新人教版初中数学八年级下册19.2.2第3课时用待定系数法求一次函数解析式公开课优质课教学设计

第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
1．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)
2．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)
一、情境导入
已知弹簧的长度y (厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．
一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求一次函数解析式
【类型一】 已知两点确定一次函数解析
式
已知一次函数图象经过点A (3，5)
和点B (－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C (m ，2)是该函数图象上一点，求C 点坐标．
解析：(1)将点A (3，5)和点B (－4，－9)分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，列出
关于k 、b 的二元一次方程组，通过解方程组求得k 、b 的值；(2)将点C 的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m 的值．
解：(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋
b (k 、b 是常数，且k ≠0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧5＝3k ＋b ，－9＝－4k ＋b ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝2x －
1；
(2)∵点C (m ，2)在y ＝2x －1上，∴2＝2m －1，∴m ＝32，∴点C 的坐标为(3
2
，2)．
方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k ≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．
【类型二】 由函数图象确定一次函数解
析式
如图，一次函数的图象与x 轴、y
轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．
解析：先求出点B 的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．
解：∵OA ＝OB ，A 点的坐标为(2，0)，∴
点B 的坐标为(0，－2)．设直线AB 的解析式
为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，
b ＝－2，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1，
b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝x －2. 方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
【类型三】 由三角形的面积确定一次函
数解析式
如图，点B 的坐标为(－2，0)，AB
垂直x 轴于点B ，交直线l 于点A ，如果△ABO 的面积为3，求直线l 的解析式．
解析：△AOB 面积等于OB 与AB 乘积的一半．根据OB 与已知面积求出AB 的长，确定出A 点坐标．设直线l 解析式为y ＝kx ，将A 点坐标代入求出k 的值，即可确定出直线l 的解析式．
解：∵点B 的坐标为(－2，0)，∴OB ＝2.∵S △AOB ＝12OB ·AB ＝3，∴1
2
×2×AB ＝3，∴
AB ＝3，即A (－2，－3)．设直线l 的解析式
为y ＝kx ，将A 点坐标代入得－3＝－2k
k ＝3
2，则直线l 的解析式为y ＝32
x .
坐标．
【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式
已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过
点(1，2)，且其图象可由正比例函数y ＝kx 向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．
解析：根据题设得到关于k ，b 的方程组，然后求出k 的值即可．
解：把(1，2)代入y ＝kx ＋b 得k ＋b ＝2.∵y ＝kx 向下平移4个单位得到y ＝kx ＋b ，∴b ＝－4，∴k －4＝2，解得k ＝6.∴一次函数的解析式为y ＝6x －4.
方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)的图象为直线，当直线平移时k 不变，当向上平移m 个单位，则平移后直线的解析式为y ＝kx ＋b ＋m .
【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式
已知水银体温计的读数y (℃)与水
银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写
出函数自变量的取值范围)；
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．
解析：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由统计表的数据建立方程组求出k ，
b 即可；(2)当x ＝6.2时，代入(1)的解析式
就可以求出y 的值．
解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝
kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨
⎪
⎧35.0＝4.2k ＋b ，40.0＝8.2k ＋b ，
解得
⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝1.25，
b ＝29.75，∴y ＝1.25x ＋29.75.∴y 关于x
的函数关系式为y ＝1.25x ＋29.75；
(2)当x ＝6.2时，y ＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.
答：此时体温计的读数为37.5℃. 方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问题
如图，A 、B 是分别在x 轴上位于原
点左右侧的点，点P (2，m )在第一象限内，直线PA 交y 轴于点C (0，2)，直线PB 交y 轴于点D ，S △AOP ＝12.
(1)求点A 的坐标及m 的值； (2)求直线AP 的解析式；
(3)若S △BOP ＝S △DOP ，求直线BD 的解析式． 解析：(1)S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，根据三角形面积公式得到12×OA ×2＋1
2×2×2＝12，可
计算出OA ＝10，则A 点坐标为(－10，0)，然后再利用S △AOP ＝1
2×10×m ＝12求出m ；(2)已
知A 点和C 点坐标，可利用待定系数法确定
直线AP 的解析式；(3)利用三角形面积公式由S △BOP ＝S △DOP 得PB ＝PD ，即点P 为BD 的中点，
则可确定B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(0，24
5)，然后利用待定系数法确定直线BD 的解析式．
解：(1)∵S △POA ＝S △AOC ＋S △COP ，∴1
2×OA ×
2＋1
2×2×2＝12，∴OA ＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．∵S △AOP ＝12×10×m ＝12，∴m ＝12
5
；
(2)设直线AP 的解析式为y ＝kx ＋b ，把
A (－10，0)，C (0，2)代入得⎩⎪⎨
⎪
⎧－10k ＋b ＝0，b ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝15，b ＝2，∴直线AP 的解析式为y ＝1
5
x ＋
2；
(3)∵S △BOP ＝S △DOP ，∴PB ＝PD ，即点P 为
BD 的中点，∴B 点坐标为(4，0)，D 点坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，245.设直线BD 的解析式为y ＝k ′x ＋b ′，把B (4，0)，D ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，245代入得
⎩
⎪⎨⎪⎧4k ′＋b ′＝0，b ′＝245，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－6
5
，b ′＝24
5，∴直线
BD 的解析式为y ＝－65
x ＋245
.
三、板书设计 1．待定系数法的定义
2．用待定系数法求一次函数解析式
教学中，要让学生通过自主讨论、交流，探究学习中碰到的问题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长．。