子树->右子树->根节点。
递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点。
-层序遍历：从上到下，从左到右依次访问每个节点。
使用队列实现。
4.二叉查找树（BST）：-二叉查找树是一种有序的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树的节点的值都小于当前节点的值，右子树的节点的值都大于当前节点的值。
-插入操作：从根节点开始，递归地比较要插入的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到插入位置为止。
-查找操作：从根节点开始，递归地比较要查找的值和当前节点的值，根据比较结果向左或向右移动，直到找到目标节点或到叶节点。
-删除操作：有三种情况：-被删除节点是叶节点：直接将其删除。
金融工程课件-二叉树模型介绍
The Probability of an Up Move
p ad ud
a erDt for a nondividend payingstock a e(rq)Dt for a stock index where q is the dividend
yieldon the index a e(rrf )Dt for a currency where rf is the foreign
= 1.2823
11.17
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D0
48
E
4
32 F 20
11.18
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
11.19
11.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
5.000 (= 0.25 20 ) 因此期权价值为
0.633 (= 5.000 – 4.367 )
11.7
一般结论
价值取决于标的股票价值，且有效期 为T 的衍生品：
S0u
S0
ƒu
ƒ
S0d
Delta值
Delta (D) 是期权价格的变动与标的 资产（股票）价格变动的比值
D 的价值随期权的状态不同而不同 （虚值、实值、深度实值、深度虚 值）
二叉树各种计算公式总结
二叉树各种计算公式总结二叉树是一种常见的数据结构，它由一个根节点和最多两个子节点组成。
许多计算问题可以通过对二叉树进行各种操作和遍历来解决。
在本文中，将总结二叉树的各种计算公式。
1.二叉树节点个数：二叉树节点个数的计算公式是N=N1+N2+1，其中N表示二叉树的节点个数，N1表示左子树的节点个数，N2表示右子树的节点个数。
2. 二叉树的高度：二叉树的高度是指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数量。
计算二叉树的高度的公式是H = max(H1, H2) + 1，其中H表示二叉树的高度，H1表示左子树的高度，H2表示右子树的高度。
3.二叉树的深度：二叉树的深度是指从根节点到当前节点的路径的长度。
计算二叉树的深度的公式是D=D1+1，其中D表示二叉树的深度，D1表示父节点的深度。
4.二叉查找树：二叉查找树是一种有序二叉树，它要求对于树中的每个节点，左子树的值都小于节点的值，右子树的值都大于节点的值。
在二叉查找树中进行的公式是：-如果目标值等于当前节点的值，则返回当前节点；-如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中继续；-如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中继续。
5.二叉树的遍历：二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的二叉树遍历方式有三种：- 前序遍历：先访问根节点，然后递归地访问左子树，最后递归地访问右子树。
可以表示为：root -> 左子树 -> 右子树。
- 中序遍历：先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后递归地访问右子树。
可以表示为：左子树 -> root -> 右子树。
- 后序遍历：先递归地访问左子树，然后递归地访问右子树，最后访问根节点。
可以表示为：左子树 -> 右子树 -> root。
6.二叉树的最大路径和：二叉树的最大路径和是指二叉树中两个节点之间路径上的节点值的最大和。
可以通过递归地计算每个子树的最大路径和，然后选择最大的子树路径和来得出最终结果。
二叉树模型
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
二叉树模型
Binomial Trees
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
对冲比率
看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样， 负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：
h 0 13.46 0.299 125 80
因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。 成本为 $29,900 (299 x $100) + $5,030 (1,000 x $5.03) ＝ $34,930
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C
p2Cu2
2p(1
p)Cud
(1
p)
C 2 d2
(1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Байду номын сангаас
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
金融数学PPT课件
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2020/1/10
利息理论应用
第二章-16
例题：看涨期权 我们有一股股票，现价为100美元 ，在一年以后，股价可以是90美元或120美元， 概率并未给定，即期利率是5%（1美元今天投资 ，一年后价值1.05美元），一年之后的到期执行 价格为105美元的股票期权的价格是多少？
另外虽然从理论上如此，但是市场会自动的 调节从而使得无风险的套利机会丧失
2.2.4博弈论方法---一般公式
假设股票在时间t只有两个价值，如果股票处
于上涨的状态SU,那么衍生品的价格为U，
复制二叉树的算法 -回复
复制二叉树的算法-回复如何复制二叉树。
1. 引言（150字）：二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
有时候，我们需要复制一个二叉树，而不是简单地引用它。
本文将介绍一种复制二叉树的算法，它会逐步解释如何在程序中实现这一过程。
2. 算法介绍（200字）：复制二叉树是指创建一棵与原始二叉树结构相同的新二叉树，但是新二叉树的节点值与原始二叉树的节点值不同。
这意味着，即使对原始二叉树进行了修改，新二叉树仍然保持不变。
复制二叉树的算法可以通过递归或迭代的方式实现。
在接下来的部分中，我们将重点介绍递归算法的实现过程。
3. 递归实现（500字）：递归是一种自我调用的方式，很适合用来处理树形结构，比如二叉树。
复制二叉树的递归算法可以通过以下步骤来实现：a. 创建一个新的节点，将其值设置为原始二叉树根节点的值。
b. 递归地将原始二叉树的左子树复制到新二叉树的左子树。
c. 递归地将原始二叉树的右子树复制到新二叉树的右子树。
具体的实现过程如下：class TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = Nonedef copy_tree(original_tree):if original_tree is None:return Nonenew_tree = TreeNode(original_tree.value)new_tree.left = copy_tree(original_tree.left)new_tree.right = copy_tree(original_tree.right)return new_tree在上述代码中，我们首先检查原始二叉树是否为空。
如果是，则说明它是一棵空树，可以直接返回空。
否则，我们使用原始二叉树根节点的值创建一个新节点。
然后，我们通过递归地调用`copy_tree`函数，将原始二叉树的左子树和右子树复制到新二叉树的左子树和右子树中。
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一. 概述金融工程是将金融理论、数学和计算技术应用于金融市场、金融产品和金融机构的实践领域。
金融工程的一个重要模型是二叉树模型，它是一种对金融市场价格和风险进行建模和评估的数学工具。
本文将对金融工程二叉树模型的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
二. 二叉树模型的原理二叉树模型是一种离散时间的、离散状态的模型，它将金融市场的演化过程划分为若干个时间步长，并假设每个时间步长内市场处于两种状态之一。
每个时间步长内，根据给定的概率，市场可能上涨或下跌。
根据这种二叉树结构，可以模拟金融产品的价格和风险变化。
1. 二叉树结构二叉树是一种树形结构，它由根节点、左子树和右子树构成。
在金融工程中，根节点表示当前时刻的市场价格，左子树和右子树分别表示市场可能上涨和下跌的价格。
每个节点都有一个概率与之关联，表示市场在下一个时间步长内上涨或下跌的概率。
2. 风险中性概率在二叉树模型中，风险中性概率是一个关键的概念。
它是指在不考虑利率的情况下，市场上涨和下跌的概率之比。
通过计算风险中性概率，可以确定期权等金融衍生品的价格。
3. 价格的演化在二叉树模型中，价格的演化是通过计算每个节点的价格得到的。
从根节点开始，根据给定的概率，计算出左子节点和右子节点的价格。
递归地进行这个过程，直到达到最后一层节点。
通过这种方式，可以得到整个期权或衍生品的价格变化路径。
三. 二叉树模型的应用二叉树模型在金融工程领域有着广泛的应用。
它可以用于定价期权、衍生品和其他金融产品，进行风险管理和投资决策。
1. 期权定价二叉树模型可以用于定价欧式期权和美式期权。
通过构建二叉树，计算每个节点的价格，可以得到期权的合理价格。
对于美式期权，可以在每个节点上比较立即行权和持有到下一个时间步长行权的收益，选择较高的收益。
2. 风险管理二叉树模型可以用于评估金融产品的风险。
通过计算每个节点的价格，可以得到金融产品价格的分布。
通过分析这个分布，可以评估产品在不同市场状态下的风险水平，为风险管理提供参考。
第二章 二叉树、资产组合复制和套利
➢ 套利 期权定价V=7.14，即V≤7.14.假设V>7.14，例如V=7.25 套利者购买一股股票，卖出2股期权，现金流（成本）为 100-2×7.25=85.5 T=1年后，变为85.5er(T-t)=89.775 一年后，股票—期权组合的净值为90元，负债为89.775元，获得 利润0.225元
设π0为在时间t=0时资产组合的价值， π0 = aV0+bS0 为在时间t=1时的资产组合定价。 当St 120元时 → π1= （120—105）a+120b 当St 90元时 → π1= 0×a+90b
➢ 约减随机项
选择适当的a 和b，使得π1 不取决于股价的涨跌结果。即令： （120—105）a+120b= 0×a+90b
假设V<7.14,例如V=7，只是采用逆向操作，即买入两股期权而卖 出一股股票。现金流为100-2×7=86，无风险投资到年末的价值为 86e0.05=90.3 在到期时，t=T，股票—期权的成本是90元，可获利93.3-90=0.3元
例：设St=20，X=18，T-t=1年，r=10%（年利率）。求期权 的价值。
由于该资产组合无风险，故有V0 – a S0 =e-rt(U – aSu)
于是得到衍生产品的定价公式： V0 = a S0 +e-rt(U – aSu)
2.2 资产组合复制
Su S0
Sd
U V0
D
资产组合匹配
资产组合π：a单位的股票+b单位的债券，故π0 = aV0+bS0
在t= 时，股票模型给出资产组合的两个未来价值。
元，赎回贷款，他的最终净头寸为：
4000000 – (1500000+2493750)=6250元
《金融随机分析——二叉树资产定价模型》读书笔记
《金融随机分析——二叉树资产定价模型》读书笔记看到名著阅读书单，第一眼就就注意到了《金融随机分析》，买了书之后才发现——居然有两卷。
而翻开《连续时间模型》，映入眼帘的便是“勒贝格测度”、“Borel集”等名词，想到自己那点微末的实变函数知识，心中想：还是留待大三再来啃这本书吧。
所以，只看了第一卷——《二叉树资产定价模型》，下面就谈谈阅后体会。
《二叉树资产定价模型》全书共有六章，在我看来可以分为两个部分第1，2，3，5章用数学工具引进了金融资产定价中的一些核心概念，而第4，6章则介绍了一些更专业的概念，对欧式衍生证券作了推广。
全书主干从单时段二叉树模型开始，给出了0<d<1+r<u的假定，~,~与在时刻以排除套利存在，并在此基础上推导出了风险中性概率qp0的衍生证券的定价。
进而推广到了多时段的二叉树模型，得到了时V的衍生证券的无套利价格公式及对冲衍生证券空头刻N的支付为N的资产组合中应持有的股票份额。
在风险中性概率下，无论如何投资，资产的平均回报率均与货币市场投资的增长率r相等。
而第二章，首先引入了一个重要概念——鞅：在掌握变化规律的情况下，对未来的期望值等于当下的值。
而书中给出了在离散条件下鞅的性质的一系列证明，并得出了一个重要结论：如果一个模型中存在一个风险中性测度，那么这个模型中就不存在套利（资产定价第一基本定理）；同时得到了风险中性定价公式与现金流定价。
接下来引入了Markov 过程，消除了衍生证券价格过程的路径依赖性。
当然，以上结论的推导都是在离散样本空间下进行的。
第三章状态价格则讲述了二叉树模型中从真实概率测度到风险中性概率测度的变换，而关键是引入了拉东-尼柯迪姆导数，并且在多时段二叉树模型下定义了状态价格的概念。
由二叉树模型中的拉东-尼柯迪姆导数——随机变量Z 引出了状态价格密度，并且利用状态价格密度解决了在1,,1,0),)(1(11-⋯=∆-++∆=++N n S X r S X n n n n n n 的约束下的最优投资问题。
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2.5 风险
面对风险的三种态度：回避风险，承担风险，风险管理
期权交易商喜欢控制风险或将风险最小化，下面将通过例子来说 明这种方法。
对冲风险
例：某公司股票以60元出售，一年以后的价格用二叉树表示为： 80 15 S0=60 V0 50 0 X=65元，r=0.048, S0=60, Su=80, Sd=50, =1,U=15,D=0 U D ，b U aSu e-r 由之前公式，易得 a
二项式期权定价模型
Cox, Ross和Rubinstein（1979）首先推导出了二项式期权定价模型。 尽管推导此模型设计的数学不深，但模型隐含的经济意义十分重 要。在这里，根据期权平价公式，只考虑欧式买入期权定价问题。
单期二项式期权定价模型
存在两个时刻，时刻0表示现在，时刻1表示将来。用S0表示在0 时刻的股票价格，在时刻1股票价格是随机变量。假设有两种状 态，价格上涨u倍（u>1），或下跌d倍（d<1）。设无风险利率 为r。如果市场不存在套利机会，则u>1+r>1>d，股票上涨的概 率为q。于是股票和期权的价格变化如图所示：
1 r d u r 1 1 r d u 1 r 注意到 1，令p ，则1 p 。 ud ud ud ud 1 于是 C= pCu (1 p)Cd 1 r 风险性概率 如果将（p,1-p）看做一个概率分布，则上式说明期权在0时刻的 价格C等于时刻1的价格。对上述分布去期望，然后再以无风险 利率折现。注意这里去前往的分布是 （p,1-p）而不是原来股票 上涨和下跌的概率q。如果原来股票上涨的概率满足： 1 r d q uS0 1 q dS0 rS0 → q p ud
又因为资产组合的初始成本为V0 – a S0 ，而资产组合的最终价值为 U – aSu
由于该资产组合无风险，故有V0 – a S0 =e-rt(U – aSu) 于是得到衍生产品的定价公式： V0 = a S0 +e-rt(U – aSu)
2.2 资产组合复制
S0
资产组合匹配
Su Sd
V0
U D
结合上面三个表达式可得 ：V0 aS0 U aSu er
U D U D -r 或 V0 aS0 b S0 U Su e Su Sd Su Sd S0 S0 Su Su -r -r -r U e e D e Su Sd Su Sd Su Sd Su Sd er S0 Sd Su e r S0 e-r U e-r D Su Sd Su Sd er S0 Sd Su e r S0 若取q ，则1 q Su Sd Su Sd
说明此时上涨和下跌的期望值等于无风险资产的价值，因此成p 为风险中性概率。
例：
设S=20,u=1.2,d=0.67,r 0.1, X 21, 则 Cu max uS X , 0 max 24 21, 0 3, Cd max dS X , 0 0 1 r d 1.1 0.67 , 此时欧式买入期权的价格为 ud 1.2 0.67 1 C= pCu 1 p Cd ... 2.2126 1 r p
资产组合的价值为V0 =e-r qU (1 q) D 带入上节的数据，即可得到V0 =7.14
2.3 期望价值定价方法
er S0 Sd q 如果 Su Sd 为负数，那么该股票是一笔好买卖，因为
个稳赚的计划。世界上当然不可能存在这样的好事。
Sd er S0 1 q Su Sd
套利
期权定价V=7.14，即V≤7.14.假设V>7.14，例如V=7.25 套利者购买一股股票，卖出2股期权，现金流（成本）为 100-2×7.25=85.5 T=1年后，变为85.5er(T-t)=89.775 一年后，股票—期权组合的净值为90元，负债为89.775元，获得 利润0.225元
V0 aS0 U aSu e
r
Su Sd
... 6.16
【注】交易商的报价为6.35元，卖出看涨期权；6元价格买入。
一客户以每股6.35元的价格购入100,000股看涨期权。他要通过 U D 买股票对冲风险，应买△× 100000股股票，其中 Su Sd ，因此 他以3,000,000的成本买入50,000股股票。注意：他先通过看涨期权 收到6.35×100000=635000元，然后以0.048的利率介入3000000 – 635000=2,375,000元用于购买股票。 情形一：股价上升到80元。交易商的股票值80×50000=4000000 他欠15×100000=1500000元。赎回看涨期权，2375e0.048=2493750 元，赎回贷款，他的最终净头寸为： 4000000 – (1500000+2493750)=6250元 情形二：股价下跌到50元，交易商的股票值50×50000=2500000 元，看涨期权无价值，没有负债。但他必须赎回贷款2493750元。 于是他的最终净头寸是2500000 – 2493750=6250元
设π0为在时间t=0时资产组合的价值， π0 = aV0+bS0
为在时间t=1时的资产组合定价。 当St 120元时 → π1= （120—105）a+120b 当St 90元时 → π1= 0×a+90b 约减随机项 选择适当的a 和b，使得π1 不取决于股价的涨跌结果。即令： （120—105）a+120b= 0×a+90b 于是得到b=1和a=-2的投资选择，即卖出两股期权同时买入一股 股票。 期权定价 π0 =-2V+1×100 和π1 =-15×2+1×120=90 用资金π0以5%进行投资，得到π0 e0.05（T-t），该投资的价值和期 权π1相等。 即π0 e0.05（T-t）=（-2V+100） e0.05 = π1 =90 → V=……=7.14
如何记忆用来定价的概率
q
Su
Sd
er S0 qSu +（ q)Sd 1
S0
1 q
只要给出股票的3个参数和利率，利用二叉树即可计算定价 的概率。
2.4 概率方法
已知股价为100元，将来上涨后价格为120元，下跌时价格为90
元，假设观察一年的市场行为。股票上涨的概率P的合理选择实 施股票的期望回报大致为15%，相匹配的近似P值为90%，期望 回报为E（P）=0.9（120-100）+0.1（90-100）=17元，即每年 的期望收益率是17%。 如果构造一个含1股股票的资产组合π，那么π 1=100元，且1年 后，E（π 1）=120P+90(1 – P)。如果仅以无风险利率投资这100 元，则在一年末的价值为100e0.05=105元。 由风险中性定理，得到 30P+90=105 → P=0.5 现在以P=0.5来计算看涨期权C，由于执行价格为105元，看涨期 权的将来值： E(C)=P(120–105)++(1–P)(90– 105)+=0.5×15+0.5×0=7.5 于是 C=E(C) e-r(T-t)=7.5e-0.05=7.14元
资产组合π：a单位的股票+b单位的债券，故π0 = aV0+b 在t= 时，股票模型给出资产组合的两个未来价值。 上升状态： aSu ber 和下降状态： aSd ber aSu ber U 或 aSd ber D 再令
-r U D U D ，b U Su e 则有 a Su Sd Su Sd
r
er S0 Sd 这时未来股票最差表现时的 Sd也比债券投资好，是一
而如果 为负数，即 Su e S0 这时未来股票的最 佳表现都不比债券投资好，这同样是不可能的事。 所以假设q满足概率条件是现实的，即 q称为风险中性概率。
V0 =e-r qU (1 q)D e-r E0 V1
金融数学
第二章 二叉树、资产组合复制和套利
衍生产品定价的三种方法
第一种方法：博弈论方法 第二种方法：资产组合复制的方法 第三种方法：概率方法或期望价值方法
计算：St=100元，在T-t=1年后，ST=90元或ST=120元 概率未给定。r=5%，X=105。求股票期权的公平价格？
2.1 博弈论方法
假设V<7.14,例如V=7，只是采用逆向操作，即买入两股期权而卖 出一股股票。现金流为100-2×7=86，无风险投资到年末的价值为 86e0.05=90.3 在到期时，t=T，股票—期权的成本是90元，可获利93.3-90=0.3元
例：设St=20，X=18，T-t=1年，r=10%（年利率）。求期权 的价值。 (St – Xe-r(T-t))+=20 – 18e-0.1=3.71 即 Ct>3.71 假设Ct=3，套利者购买看涨期权并卖空股票，现金流为20 – 3=17，用17元投资一年，17元变为17e0.1=18.79. 在年末期权到期，若股票价格高于18元，则执行期权， 以18元购买股票平仓（还给借股票的人）可获利：18.79 – 18=0.79元。 在年末期权到期，若股票价格低于18元（例如17元）， 则不执行期权，以17元的价格从市场上购买股票平仓，可获 利18.79 – 17=1.79元。 综上，不论在什么情况下，投资者皆可获利，所以市场 存在套利机会。
q
S0
t=0
uS0
dS0 t=1
C
t=0
Cu
Cd t=1
1-q
设行权价格为X，当t=1时，如果股票价格上涨，则期权的价值
Cu=max{uS0 – X,0}。如股票下跌，期权的价值Cd=max{dS0 – X,0}。 期权在0是科尔价值为C。现在构造一个组合，选择△（=a）份 股票和无风险资产B（=b）份，是该组合复制期权的价值，为此 应有： Cu=△uS0 +(1+r)B 表示在时刻1股票上涨时，资产组合价值等 于期权的价值 Cd=△dS0 +(1+r)B 表示在时刻1股票下跌时，资产组合价值等 于期权的价值 有上面两个方程，得到： Cu Cd Cd dCu B S0 u d (1 r ) u d 根据无套利原则，因为资产组合的价值在时刻1与期权的价值相 同，所以在时刻0也应该相同。故有 C=△S0+B，代入△ 、B得到： 1 1 r d u r 1 C= u d Cu u d Cd 1 r