离散数学03-谓词逻辑

北 京 交 通 大 学
软件学院 电子教案
2010-12-8 1
第五讲 谓词逻辑
在 Ls中 ， 把命题分解到原子命题为止 ， 认 Ls 中 把命题分解到原子命题为止， 为原子命题是不能再分解的， 为原子命题是不能再分解的 ， 仅仅研究以原子 命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和 推理。 这样， 推理 。 这样 ， 有些推理用命题逻辑就难以确切 地表示出来。 例如， 地表示出来 。 例如 ， 著名的亚里士多德三段论 苏格拉底推理： 苏格拉底推理：
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二 =1时 称一元谓词； =2时 元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。 特别地， =0，称为零元谓词。 元谓词， 零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统 零元谓词是命题， 一。
n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用 元谓词不是命题， 特定个体或个体常元替代时， 特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命 但个体变元在哪些论域取特定的值， 题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命 题的真值极有影响。例如， 是大学生。 题的真值极有影响。例如，令S(x)：x是大学生。 的论域为某大学的计算机系中的全体同学， 若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学， 是真的； 的论域是某中学的全体学生， 则S(x)是真的；若x的论域是某中学的全体学生， 是假的； 的论域是某剧场中的观众， 则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的观众， 且观众中有大学生也有非大学生的其它观众， 且观众中有大学生也有非大学生的其它观众， 则S(x)是真值是不确定的。 是真值是不确定的。
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域 通常，把一个n 综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总 综合在一起作为它的论域，称为n 论域。定义了全总论域， 论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供 了方便。当一个命题没有指明论域时， 了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都 从全总论域作为其论域。 从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用 一个谓词如P 来限制个体变元x的取值范围， 一个谓词如P(x)来限制个体变元x的取值范围， 并把P 称为特性谓词。 并把P(x)称为特性谓词。
如果在解答时，指明了个体域，便不用特 如果在解答时，指明了个体域， 性谓词，例如在① 性谓词，例如在①、③中令个体域为全体大学 生，②和④中的个体域为全部自然数，则可符 中的个体域为全部自然数， 号化为： 号化为： ①(∀x)L(x) ③ (∃ x )I(x ) ②(∀x)R(x) ④(∃x)P(x)
２.原子谓词公式
原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽 比如在谓词右侧的圆括号内的n 象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元 被替换成个体变元， ,···,x 被替换成个体变元，如x1,x2,···,xn，这样便得了 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原 子谓词。 子谓词。 定义5.1.3 由一个谓词( 定义5.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元 (如x1，x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)， 组成的P 称它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n 而个体变元的论述范围， 词。而个体变元的论述范围，称为个体域或论 域。
３.量词
利用n元谓词和它的论域概念， 利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不 能用符号来很准确地表达某些命题，例如S 能用符号来很准确地表达某些命题，例如S(x) 表示x是大学生， 的个体域为某单位的职工， 表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工， 那么S 可表示某单位职工都是大学生， 那么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可 表示某单位有一些职工是大学生， 表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理 解上的歧义， Lp中 需要引入用以刻划“ 解上的歧义，在Lp中，需要引入用以刻划“所 有的” 存在一些”等表示不同数量的词， 有的”、“存在一些”等表示不同数量的词， 即量词，其定义如下： 即量词，其定义如下：
所有的人都是要死的， 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是， 根据常识，认为这个推理是正确的。但是， 若用Ls来表示 若用Ls来表示，设P、Q和R分别表示这三个原 来表示， 子命题， 子命题，则有 P，Q⇒R
在该例的解答中， 在该例的解答中，由于命题中没有指明个 体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论， 体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论， 因而都使用了特性谓词， 因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。而且还 可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规 可以看出， 律，即全称量词后跟一个条件式，而特性谓词 即全称量词后跟一个条件式， 作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式， 作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式， 特性谓词作为一个合取项出现。 特性谓词作为一个合取项出现。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 对于给定的命题， 字母和表示其谓词的大写字母来表示时， 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。 例如，在命题“张明是位大学生” 张明” 例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明” 是个体， 是位大学生”是谓词， 是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了 张明”的性质。 是位大学生， 张明， “张明”的性质。设S：是位大学生，c：张明， 张明是位大学生”可表示为S 则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者写成 S(c)：张明是位大学生。又如，在命题“武汉位 张明是位大学生。又如，在命题“ 于北京和广州之间” 武汉、 于北京和广州之间”中，武汉、北京和广州是 三个个体， 位于… 之间”是谓词， 三个个体，而“…位于…和…之间”是谓词， 它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设 它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。 P：…位于…和…之间，a：武汉，b：北京，c： 位于… 之间， 武汉， 北京， 广州， 武汉位于北京和广州之间。 广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
例5.1.1 试用量词、谓词表示下列命题： 试用量词、谓词表示下列命题： ① 所有大学生都热爱祖国； 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国， 是大学生， 热爱祖国， N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有 是自然数， 是实数， 远大理想，P(x)：x是素数。 是素数。 远大理想， 则例中各命题分别表示为： 则例中各命题分别表示为： ①(∀x)(S(x)→L(x)) )(S ③(∃x)(S(x)∧I(x)) )(S ②(∀x)(N(x)→R(x)) )(N ④(∃x)(N(x)∧P(x)) )(N
③符号∃!称为存在唯一量词符，用来表达 符号∃ 称为存在唯一量词符， “恰有一个”、“存在唯一”等词语；∃!x称为 恰有一个” 存在唯一”等词语； 存在唯一量词， 为指导变元。 存在唯一量词，称x为指导变元。 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称 全称量词、存在量词、 量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有 引入的， 量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的 了量词之后， 了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大 加强了。 加强了。
定义5.1.4 定义5.1.4 ①符号∀称为全称量词符，用来 符号∀称为全称量词符， 表达“对所有的” 表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一 每一个” 个”、“一切”等词语；∀x称为全称量词，称x 一切”等词语； 称为全称量词， 为指导变元。 为指导变元。 ②符号∃称为存在量词符，用来表达“存在 符号∃称为存在量词符，用来表达“ 一些” 一些”、“至少有一个”、“对于一些”、 至少有一个” 对于一些” “某个”等词语；∃x称为存在量词，x称为指导 某个”等词语； 称为存在量词， 变元。 变元。
１.个体、谓词和命题的谓词形式 个体、
定义5.1.1 在原子命题中， 定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称 为个体； 为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的 部分，称为谓词。 部分，称为谓词。 个体，是指可以独立存在的事物，它可以 个体，是指可以独立存在的事物， 是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机， 精神等。表示特定的个体，称为个体常元， 精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以a， b，c…或带下标的ai，bi，ci…表示；表示不确 或带下标的a 表示； 定的个体，称为个体变元， 定的个体，称为个体变元，以x，y，z…或xi，yi， zi…表示。 表示。
5.1 个体、谓词和量词 个体、 5.2 谓词公式与翻译 5.3 约束变元与自由变元 5.4 公式解释与类型 5.5 等价式与蕴涵式 5.6 谓词公式范式 5.7 谓词逻辑的推理理论
5.1 个体、谓词和量词 个体、
在Lp中， 命题是具有真假意义的陈述句。 Lp中 命题是具有真假意义的陈述句。 从语法上分析， 从语法上分析 ， 一个陈述句由主语和谓语两部 分组成。 Lp中 分组成 。 在 Lp中， 为揭示命题内部结构及其不 同命题的内部结构关系， 同命题的内部结构关系 ， 就按照这两部分对命 题进行分析， 并且把主语称为个体或客体， 题进行分析 ， 并且把主语称为个体或客体 ， 把 谓语称为谓词。 谓语称为谓词。
然而， 然而 ， (P∧Q)→R 并不是永真式 ， 故上述 )→R 并不是永真式， 推理形式又是错误的。 一个推理， 推理形式又是错误的 。 一个推理 ， 得出矛盾的 结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中， 结论 ， 问题在哪里呢 ? 问题就在于这类推理中 ， 各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之 而是体现在构成原子命题的内部成分之间， 间 ， 而是体现在构成原子命题的内部成分之间 ， 即体现在命题结构的更深层次上。 对此， Ls 是 即体现在命题结构的更深层次上 。 对此 ， Ls是 无能为力的。 所以， 在研究某些推理时， 无能为力的 。 所以 ， 在研究某些推理时 ， 有必 要对原子命题作进一步分析， 要对原子命题作进一步分析 ， 分析出其中的个 体词， 谓词和量词， 体词 ， 谓词和量词 ， 研究它们的形式结构的逻 辑关系、 正确的推理形式和规则， 辑关系 、 正确的推理形式和规则 ， 这些正是谓 词逻辑（简称为Lp）的基本内容。 词逻辑（简称为Lp）的基本内容。