专题复习第五讲：概率
初中概率大题知识点总结
初中概率大题知识点总结一、基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生，0.5表示发生的可能性是一半。
二、概率的计算1.频率和概率频率是一个事件在试验中发生的次数与试验次数的比值，而概率是从理论上估计出来的。
2.概率的计算方法（1）古典概率对于有限个等可能结果的事件，古典概率只需用有利结果数除以总结果数即可。
P(A)=有利结果数/总结果数（2）几何概率对于连续随机事件，可以通过几何图形求得概率。
P(A)=A的面积/总体的面积（3）统计概率通过统计方法得出概率值。
P(A)=发生A的次数/总次数三、概率的性质1.必然事件和不可能事件的概率必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
2.互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件指的是两个事件中有一个一定会发生。
互斥事件的概率之和为1，对立事件的概率之和也为1。
3.事件的发生概率与对立事件的发生概率的关系事件A的概率为P(A)，对立事件A的概率为P(Ā)=1-P(A)。
四、概率的运算1.事件的和事件事件A或B发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.事件的积事件事件A且B发生的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
3.互斥事件的概率互斥事件A和B发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
五、排列组合与概率1.排列组合的概念排列是指从n个不同元素中取出m个不同元素，按照一定顺序排成一列。
组合是指从n 个不同元素中取出m个不同元素，但不考虑顺序。
2.排列组合与概率的应用当事件的结果个数有限时，可以利用排列组合与概率的知识计算事件发生的概率。
六、事件的独立性事件A和B是相互独立的，指的是A事件的发生不会影响B事件的发生。
两个事件相互独立时，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
七、概率模型与应用1.概率模型的概念概率模型是用来描述一个系统或现象的模型，其中包含了一些随机因素。
第五讲：概率
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n。
7、已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（2）如果从中取出二件，求先后至少取一次次品的概率；
（3）如果从中取出一件然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续三次取出的都是正品概率；
（4）如果从中一次任取三件，求取出的三件都是正品概率；
（5）如果从中连续取三次不放回，求第三次恰好取出的是正品概率；
（6）若对产品进行一一测试，直至区分出所有的次品为止，求恰好在第五次测试时次品全部发现概率。
(1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
(2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率。
例3、袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求
（1）摸出2个黑球或3个黑球的概率；
（2）至少摸出1个黑球的概率；
（3）至多摸出1个黑球的概率。
牛刀小试
1、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )
（2）恰有4个房间各有一人的概率为______________；
（3）指定的某个房间各有二人的概率为_____________；
（4）第一个房间有1人，第三个房间有3人的概率为______________。
例2、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品
（1）如果从中取出二件，求先取出的是正品，后取出的是次品的概率；
A B. C. D.
5离散型随机变量
P{X = k} = Cn p (1− p) , (k = 0,1,...,n)
k k
n−k
概率论与数理统计
从某大学到火车站途中有6 例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个 从某大学到火车站途中有 个交通岗, 交通岗是否遇到红灯相互独立, 交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率 都是1/3. 都是1/3. (1)设 为汽车行驶途中遇到的红灯数, 的概率分布. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的概率分布. (2)求汽车行驶途中至少遇到 次红灯的概率. 求汽车行驶途中至少遇到5 (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 例4. 某人射击的命中率为 某人射击的命中率为0.02，他独立射击 ，他独立射击400 试求其命中次数不少于2的概率 的概率。 次，试求其命中次数不少于 的概率。 泊松定理* 设随机变量X 泊松定理* 设随机变量 n~B(n, p), (n＝0, 1, 定理 ＝ 2,…), 且n很大，p很小，记λ=np，则 很大， 很小 很小， 很大 ，
概率论与数理统计
一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是 一房间有3扇同样大小的窗子, 打开的.房间里有一只鸟, 打开的.房间里有一只鸟,试图从开着的窗 子飞出房间. 子飞出房间. 以X表示鸟为了飞出房间试飞 的次数. 的次数. (1)假定鸟是没有记忆的 假定鸟是没有记忆的, (1)假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各窗子是随机 的.求X的分布律. 的分布律. (2)假定鸟是有记忆的 假定鸟是有记忆的, (2)假定鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试 不多于一次, 的分布律. 不多于一次,求X的分布律.
X X~ Pk p1 p2 … pk … x1 x2 … xK …
概率论与数理统计
2. 分布律的性质 (1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2)
关于高中数学概率知识点总结3篇
关于高中数学概率知识点总结3篇关于高中数学概率知识点总结3篇科技的快速发展迅速扩充了人类的知识范围。
知识可以帮助人类更好地理解和解决问题。
学习、传递知识是人类社会发展的重要任务之一。
下面就让小编给大家带来高中数学概率知识点总结，希望大家喜欢!高中数学概率知识点总结1第一部分3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事nA件A出现的.频数;称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
nA(6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥;(3)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件;(4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
概率复习ppt课件
①古典概型 ：所求事件包含基本事件数 / 总基本事件数 ②几何概型： 所求事件构成区域 / 总区域
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2、计算在一次实验中的所有可能结果n （基本事件总数）
3、计算属于事件A的基本事件数m
4、利用公式计算事件A的概率
12
几何概型 （1） 试验总所有可能出现的基本事件有无限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概
率模型，简称几何概型。 在几何概型中,事件A的概率计算公式如下 :
△P1P2P3的中心，若集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i=1， 2，3}，若向△P1P2P3内随机放一点，则该点落在S的概率为 _______
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某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种 不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外 的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好 ；否测评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发生，则称此事件 为事件A与事件B的交事件（或积 事件）记作：A∩B（或AB）
可用图表示为： B A∩BA
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是： 这两个事件在任何一次试验中都不
B
A
会同时发生，可用图表示为： 7
一般地，若B A，且A B，那么称事件A与
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。
下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。
一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。
二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。
计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。
例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步知识点
九年级数学概率初步的知识点包括以下内容：
1. 事件与样本空间：事件是指在一次随机实验中可能发生的结果，样本空间是指随机实验的所有可能结果组成的集合。
2. 事件的概率：事件A的概率表示为P(A)，计算方法为P(A) = 事件A的有利结果数/样本空间的总结果数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件只能发生其中一个。
4. 事件的并、交与差：事件A和事件B的并集是指事件A和事件B中至少有一个事件发生的情况，事件A和事件B的交集是指事件A和事件B同时发生的情况，事件A对事件B的差是指事件A发生但事件B不发生的情况。
5. 等可能事件：指在一个随机实验中，每个结果发生的概率相等。
6. 事件的组合：指将多个事件进行排列组合，计算不同情况发生的概率。
7. 古典概型：指样本空间有限，且每个样本发生的概率相等的情况。
8. 条件概率：指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率，表示为P(B|A)，计算方法为P(B|A) = P(A并B)/P(A)。
9. 独立事件：指事件A的发生与事件B的发生没有相互影响，即P(A并B) = P(A) ×P(B)。
10. 事件系列：指多个事件相继进行，每个事件的发生与否会影响下一个事件的发生概率计算。
这些知识点是九年级数学概率初步的基础，通过掌握这些知识，可以进行一些简单的概率计算与推理。
第五讲：事件的独立性
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
中考概率知识点总结
中考概率知识点总结概率是一个在日常生活中经常出现的概念，它涉及到我们对未知情况的估计和推测。
在数学中，概率是描述一个随机事件发生可能性的一种数值，通常用来衡量某个事件发生的可能性有多大。
在中考数学中，概率是一个重要的知识点，它涉及到事件的发生概率计算、概率的性质、概率分布、概率的运算等内容。
下面我们来总结一下中考概率知识点。
一、概率的基本概念1.1 随机事件在概率论中，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币得到正面、摸黑箱中的球是红色等都属于随机事件。
1.2 随机事件的概率随机事件的概率就是指在一定条件下，某个随机事件发生的可能性大小。
概率通常用P(A)表示，其中A表示随机事件，P(A)表示事件A发生的概率。
1.3 随机试验随机试验是指在相同的条件下，可以重复进行的观察、记录或测量，且每次试验的结果不确定。
例如：掷硬币、抽取彩票等都属于随机试验。
1.4 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
例如：掷硬币的样本空间为{正面，反面}，抽取一张扑克牌的样本空间为{红心A，红心2，…，黑桃K}等。
1.5 事件的互斥和对立互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件至少有一个发生。
例如：掷骰子得到奇数和得到偶数是对立事件，抽取一张扑克牌是红心和不是红心是互斥事件。
二、概率的性质2.1 非负性概率永远是非负数，即0≤P(A)≤1，其中A表示随机事件。
2.2 规范性对于一个必然事件，其概率为1，即P(Ω)=1。
2.3 可列可加性对于事件A和事件B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
2.4 对立事件概率关系事件A的对立事件记作A'，有P(A)+P(A')=1。
2.5 空集事件概率对于空集事件ϕ，有P(ϕ)=0。
三、事件的概率计算3.1 等可能性原理对于一个没有任何明显差别的样本空间，每个基本事件的概率相等。
例如：掷骰子得到1、2、3、4、5、6的概率都是1/6，抽取一张扑克牌得到红心、方块、梅花、黑桃的概率都是1/4等。
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
中考数学单元复习：《概率》复习课件
活动与实践：
做一做：
1、请将下列事件发生的概率标在图中：
（1）清晨，太阳从东方升起； （2）随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； （3）自由转动下面的转盘（转盘被等分成6个扇形），指 针停在红色区域中。
2、 如图所示有10张卡片，分别写有0至9十个数字。 将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张.
3
6
2
2、举例说明第2节中，你是如何计算摸 到红球的概率的？
P (摸到红球）=
摸到红球可能出现的结果数 摸到一球可能出现的结果数
3、举例说明第3节中，你是如何计算 小猫最终停留在黑砖上的概率的？
P (停留在黑砖上）=
停留在黑砖上所有可能结果所组成的图形面积 停留在方砖上所有可能结果所组成的图形面积
一、利用概率判断游戏是否公平
• 1．游戏对双方公平是指双方获胜的概 率相等；游戏对双方不公平是指双方 获胜的概率不等．
• 2．必然事件发生的概率为1， 即P(必 然事件)=1，不可能事件发生的概率为 0，即P(不可能事件)=0；如果A为不确 定事件，则 0＜P(A)＜1．
• 3．可以利用列表法或画树状图求某个 事件发生的概率．
（3）你认为怎样修改规则，才对双方都公平？
议一议
2、在如图所示的长方形地板 ABCD中，D、F分别是AB、 CD的一个三等份点，E、G分 别是BC、DA的一个五等份点， 一只小猫在地板上自由自在的
3
5走来走去，则最终停留在四边 形DEFG内（阴影部分）的概 率有多大？
解：因为四边形DEFG的面积 = 长方形A BCD的面积 3 ， 5
0123456789
（1）P（抽到数字9）=_______； （2）P（抽到两位数）=______，
概率论与数理统计第5讲 (2)_OK
2021/8/23
29
四、典型例题y
例1：(2000年，数学一) 设两个相互独立的事件A和B不发生的概率为 1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不发生 的概率相等，则P(A)=_________.
18
例2：设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正
常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互
独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系
统的可靠性.
A1
A2
S1:
B1
B2
P(S1 ) P( A1 A2 B1B2 ) P( A1 A2 ) P(B1B2 ) P( A1A2B1B2 )
2 p2 p4 p2(2 p2)
注:称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
2021/8则以下三对事件 也相互独立.
(1) A 与 B； (2) A 与 B； (3) A 与 B .
证 (1) P( AB ) P( A) P( AB)
又∵ A与B相互独立
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A1 ) 0.45, P( A2 ) 0.55, P( A3 ) 0.60
B A1 A2 A3
2021/8/23
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P( A1 ) 0.45, P( A2 ) 0.55, P( A3 ) 0.60
B A1 A2 A3
P(B) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 1 (1 0.45)(1 0.55)(1 0.60) 0.901
3
定义1: 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式
P( AB) P( A) P(B) 则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
25.概率PPT课件(人教版)
（3）指针不指向红色（记为事件C）的结果有4个，
即绿1，绿2，黄1，黄2，因此
P（C）＝
练习
1、掷一枚质地均匀的硬币的实验有几种可能的结果？ 它们的可能性相等吗？
由此怎样确定“正面向上”的概率．
正面向上
反面向上
正面向上的概率12 .
2、如图，小明周末到外婆家，走到十字路 口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那 么他能一次选对路的概率是 .
不可能事件产生的概率为0, 记作P(不可能事件)=0;
随机事件(不确定事件)产生的概率介于0~1之
间,即0<P(不确定事件)<1. 如果A为随机事件(不确定事件),
那么0<P(A)<1.
以上两个实验有两个共同的特点： 1.一次实验中，可能出现的结果有限多个； 2.一次实验中，各种结果产生的可能性相等．
根，抽出的签上的号码有5种可能即 1，2，3，4，5.由于纸
签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为：
每个号被抽到可能性相等，都是 ．1 5
2.掷一个骰子，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，
3，4，5，6由于骰子的构造相同、质地均匀，又是随机掷
出的，所以我们可以断言：每种结果的可能性相等，都 是1.
（3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，
P(点数大于2且小于5)＝
例2 图是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜 色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定， 转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰 好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交 线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概 率：
25.1.2 概率
复习引入
概率的基本性质 课件
(2)甲不输的概率. 解 方法一 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥 事件的并事件， 所以 P(甲不输)＝16＋12＝23. 方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，
所以 P(甲不输)＝1－13＝23，故甲不输的概率为23.
反思与感悟 (1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立； 只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立. (2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的 概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的 加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公 式P(A)＝1－P( A )求解.
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解 因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6). 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝ C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
图示
注意事项
A的对立事件一般记作 A
知识点三 概率的基本性质
思考 概率的取值范围是什么？为什么？ 答案 概率的取值范围在0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数 总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值 范围也在0～1之间.
梳理 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为 [0,1] . (2) 必然事件 的概率为1， 不可能事件 的概率为0. (3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥， 则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) . 特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝ 1－P(B) . P(A∪B)＝ 1 ，P(A∩B)＝ 0 .
第5讲 概率问题
例题1
（1）盒子里有10支黑色铅笔、5支的红色铅笔和8支蓝色铅笔，
这些铅笔除了颜色外其余均完全相同，婷婷从盒子里任意摸出一支铅
笔，可能出现_______3______种情况，分别是______黑__色_______、
_______红__色______和______蓝__色_______，摸出_____黑__色______色铅笔的可能性
0
不可能事件
事件发生的可能性越来越小
1
概率的值
事件发生的可能性越来越大 必然事件
小热身
判断．（一定发生的打√，可能发生的打○，不可能发生的打×）
（1）太阳从东边升起．
（）
（2）小明说：“我从小到大从没有吃过一点东西”． （ ）
（3）五天后会下雨．
（）
（4）我们班田径比赛一定得第一名．
（）
（1）√（2）×（3）○（4）○
4
（3）这个规则公平。
练习4
有三张卡片，分别写有2、3、4．用它组成三位数，如果这个三 位数是3的倍数，则甲赢；如果这个三位数是2的倍数，则乙赢．
（1）甲获胜的概率是多少？乙获胜的概率是多少？ （2）这个游戏公平吗？如果不公平，应该怎么修改规则？
选讲题
※ 同时抛两枚标有1~6的骰子，它们向上面数字之和最大是多少？ 最小是多少？最可能出现的和是多少？出现最大和的概率是多少？
（2）给一个正方体的表面涂上红、黄、蓝三种颜色，任意抛一 次，红色朝上的概率最多，蓝色和黄色朝上的概率相等，有____4____ 个面涂了红色．
练习2
（1）在一个盒子里有15个红球、8个黄球和一些绿球，任意从 里面摸出一个球，如果要使摸出黄球的可能性最小，盒子里至少要有 ________个绿球．此时摸出黄球的概率是________．
[医学]05-概率分布-正态分布
![[医学]05-概率分布-正态分布](https://img.taocdn.com/s3/m/8858d190f61fb7360a4c6501.png)
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线
X~N(0,1)
h
22
四、正态曲线下面积的 分布规律
h
23
正态曲线下的面积分布有一定的规律性：
因正态曲线下累计频数的总和等于 100% 或 1，则：
✓横轴上曲线下的面积（概率）就等于 100% 或 1； ✓均数两侧的面积（概率）各占 50%。
正态分布法求参考值范围
2. 过高过低均为异常 3. 求上、下界值
设定双侧界值
下界： x 1 .9 s 6 1.4 1 1 .9 7 1 6 .2 0 9 .4 7 (g / 1 l)
上界： x 1 .9s 6 1.4 1 1 .9 7 1 6 .2 0 1.3 3 (g 9 /7 l)
高斯
德莫佛
➢正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
h
10
10马克的钱币
h
11
正医态学分研布究在中医：学研究中的重要作用：
➢医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测
量误差等多呈正态分布或近似正态分布。
➢许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，
解析：1. 分布近似正态， X= 3200g ，S=350g。 2. 转化为标准正态分布，求u 值
查u值表
说明标准正态曲线下 (-∞，-2）的面积为2.28%，故本
题正态曲线(-∞，2500g）的比例为2.28% ，即X<2500g的
为2.28%，故估计当年出生低体重儿的比例为2.28%。
h
43
估计频数分布：
= 0.3085- 0.0668 = 0.2417
优品课件之初中《概率》知识点归纳
初中《概率》知识点归纳初中《概率》知识点归纳1、科学记数法：把一个数字写成的形式的记数方法。
2、统计图：形象地表示收集到的数据的图。
3、扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，扇形大小反映部分占总体的百分比的大小;在扇形统计图中，每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与360°的比。
4、条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目。
5、折线统计图：清楚地反映事物的变化情况。
6、确定事件包括：肯定会发生的必然事件和一定不会发生的不可能事件。
7、不确定事件：可能发生也可能不发生的事件;不确定事件发生的可能性大小不同;不确定。
8、事件的概率：可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率。
9、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止的数字。
10、游戏双方公平：双方获胜的可能性相同。
11、算数平均数：简称“平均数”，最常用，受极端值得影响较大;加权平均数12、中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小。
13、众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大。
中学数学概率知识点归纳2 14、平均数、众数、中位数都是数据的代表，刻画了一组数据的“平均水平”。
15、普查：为了一定目的对考察对象进行全面调查;考察对象全体叫总体，每个考察对象叫个体。
16、抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查;从总体中抽出的一部分个体叫样本(有代表性)。
17、随机调查：按机会均等的原则进行调查，总体中每个个体被调查的概率相同。
18、频数：每次对象出现的次数。
19、频率：每次对象出现的次数与总次数的比值20、级差：一组数据中最大数据与最小数据的差，刻画数据的离散程度21、方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，刻画数据的离散程度22、方差计算公式23、标准方差：方差的算数平方根刻画数据的离散程度。
24、一组数据的级差、方差、标准方差越小，这组数据就越稳定。
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专题复习第五讲：概率
考点一：随机事件
1.必然事件：在一定条件下，有些事件会发生，这样的事件称为必然事件。
2.不可能事件：在一定条件下，有些事件会发生，这样的事件称为不可能事件。
3.随机事件：在一定条件下，有些事件会发生，这样的事件称为随机事件。
4.确定性事件：和统称为确定性事件。
针对练习：
1. 下列事件必然发生的是（）
A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19
B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。
C. 今天下雨。
D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。
2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。
想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（）
A. 甲袋
B. 乙袋
C. 两个都一样
D. 两个都不行
3. 下列事件中，属于确定事件的是（）
A. 发射运载火箭成功
B. 2008年，中国女足取得冠军
C. 闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声
D. 掷骰子时，点数“6”朝上
4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（）
A. 英文字母共28个
B. 哈尔滨的冬天会下雪
C. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖
D. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9
5. 下列事件中属于不可能的事件是（）
A. 军训时某同学打靶击中靶心
B. 对于有理数x，∣x∣≤0
C. 一年中有365天
D. 你将来长到4米高
6、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么袋子中共有球的个数为（）
A. 15
B. 18
C. 20
D. 25
考点二：概率
1.概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其，称为随机事件A发生的，记为。
2．一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ，P(A)范围是
①必然事件发生的概率为，即P(必然事件)= ；
②不可能事件发生的概率为，即P（不可能事件）= ；
③如果A为随机事件，那么0<P(A)<1
注：通常利用此公式求①数目型概率；②面积型概率
针对练习：
7. 从1，2，3 三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是
8. 从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是
9. 已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是
10．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．
11．如右图，是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是
考点三：用列举法求概率
1.用列举法求概率的方法：①列举所有可能的全部结果即求出n，②列举事件A中包含的结果即求出m，③代入公式P(A)= ，求出概率。
注：在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个且数目不多，各结果出现的可能性大小相等，通常用列举法求概率。
2.用列表法求概率
当一次实验涉及个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，经常采用，也可采用。
3.用画树状图法求概率
当一次实验涉及的因素时，列表法就不太方便，为不重不漏地列出所有可能的结果，经常采用。
针对练习：
12. 1、有一个正方体，6个面上分别标有1~6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（）
A．1
3B．
1
6C．
1
2D．
1
4
13．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中。
随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜，这个游戏（填“公平”或“不公平”）
14.一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，
每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩
下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．
（1）请你列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
考点四：用频率估计概率
1.频率与概率的关系
一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)= 。
2.可能性与概率
概率是针对大量重复实验而言的，大量实验所反映的规律并非在每一次实验中都发生。
3. 用频率估计概率的方法：
①先计算出每次实验的频率，②观察频率波动情况，选择最接近于围绕波动的频率作为概率。
针对练习：
15．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是个．
16、在中考体育达标跳绳项目测试中d分钟跳 160次以上为达标．小敏记录了他预测时1分钟跳的次数分别为145，155，140，162，164，则她在该次预测中达标的概率是______
考点五：概率的应用
通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。
针对练习：
17．航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域
（圆B）的概率为1
2，则B
⊙与A
⊙的半径之比为．
18.一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 ．
19.如图 l －4－7是一个被分成6等份的扇形转盘，
小明转了2次，结果指针都停留在红色区域．小明第3次再转动， 指针停留在红色区域的概率是（ ）
A 、1
B 、0
C 、23
D 、1
3
20、在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其
中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
21.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率()P 白球 ． （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？。