2016-2017学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学(文)试题
衡水市武邑中学2016-2017学年高二下学期开学数学试卷(文科) 含解析
2016—2017学年河北省衡水市武邑中学高二(下）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．要从165名学生中抽取15人进行视力检查，现采用分层抽样法进行抽取，若这165名同学中，高中生为66人，则高中生中被抽取参加视力检查的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．83．已知直线l1：（3+m）x﹣4y=5﹣3m，l2：2x﹣y=8平行，则实数m的值为（）A．5 B．﹣5 C．2 D．34．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（）A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0。
55．过点(2,1）的直线中被圆(x﹣1）2+（y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+5=0 6．已知双曲线(a＞0)的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A． B． C．D．7．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定8．已知数列{a n}中a1=1,a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n｝的前n项的和s n=( )A．B．C．D．9．要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( ）A．B． C． D．10．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π11．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为（）A．4 B．8 C．4D．812．若0＜x1＜x2＜1，则（）A．e x2﹣e x1＞lnx2﹣lnx1B．e x2﹣e x1＜lnx2﹣lnx1C．x2e x1＞x1e x2D．x2e x1＜x1e x2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．直线ax+y+2=0的倾斜角为45°，则a= ．14．已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0)相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r= ．15．侧棱与底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C的体积为．16．双曲线C：﹣=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,若在C上存在一点P,使得｜PO｜=|F1F2｜（O为坐标原点),且直线OP的斜率为，则，双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设命题p：∃x0∈R,x02+2ax0﹣2a=0，命题q：∀x∈R，ax2+4x+a ＞﹣2x2+1，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x)的单调区间;（2)若对x∈[﹣1,2］，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．已知双曲线M：﹣=1的一个焦点是抛物线N:y2=2px(p＞0）的焦点F．（1）求抛物线N的标准方程；（2)设双曲线M的左右顶点为C，D，过F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A,B两点，求•的值．20．如图，矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2，F为CE 上的点，且BF⊥平面ACE．(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE；(Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．21．某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺,把细颗粒物（PM2。
河北省武邑中学2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题
河北省武邑中学2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|3},{|A x x B x y =<==，则A B 集合为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2、“1a =”是“复数21(1),(,a a i a R i -++∈为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、以下有关线性回归分析的说法不正确的是A ．通过最小二乘法得到线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使1()n i ii y bx a =--∑最小的2,a b 的值C ．相关系数r 越小，表面两个变量相关性越弱D ．22121ˆ()1()n i i n i y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好 4、将一枚质地均匀的硬币连抛掷4次，出现“至少两次证明向上”的概率为A ．14B ．34C ．38D ．11165、已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若35114a a a =，且4a 与2a 的等差中项为， 则5S =A ．35B ．33C ．31D ．296、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是 A ．cos 2y x = B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++ D ．22sin y x =7、某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ．3+B ．8+C ．6+D ．8+8、已知圆M 过定点(2,0)且圆心M 在抛物线24y x =上运动，若y 轴节圆M 所得的弦长为AB ，则弦长AB 等于A ．4B ．3C ．2D ．与点M 的位置有关的值9、当0a >时，函数()2(2)x f x x ax e =-的图象大致是10、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的对边中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12B ．14CD 11、已知函数()321(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，则不等式组00x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为 A ．3π B ．2π C ．π D ．2π12、在底面半径为3，高4+为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后在放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多为A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知函数()12log ,112,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则((2))f f =14、执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 的值为15、平面上三个向量,,OA OB OC ，满足1,3,OA OB == 1,0OC OA OB =⋅=，则CA CB ⋅的最大值是16、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，若函数()xf x e ax =-在R 上有且仅有4个零点，则的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且31,4a c C ===. （1）求sin A 的值；（2）求ABC ∆的面积.18、（本小题满分12分）某学生社团在对本次奥学生学习方法开展问卷调查的过程红发现，在回收上来的1000分有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种；白天背和晚上背临睡前背，为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如,XIO GEH ）均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验，不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验.（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组住区会议因结束在[12,24)范围内的学生红随机选3人，记能准确会议20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 分布列及数学期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种事件安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由.19、（本小题满分12分）已知四边形ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面,,1,ABE AE BE BE BC AE M ⊥==为线段AB 的中点，N 为线段DE 的中点，P 为线段AE 的中点.（1）求证：MN EA ⊥；（2）求二面角M EN A --的余弦值.20、（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，点1B 为其短轴的一个端点， 满足11121112111222,2B F B F B F B F B F B F +=+=⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)M 作两条互相垂直的直线12,l l ，设1l 与椭圆交于点,A B ，与椭圆交于,C D ， 求AC DB ⋅的最小值.21、（本小题满分12分）已知函数()()1(),ln a f x ax a R g x x x-=+∈=. （1）若()ln 1x f x -≤-对(0,)x ∈+∞恒成立；（2）求实数a 的取值范围；（3）对任意n N +∈，证明1n +<22、（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy中，已知点P ，曲线C的参数方程为(x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6ρθ=-.（1）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB ⋅的值.。
河北省武邑中学2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题
河北省武邑中学2016-2017学年高二下学期第一次月考数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|3},{|A x x B x y =<==，则A B 集合为A ．[0,3)B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(3,1]-2、“1a =”是“复数21(1),(,a a i a R i -++∈为虚数单位）是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、以下有关线性回归分析的说法不正确的是A ．通过最小二乘法得到线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使1()niii y bx a =--∑最小的2,a b 的值C ．相关系数r 越小，表面两个变量相关性越弱D ．22121ˆ()1()nii ni y yR y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好4、将一枚质地均匀的硬币连抛掷4次，出现“至少两次证明向上”的概率为 A ．14 B ．34 C ．38 D ．11165、已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若35114a a a =，且4a 与2a 的等差中项为， 则5S =A ．35B ．33C ．31D ．29 6、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是 A ．cos 2y x = B ．22cos y x =C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =7、某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A ．3+B ．8+C ．6+D ．8+ 8、已知圆M 过定点(2,0)且圆心M 在抛物线24y x =上运动， 若y 轴节圆M 所得的弦长为AB ，则弦长AB 等于 A ．4 B ．3 C ．2 D ．与点M 的位置有关的值9、当0a >时，函数()2(2)xf x x ax e =-的图象大致是10、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ，若c 是a 与m 的对边中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为A ．12 B ．14 C D 11、已知函数()321(1)(3)23f x x b x a b x b =+---+-的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，则不等式组0x ay x by -≥⎧⎨-≥⎩所确定的平面区域在224x y +=内的面积为A ．3π B ．2πC ．πD ．2π12、在底面半径为3，高4+为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后在放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多为 A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知函数()12log ,112,1xx x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，则((2))f f =14、执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 的值为15、平面上三个向量,,OA OB OC，满足1,OA OB ==1,0OC OA OB =⋅=，则CA CB ⋅ 的最大值是16、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，若函数()xf x e ax =-在R 上有且仅有4个零点，则的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且31,4a c C ===. （1）求sin A 的值； （2）求ABC ∆的面积.18、（本小题满分12分）某学生社团在对本次奥学生学习方法开展问卷调查的过程红发现，在回收上来的1000分有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种；白天背和晚上背临睡前背，为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如,XIO GEH ）均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验，不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验.（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组住区会议因结束在[12,24)范围内的学生红随机选3人，记能准确会议20个以上（含20）的人数为随机变量X ，求X 分布列及数学期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种事件安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由.19、（本小题满分12分）已知四边形ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面,,1,ABE AE BE BE BC AE M ⊥===为线段AB 的中点，N 为线段DE 的中点，P 为线段AE 的中点. （1）求证：MN EA ⊥；（2）求二面角M EN A --的余弦值.20、（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，点1B 为其短轴的一个端点，满足11121112111222,2B F B F B F B F B F B F +=+=⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)M 作两条互相垂直的直线12,l l ，设1l 与椭圆交于点,A B ，与椭圆交于,C D ，求AC DB ⋅的最小值.21、（本小题满分12分） 已知函数()()1(),ln a f x ax a R g x x x-=+∈=. （1）若()ln 1x f x -≤-对(0,)x ∈+∞恒成立； （2）求实数a 的取值范围；（3）对任意n N +∈，证明1n +<.22、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知点P ，曲线C的参数方程为(x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6ρπθ=-.（1）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，求PA PB ⋅的值.。
2016-2017年河北省衡水市武邑中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
，cosC
18． （12 分）某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的 1000 份有效问卷中， 同学们背英语单词的时间安排共有两种： 白天背和晚上临睡前背． 为 研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以 5%的比例对这 1000 名学生按时间安 排粪型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆 40 个无意义音节 （如 xIQ、 GEH） ， 均要求在刚能全部记清时就停止识记， 并在 8 小时后进行记忆测验． 不 同的是， 甲组同学识记结束后一直不睡觉， 8 小时后测验； 乙组同学识记停止后立刻睡觉， 8 小时后叫醒测验．两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左 端点而不舍右端点）
（1）求证：MN⊥EA； （2）求二面角 M﹣NE﹣A 的余弦值．
20． （12 分）设椭圆 C：
＝1（a＞b＞0）的两个焦点为 F1，F2，点 B1 为其短轴的
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一个端点，满足 （1）求椭圆 C 的方程；
＝﹣2．
（2）过点 M（1，0）作两条互相垂直的直线 l1，l2，设 l1 与椭圆交于点 A，B，与椭圆交于 C，D，求 的最小值．
（1）估计 1000 名被调查的学生中识记停止后 8 小时 40 个音节的保持率大于等于 60%的人 数； （2）从乙组准确回忆结束在|12，24）范围内的学生中随机选 3 人，记能准确回忆 20 个以 上（含 20）的人数为随机变量 x．求 X 分布列及数学期望； （3） 从本次实验的结果来看， 上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？ 计算并说明理由． 19． （12 分）已知四边形 ABCD 为平行四边形，BC⊥平面 ABE，AE⊥BE，BE＝BC＝1，AE ＝ ，M 为线段 AB 的中点，N 为线段 DE 的中点，P 为线段 AE 的中点．
2017-2018年河北省衡水市武邑中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（1+i）2，z2=1﹣i，则等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．（5分）若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．A．1B．2C．3D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（）A．4B．3C．2D．54．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数r如下，其中拟合效果最好的是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组5．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=1.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=3x﹣4.5B．y=﹣0.4x+3.3C．y=0.6x+1.1D．y=﹣2x+5.56．（5分）年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A．增加10元B．减少10元C．增加80元D．减少80元7．（5分）演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R与残差平方和m如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z1=（i为虚数单位）且复数z满足方程|z﹣z1|=4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（）A．以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆B．以（﹣1，﹣2）为圆心，以2为半径的圆C．以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D．以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10．（5分）若下列关于x的方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+2ax﹣2a=0，x2+（a﹣1）x+a2=0（a为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（]∪[﹣1，+∞）D．（]∪[0，+∞）11．（5分）空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知复数满足（3﹣4i）=4﹣3i，则|z|=．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．15．（5分）函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0，则a=，b=．16．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．18．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）20．（12分）如图，多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到面B1C1D的距离；（2）若E为AB的中点，F在CC1上，且，问λ为何值时，直线EF∥平面B1C1D？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t 为参数，0≤a＜π），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．（I）（i）当时，写出直线l的普通方程；（ii）写出曲线C的直角坐标方程；（II）若点P（1，2），设曲线C与直线l交于点A，B，求最小值．22．（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）判断函数f（x）的奇偶性并求当x＞0时函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（1+i）2，z2=1﹣i，则等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【解答】解：∵z1=（1+i）2=2iz2=1﹣i，∴=故选：B．2．（5分）若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，可以化为：P（2，）．则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点都与P重合，因此与点P重合的点有4个．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（）A．4B．3C．2D．5【解答】解：当判断框中的条件是a≤3时，∵第一次循环结果为b=2，a=2，第二次循环结果为b=4，a=3，d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，故选：B．4．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数r如下，其中拟合效果最好的是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，相关系数为r，则|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，由第一组模型的相关系数|r|最大，其模拟效果最好．故选：A．5．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=1.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=3x﹣4.5B．y=﹣0.4x+3.3C．y=0.6x+1.1D．y=﹣2x+5.5【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A、C；由线性回归方程过样本中心点知，1.5=﹣2×2+5.5，满足y=﹣2.5x+5.5；∴线性回归方程可能是y=﹣2x+5.5．故选：D．6．（5分）年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A．增加10元B．减少10元C．增加80元D．减少80元【解答】解：由题意，年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，故当x增加1时，y要增加80元，∴劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高80元，故C正确．故选：C．7．（5分）演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是【解答】解：∵当a＞1时，指数函数y=a x是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数y=a x是一个减函数∴指数函数y=a x（a＞0，a≠1）是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论出错．故选：A．8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R与残差平方和m如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性也越强；四个选项中甲的相关系数绝对值最大，且甲的残差平方和最小；所以，甲的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性．故选：A．9．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z1=（i为虚数单位）且复数z满足方程|z﹣z1|=4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（）A．以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆B．以（﹣1，﹣2）为圆心，以2为半径的圆C．以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D．以（1，2）为圆心，以2为半径的圆【解答】解：由题意可得，z1==i2018﹣2i=（i4）504•i2﹣2i=﹣1﹣2i，由|z﹣z1|=4，得|z﹣（﹣1﹣2i）|=4，可知复数z在复平面内对应的点P组成的图形为以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆．故选：A．10．（5分）若下列关于x的方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+2ax﹣2a=0，x2+（a﹣1）x+a2=0（a为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（]∪[﹣1，+∞）D．（]∪[0，+∞）【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有，解得﹣＜a＜﹣1，故三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为：（]∪[﹣1，+∞）．故选：C．11．（5分）空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连结GE、GF、BE、AE．由三角形中位线定理得GE=BC，GF=SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角．若设此空间四边形边长为a，那么GF=GE=a，EA=a，EF==a，因此△EFG为等腰直角三角形，∠EFG=45°，所以EF与SA所成的角为45°．故选：B．12．（5分）已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=，AO=．所求球的表面积为：4π（）2=π．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知复数满足（3﹣4i）=4﹣3i，则|z|=1．【解答】解：由（3﹣4i）=4﹣3i，得，则|z|=||=||=．故答案为：1．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：815．（5分）函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0，则a=1，b=1．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=﹣b=a﹣b，切线方程为x+2y﹣3=0，可得a﹣b=﹣，且f（1）=b=1，解得a=b=1，故答案为：1，1．16．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=：：1．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．【解答】解：（1），由，得∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）由f（C）=0，得，又∵0＜C＜π，∴，．又sinB=2sinA，由正弦定理得①；由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．18．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【解答】（满分12分）解：（I）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为：x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2的方程为，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2得直角坐标方程，得：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，∴曲线C2的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）=3．………………………．（6分）（II）∵射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，∴依题意可设A（），B（）．∵曲线C1的极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3．同理将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程得ρ2=．∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．……………………………………………（12分）19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）【解答】解：（Ⅰ）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．（Ⅱ）∵6×2+8×3+10×5+12×6=158，，∴b==0.7，a=4﹣0.7×9=﹣2.3故线性回归方程为y=0.7x﹣2.3（Ⅲ）由回归直线方程预测y=0.7×9﹣2.3=4，记忆力为9的同学的判断力约为4．20．（12分）如图，多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到面B1C1D的距离；（2）若E为AB的中点，F在CC1上，且，问λ为何值时，直线EF∥平面B1C1D？【解答】解：（1）∵多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．AD⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥面DACC1，则BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴CD⊥B1C1，又∵AD=AC=1，D是AA1的中点，∴，DC1=，可得，即CD⊥C1D，∴CD⊥面DC1B1，∴点C到面B1C1D的距离等于CD=，（2）当λ=4时，直线EF∥平面B1C1D，理由如下：设AD=1，则BB1=2，取DB1的中点H，连接EH，可得AD∥EH∥CC1，∵EH是梯形DABB1的中位线，∴，当C1F=EH=时，四边形C1FEH为平行四边形，即EF∥HC1，∵HC1⊂面B1C1D，∴直线EF∥平面B1C1D．此时且=4，21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t 为参数，0≤a＜π），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．（I）（i）当时，写出直线l的普通方程；（ii）写出曲线C的直角坐标方程；（II）若点P（1，2），设曲线C与直线l交于点A，B，求最小值．【解答】（满分12分）解：（I）（i）当α=时，直线l的参数方程为：，∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．（ii）∵曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．∴ρ2=6ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．…………（6分）（II）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∵△=4（cosα﹣sinα）2+4×7＞0，设t1，t2是方程的两根，则．又直线l过点P（1，2），结合t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2．∴==≥，∴的最小值为．……（12分）22．（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）判断函数f（x）的奇偶性并求当x＞0时函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且f（﹣x）=（﹣x）2ln|﹣x|=x2lnx=f（x），∴f（x）为偶函数．当x＞0时，．若，则f′（x）＜0，f（x）递减；若，则f′（x）＞0，f（x）递增．得f（x）的递增区间是，递减区间是．（3）由f（x）=kx﹣1，得：．令．当x＞0，，显然g'（1）=0．当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．∴x＞0时，g（x）min=g（1）=1．又g（﹣x）=﹣g（x），可知g（x）为奇函数，∴x＜0时，g（x）max=g（﹣1）=﹣1．∴g（x）的值域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．。
河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高三下学期期中数
河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高三（下）期中数学试卷（文科）（解析版）一、选择题（共60分，每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁U N）=（）A．{1}B．{1，2，3，5}C．{1，2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．设i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．404．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升5．下列命题，正确的是（）A．命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C．命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是真命题D．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．平面直角坐标系中，在由x轴、、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y≤1﹣sin3x的概率是（）A． B．C．D．9．以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A．1 B．C．D．210．已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（）A．（0，2] B．（1，2] C．（1，2）D．（0，1]11．如图所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M 不与E、F重合），对于M的每一个位置（x，0），记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为f（x），那么函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．12．对任意的x，y∈（0，+∞），不等式e x+y﹣4+e x﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A．B．C．e D．2e二、填空题（共20分，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域为．14．已知函数f（x）=若f[f（x0）]=1，则x0=．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为．16．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n （n∈N*），且a1=1．（1）设，证明数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量→m=（，1），=（cosA+1，sinA），且→m•的值为2+．（1）求∠A的大小；（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．19．（12分）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b≥2，∀x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共60分，每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，则M∪（∁U N）=（）A．{1}B．{1，2，3，5}C．{1，2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，M={1，2，5}，N={2，3，5}，∴∁U N={1，4}，∴M∪（∁U N）={1，2，4，5}．故选：C．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．2．设i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．40【考点】E7：循环结构．【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升 B．8升 C．10升D．12升【考点】3U：一次函数的性质与图象．【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；故选：B．【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．5．下列命题，正确的是（）A．命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C．命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是真命题D．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】写出特称命题的否定判断A；举例说明B错误；写出命题的逆否命题并判断真假说明C错误；写出命题的否命题判断D．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1≥0”，故A错误；菱形的四边相等，只有一个内角为90°时为正方形，∴存在四边相等的四边形不是正方形为真命题，故B错误；命题“若x2=y2，则x=y”的逆否命题是“若x≠y，则x2≠y2”，该命题是假命题，如2≠﹣2，但22=（﹣2）2，故C错误；命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”，故D正确．∴正确的命题是：D．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定、否命题及逆否命题，是中档题．6．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 【解答】解：根据三视图可判断直观图为： OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点， EA=2，EC=EB=1，OA=1， ∴可得AE ⊥BC ，BC ⊥OA ，运用直线平面的垂直得出：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=∴S △ABC =2×2=2，S △OAC =S △OAB =×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．8．平面直角坐标系中，在由x 轴、、x=和y=2所围成的矩形中任取一点，满足不等关系y ≤1﹣sin3x 的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CF ：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，即可求出概率．【解答】解：由x 轴、、x=和y=2所围成的矩形的面积为S=2×=，利用割补法，可得满足不等关系y ≤1﹣sin3x 且在矩形内部的区域面积为S 1=×=，∴所求概率为P==，故选：D ．【点评】本题考查几何概型，考查面积的计算，正弦函数的性质，属于中档题．9．以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】设正方形的边长为t ，对角线的长为t ，由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式e=，计算即可得到所求离心率的乘积．【解答】解：设正方形的边长为t ，对角线的长为t ，以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，故它们的积为1， 故选A ．【点评】本题考查椭圆和双曲线的离心率的乘积，注意运用正方形的性质和椭圆、双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．10．已知函数，则“函数f （x ）有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A ．（0，2]B ．（1，2]C ．（1，2）D ．（0，1]【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断；52：函数零点的判定定理．【分析】x=1时，f （1）=2﹣a ＞0，解得a ＜2．x ＞1时，f （x ）=﹣x +a ，此时函数f （x ）一定有零点．x ＜1时，f （x ）=2x ﹣a ，由存在x ，使得2x ﹣a ≤0，则a ≥（2x ）min ，可得a ＞0．“函数f （x ）有两个零点”成立的充要条件是a ∈（0，2）．进而得出结论．【解答】解：x=1时，f （1）=2﹣a ＞0，解得a ＜2． x ＞1时，f （x ）=﹣x +a ，此时函数f （x ）一定有零点．x ＜1时，f （x ）=2x ﹣a ，由存在x ，使得2x ﹣a ≤0，则a ≥（2x ）min ，∴a ＞0． ∴“函数f （x ）有两个零点”成立的充要条件是a ∈（0，2）． ∴“函数f （x ）有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（1，2）． 故选：C ．【点评】本题考查了分段函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11．如图所示，△DEF 中，已知DE=DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置（x ，0），记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为f （x ），那么函数y=f （x ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】3O ：函数的图象．【分析】设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，根据正弦定理可得R1=R2，即可：f（x）=1，图象得以判断．【解答】解：设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，则由题意，=f（x），点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，由正弦定理可得：R1=，R2=•，又DE=DF，sin∠DME=sin∠DMF，可得：R1=R2，可得：f（x）=1，故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题．12．对任意的x，y∈（0，+∞），不等式e x+y﹣4+e x﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A．B．C．e D．2e【考点】3R：函数恒成立问题；6N：利用导数求参数的范围．【分析】通过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna≤在x＞0时恒成立，记g（x）=，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论．【解答】解：设f（x）=e x+y﹣4+e x﹣y+4+6，不等式4xlna≤e x+y﹣4+e x﹣y+4+6恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x（e y﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2e x（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4xlna≤6+2e x﹣4，即有2lna≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）e x﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）e x﹣4，（x＞0），h′（x）=xe x﹣4＞0，∵x＞0，e x﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵h（4）=3，即有（x﹣1）e x﹣4=3的根为4，∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna⩽1，lna⩽，∴0＜a⩽，（当x=2，y=0时，a取得最大值），故选A．【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（共20分，每小题5分）13．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：4x﹣2x+1≥0，解得x≥1，故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查指数的运算，是一道基础题．14．已知函数f（x）=若f[f（x0）]=1，则x0=﹣1或1．【考点】3T：函数的值．【分析】当x0≤0时，，由f（x0）=，得f[f（x0）]=f（﹣1）=，无解，由＞0，解得x0=﹣1；当x0＞0时，f（x0）=＞0，由f（f（x0））=f（）==1，解得x0=1．【解答】解：∵函数f（x）=，f[f（x0）]=1，∴当x0≤0时，，当f（x0）=时，f[f（x0）]=f（﹣1）=，无解，当＞0时，=1，解得x0=﹣1，成立；当x0＞0时，f（x0）=＞0，∴f（f（x0））=f（）==1，解得x0=1，成立．综上，x0的值为﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且2acosC﹣a=c﹣2ccosC，若c=3，则a+b的最大值为6．【考点】HP：正弦定理．【分析】2acosC﹣a=c﹣2ccosC，即2（a+c）cosC=a+c，可得cosC=，C∈（0，π），解得C．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵2acosC﹣a=c﹣2ccosC，∴2（a+c）cosC=a+c，∴cosC=，C∈（0，π），解得C=．由余弦定理可得：9=c2=a2+b2﹣2abcos，∴9=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3×，化为a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号．∴a+b的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，求解直角三角形求出a，然后补形可得三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径．【解答】解：如图，连接EF并延长交CC1的延长线于G，连接AG，在平面ACC1内过G作GH交AA1的延长线于H，则AH=，GH=AC=4，∴，得a=4．把原直三棱柱补形为正方体，则正方体的棱长为4．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径r=．故答案为：．【点评】本题考查球的体积与表面积，考查空间想象能力和思维能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•白山二模）在数列{a n}中，设f（n）=a n，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n（n∈N*），且a1=1．（1）设，证明数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）利用递推关系可得b n﹣b n=1，即可证明．+1（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：由已知得，得，﹣b n=1，∴b n+1又a1=1，∴b1=1，∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解：由（1）知，，∴．∴，两边乘以2，得，两式相减得=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）2n﹣1，∴．【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量→m=（，1），=（cosA+1，sinA），且→m•的值为2+．（1）求∠A的大小；（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由已知及平面向量数量积的运算可求sin（A+）=1，结合A的范围即可得解A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用正弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2+．∴．（2）∵，∴，∴由，得，∴．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（12分）（2017•奉贤区二模）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W （32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．【点评】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2015•绵阳模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A1B1C1DBA的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60°，∴△A1C1B为等边三角形，∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，∴A1C1=BC1=A1B=2，∴B1C1=2，∴A1C12=B1C12+A1B12，∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∵DE∥AB∥A1B1，∴DE⊥平面B1C1CB，∴DE是三棱锥D﹣BCC1的高，∴==，∴多面体A1B1C1DBA的体积V=﹣=（）×2﹣=．【点评】本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查多面体A1B1C1DBA 的体积，解题的关键是正确运用割补法．21．（12分）（2017春•武邑县校级期中）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b≥2，∀x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数根据二次函数的性质求出b的值即可；（2）求出h（x）的导数，结合二次函数的性质得到关于b的不等式组，解出即可；（3）问题等价于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），即h（x）=f（x）+g（x）=在区间[1，2]上是增函数，根据函数的单调性求出b的范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=lnx，所以，因此f'（1）=1，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1，由得x2﹣2（b+1）x+2=0．由△=4（b+1）2﹣8=0，得．（还可以通过导数来求b）（2）因为h（x）=f（x）+g（x）=（x＞0），所以，由题意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，因为x＞0，设u（x）=x2﹣bx+1，因为u（0）=1＞0，则只要，解得b＞2，所以b的取值范围是（2，+∞）．（3）不妨设x1＞x2，因为函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，所以f（x1）＞f（x2），函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b＞2．当b≥2时，函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，所以g（x1）＜g（x2），所以|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，等价于f（x1）﹣f（x2）＞g（x2）﹣g（x1），即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），等价于h（x）=f（x）+g（x）=在区间[1，2]上是增函数，等价于在区间[1，2]上恒成立，等价于在区间[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）（2017•安阳二模）如图，在几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA 与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥PC；（Ⅱ）求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB1⊥PC．（Ⅱ）几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积： +++．【解答】证明：（Ⅰ）∵几何体A1B1D1﹣ABCD中，四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P为DD1的中点．∴A（0，0，0），B1（2，0，4），C（4，4，0），D（0，4，0），D1（0，2，4），P（0，3，2），=（2，0，4），=（4，1，﹣2），•=8+0﹣8=0，∴AB1⊥PC．解：（Ⅱ）=（4，0，0），=（0，﹣1，2），||=，DC⊥DP，||=||==6，||==2，||=，C到直线DD1的距离d=||•=4几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积：+++=++++=42+6+2．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的表面积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•黄冈模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，即可写出曲线C的直角坐标方程；直线l经过点P（0，3），斜率为，即可写出直线l的参数方程；（Ⅱ）（t为参数）代入圆的普通方程，整理，得：t2+t﹣3=0，利用参数的几何意义，求的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，直角坐标方程为x2﹣4y=0；直线l经过点P（0，3），斜率为，直线l的参数方程为（t为参数）；（Ⅱ）（t为参数）代入x2﹣4y=0，整理，得：t2﹣8t﹣48=0，设t1，t2是方程的两根，∴t1•t2=﹣48，t1+t2=8∴===．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
【河北省衡水市武邑中学】2016届高三下学期期中(文科)数学试卷
10． 0 ， 已知向量 a m， 向量 b, c 满足 a b ，c a 2b ， 且 c 10 ， 若 c 与 a b 夹角的余弦值为 则 b =（ A． 2 ） B．
3 10 ， 10
5 4
C．
5 或2 4
D． 2 或
5 2
x2 y 2 11．设 F1 , F2 分别是双曲线 C：2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点，点 M 3, 2 在此双曲线上，且 MF1 与 a b 7 MF2 的夹角的余弦值为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） 9
A． 3.6
B．4
C． 12.4
D．无法确定 ）
log 1 x, 2 f x 4．已知函数 x 4 ,
A． 3 B．3
x0 x0
（ ，则 f f -2 16 f f 4
C． 6 D．6
2x >log 2 x, 命题 q：x0 0， ,sinx0 ln x0 ,则下列命题中的真命题是 5． 已知命题 p：x 0, , （
D．171
π 15π 8．已知 tan 2， 则 cos 2 （ 4 2
A．
4 5
B．
4 5
C．
3 5
D．
3 5
9．在三棱锥中 A BCD, A 0,0,2 , B 4,4,0 , C 4,0,0 , D 0,4,3 , 若下列网格纸上小正方形的边长为 1，则 三棱锥 A BCD 的三视图不可能是（ A． B． ） C． D．
河北省衡水市武邑 2016 届中学高三下学期期中（文科）数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
河北省武邑中学高二下学期期中数学(文)试题(解析版)
河北省武邑中学高二下学期期中数学（文）试题一、单选题 1．i 是虚数单位，52ii=-（ ） A ．12i + B ．12i --C ．12i -D ．12i -+【答案】D【解析】试题分析：由题意得，()()()52512222i i i i i i i +==-+--+，故选D ． 【考点】复数的运算．2．已知点P 的极坐标是()1,π，则过点P 且垂直极轴所在直线的直线方程是( ) A ．1ρ= B ．cos ρθ=C ．1cos ρθ=-D ．1cos ρθ=【答案】C【解析】分析：利用点P 的直角坐标是()1,0-，过点P 且垂直极轴所在直线的直线方程是1x =-，化为极坐标方程，得到答案．详解：点P 的直角坐标是()1,0-，则过点P 且垂直极轴所在直线的直线方程是1x =-， 化为极坐标方程为cos 1ρθ=-，即1cos ρθ=-， 故选C ．点睛：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P 且垂直极轴所在直线的直线方程是1x =-，是解题的关键． 3．已知x 与y 之间的一组数据： 0 1 2 3 1357则y 与x 的线性回归方程ˆˆy bx a =+必过A ．()2,2B ．()1.5,4C ．()1,2D ．()1.5,0【答案】B【解析】先求出x 的平均值 x ，y 的平均值 y ，回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），代入可得答案． 【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ），01231.54x +++==135744y +++== ，∴样本中心点是（1.5，4），则y 与x 的线性回归方程y ＝bx +a 必过点（1.5，4）， 故选B ． 【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（x ，y ）．4．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x yy x+B 2C ．1tan tan θθ+D ．22x x -+【答案】D【解析】解：选项A ，中当x,y 同号时，满足题意，选项B ，取不到等号，选项C ，正切值符号不定，因此只能选择D ，一正二定三相等．这是均值不等式使用的注意点．5．若,,R x y a +∈≤恒成立，则a 的最小值为（ ）AB ．1C ．2D ．12【答案】A≤，∴a ＞0，且a 2（x+y ）恒成立，∴a 2-1恒成立，2211122x y a a a +≤≤∴-≥∴≥∴≥Q 故选A6．直线24,13x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）与圆2cos ρθ=的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【答案】B【解析】通过直线的参数方程求出直线的普通方程为：3420x y ++=，以及通过圆的极坐标方程求出直角坐标方程为：2220x y x +-=，根据圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的比较即可得出位置关系. 【详解】直线的参数方程为24,13x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 可得普通方程：3420x y ++=，圆2cos ρθ=的直角坐标方程为：2220x y x +-=， 可得：圆心为(1,0)，半径=12r =，所以圆心到直线的距离1d ==，所以d r =，可得直线和圆相切. 故选：B. 【点睛】本题考查了参数方程和普通方程的转化，以及极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.7．直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 满足的条件是（ ） A ．34k ≤-B ．34k ?C ．k ∈RD ．k ∈R 且0k ≠【答案】A【解析】由曲线C 的极坐标方程可得其直角坐标方程：2220x y x +-=，可知曲线C 为圆，若要直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，列式即可得解. 【详解】由曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为：2220x y x +-=， 故曲线C 为圆，圆心为(1,0)，1r =，可得圆心到直线的距离d =由题意可得：d r ≤1≤，解得：34k ≤-. 故选：A.【点睛】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线和圆的位置关系，考查了计算能力， 属于中档题. 8．函数()af x x x=+在区间()2,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．02a <≤ B ．04a <≤C ．4a ≥D ．4a ≤【答案】D【解析】若要函数()af x x x=+在区间()2,+∞上单调递增，只要导函数()0f x '≥在区间()2,+∞上恒成立即可得解. 【详解】 对函数()af x x x =+进行求导可得：2()1a f x x'=-， 由题意可得2()=10af x x '-≥在区间()2,+∞上恒成立， 分离参数可得：2a x ≤， 因为()2,x ∈+∞，所以4a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了恒成立思想，属于中档题. 9．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切D ．相离【答案】B【解析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为33(1)22102519d -⨯--==<+，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.10．为使关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1(a ∈R)的解集在R 上为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．(0, 1) B ．(－1, 0)C ．(1, 2)D ．(－∞, －1)【答案】B【解析】由绝对值几何意义可知，最小值为1，则当，即时，满足题意11．已知c 是椭圆的半焦距，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围． 【详解】椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为 、 ，斜边为 ，由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：，，又，，故选： ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，考查了直角三角形三边的关系，属于基础题．12．设0b a >>，且222222,,,,111122a b a b P Q M ab N R a b a b ++=====++则它们的大小关系是（ ） A ．P Q M N R <<<< B ．Q P M N R <<<< C ．P M N Q R <<<< D ．P Q M R N <<<<【答案】A【解析】Q 为调和不等式，M 为几何不等式，N 为算术平方数，R 为平方平均数，由均值不等式性质可知四种平均数满足调和不等式≤几何不等式≤算术平方数≤平方平均数 ∴Q ＜M ＜N ＜R ∵1p ≥1Q∴P ＜Q 故选A ．二、填空题13．不等式2120x x ---<的解集为 . 【答案】(1,1)- 【解析】【详解】 解：因为22212021|2(21)(2)x x x x x x ---⇔-<-⇔-<-23311x x ⇔<⇔-<<14．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<）上任意一点，则yx的取值范围是________． 【答案】33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：曲线曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩可化为22(2)1x y ++=，可得曲线表示以(2,0)C -为圆心，半径为1的圆，又(),P x y 是曲线上一点，则OP yk x=，即点,O P 两点连线的斜率，当P 的坐标为33(,)2-时，yx有最小值为3-，当P 的坐标为33(,)22--时，y x 有最大值为33，所以yx 的取值范围为33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【考点】简单的线性规划的应用，圆的参数方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线的参数与普通方程的联系，两者可进行互化，可根据实际情况选择不同的方程进行求解，同时考查简单的线性规划求最值，体现了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出圆的普通方程，利用yx的几何意义，转化为圆上的点与坐标原点之间连线的斜率问题，求出直线的斜率的范围，即可得到结论．15．设1x ≥，则函数()()231x x y x ++=+的最小值是______．【答案】6【解析】根据题意，令1t x =+，则函数(1)(2)2=3t t y t t t++=++（2t ≥），进行求导可得出函数2=3y t t++的单调性，进而即可求出最小值. 【详解】令1t x =+，则函数(1)(2)2=3t t y t t t++=++（2t ≥）， 因为2t ≥，所以2210y t'=->， 即函数23y t t=++为增函数， 所以23y t t=++在2t =时取到最小值， 代入可得最小值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查了换元法以及用导数求函数单调性，考查了转化思想，属于中档题. 16．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】42m -<< 【解析】由于2282y xm m x y +>+恒成立，需2min 282y x m m xy ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得288y x x y +≥≥，因此282m m >+， ∴ 42m -<<． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．解不等式2|1||2|1x x x ++-<+ 【答案】2x ≥【解析】根据零点分段法分三种情况解不等式，然后再求并集即可. 解：当1x ≤-时，原不等式可化为2(1)(2)1x x x -+--<+，解得2x <-或0x >2x ∴<-当12x -<<时，原不等式可化为2(1)(2)1x x x +--<+，解得x <x >2x <当2x ≥时，原不等式可化为2(1)(2)1x x x ++-<+，解得x R ∈2x ∴≥综上所述，原不等式的解集为(,2))-∞-+∞U …………13分 18．已知某圆的极坐标方程为2cos 604πρα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．求： （1）圆的直角坐标方程和参数方程；（2）在圆上所有的点(,)x y 中，xy 的最大值和最小值． 【答案】(1)()()22222x y -+-=，22x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩；(2)9,1 【解析】(1)先化简圆的极坐标方程化为普通方程，再根据普通方程写出圆的参数方程.(2) 由(1)可知xy ＝(2cos θ)(2sin θ)= 3＋(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.再换元求函数的最大值和最小值. 【详解】(1)原方程可化为ρ2－ρ(cos cos sin sin )44ππθθ+＋6＝0， 即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设2)cos 22)sin 2x y θθ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,所以参数方程为22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2cos θ)(2θ)＝ 4＋(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝3＋22 (cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2. 设t ＝cos θ＋sin θ， 则t ＝2sin ()4πθ+，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9. 【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查圆的参数方程和圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解决本题的关键有两点，其一是利用参数方程设点22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其二是设t ＝cos θ＋sin θ＝2sin ()4πθ+，t ∈[－2，2]．19．已知函数()||f x x a =-.(1)若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2a =;(2) m 的取值范围(5]-∞，. 【解析】【详解】（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x ≤a+3， ∵f （x ）≤3的解集为[-1,5] ，∴，∴a=2．（2）∵f （x ）+f （x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5 又f （x ）+f （x+5）≥m 恒成立 ,∴m ≤5．20．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待工作的态度进行了调查，统计数据如下所示：积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大把握认为学生的学习积极性与对班级工作的态度有关系？并说明理由. 本题参考数据：【答案】（1）1225；1950（2）有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关，理由见解析【解析】（1）根据给数据，代入古典概型的概率计算公式即可； （2）计算出2K 的值，对照表中数据，即可得出结论. 【详解】解：（1）抽到积极参加班级工作的学生的概率为24125025= 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是1950（2）()22501819675030030030011.5252524262525242626K ⨯⨯-⨯⨯⨯===≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 因11.510.828>，()210.8280.001P K ≥=因此我们有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关. 【点睛】本题考查了古典概率的计算以及独立性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F分别是椭圆的左、右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且1F AB V 的周长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在直线l 使1F AB V 的面积为43？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y += （2）存在，直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+.【解析】（1）根据离心率公式、椭圆定义，结合椭圆性质，解方程组即可求出椭圆方程； （2）分两种情况讨论，当斜率不存在时，其面积为1F AB S =△存在时，可设出直线方程，代入椭圆方程可得()2222120k y ky k ++-=，结合韦达定理代入三角形面积公式()1121212121122F AB S F F y y F F y y =⨯⨯+=⨯⨯-△，即可得解. 【详解】解：（1）由题意得2224,c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩∴1,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）存在直线l 满足题意，由（1）知右焦点()21,0F ， 当直线l的斜率不存在时，此时1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，AB =11211222F AB S F F AB =⨯⨯=⨯=△，不符合题意，故设直线的方程为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()2222120k y ky k ++-=. ∵>0∆，∴122212k y y k -+=+，212212k y y k-=+， ∴12y y -===， ∴()11212121212111422223F AB S F F y y F F y y y y =⨯⨯+=⨯⨯-=⨯⨯-=△，∴()()222242216912k k k +=+，∴4220k k +-=，∴21k =或2-（舍去）， ∴1k =±，故直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. 【点睛】本题考查了利用椭圆定义、性质、离心率求椭圆方程，主要考查韦达定理在直线和圆锥曲线中的应用，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题. 22．已知()()()2ln 12f x x ax =+--.（1）若函数()f x 是R 上的增函数，求a 的取值范围； （2）若1a <，求()f x 的单调增区间.【答案】（1）(],1-∞- （2）答案不唯一，见解析【解析】（1）由函数()f x 是R 上的增函数，可得()0f x '≥在R 上恒成立，分离参数可得：221x a x ≤+，令()221xg x x =+，求出()g x 最小值即可得解； （2）由1a <，求导后分0a =，01a <<和10a -<<三种情况进行讨论即可得解. 【详解】 解：（1）()221xf x a x '=-+， ∵()f x 是R 上的增函数，故()2201xf x a x '=-≥+在R 上恒成立， 即221xa x ≤+在R 上恒成立. 令()221xg x x =+()()()()()()()()22222222212221211111x x x x x x g x x x x +-⋅--+'==-=-+++ 由()0g x '=，得1x =-或1x =()0g x '>，得11x -<<， ()0g x '<，得1x <-或1x >，故函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单词递增， 在()1,+∞上单调递减.∴当1x =-时，()g x 有极小值()11g -=-，当1x =时，()g x 有极大值()11g =.又∵212x x +≥，∴22111xx -≤≤+， 故()11g -=-为函数()g x 的最小值.∴1a <-，但当1a =-时，()f x 亦是R 上的增函数， 故知a 的取值范围是(],1-∞-.（2）()2222211x ax x af x a x x -+'=-=-++ 由()0f x '>，得220ax x a -+<， 由判别式()()244411a a a ∆=-=-+-可知①当0a =时，()00f x x '>⇒>，即函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，有>0∆，()0f x x '>⇒<<即函数()f x 在⎝⎭上单调递增；③当10a -<<时，有>0∆，()10f x x a+'>⇒<或1x a ->，即函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本题考查了函数求导，利用导数求函数单调性，考查了恒成立思想和分类讨论思想，要求较高的计算和思维能力，属于难题.。
河北省衡水市武邑县高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2016—2017学年河北省衡水市武邑高二（下）期中数学试卷(文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．双曲线x2﹣=1的渐近线方程为( )A．y=x B．y=±2x C．y=2x D．y=﹣2x3．抛物线y2=64x的准线方程为（）A．x=8 B．x=﹣8 C．x=﹣16 D．x=164．用反证法证明某命题时,对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数"正确的反设为（）A．a，b,c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a,b，c都是奇数D．a,b，c都是偶数5．下列命题中，假命题是（)A．∀x∈R，2017x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx0=22C．∃x0∈R,lgx0＜0 D．∀x∈R，（x﹣100)2016＞06．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．为了判断高中学生选修文科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050已知P（Χ2≥3.841）≈0。
05,P（Χ2≥5。
024）≈0.025．根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为（）A．25% B．5% C．1% D．10％8．=(2,1)，•=10，｜+|=5,则｜|=（)A．B．C．5 D．259．函数f（x）=xsinx+cosx在下列区间内是增函数的是（）A．B．（π，2π）C．（2π，3π)D．10．在△ABC中，sinA=cosB是A+B=90°的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（)A．72 B．66 C．60 D．3012．已知函数f（x）=|xe x｜，方程f2（x）+tf(x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t 的取值范围为（)A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞,﹣2) C．（﹣，﹣2）D．（，+∞）二、填空题用火柴棒按图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是．14．曲线y=x（3lnx+1）在点（1,1）处的切线方程为．15．已知圆锥的母线长是2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的侧面积为．16．如果关于x的不等式｜x﹣4｜﹣｜x+5|≥b的解集为空集，则实数b的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河北省武邑县高二数学下学期期中试题 理(扫描版)(2021年整理)
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河北武邑中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则iiz +=1在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.双曲线1422=-y x 的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y ±= C ．x y 2±= D ．x y 4±= 3.抛物线x y 642=的准线方程为（ ）A ．8=xB ．8-=xC ．16-=xD ． 16=x4.用反证法证明某命题时，对结论“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．c b a ,,中至少有两个偶数 B ．c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 C. c b a ,, 都是奇数 D ．c b a ,, 都是偶数5.下列命题中，假命题是（ ） A ．02017,2>∈∀-x R x B ． 22tan ,00=∈∃x R xC. 0lg ,00<∈∃x R x D ．0)100,2016>-∈∀x R x （6.为了得到函数)42sin(π-=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =图象上所有点（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位7.为了判断高中学生选修文科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下22⨯列联表：理科 文科 合计男 13 10 23女 7 20 27 合计203050已知025.0)024.5(,05.0)841.3(22≈≥≈≥χχP P .根据表中数据，得到844.430202723)7102013(5022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为（ ）A.%25B.%5 C ．%1 D.%10 8.已知向量25,10),1,2(=+=⋅=b a b a a ，则=b （ ） A ．5 B ．10C. 5 D ．25 9.函数x x x x f cos sin )(+=在下列区间内是增函数的是（ ） A ．)32,2(ππ B ．)2,(ππ C. )3,2(ππ D ．)25,23(ππ 10.在ABC ∆中，B A cos sin =是 90=+B A 的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）A ．72B ．66 C. 60 D ．3012.已知函数x xe x f =)(，方程)(01)()(R t x tf x f ∈=++'有四个不同的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．)1,(2e e +--∞B ．)2,1(2-+-e e C. )1,2(2e e + D ．),1(2+∞+ee 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ． 14.曲线)1ln 3(+=x x y 在点)1,1(处的切线方程为 ．15.已知圆锥的母线长是2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为 ．16.如果关于x 的不等式b x x ≥+--54的解集为空集，则参数b 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223b ac c a +=+，求B 的大小和C A sin cos +的取值范围.18.已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=ty t x 54,253（t 为参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.19. 已知R b a m ∈>,0，，求证：mmb a m mb a ++≤++1)1(222. 20. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PD 平面ABCD ．E 是AP 的中点.（1）求证：∥PC 平面EBD ；（2）过点D 作PC DF ⊥，垂足为F ，求证：平面⊥DEF 平面PCB ． 21. 已知函数),(231)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=有极值，且在1=x 处的切线与直线0322=++y x 垂直．（1）求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为2．若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．22. 已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点)0,1()0,1(21F F 、-，点)23,3(P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线m kx y l +=:与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M 、N 是直线l 上的两点，且 l N F l M F ⊥⊥21,.求四边形21MNF F 面积S 的最大值.高二数学（文科）参考答案一、选择题1-5:DCCBD 6-10: DBCDB 11、12：AA二、填空题13. 12+=n a n 14. 34-=x y 15.π2 16.9>b三、解答题17.解：由2223b ac c a +=+和余弦定理得232cos 222=-+=ac b c a B ，所以6π=B . )6sin(cos )6sin(cos sin cos A A A A C A ++=--+=+πππ)3sin(3sin 23cos 21cos π+=++=A A A A .因为6733πππ<+<A ，所以1)3sin(21≤+<-πA . 所以C A sin cos +的取值范围为]3,23(-. 18.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为θρρsin 22=. 又θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x ， 所以曲线C 的直角坐标方程为0222=-+y y x . （2）将直线l 动点参数方程化为直角坐标方程，得)2(34--=x y . 令0=y ，得2=x ，即M 点的坐标为)0,2(.又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ，则5=MC ，所以15+=+≤r MC MN . 19.证明：因为0>m ，所以01>+m ,所以要证mmb a m mb a ++≤++1)1(222， 即证))(1()(222mb a m mb a ++≤+． 即证0)2(22≥+-b ab a m ， 即证0)(2≥-b a ， 而0)(2≥-b a 显然成立，故mmb a m mb a ++≤++1)1(222. 20.解：（1）设AC 交BD 与O ，连接EO ，在PAC ∆中，∵E 是PA 中点，O 是AC 中点． ∴PC EO ∥.又⊄PC 平面EBD ，⊂EO 平面EBD ， ∴∥PC 平面EBD .（2）由⊥PD 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD . ∴BC PD ⊥.又D PD DC DC BC =⊥ ，，⊂PD 平面PDC ，⊂DC 平面PDC ， ∴⊥BC 平面PDC .又⊂DF 平面PDC ，∴DF BC ⊥.又C PC BC PC DF =⊥ ,，⊂BC 平面PCB ，⊂PC 平面PCB ， ∴⊥DF 平面PCB ，∴平面⊥DEF 平面PCB . 21.解：（1）∵231)(22+-+=bx ax x x f ，∴b ax x x f -+='2)(2， 由题意，得121)1(=-+='b a f ，∴a b 2=.①∵)(x f 有极值，故方程02)(2=-+='b ax x x f 有两个不等实根， ∴0442>+=∆b a ，∴02>+b a .② 由①②可得022>+a a ,2-<a 或0>a ． 故实数a 的取僮范围是),0()2,(+∞--∞∈ a ． （2）存在38-=a . ∵a ax x x f 22)(2-+='．令0)(='x f ，a a a x a a a x 2,22221++-=+--=.)(x f ,)(x f '随x 值的变化情况如下表：x),(1x -∞ 1x ),(21x x 2x ),(2+∞x)(x f ' + 0- 0+ )(x f↑极大值↓极小值↑∴22231)()(222322=+-+==ax ax x x f x f 极小值，∴02=x 或063222=-+a ax x . 若02=x ，即022=++-a a a ，则0=a （舍）.若063222=-+a ax x ，又0)(2='x f ，∴022222=-+a ax x ，∴042=-a ax ， ∵0≠a ，∴42=x ，∴422=++-a a a ，∴238-<-=a . ∴存在实数38-=a ，使得函数)(x f 的极小值为2. 22.解：（1）依题意，点)23,3(P 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ．∵22222,1433a c b ba =+=+， 又∵1=c ，∴3,22==b a ．∴椭圆C 的方程为13422=+y x .（2）将直线l 的方程m kx y +=代入椭圆C 的方程124332=+y x 中，得01248)34(222=-+++m kmx x k .由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k , 化简得：3422+=k m . 设1,1222211++==++-==k m k N F d k m k M F d ，∵1)35(21)(2)1()1(2222222222221++=++=+++++-=+k k k k m k mk k mk d d ，3133111222222221=++=+-=++⋅++-=+k k k k m k mk k mk d d . ∴12)2(4)(2212221221221+=-+-=--=k d d d d d d F F MN ，四边形21MNF F 的面积)(11)(2121221d d k d d MN S ++=+=，12)211(416)1(1216)2(112222221222122≤-+-=++=+++=k k k d d d d k S .当且仅当0=k 时，32,122==S S ，故32=max S . 所以四边形21MNF F 的面积S 的最大值为32.。