您的位置：360文档中心› 广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中数学文试卷

广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中数学文试卷

合集下载

广东省第二师范学院番禺附属中学2024_2025学年高二化学下学期期中试题

广东省第二师范学院番禺附属中学2024_2025学年高二化学下学期期中试题

广东省其次师范学院番禺附属中学2024-2025学年高二化学下学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分。

考试时间90分钟。

留意事项：1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、姓名填写在答题卡上，并用2B铅笔把对应的号码标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3. 非选择题必需用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案，改动的内容也不能超出指定的区域；不准运用铅笔、圆珠笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必需保持答题卡的整齐。

考试结束后，将答题卡和答卷一并交回，本试卷自行保存。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16第Ⅰ卷（选择题，共50分）单项选择题（本题包括25小题，每小题2分，共50分，每小题只有一个选项符合题意。

）1.环境爱护部门为了使城市生活垃圾得到合理利用，对生活垃圾分类投放，其中塑料袋、旧橡胶是属于（）。

A.无机物B.有机物C.盐类D.非金属单质2.有机物丁香油酚的结构简式如图所示，按官能团分类，它不属于()A．烯类 B.酚类 C．醚类 D.醇类3.下列有机物的命名正确的是（）A. 1,2─二甲基戊烷B. 2─乙基戊烷C. 3,4─二甲基戊烷D. 3─甲基己烷4.我国冀东渤海湾发觉储量达10亿吨的大型油田。

下列关于石油的说法正确的是（）。

A.石油属于可再生矿物能源B.石油主要含有碳、氢两种元素C.石油的裂化是物理改变D.石油分馏的各馏分均是纯净物5. 欲除去混在苯中的少量苯酚，下列试验方法正确的是（）A．分液 B．加入氢氧化钠溶液后，充分振荡，静置后分液C．加入过量溴水，过滤 D．加入FeCl3溶液后，过滤6.某化合物由碳、氢、氧三种元素组成，其红外光谱图有C—H键、H—O键、C—O键的振动汲取，该有机物的相对分子质量是60，则该有机物的结构简式可能是()A．CH3CH2CH2OH B． C．CH3CH2OCH3 D.CH3CH2CHO7.按C2H5Br CH2 CH2 CH2Cl—CH2Cl CH2 CHCl的路途制备聚氯乙烯,不发生的反应类型是()A.加成反应B.消去反应C.取代反应D.加聚反应8.β­月桂烯的结构如图所示，一分子该物质与两分子溴发生加成反应的产物(只考虑位置异构)理论上最多有()A．2种 B．3种 C．4种 D．6种9.有机物中碳原子和氢原子个数比为3∶4，不能与溴水反应却能使酸性KMnO4溶液褪色。

广东省实验中学高二数学上学期期中试题 理 北师大版

广东省实验中学高二数学上学期期中试题 理 北师大版

广东实验中学2012—2013学年（上）高二级模块考试理科数学本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。

考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分基础检测(共100分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）A．棱柱的两个底面互相平行B．圆台与棱台统称为台体C．棱柱的侧棱垂直于底面D．圆锥的轴截面是一个等腰三角形2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A．①② B．①③ C．①④ D．②④3．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )．A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥β，α∥β，则m∥αD．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α4．如图，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是△OAB，OB=AB=2，则该直观图所表示的平面图形的面积为（）A．22 B．42 C．2D．25．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④ AB⊥BC. 其中正确的( )yxOABA ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是( ) A ．8cm B ．cmC ．．7．如图，已知二面角α-l -β为120°，AB ⊂α，CD β⊂AB⊥l 于A ，CD⊥l 于D ，且AB=AD=CD=1,则BC=( )A B C ．1D ．28．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥QEF P -的体积D ．二面角Q EF P --的大小二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．点A(x ,2，3)与点B(-1，y ，z )关于坐标平面yOz 对称，则x =_____,y =______,z =______. 10．点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面，且对于空间任一点O ，都有122OP AB OB OC λ=-+u u u r u u u r u u u r u u u u u r，则λ=_____________.11．已知：直线1l ：2x+3y-1=0，2l ：Ax-6y+C=0，当A,C 满足条件：__________时,1l //2l .12．已知(1,1,2),(1,1,3)a b ==--r r ，且()ka b +r r//(a b -r r ),则k=______.13．已知直线l 的斜率k ]33,1(-∈，则直线l 的倾斜角的范围是______________. 三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（本小题满分11分）C 1A C已知直线m 过点（-1,2），且垂直于l ： x+2y+2=0 （1）求直线m ；（2）求直线m 和直线l 的交点。

2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

广东省第二师范附属中学2012

广东省第二师范附属中学2012

广东省第二师范附属中学2012—2013学年度上学期期中考试高一化学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分100分，考试用时60分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字体的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答卷交给监考老师。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 N 14 Na 23 S 32 K 39第Ⅰ卷（选择题共50分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．在盛放酒精的试剂瓶的标签上应印有下列警示标记中的2．鉴别溶液与胶体最简单的方法是A．丁达尔效应B．过滤C．布朗运动D．透过半透膜3．下列实验操作中错误的是A．用规格为10mL的量筒量取6.2mL的液体B．如果没有试管夹，可以临时手持试管给固体或液体加热C．过滤时玻璃棒的末端应轻轻靠在三层滤纸上D．用药匙或者纸槽把粉末状药品送入试管的底部4．向装有碘水的试管中加CCl4振荡，静置后，你观察到的现象是A．上层几乎无色，下层紫红色B．上层紫红色，下层几乎无色C．上层几乎无色，下层橙色D．不分层，紫红色5．下列物质中不属于电解质的是A．NaCl B．CO2 C．NaOH D. BaSO46．下列各组物质中，第一种是酸，第二种是混合物，第三种是碱的是A．空气．硫酸铜．硫酸B．水．空气．纯碱C．氧化铁．胆矾．熟石灰D．硝酸．食盐水．烧碱7．将50mL0.6mol/LNaOH溶液加水稀释到500mL，该溶液的物质的量浓度变为A ．0.03mol/LB ．0.06mol/LC ．0.3mol/LD ．0.6mol/L8．下列变化不属于．．．氧化还原反应的是 A ．2HClO ==== 2HCl + O 2↑ B ．2Na 2O 2+ 2CO 2=== 2Na 2CO 3+ O 2C ．4Fe(OH)2 + O 2 + 2H 2O === 4Fe （OH ）3D ．2NaHCO 3 === Na 2CO 3 + H 2O + CO 2↑9．现有三组溶液（1）汽油和氯化钠溶液（2）酒精和水的混合溶液（3）氯化钠和单质溴的溶液。

2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题(含答案)

2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题(含答案)

2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将1枚质地均匀的硬币抛掷2次，恰好出现1次正面向上的概率是( )A. 0B. 14C. 12D. 342.直线3x+3y+3=0的倾斜角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知空间向量a=(−2,1,m)，b=(1,−1,0)，c=(−1,2,n)，若a、b、c共面，则m+n=( )A. −1B. 0C. 1D. 24.已知直线l1:x−y+3=0，l0:x−y−1=0，若l1关于l0对称的直线为l2，则直线l2的方程是( )A. x−y−3=0B. x−y+5=0C. x−y+3=0D. x−y−5=05.已知过点P(4,m)(m≠0)作圆C:x2+y2−4y=0的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB必过定点( )A. (2,1)B. (1,2)C. (1,1)D. (1,12)6.若直线ax+by−1=0(a>0,b>0)平分圆(x−1)2+(y−1)2=4，则1a +2b的最小值是( )A. 2B. 5C. 3+22D. 427.在平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD−A1B1C1D1中，有∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，AB=AD=2，AC1=22，则AA1=( )A. 22B. 2C. 2D. 48.已知圆C1:x2+y2−2x−4y−7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是( )A. 圆C1和圆C2关于直线8x+6y−5=0对称B. 圆C1和圆C2的公共弦长为223C. |PQ|的取值范围为[0,5+23]D. 若M为直线x−y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为109−43二、多选题：本题共3小题，共18分。

广东省第二师范学院番禺附属中学2024_2025学年高二历史上学期期中试题

广东省第二师范学院番禺附属中学2024_2025学年高二历史上学期期中试题

广东省其次师范学院番禺附属中学2024-2025学年高二历史上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共7页，全卷二大题32小题，满分100分，考试用时90分钟。

留意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准运用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必需保持答题卡的整齐,考试结束后,将答题卡答卷交给监考老师。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共30小题，每题2分,共60分)1. 打破贵族的垄断、在思想界呈现出以“民本”思潮等为代表的“私学文化”（《中华文化史》冯天瑜等著），成为春秋战国时期的亮点。

其“私学文化”得以产生、发展的经济根源是A. 井田制瓦解，土地私有制确立B. 分封制崩溃，宗法制瓦解C. 贵族没落，“士”阶层活跃D.“学在官府”发展为“学在民间”2．春秋战国时期某一学派反对在社会中实施礼治、德治，认为在法律面前不存在贵族和平民之分，除君主外全部臣民一旦触犯法律都必需受到惩处。

这一学派是A．道家 B．墨家C．法家 D．儒家3.有战国时期思想家认为：“人之所不学而能者，其良能也；所不虑而知者，其良知也”。

这位思想家是A. 孔子B. 孟子C. 庄子D. 王阳明4.《史记》有如下记载：汉景帝时期窦太后喜爱《老子》，却被儒生辕固生讽刺，窦太后让辕固生与野猪搏斗。

汉武帝时期公孙弘以《春秋》白衣为天子三公，封以平津侯。

这些记载说明A. 百家争鸣思想自由局面的结束B. 统治集团内部权力与利益的冲突C. 汉朝治国思想从无为到有为的转变D. 政治的统一须要思想的统一5．春秋战国时期的儒学已成为蔚然大宗，汉代董仲舒则完成了儒学意识形态和内容的重大转折。

广东第二师范学院番禺附属中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

广东第二师范学院番禺附属中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

2018-2019学年第二学期广东二师附中中段测试高一级试题数 学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡和答卷一并交回．试卷要自己保存好，以方便试卷评讲课更好开展.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1、直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A .30°B ．60°C ．120°D ．150°2、已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12l l ⊥, 则a 的值为（ ） A . 2- B. 2 C. 12-D. 8 3、在△ABC 中，060B =，2b ac =则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4、将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为（ ）A ．43π B ． 4π C ． 3π D ． 3π 5、设,m n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（ ）A ．,//m n m n αα⊥⇒⊥B ． ,//m n m n αα⊥⊥⇒C ．,//m m n n αα⊥⇒⊥D ．//,////m m n n αα⇒ 6、一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )A ．224cm πB ．218cm πC ．245cm πD ． 248cm π 7、球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( ) A ．3π B ．4π C ．2πD ．π 8、在ABC ∆中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --=．求B 的度数（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9、.如图所示,在正方体D C B A ABCD 111-中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A.AC B.BD C.1A D D.11A D . 10、已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a cos cos cos 2+=，422=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ）． A.38B.34C. 3D. 2311、已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于E 点，将ACD ∆沿对角线折起，使得平面ABC ⊥平面ADC （如图），则下列命题中正确的是（ ）A. 直线AB ⊥直线CD ，且直线AC ⊥直线BDB. 直线AB ⊥平面BCD ，且直线AC ⊥平面BDEC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDED. 平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ACD ⊥平面BDE12、如图所示，已知两点),(04A ),(40A ，从点),(02P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A ．210 B ．6 C ．33 D ．25第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 13、锐角ABC ∆中，若面积ab S 43=，则角C =___________ 14、如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：__________时，SC ∥平面EBD.15、如图所示，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m ，0045,105ACB CAB ∠=∠=后，就可以计算出,A B 两点的距离为________16、设点P 在直线30x y +=上,且P 到原点的距离与P 到直线32x y +=的距离相等,则点P 的坐标为 .三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 三、解答题(本大题共6题,共70分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.)17、（本小题满分10分）已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18、（本小题满分12分）如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==．求证：（1）11AAC BAC ⊥平面平面；（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．19、（本小题满分12分）设ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且3,1,2b c A B ===．（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值．20、（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y -+=,∠A 的平分线所在的直线方程为0y =,若点B 的坐标为（1，2）， 求：（1）点A 和点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．21． （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.22、（本小题满分12分）已知向量()()()2sin ,sin cos ,3cos ,sin cos (0)a x x x b x x x λλλ=+=->，函数()f x a b =⋅的最大值为2.（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为2,cos 2b aa b c A c-=、、，若()0f A m ->恒成立，求实数m 的取值范围.2018-2019学年第二学期中段测试高一级试题答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B ADDCACDBBDA二、 填空题13.14.E 为SA 中点/SE=EA 15. 502m 16. 3131(,)(,)5555--或三、解答题 17、【答案】（1）由12l l ⊥知()320a a +-=，解得32a =； ……………4分 （2）当12l l ∥时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =， (6)12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即3390x y ++=， ……………8分距离为229142333d -==+ ……………10分 18、【答案】 （1）证明：C 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AB 是底面圆的直径，∴ AC⊥BC． ……………1分AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC， ……………2分又AC∩AA 1=A ， ……………3分∴BC⊥平面AA 1C ． ……………4分又BC ⊂平面BA 1C ， ……………5分∴平面AA 1C⊥平面BA 1C ． ……………6分（2）解：在Rt△ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大，此时AC=BC. 此时几何体1A ABC -取得最大体积. ……………8分090,2ACB AB ∠==，则由AB 2=AC 2+BC 2， ……………10分 AA 1⊥平面ABC ， AA 1是几何体1A ABC -的高所以体积max 11112332ABC V S AA ⎛=⋅=⨯⨯= ⎝23． ……12分19．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==， ………1分∴22222a c b a b ac+-=⋅， ………3分∵3,1b c ==，∴212a =，∴a = ………5分2）由（1）可得2221cos 23b c a A bc +-==-， ………7分∵0A π<<，∴sin A ………9分 ∴sin()sin cos +cos sin444A A A πππ+=13=-= ………12分 20、【答案】（1）解：由⎩⎨⎧==+-.0,012y y x 得顶点(1,0)A -． ………2分又AB 的斜率2011(1)AB k -==--．∵x 轴是A ∠的平分线，故AC 的斜率为1-，AC 所在直线的方程为(1)y x =-+① ………3分 已知BC 上的高所在直线的方程为210x y -+=，故BC 的斜率为2-， BC 所在的直线方程为22(1)y x -=--② ………4分解①，②得顶点C 的坐标为(5,6)-． ………6分 （2）()()22152645BC =-++= ………7分又直线BC 的方程是240x y +-=A 到直线的距离24655d --==………10分 所以ABC ∆的面积1164512225BC d =⋅=⨯⨯= ………12分 21、解：（1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠=，∴所以//BC AD . ………1分又BC ⊄平面,PAD AD ⊂平面PAD ， ………3分∴//BC 平面PAD ………4分（2）取AD 的中点M ，连结,PM CM .12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ∠= ∴ 四边形ABCM 为正方形，∴CM AD ⊥. ………5分因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，所以,PM AD PM ⊥⊥底面ABCD . ………6分 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥.… ………7分 设BC x =，则,2,3,2CM x CD x PM x PC PD x =====.取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以142PN x =………8分 因为PCD ∆的面积为27，所以11422722x x ⨯⨯=， 解得2x =-（舍去），2x =.………10分 于是2,4,23AB BC AD PM ====.所以四棱锥P ABCD -的体积12(24)32V +=⨯⨯=………12分22、试题解析：（1）函数()•23sin cos f x a b x x λ==+()sin cos x x λ+()sin cos x x - ………1分()22sin cos sin cos x x x x λ=+-)cos2x x λ=-12cos22x x λ⎫=-⎪⎪⎝⎭2sin 26x πλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ………2分 因为()f x 的最大值为2，所以解得1λ=. ………3分 则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由3222262k x k πππππ+≤-≤+， ………4分 可得：3522223k x k ππππ+≤≤+，536k x k ππππ+≤≤+， 所得函数()f x 的单调减区间为()536k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，. ………6分 （2）由2222cos 22b a b c d A c bc-+-==，可得22222b ab b c a -=+-，即222b a c ab +-=. 解得1cos 2C =，即3C π=. ………8分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， ………10分因为()2sin 206f A m A m π⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭恒成立， 则2sin 26A m π⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，即1m ≤-. ………12分。

广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题及答案

广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题及答案

2023-2024学年第二学期高二年级中段教学检查数 学满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列求导运算正确的是（）A ．()sin cos x x ′=−B ．()x x e e ′−=C ．11(ln )x x′=−D ．(2)2x x′=2．在等差数列{}n a 中，45660a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．403．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，(1)0.7P X >=，则(23)P X <<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.74．对于独立性检验，下列说法正确的是（ ）A ．卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立B ．卡方的值可以为负值C ．卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎”D ．22×列联表中的45．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且25n n a S =+，则2024S =（）A ．2024−B ．2024C ．5−D ．06．已知函数()ln f x x x =+，过原点作曲线()y f x =的切线l ，则切点P 的坐标为（ ） A ．()1,1B ．(),1e e +C ．11,1e e −D ．()22,2e e +7．已知数列{}n a 中，221232n nn a a a a += ，若函数()()()()()()()()242024132023,x x a x a x a f x f x x a x a x a −−−=−−− 的导数为()f x ′，则()0f ′=（ ） A ．2B ．10122C ．20232 D ．202428．已知数列{}n a 的首项为1，12cos π,cos π,n n n n a n n a n a n n ++ + = +为奇数为偶数，则数列{}2n an a ⋅的前2024项和为（ ）A ．2024202322⋅+B ．2025202322⋅−C ．2024202321⋅+D ．2025202322⋅+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得到部分分数，有选错的得0分.9．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为1.:068l y x a =+ ，计算其相关系数为1r ．经过分析确定点F 为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为28:0.6l y bx =+ ，相关系数为2r ，则以下结论中，正确的是（ ）A ．12r r > B ．120,0r r >> C ．0.12a =D ．00.68b<< 10．已知函数2()2sin cos 2xf x x =，则以下结论正确的是（ ）A ．π为()f x 的一个周期 B ．()f x 在π3x =−处取得极小值C ．对1x ∀，2x ∈R ，()()21f x f x −≤ D ． ()f x 在π3π,22−上有2个零点11．设()f x 是定义域为R 的可导函数，若存在非零常数λ，使得()(1)()f x f x λλ+=−对任意的实数x 恒成立，则称函数()f x 具有性质()H λ.则（ ）A ．若函数()f x 具有性质()H λ，则导函数()f x ′也具有性质()H λB ．若()f x 具有性质()2H ，则(1)(2023)2f f +=C ．若()f x 具有性质1()2H ，且(0)1f =，则11()3ni f i =<∑D ．若函数()(01)x f x a a =<<具有性质()H λ且0λ>，则a 的取值范围是10a e<<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S =．13．等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，222,3a S ==，若不等式218n n S ka +≥，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________．14．已知实数0a >，若函数()()e cos 0x f x a x x =+>有且仅有2个极值点，则a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：年份2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 年收入y （千元）5961646873(1)根据表中数据，现决定使用2y a bx =+模型拟合y 与x 之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由．参考数据及公式：()()()121nii i nii xx y ybxx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．设2t x =，则()()1217ni i i t ty y =−−=∑，()21374ni i t t =−=∑．16．如图，在四棱锥E ABCD −中，平面ABCD ⊥平面ABE ，点E 在以AB 为直径的半圆O 上运动（不包括端点），底面ABCD 为矩形，112ADBC AB ===. (1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)当四棱锥E ABCD −体积最大时，求平面ADE 与平面ACE 所成夹角的余弦值.17．已知n S 为公差不为0的等差数列．．．．{}n a 的前n 项和，且()*21,n n a a n λλ=+∈∈R N ．(1)求λ的值；(2)若424S S =，求证：1223111112n n a a a a a a ++++< ．18.已知函数()2112ln 2f x a x x x x=+−−−. (1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调区间；(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤−，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）19．已知椭圆22:14x C y +=.(1)若点()00,P x y 在椭圆C 上，证明：直线0014x xy y +=与椭圆C 相切；(2)设曲线()22:10O x y x +=≠的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以A ，B 为切点的椭圆C 的切线交于M 点，求MAB △面积的取值范围.2023-2024学年第二学期高二年级中段教学检查数学参考答案与解析一、单项选择题：1—4．CDAA 5—8． DBBD 二、多项选择题： 9.BCD 10．BD 11. ACD7【详解】因为221232n n na a a a += ，所以12a =.当2n ≥时，()2(1)1212312n n n a a a a −+−−= ，所以()2222(1)122n n n n n na +−+−−==.因为1n =也满足，所以2nn a =.令()()()()()()()242024132023x a x a x a g x x a x a x a −−−=−−− ，则()()f x xg x =，()()()f x g x xg x ′′=+，所以()()()()()()()()2420241012132023002a a a f g a a a ′−−−===−−− .或242024132023()())()()()()((0)x a x a x a x f f x a x a x x a ，则10122420232041023()()()2()(()()0)'(0)li ()mx f x f f a xa a a a a ．8.【详解】化简知121,211,2n n n n a n k a n a n k ++ −=−= +=，*k ∈N ，当2n k =，*k ∈N 时，()()212212*********11112121k k k k k k k a a a aa k k +−−−+−++=+=+=−+=−−，*k ∈N ， ∴21212121k k a a k k +−=+−，*k ∈N ，即n 为奇数时，数列n a n是常数列，111n a a n ==， ∴当n 为奇数时，n a n =；又∵当n 为偶数时，1n +为奇数，11n n a a +=+，∴1111n n a a n n +=−=+−=，综上所述，数列{}n a 的通项公式为n a n =. ∴数列{}2na n a ⋅的通项公式为22n n a nan ⋅=⋅，使用错位相减法得其前2024项和2024T 为20252023.22+.10. 【详解】()()()22ππ2sin πcos 2sin sin 22x x f x x x f x ++=+=−≠，故A 错误； ()()()222π2π2sin 2πcos 2sin cos 22x x f x x x f x + +=+==，所以()f x 的最小正周期为2π，因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()22()2sin cos 2sin cos 22x x f x x x f x−=−−=−=−，可知()f x 为奇函数， 又因为()22sin cos sin sin cos 2x f x x x x x ==+，则()()()222cos cos sin 2cos cos 1cos 12cos 1f x x x x x x x x =+−=+−=+−′，当ππ,3x∈−−时，则11cos 2x −≤≤，可得()0f x ′≤；当π,03x∈− 时，则1cos 12x <≤，可得()0f x ′>；可得()f x 在ππ,3 −−内单调递减，在π,03− 内单调递增，所以()f x 在π3x =−处取得极小值，故B 正确；且()()ππ00,3f f f −==−()f x 在[]π,0−内的最小值为结合奇函数对称性可知：()f x 在[]0,π所以()f x 在[]π,π−内的最小值为结合周期性可知：()f x 在R 内的最小值为故1x ∀，2x ∈R ，()()21f x f x −≤− C 错误； 令()0f x =，即22sin cos02xx =，得sin 0x =或cos 02x =，当π3π,22x∈−时，解得0x =或πx =，故()f x 在π3π,22 − 上有2个零点，故D 正确；故选：BD.11.【详解】对于A ，函数()f x 具有性质()H λ，即存在非零常数λ，使得()(1)()f x f x λλ+=−对任意的实数x 恒成立，对两边求导得()(1)()f x f x λλ′′+=−，因此存在非零常数λ，使得()(1)()f x f x λλ′′+=−对任意的实数x 恒成立，()f x ′也具有性质()H λ，A 正确；对于B ，函数()f x 具有性质()2H ，则对任意的实数x ，()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=−， 于是()()42()f x f x f x +=−+=，即函数()f x 的周期是4，因此(2023)(3)(1)f f f ==−， 所以(1)(2023)0f f +=，B 错误； 对于C ，函数()f x 具有性质1()2H ，则11()()22f x f x +=，有111(1)()()224f x f x f x +=+=， 取(N )x n n ∗=∈，则1(1)()4f n f n +=，而当0x =时，11(1)(0)44f f ==，因此数列{()}f n 是以14为首项，14为公比的等比数列，则111(1)11144()(1)134314nn n i f i =−==−<−∑，C 正确； 对于D ，函数()x f x a =（01a <<）具有性质()H λ，即存在常数0λ>，使得()(1)()f x f x λλ+=−对任意的实数x 恒成立，即(1)x x a a λλ+=−，而0x a >，因此1a λλ=−，令()1g a λλλ+−，则()0g λ=有正数解， '()ln 1g a a λλ=+为单增函数，故若'(0)0g ≥，则'()0g λ≥，从而()g λ单增，又(0)0,g =故()0g λ=不可能有有正数解.反之，若'(0)0g <，则'()g λ先负后正，从而()g λ在0λ>上先单减后单增，故()0g λ=必有正数解. 从而1a λλ=−有正数解等价于'(0)0g <，故ln 10a +<，解得10a e<<，D 正确. 故选：ACD 三、填空题： 12．17．13．19(,]2−∞． 14．944]2e ππ．14.【详解】因为()cos (0)x f x e a x x =+>，所以()sin x f x e a x ′=−，依题意()f x ′在(0,)+∞上有两个变号零点，令()()sin x g x f x e a x =′=−，(0,)x ∈+∞，又0a > 故i 1s n x a x e=有两个变号零点，求导得cos sin ()si 'n x x x x e x e −==，故函数sin x x e 在(0,)4π上单增，(4π上单减，59(,)44ππ上单增，… 画出函数cos x xe的草图后，可判断出若在(0,)x ∈+∞两个变号零点，必有9449sinsin144[,)a e e ππππ∈,从而a 的取值范围是944]2e 2e ππ. 四、解答题：15．（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：()11234535x =++++=，()15961646873655y =++++=，设2t x =，则2y bx a bt a =+=+，所以()22222112345115t =++++=， 则()()()515212170.6374iii i i tty y b t t==−−==≈−∑∑，650.61158.4a y bt =−=−×=．所以，回归方程为20.658.4y x +．（2）将x 值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，则残差平方和为()()()()()2222259596160.86463.868687373.40.24−+−+−+−+−=． 因为0.240.5<，所以回归方程20.658.4yx +拟合效果符合要求．16．（1） 点E 在 AB 上且AB 为直径，AE BE ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =，AD AB ⊥且AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，BE ⊂ 平面ABE ，AD BE ∴⊥， 又,,DA AE A DA AE =⊂ 平面ADE ，故BE ⊥平面ADE . （2）当四棱锥E ABCD −体积最大时，E 是 AB 的中点，此时AE BE =，OE AB ⊥，取CD 中点F ，连接OF ，则//OF AD ，即OF ⊥平面ABE ，又OE AB ⊥ ，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)O A B C E −∴，()0,2,1AC ∴= ，()1,1,0AE = ，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则·20·0n AC y z n AE x y + =+= ，，取1x =，可得(1,1,2)n =− ，平面ADE 的一个法向量为(1,1,0)BE=−，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos ||||n BE n BE θ⋅==故平面ADE 与平面ACE17．（1）解法一：设{}n a 的公差为()0d d ≠，由21n n a a λ=+①，得2211n n a a λ++=+②，则② −①得()2221n nn n a a a a λ++−=−，即2d d λ=，又0d ≠，则2λ=；解法二：设{}n a 的公差为()0d d ≠，因为21n n a a λ=+，所以()()112111a n d a n d λ +−=+−+ 对*n ∀∈N 恒成立，即()()()12110dn a d λλ−+−−+=对*n ∀∈N 恒成立， 所以()()()120110d a d λλ −=−−+=，又0d ≠，则2λ=；（2）由424S S =得()114642a da d +=+，即12a d =， 所以()11112n a a n d a n a =+−=−，又221nn a a =+即()11114221a n a a n a −=−+，则11a =，因此21n a n =−，则111111(21)(21)22121k k a a k k k k +=−+−+=(-)，故()()12231111111111111111.133521212321212212n n a a a a a a n n n n n + +++=+++=−++−=−< ××−+−++18．（1）()2112ln 2f x a x x x x =+−−− ，()f x ′()()()2211111x x a x a x x x x +−−−−−，又()112f =−，(1)f ′0=，故()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为102y−−=，即12y =−. （2）()f x ′()()()211x x x a x −+−−=，又0x >，10x +>，则①0a ≤时，当()0,1x ∈，()f x ′0>，()y f x =单增；当()1,x ∈+∞，()f x ′0<，()y f x =单减； ②01a <<时，当()0,x a ∈，()f x ′0<，()y f x =单减；当(),1x a ∈，()f x ′0>，()y f x =单增；当()1,x ∈+∞，()f x ′0<，()y f x =单调递减；③1a =时，当()0,x ∈+∞，()f x ′0≤，()y f x =在()0,+∞单调递减；④1a >时，当()0,1x ∈，()f x ′0<，()y f x =单调递减；当()1,x a ∈，()f x ′0>，()y f x =单调递增；当(),x a ∈+∞，()f x ′0<，()y f x =单调递减.综上所述：当0a ≤，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞； 当01a <<，()f x 的单调减区间为()()0,,1,a +∞，单调增区间为(),1a ； 当1a =，()f x 的单调减区间为()+∞，没有单调增区间； 当1a >，()f x 的单调减区间为()()0,1,,a +∞，单调增区间为()1,a .（3）若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤−，则()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤−； 由（2）可知，当1a >，()f x 在()1,a 单调递增，在(),a +∞单调递减， 故()()22max 1112ln ln 2122f x f a a a a a a a a a==+−−−=+−+；令()21ln 21,12m x x x x x =+−+>，则()m x′1220x x =+−>=，故()y m x =在()1,+∞单调递增，又()2ln 2241ln 21m =+−+=−， 故当2a =时，()2max1ln 21ln 212f x a a a =+−+=−，也即当2a =时，对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤−.故a 的最大值为2.19．（1）联立方程00221414x x y y x y += += ()000,2x x ≠≠±，得22002200011104162x x x x y y y +−+−= ，2222000042240000441141044164x x x y y y y y  +−∆=−+−==  ，∴0014x x y y +=与椭圆C 只有一个交点，是切线； 若00x = ，01y =± ，切线方程为1y =±， 也满足014x x y y +=，若002,0x y =±= ，切线方程为2x =± ，也满足0014x x y y +=，综上，014x x y y +=是椭圆C 在()00,P x y 处的切线方程； （2）解法一：依题意作下图：设圆O 的切点为()00,P x y ，则其切线方程为001x x y y +=()000,1x x ≠≠± ，设()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ，联立方程：0022114x x y y x y += +=，得2200222000211104x x x x y y y +−+−= ，01222008,4x x x x y +=+212220044x x x x y =+，()012210x y y x x y −=−，在A 点的椭圆C 的切线方程为1114x x y y += ，在B 点的椭圆C 的切线方程为2214xx y y += ，联立方程112214{14x x y y x x y y +=+= ①②，−①② 得()()121204x x x y y y −+−= ，00120,1,0x x x x ≠≠±∴−≠ ，得004y y x x =，代入①0010*******,M M x y x y x x y y x x y y ==++，因为()11,A x y 点在切线001x x y y +=上，所以10101x x y y += ，得004,M M x x y y == ， 使用水平底铅垂高计算ABM 的面积，铅垂高为()021120x x x y y y −−=，又()()()22220012121222048431x y x x x x x x x −=+−=+，从而2x，即1y −，12011||3||22ABM S PM y y x =−= ，∵点P 在圆O 上，∴[]01,1x ∈−，由题意，00x ≠ ，第7页，共7页 设函数()()()()()2232223101,03131x x x f x x f x x x +′=<<=>++，()()00,1f f ==ABM S ∈ ；当01x =时，切线方程为1x = ，代入椭圆C的方程得y =，1y −， ()1412ABM S =×−= ，同理01x =−时，ABM S = 综上ABM S取值范围是．解法二：设直线:AB x ty m ，因为AB 与曲线O 相切，则有1，即2211m t ．设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，将x ty m 代入椭圆方程得：222(4)240t y tmy m ，22222244(4)(4)16(4)48t m t m t m ，则||AB ．由（1）的结论，过点A 的切线为1114x x y y ，过点B 的切线为2214x x y y ， 而两条切线交于点P ，则101020201,41,4x x y x x y y 所以A,B 的坐标满足直线0014x x y y ，即直线AB 方程． 易知00x ，则00044y x y x x ，故有0004,4,y t x m x即004,.x m t y m 则点P 到直线AB的距离2d ，所以1||2MAB S AB d ||m 时，0MAB S ， 故ABM S取值范围是．。

广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中语文试题

广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中语文试题

广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中语文试题高三2013-01-10 14:47广东省第二师范附属中学2012-2013学年高二上学期期中语文试题一、本大题4小题，每题3分，共12分。

1.下列各组词语中，加点的字注音有错的一组是（）A.渣滓（zǐ）缴械（xiè）琐屑（xiè）自给自足（ｊǐ）B.角逐（jué）瞭望（liào）毗邻（pí）睚眦必报（zì）C.粗犷（ɡuǎnɡ）歼灭（qiān）悼念（dào）恪守不渝（kè）D.干瘪（biě）拙劣（zhuō）战栗（lì）海市蜃楼（shèn）2．下列各句中加点的成语，使用正确的一项是（）（3分）A．有的人真心地宣传科学启蒙民众，也有的人利用科学以售其奸，一时间，令人真假难辨，莫衷一是。

B．我们公司的灯光设计师，在室内灯光设计大赛中拿过一等奖，他的设计一定会让您的新居蓬筚生辉。

C．尽管这部影片的故事情节和演员的表演都很难让人满意，但瑕不掩瑜，它的音乐仍深得观众喜爱。

D．林林自卫失手致人死命，的确有罪，但罪不当死；判林林死刑，量刑过重，罚不当罪，同样有损法律的公正。

3．下列句子中，没有语病的一项是A.“虎妈”、“狼爸”引发了人们对家庭教育的思考。

对孩子爱一点还是严一点，是穷养还是富养，不同的家庭不约而同地给出了肯定的回答。

B．2012年伦敦夏季奥运会的吉祥物是精灵文洛克，它以英格兰的萨罗普羊为原型，造型活泼而且富有动感，设计充满了想象力。

C．针对广大百姓关注的住房问题，温家宝总理在报告中指出，要坚决遏制部分城市房价过快上涨势头，满足人民群众的基本住房。

D．研究人员最近发现了《册封琉球国记略》原件，是钓鱼岛自古属于中国的最新明确证据，公布以来，在海内外影响巨大。

4．根据语境，下列排序最恰当的一项是（）这是一种所谓幽默的态度，真正的幽默恰恰是从平凡渺小里发掘价值。

2023-2024学年广东省广州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省广州二中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分 1．直线√3x +y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．30°B ．150°C ．120°D ．60°2．（多选）从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ） A ．至少有1个红球与都是红球B ．恰有1个红球与恰有2个红球C ．至少有1个红球与至少有1个白球D ．至多有1个红球与恰有2个红球3．已知点A （2，1），点B 在直线x ﹣y +3＝0上，则|AB |的最小值为（ ） A ．√5B ．√26C ．2√2D ．44．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝07．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225 C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A ．表面积为3m 2的球体B ．体积为0.3m 3的正四面体C ．体积为0.4m 3的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.8m 的圆锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 ．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 ．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[−π2，π2]上的单调减区间．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作⊙C的切线，求切线的方程；（2）若⊙C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．20．（12分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A＝PB＝PC＝AC＝BC，AC⊥BC，N为AB的中点．（1）证明：PN⊥平面ABC；（2）若M是线段PC上的点，且平面MAB与平面P AB的夹角为45°，求AM与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，CD=√2．（1）若BC=√2，求AC的长；（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．22．（12分）已知点A，B关于原点O对称，点A在直线x+y＝0上，|AB|＝2，⊙C过点A，B且与直线x+1＝0相切，设圆心C的横坐标为a．（1）求⊙C的半径；（2）若a＜2，已知点P（0，1），点M，N在⊙C上，直线MN不经过点P，且直线PM，PN的斜率之和为﹣1，PD⊥MN，D是垂足，问：是否存在一定点Q，使得|DQ|为定值．2023-2024学年广东省广州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分1．直线√3x+y﹣2＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．120°D．60°解：设倾斜角为α，直线√3x+y﹣2＝0的斜率为−√3，则tanα=−√3，∵0≤α＜180°，∴α＝120°，故选：C．2．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（）A．至少有1个红球与都是红球B．恰有1个红球与恰有2个红球C．至少有1个红球与至少有1个白球D．至多有1个红球与恰有2个红球解：根据题意，依次分析选项：对于A：“至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件，都包含有“取出3个红球”的事件，故不是互斥事件，故A错误；对于B：“恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故B正确；对于C：“至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“恰有1个红球”与“恰有2个红球”两个事件，故不是互斥事件，故C错误；对于D：“至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外，任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，故D正确．故选：BD．3．已知点A（2，1），点B在直线x﹣y+3＝0上，则|AB|的最小值为（）A．√5B．√26C．2√2D．4解：|AB|的最小值即为点A到直线x﹣y+3＝0的距离，即√1+1=√2=2√2．故选：C ．4．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，若记OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OG →=（ ）A ．14a →+14b →+14c → B ．14a →+14b →+34c → C ．34a →+14b →+14c →D ．14a →−14b →+34c →解：点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点G 是PQ 的中点，则OP →=12OA →，PG →=12PQ →，BQ →=12BC →， 故OG →=OP →+PG →=OP →+12PQ →=OP →+12(OQ →−OP →)=12OP →+12OQ →=14OA →+12(OB →+BQ →)=14OA →+12(OB →+12BC →) =14OA →+12OB →+14BC →=14OA →+12OB →+14(OC →−OB →)=14OA →+14OB →+14OC →=14a →+14b →+14c →．故选：A ．5．“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件解：直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行，则1m=1+m 2≠−24，则m ＝1，故“m ＝1”是“直线x +（1+m ）y ﹣2＝0与直线mx +2y +4＝0平行的充要条件， 故选：D ．6．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点，过P 作⊙M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x +y +1＝0B ．2x ﹣y +1＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣y +3＝0解：⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心M （1，1），半径r ＝2．由题意可得∠P AM ＝∠PBM ＝90°，可得四点A ，P ，M ，B 共圆，且以PM 为直径．由PM ⊥AB ，可得四边形P AMB 的面积为12|PM |•|AB |＝2S △P AM ＝|P A |•|AM |，即为|PM |•|AB |＝2|P A |•|AM |＝4|P A |＝4√|PM|2−4， 当|PM |取得最小值时，|PM |•|AB |最小．当PM ⊥l 时，|PM |取得最小值，此时直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1）， 即y =12（x +1），联立直线2x +y +2＝0，解得P （﹣1，0）， 则以PM 为直径的圆的方程为（x +1）（x ﹣1）+（y ﹣1）y ＝0，即x 2+y 2﹣y ﹣1＝0，与圆M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0联立，可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0． 故选：A ．7．若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(1−2√2，1+2√2) B ．(1−2√2，−1] C ．[−1，1+2√2)D ．(1−2√2，3]解：若方程x +b =3−√4x −x 2有两个不等的实根， 则√4x −x 2=−x ﹣b +3有两个不等的实根，y =√4x −x 2，即（x ﹣2）2+y 2＝4（0≤y ≤2），表示以（2，0）为圆心，半径为1的圆的上半部分， y ＝﹣x ﹣b +3表示斜率为﹣1的一组平行线，则半圆y =√4x −x 2与直线y ＝﹣x ﹣b +3有两个不同的交点， 直线与半圆相切时，√2=2，∴b ＝1±2√2，结合图形，直线y ＝﹣x ﹣b +3的纵截距﹣b +3＞0，∴b ＝1﹣2√2， 直线过点（4，0）和点（2，2）时，﹣b +3＝4，b ＝﹣1， 所以当这两个函数图象有两个交点时，根据图象， 4≤﹣b +3＜2√2+2，实数b 的取值范围为（1﹣2√2，﹣1]．故选：B ．8．平面OAB ⊥平面α，OA ⊂α，OA =√3，AB ＝2，∠OAB =5π6，平面α内一点P 满足P A ⊥PB ，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．√55D ．√1010解：如图：过B 作BH 垂直OA 的延长线，垂足为H ，连接PH ，OP ，取AH 的中点为E ，连接PE ，过点P 作PF ⊥OA ，垂足为F ， 因为平面OAB ⊥平面α，且平面OAB ∩平面α＝OA ， BH ⊂平面OAB ，PF ⊂α，所以BH ⊥α，PF ⊥平面OAB ， 所以OP 在平面OAB 上的射影就是直线OA ，故∠AOP 就是直线OP 与平面OAB 所成的角θ，即∠AOP ＝θ， 因为AP ⊂α，所以P A ⊥BH ，又P A ⊥PB ，PB ∩BH ＝B ， PB ⊂平面PBH ，BH ⊂平面PBH ， 所以P A ⊥平面PBH ，PH ⊂平面PBH ，则P A ⊥PH ，所以点P 的轨迹是平面α内以线段AH 为直径的圆（A 点除外），因为OA =√3，AB ＝2，∠AOB =5π6， 所以∠BAH =π6，AH =2cosπ6=√3， 所以PE =12AH =√32，当且仅当PE ⊥OP ， 即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值， 则sin θ的最大值为PEOE=√32√3+√32=13．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，错选得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（1，0） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√3D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 解：直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），所以A 正确；圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√2， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2≠2√3，所以C 不正确；当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：ABD ．10．已知空间四点O （0，0，0），A （4，3，0），B （﹣3，0，4），C （5，6，4），则下列说法正确的是（ ） A ．OA →⋅OB →=12B ．cos〈OA →，OB →〉=−1225C ．点O 到直线BC 的距离为√5D ．O ，A ，B ，C 四点共面解：对于A ，∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)， ∴OA →⋅OB →=4×(−3)=−12，故A 错误；对于B ：∵OA →=(4，3，0)，OB →=(−3，0，4)，OA →⋅OB →=−12， ∴cos〈OA →，OB →〉=OA →⋅OB →|OA →|⋅|OB →|=12√4+3×√(−3)+4=−1225，故B 正确；对于C ：∵BO →=(3，0，−4)，BC →=(8，6，0)， ∴cos〈BO →，BC →〉=BO →⋅BC→|BO →|⋅|BC →|=24√3+(−4)×√8+6=1225，∴sin〈BO →，BC →〉=√1−cos 2〈BO →，BC →〉=√48125，∴点O 到直线BC 的距离为|BO →|sin〈BO →，BC →〉=5×√48125=√4815，故C 错误；对于D ：∵OA →=(4，3，0)，BC →=(8，6，0)， ∴BC →=2OA →，∴BC →，OA →是共线向量， ∴O ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确． 故选：BD ．11．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=√5−12）．在顶角为∠BAC 的黄金△ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（ ）A ．cos342°=ADACB ．AD CD=cos27°+sin27°cos27°−sin27°C ．AB →在AC →上的投影向量为2√5+18AC →D ．cos ∠BAC 是方程4x 3+2x 2﹣3x ＝1的一个实根解：对A 选项，设∠BAC ＝θ，则θ+2θ+2θ＝180°， ∴θ＝36°，∴∠DAC ＝18°，∴cos ∠DAC =cos18°=cos(360°−18°)=cos342°=ADAC，∴A 正确； 对B 选项，∵AD CD=tan2θ=tan72°， ∴cos27°+sin27°cos27°−sin27°=1+tan27°1−tan27°=tan(27°+45°)=tan72°，∴B 正确；对C 选项，根据题意可知BC =√5−1，∴AB ＝AC ＝2，∴cos ∠BAC =22+22−(√5−1)22×2×2=√5+14， 过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，∴AB →在AC →上的投影向量为AE →=cos∠BAC ⋅AC →=√5+14AC →，∴C 错误；对D 选项，由图可知cos2θ＝cos （π﹣θ﹣2θ）， ∴2cos 2θ﹣1＝﹣cos （θ+2θ）＝﹣cos θcos2θ+sin θsin2θ＝﹣cosθ（2cos2θ﹣1）+2sin2θcosθ，设cosθ＝x，则2x2﹣1＝﹣x（2x2﹣1）+2（1﹣x2）x，整理得4x3+2x2﹣3x＝1，∴D正确．故选：ABD．12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．表面积为3m2的球体B．体积为0.3m3的正四面体C．体积为0.4m3的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.8m的圆锥解：选项A，设球半径为R，4πR2＝3得R=√34π＜12，A能够放入；选项B，设正四面体棱长为a，如图正四面体ABCD，O是面BCD中心，AO是四面体的高，OD=√33a，AO=√a2−(33)2=√63a，体积为V=13×√34a2×√63a=0.3，所以a3=52=9√25，在边长为1的正方形PQMN中，如下右图，∠NPS＝∠QPR＝15°，R，S分别在边QM，NM上，PS＝PR=1cos15°，QR＝NS＝tan15°，因此MR＝MS＝1﹣tan15°，所以，RS=√2(1−tan15°)=√2(cos15°−sin15°)cos15°=2(√22cos15°−√22sin15°)cos15°=1cos15°=PS，△PES 是等边三角形，易得，RS =46+2=√6−√2，RS 3=(√6−√2)3=12√6−20√2=√2(12√3−20)， 12√3−20−95=√432−(21+45)＜21−(21+45)＜0， 所以RS 3＜a 3，RS ＜a ，因此B 中正四面体可以放入棱长为1的正方体中；选项C ，体积为0.4m 3的圆柱体，只有当底面直径不大于1m ，高也不大小1m 可放入棱长为1的正方体中，当高大于1m ，或底面直径大于1m 时，不能放入，例如当圆柱底面半径为0.1m 时，高为120π＞√3，就不能放入；选项D ，圆锥底面直径为1.2m ，高为0.8m ，如果能放到正方体中， 根据对称性，把圆锥的轴放在正方体的对角线上， 如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则A 1C =√3，可证明A 1C ⊥平面BDC 1（通过证明BD ⊥平面ACC 1A 得BD ⊥A 1C ，同理得BC 1⊥A 1C ，从而得证）， 因此圆锥的底面在平面BDC 1或与之平行的平面内，△BDC 1是等边三角形，边长为√2，其内切圆半径为13×√32×√2=√66≈0.408＜0.6，因此题中圆锥的底面不可能在平面BDC 1内，也不可能在平面BDC 1与点C 之间， 设平面BDC 1与A 1C 的交点为M （E 是底面正方形中心，A 1C ∩C 1E ＝M ）， 如图，M 是△BDC 1中心，由A 1C ⊥平面BDC 1可得A 1C ⊥C 1E ，cos ∠A 1CA =AC A 1C =CM CE ，因此CM =AC⋅CE A 1C =√2×√223=√33，从而A 1M =2√33≈1.155＞0.8，重新取正六边形HIJKLP ，如图，各顶点是相应棱中点，易证平面HIJ ∥平面BDC 1， 从而也有A 1C ⊥平面HIJ ，而正六边形HIJKLP 的边长为√22， 其内切圆半径为√32×√22=√64≈0.61＞0.6，KJ ∩A 1C 1＝R ，PH ∩AC ＝Q ，RQ ∩A 1C ＝S ，由A 1R ＝CQ =3√24可得S 是A 1C 中点，而A 1S =√32≈0.866＞0.8， 因此题设圆锥可能放到正方体中，D 能放入． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分，第二空3分. 13．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√32+42=1．故答案为：1．14．已知线段AB 的端点B 的坐标为（4，2），端点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹方程是 (x −2)2+(y −32)2=1 ．解：设AB 的中点M （x ，y ），A （x 1，y 1），又B （4，3），由中点坐标公式得：{x 1+42=x y 1+32=y ，即{x 1=2x −4y 1=2y −3，∵点A 在圆x 2+y 2＝4上运动，∴x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4，整理得：(x −2)2+(y −32)2=1， 线段AB 的中点M 的轨迹为(x −2)2+(y −32)2=1． 故答案为：(x −2)2+(y −32)2=1．15．已知直线l ：2x ﹣y +1＝0，它关于直线l 1：x ﹣y +1＝0对称的直线方程为 x ﹣2y +2＝0 ． 解：设对称的直线方程的点为（x ，y ），对称点为（x 1，y 1）， 直线l 1：x ﹣y +1＝0斜率为1，则有{x+x 12−y+y12+1=02x 1−y 1+1=0y−y 1x−x 1=−1，消去x 1，y 1得x ﹣2y +2＝0，故答案为：x ﹣2y +2＝0．16．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BE →=2EC →，点P 在正方体的表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，当P 在CC 1上时，|AP →|= 2√22 ；满足条件的所有点P 构成的平面图形的周长为 10√2+4√10 ．解：根据题意，如图所示，取CC 1，CD 上的点分别为N ，M ，连接AM ，MN ，B 1N ，AB 1，使得AB 1∥MN ，所以A ，B 1，N ，M 四点共面，且四边形AB 1NM 为梯形，因为MN ⊥D 1C ，MN ⊥BC ，且D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面CD 1E ， 所以MN ⊥平面CD 1E ，又因为D 1E ⊂平面CD 1E ，所以D 1E ⊥MN ， 同理可证：AM ⊥平面DD 1E ，因为D 1E ⊂平面DD 1E ，所以D 1E ⊥AM ， 又因为MN ∩AM ＝M ，且MN ，AM ⊂平面AB 1MN ，所以D 1E ⊥平面AB 1MN ， 因为点P 在正方体的表面上移动，且B 1P ⊥D 1E ， 所以点P 的运动的轨迹为梯形AB 1MN ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则B 1（6，0，6），D 1（0，6，6），E （6，4，0），N （6，6，m ），可得B 1N →=(0，6，m −6)，D 1E →=(6，−2，−6)，因为B 1P ⊥D 1E ，所以B 1N →⊥D 1E →，所以B 1N →⊥D 1E →=0×6+6×(−2)+(m −6)×(−6)=0，解得m ＝4， 所以|CN |＝2|C 1N |＝4，所以当点P 在CC 1上时，可得|AP|=|AN|=√|AC|2+|CN|2=√(6√2)2+42=2√22， 又因为|MN|=4√2，|AB 1|=6√2，|AM|=|B 1N|=2√10， 所以梯形AB 1NM 为等腰梯形，所以梯形AB 1NM 的周长为l =|AB 1|+|MN|+2|AM|=6√2+4√2+2×2√10=10√2+4√10． 故答案为：2√22；10√2+4√10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[−π2，π2]上的单调减区间．解：（1）f(x)=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3 =sin2x+√3(1−cos2x)−√3=2sin(2x−π3 )，f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）∵−π2≤x≤π2，∴−4π3≤2x−π3≤2π3，解−4π3≤2x−π3≤−π2，得−π2≤x≤−π12；解π2≤2x−π3≤2π3，得5π12≤x≤π2，∴f（x）在[−π2，π2]上的单调递减区间为：[−π2，−π12]，[5π12，π2]．18．（12分）以“庆丰收，促和美”为主题的2023年中国农民丰收节主场活动在安徽芜湖举办，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，芜湖市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为58和28，第三组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和140，据此估计这次面试成绩在[55，75）所有人的方差．解：（1）由频率分布直方图得{10a +0.65=0.7(2a +b +0.065)×10=1，解得{a =0.005b =0.025，所以每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，因为0.05+0.25+0.45＝0.75＜0.8，0.05+0.25+0.45+0.2＝0.95＞0.8， 所以第80百分位数在区间[75，85）内，设第80百分位数为x ， 可得0.75+0.02（x ﹣75）＝0.8， 解得x ＝77.5，所以第80百分位数为77.5．（2）设第二组、第三组的平均数与方差分别为x 1，x 2，s 12，s 22， 则x 1=58，x 2=72，s 12=28，s 22=140，可知第二组、第三组的频率之比为0.25：0.45＝5：9， 而成绩在[55，75）的平均数x =5×58+9×7214=67， 成绩在[55，75）的方差s 2=514[s 12+(x 1−x)2]+914[s 22+(x 2−x)2] =514[28+(58−67)2]+914[140+(72−67)2]=145， 故估计面试成绩在[55，75）的方差是145．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，0），直线l ：y ＝2x ﹣4，设⊙C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x ﹣1上，过点A 作⊙C 的切线，求切线的方程； （2）若⊙C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：（1）由题设，知圆心C 是直线y ＝2x ﹣4和y ＝x ﹣1的交点， 联立方程{y =2x −4y =x −1，解得{x =3y =2，即两直线的交点坐标为（3，2），所以点C 的坐标为（3，2），圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1， 当过点A （3，0）的切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝3，不满足条件；当过点A （3，0）的切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，由题意得√k 2+1=1，解得k =±√3，所以切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0；综上所述：所求切线方程为√3x −y −3√3=0或√3x +y −3√3=0． （2）因为圆心C 在直线y ＝2x ﹣4上，所以设点C 的坐标为（a ，2a ﹣4）， 圆C 的方程为（x ﹣a ）2+[y ﹣2（a ﹣2）]2＝1， 设点M （x ，y ），因为|MA |＝2|MO |， 所以√(x −3)2+y 2=2√x 2+y 2，化简得x 2+y 2+2x ﹣3＝0，即（x +1）2+y 2＝4，所以点M 在以点D （﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M （x ，y ）在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点，则|2﹣1|≤|CD |≤2+1，即1≤√(a +1)2+(2a −4)2≤3，解得45≤a ≤2，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[45，2]．20．（12分）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为√2的球面上，且P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，N 为AB 的中点． （1）证明：PN ⊥平面ABC ；（2）若M 是线段PC 上的点，且平面MAB 与平面P AB 的夹角为45°，求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明：连结PN ，CN ，因为P A ＝AC ，PB ＝BC ，AB ＝AB ，所以△P AB ≌△CAB ，所以∠APB ＝∠ACB ＝90°， 即△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以PN ＝CN =√22AC =√22PC ， 所以PN 2+CN 2＝PC 2，即PN ⊥CN ， 因为P A ＝PB ，N 为AB 的中点， 所以PN ⊥AB ，又CN ∩AB ＝N ，CN 、AB ⊂平面ABC ， 所以PN ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知，△ABP 和△ABC 均为等腰直角三角形， 所以NP ＝NA ＝NB ＝NC ，即点N 是球心， 连接MN ，因为P A ＝PB ，AC ＝BC ，PC ＝PC ，所以△ACP ≌△BCP ，所以MA ＝MB ， 因为点N 是AB 的中点，所以MN ⊥AB ，又PN ⊥AB ，所以∠PNM 就是平面MAB 与平面P AB 的夹角，即∠PNM ＝45°， 以N 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，√2，0），B （0，−√2，0），C （√2，0，0），P （0，0，√2），M （√22，0，√22），所以AM →=（√22，−√2，√22），BC →=（√2，√2，0），BP →=（0，√2，√2）， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0，即{√2x +√2y =0√2y +√2z =0， 令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=（1，﹣1，1）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n →，AM →＞|=|n →⋅AM →||n →|⋅|AM →|=√22×2+√2√12+2+12=2√23，故AM 与平面PBC 所成角的正弦值为2√23． 21．（12分）在△ABC 中，AB ＝2，D 为AB 中点，CD =√2． （1）若BC =√2，求AC 的长； （2）若∠BAC ＝2∠BCD ，求AC 的长．解：（1）在△BDC 中，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC22BD⋅CD =√24，cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，在△ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD cos ∠ADC ＝4，∴AC ＝2；（2）法一：设AC ＝x ，BC ＝y ， 在△ADC ，△BDC 中，由正弦定理，可得√2sin∠BAC =x sin∠ADC ，1sin∠BCD =y sin∠BDC，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，得sin∠BAC sin∠BCD=√2yx， 在△BDC 中，由余弦定理得cos ∠BCD =y 2+2−12√2y，由∠BAC ＝2∠BCD ，有sin ∠BAC ＝sin2∠BCD ＝2sin ∠BCD cos ∠BCD ，∴√2yx =2•22√2y，整理得2y 2＝x （y 2+1）①，又由cos ∠ADC ＝﹣cos ∠BDC ，22√2=−22√2，整理得x 2+y 2＝6②，联立①②得：x 3﹣2x 2﹣7x +12＝0，即（x ﹣3）（x 2+x ﹣4）＝0 又√2−1＜x ＜√2+1，故x =−1+√172， ∴AC =−1+√172． 法二：如图：构造等腰△ACE ，则∠BCD ＝∠E ， 易知△EBC ∽△CBD ，故EB CB=BC BD，即2+b a=a 1，∴a 2＝1+b ，结合a 2+b 2＝2（CD 2+AD 2）＝6， 可解得b =−1+√172．22．（12分）已知点A ，B 关于原点O 对称，点A 在直线x +y ＝0上，|AB |＝2，⊙C 过点A ，B 且与直线x +1＝0相切，设圆心C 的横坐标为a ． （1）求⊙C 的半径；（2）若a ＜2，已知点P （0，1），点M ，N 在⊙C 上，直线MN 不经过点P ，且直线PM ，PN 的斜率之和为﹣1，PD ⊥MN ，D 是垂足，问：是否存在一定点Q ，使得|DQ |为定值．解：（1）∵⊙C过点A，B，∴C在AB的中垂线上，∵点A在直线x+y＝0上，且点A，B关于原点O对称，∴C在直线x+y＝0上，则点C的坐标为（a，a），∵⊙C与直线x+1＝0相切，∴圆C的半径为|a+1|，连接AC，由已知得|AO|＝1，又CO⊥AO，∴|a+1|2＝（√2a）2+1，解得a＝0或a＝2，∴圆C的半径为r＝1或r＝3；（2）由（1）及a＜2，得a＝0，则圆C的方程为x2+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN斜率存在时，设直线MN：y＝kx+m（m≠±1），代入圆的方程可得：（1+k2）x2+2kmx+m2﹣1＝0，则Δ＝（2km）2﹣4（1+k2）（m2﹣1）＝4（﹣m2+k2+1）＞0，得﹣m2+k2+1＞0，且x1+x2=−2km1+k2，x1x2=m2−11+k2，而（y1﹣1）x2+（y2﹣1）x1＝（kx1+m﹣1）x2+（kx2+m﹣1）x1＝2kx1x2（m﹣1）（x1+x2）∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=(y1−1)x2+(y2−1)x1x1x2=2k+(m−1)(x1+x2)x1x2＝2k−(m−1)⋅2kmm2−1=2k−2kmm+1，∵直线PM，PN的斜率之和为﹣1，∴2k−2kmm+1=−1，得m＝﹣2k﹣1，代入y＝kx+m，得y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，∴直线MN恒过定点T（2，﹣1），当直线MN斜率不存在时，x1＝x2，y2＝﹣y1，∴k PM+k PN=y1−1x1+y2−1x2=−2x1，∴−2x1=−1，∴x1＝2，但﹣1＜x1＜1，且x1≠0，故不合题意，舍去，综上，直线MN恒过定点T（2，﹣1），又PD⊥MN，D是垂足，所以当Q为P，T的中点时，Q（1，0），此时|DQ|=12|PT|=√2为定值．第21页（共21页）。

高二数学期中试题(含答案)

高二数学期中试题(含答案)

班级 姓名 学号 装 订 线高二年级文科数学试题一、选择题（本题共12个小题）1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．13()i i --的虚部为 ( ) A ．8i B ．8i - C ．8 D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅ 则12,z z 的关系是（ ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定 5． 2020(1)(1)i i +--的值是 ( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数个7．正三棱锥的侧棱与底面的对边 （ ） A. 平行 B. 垂直 C.相交 D.以上皆错8．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于 （ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．279．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内 （ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值11．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a < C ．5481a a a a +>+ D ．5481a a a a = 12．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题（本题共4个小题）13．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。

广东省广州市广大附属实验学校高二数学上学期期中试题 理(答案不全)新人教A版

广东省广州市广大附属实验学校高二数学上学期期中试题 理(答案不全)新人教A版

广大附校2013－2014学年(上)期中考试高二年级 数学试题(理科)本试卷共20小题，满分150分,考试用时120分钟参考公式： 标准差[]22221)()()(1x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=, 其中 ∑==n i i x n x 11. 第Ⅰ卷 （共40分）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. )330sin(ο-等于（ ）A． B ．12-C ．12D2. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10 种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样 的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 73. 设,R x ∈则“1<xe ”是“0>x ”的 （ ） A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且∥，则32+=（ ） A . )8,4(-- B ．)4,2(--C ．)6,3(--D ．)10,5(--5.已知命题:p 椭圆2222=+y x 的焦距是2; 命题:q )1(14cos sin ,≠-+=-∈∃t t t x x R x . 下列命题中,为真命题的是( ）A ．q p ∨⌝)(B . )()(q p ⌝∧⌝ C.)(q p ⌝∧ D. q p ∧6.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=( ) A. )41(16n-- B. )21(16n --C.)41(332n -- D. )21(332n -- 7.如图,△ABC 是边长为a 的正三角形,现随机向圆所在区域投一点,则该点恰好落在 △ABC 内的概率是( ) A.π322 B . π433 C.π334 D. π228.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A ．450 B ．470 C ．495 D ．510 第Ⅱ卷 （共110分） 二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则 输出s 的值是____________; 10. 函数x x x x f cos sin 22cos 3)(-=)(R x ∈的最大值是___________;11. 从正六边形的6个顶点中随机选取3个顶点,则以它 们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_______; 12. 在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中 间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的41,且样本容量为120,则中间一组的频数是______; 13.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于______;图 114.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点,P 为椭圆C 上一点，且021=⋅PF ,若21F PF ∆的面积为9，则=b ___________.三.解答题:（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤）15. (本小题满分12分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为)6,5,4,3,2,1(=n n 的 同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:(1) 求第6位同学的成绩6x 及这6位同学的成绩的标准差s ; (6分)(2) 从前5位同学中随机选2位同学,求恰有一位同学成绩在区间()75,68中的概率. (6分)16. (本小题满分13分) 已知函数.),12cos(2)(R x x x f ∈-=π(1) 求)6(π-f 的值；(5分)(2) 若3cos 5θ=,)2,23(ππθ∈,求)32(πθ+f ．(8分)17. (本小题满分13分)已知△ABC 中,,3,2==AC AB 且1)cos cos sin (sin 4-=-C B C B .(1) 求BC 的长和△ABC 的面积；(7分) (2) 求-2. (6分)18. (本小题满分14分)已知命题:p 方程122=-+tk y x 表示焦点在y 轴上的椭圆; 命题:q 函数1)(2+-=kx x x f 有两个不同的零点.(1) 当0=t 时,“q p ∨”为真,且“q p ∧”为假,求实数k 的取值范围;(8分) (2) 若p 是q ⌝的必要不充分条件,求实数t 的取值范围.(6分)19. (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,111=+-+nn n S a S ,且421,,a a a 成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式; (7分) (2) 设nn S S S S T 1111321+⋅⋅⋅+++=, 求证: 1≤2<n T . (7分)20. (本小题满分14分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,3(-,其离心率是21. (1) 求这个椭圆的标准方程; (4分)(2) 斜率为1的直线l 与椭圆交于B A ,两点,椭圆上是否存在一点P ,使四边形OAPB 为平行 四边形? 若存在,求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (10分)。

2023-2024学年广东省清远市名校高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省清远市名校高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省清远市名校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a →=（1，1，0），则与a →同向共线的单位向量e →=（ ） A ．（−√22，√22，0） B ．（0，1，0） C ．（√22，√22，0）D ．（﹣1，﹣1，0）2．若方程x 2+y 2﹣4x +2y ＝a 表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，0）D ．（0，+∞）3．已知直线l 的一个方向向量为(√3，−3)，则直线l 的倾斜角α＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A ．0.55，0.55B ．0.55，0.5C ．0.5，0.5D ．0.5，0.555．两条平行直线2x ﹣y +3＝0和ax ﹣y +4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ） A ．a =2，d =15B ．a =2，d =√55C ．a =−2，d =√55D ．a =−2，d =156．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P （A ）＝2﹣a ，P （B ）＝4a ﹣5，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（54，2）B ．（54，32）C ．[54，32]D ．（54，43]7．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，∠DAB ＝90°，则|AC 1→|=（ ）A ．√6B ．√5C ．√3D ．√28．已知A （4，0），B （0，4）从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．经过点P （1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A ．y ＝xB ．x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．3x ﹣y ﹣2＝010．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ） A ．如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝0.2，P （AB ）＝0.5B ．如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝0.4，P （AB ）＝0.411．如图，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝2，以点O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则（ ）A ．点A 关于点B 的对称点的坐标为（﹣1，4，0） B ．AB →，BC →夹角的余弦值为√105C ．平面ABC 的一个法向量的坐标为（2，1，1）D ．平面ABC 与平面COA 夹角的正弦值为√30612．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B （﹣1，3），点C （4，﹣2），且其“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2相切，则下列结论正确的是（ ） A ．△ABC 的“欧拉线”方程为y ＝x ﹣1 B ．圆M 上点到直线x ﹣y +3＝0的最大距离为3√2 C ．若点（x ，y ）在圆M 上，则x +√3y 的最小值是3﹣2√2D ．圆（x ﹣a ﹣1）2+（y ﹣a ） 2＝8与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[1﹣2√2，1+2√2] 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量n →=(4，1，2)，点A （﹣1，2，1），B （2，s ，t ），且AB →∥n →，则s +t ＝ ． 14．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 ．15．已知P 为棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内（含正方体表面）任意一点，则AP →⋅AC →的最大值为 ．16．若圆C 1：（x +1）2+（y ﹣2）2＝r 2（r ＞0）上恰有2个点到直线l ：4x ﹣3y ﹣10＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x ﹣ay +3＝0，l 2：（2﹣a ）x +3y ﹣1＝0． （1）若l 1∥l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求过原点O 与点A （a ，a 2）的直线l 的方程．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，PC ＝4，∠ABC ＝∠BCP ＝∠DCP ＝120°．（1）利用空间向量证明P A ⊥BD ； （2）求AP 的长．19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时，m 的值以及最短弦长．20．（12分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同． （1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率． 21．（12分）设A ，B 是平面上两点，则满足|PA||PB|=k （其中k 为常数，k ≠0且k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A(√6，0)，B(√62，0)，且k =√2．（1）求点P 所在圆M 的方程．（2）已知圆Ω：（x +2）2+（y ﹣2）2＝5与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左边），斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD ＝∠FCD ．22．（12分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四棱锥D 1﹣ABCD 是正四棱锥，AD 1⊥D 1C ． （1）求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（2）若四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为16，点E 在棱AB 上，且AE →=35AB →，求点C 1到平面A 1CE的距离．2023-2024学年广东省清远市名校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a →=（1，1，0），则与a →同向共线的单位向量e →=（ ） A ．（−√22，√22，0）B ．（0，1，0）C ．（√22，√22，0） D ．（﹣1，﹣1，0）解：向量a →=（1，1，0），则与a →同向共线的单位向量为e →=a →|a →|=（√2，√2，0）＝（√22，√22，0）． 故选：C ．2．若方程x 2+y 2﹣4x +2y ＝a 表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，0）D ．（0，+∞）解：方程x 2+y 2﹣4x +2y ＝a 化为标准方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝a +5， 令a +5＞0，解得a ＞﹣5，所以实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）． 故选：B ．3．已知直线l 的一个方向向量为(√3，−3)，则直线l 的倾斜角α＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：因为直线l 的一个方向向量为(√3，−3)， 所以直线l 的斜率k =tanα=−3√3=−√3， 又因为0°≤α＜180°，所以α＝120°． 故选：C ．4．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A ．0.55，0.55B ．0.55，0.5C ．0.5，0.5D ．0.5，0.55解：某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次， 那么出现正面朝上的频率为440800=0.55，由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是12，故出现正面朝上的概率为 12=0.5．故选：B ．5．两条平行直线2x ﹣y +3＝0和ax ﹣y +4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ） A ．a =2，d =15B ．a =2，d =√55C ．a =−2，d =√55D ．a =−2，d =15解：∵直线2x ﹣y +3＝0与直线ax ﹣y +4＝0平行，∴a 2=−1−1≠43，解得a ＝2，∴直线ax ﹣y +4＝0方程化为2x ﹣y +4＝0，两条平行直线2x ﹣y +3＝0和ax ﹣y +4＝0间的距离d =√2+(−1)=√55，故a ，d 分别为a ＝2，d =√55．故选：B ．6．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P （A ）＝2﹣a ，P （B ）＝4a ﹣5，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（54，2）B ．（54，32）C ．[54，32]D ．（54，43]解：随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P （A ）＝2﹣a ，P （B ）＝4a ﹣5，则{0＜P(A)＜10＜P(B)＜1P(A)+P(B)≤1，即{0＜2−a ＜10＜4a −5＜12−a +4a −5≤1，解得54＜a ≤43，故实数a 的取值范围是（54，43]． 故选：D ．7．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，∠DAB ＝90°，则|AC 1→|=（ ）A ．√6B ．√5C ．√3D ．√2解：由已知可得AB →•AA 1→=AD →•AA 1→=1×1×cos60°=12，AB →•AD →=0，AC 1→=AB →+AD →+AA 1→， 而|AB →|＝|AD →|＝|AA 1→|＝1，∴AC 12→=AB 2→+AD 2→+AA 12→+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→=5，∴|AC 1→|=√5． 故选：B ．8．已知A （4，0），B （0，4）从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A ．2√10B ．6C ．3√3D ．2√5解：如图所示，分别作出点P 关于直线AB 的对称点P ′，点P 关于y 轴的对称点P ″，则点P ′，Q ，M ，P ″在同一条直线上，线段P ′P ″即为所求， 易知：P ″（﹣2，0）， 直线AB 方程为：x +y ＝4， 设点P ′（a ，b ），则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b+02=4， 解得a ＝4，b ＝2．∴点P ′（4，2）．∴光线所经过的路程是P ′P ″=√(−2−4)2+22=2√10， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．经过点P （1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（ ） A ．y ＝xB ．x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．3x ﹣y ﹣2＝0解：当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为：y ＝kx ， 则1＝k ，所以y ＝x ；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为：xa +y a=1，把P （1，1）代入直线方程得：1a+1a=1，解得：a ＝2，所以直线方程为：x +y ﹣2＝0．故满足条件的直线方程为：y ＝x 或x +y ﹣2＝0． 故选：AB ．10．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则下列结论正确的是（ ） A ．如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝0.2，P （AB ）＝0.5B ．如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0C ．如果A 与B 相互独立，那么P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0D ．如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝0.4，P （AB ）＝0.4 解：由事件A ，B ，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，知：对于A ，如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝0.5，P （AB ）＝0.2，故A 错误；对于B ，如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.7，P （AB ）＝0，故B 正确； 对于C ，如果A 与B 相互独立，那么P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.5+0.2﹣0.5×0.2＝0.6， P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.5×0.2＝0.1，故C 错误； 对于D ，如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.2）＝0.4， P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝0.5×（1﹣0.2）＝0.4，故D 正确． 故选：BD ．11．如图，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝2，以点O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则（ ）A ．点A 关于点B 的对称点的坐标为（﹣1，4，0） B ．AB →，BC →夹角的余弦值为√105C ．平面ABC 的一个法向量的坐标为（2，1，1）D ．平面ABC 与平面COA 夹角的正弦值为√306解：对于A ，设点A 关于点B 的对称点为A '，则AA '中点为B ， 由A （1，0，0），B （0，2，0）得A '（﹣1，4，0），故A 正确；对于B ，由AB =AC =√5，BC =2√2，得cos ∠ABC =12BCAB =25=√105，所以AB →，BC →夹角的余弦值为−√105，故B 错误；对于C ，因为AB →=(−1，2，0)，AC →=(−1，0，2)， 设平面ABC 的一个法向量的坐标为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=−x +2y =0n →⋅AC →=−x +2z =0，取z ＝1，得n →=（2，1，1），故C 正确； 对于D ，平面COA 的一个法向量为m →=（0，1，0），∴平面ABC 与平面COA 夹角的余弦值为：|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=1√6，∴平面ABC 与平面COA 夹角的正弦值为：√1−(16)2=√306，故D 正确． 故选：ACD ．12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B （﹣1，3），点C （4，﹣2），且其“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2相切，则下列结论正确的是（ ） A ．△ABC 的“欧拉线”方程为y ＝x ﹣1 B ．圆M 上点到直线x ﹣y +3＝0的最大距离为3√2 C ．若点（x ，y ）在圆M 上，则x +√3y 的最小值是3﹣2√2D ．圆（x ﹣a ﹣1）2+（y ﹣a ） 2＝8与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[1﹣2√2，1+2√2] 解：∵AB ＝AC ，由题意可得三角形ABC 的欧拉线为BC 的中垂线， 由B （﹣1，3），点C （4，﹣2）可得BC 的中点为（32，12），且k BC =3+2−1−4=−1， ∴线段BC 的中垂线方程为：y −12=x −32，即x ﹣y ﹣1＝0，故A 正确； ∵三角形ABC 的“欧拉线”与圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝r 2相切， ∴圆心（3，0）到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d ＝r =2=√2， ∴圆M 的方程为：（x ﹣3）2+y 2＝2， ∵圆心（3，0）到直线x ﹣y +3＝0的距离d =|3+3|2=3√2， ∴圆M 上点到直线x ﹣y +3＝0的距离的最大值为d +r ＝3√2+√2=4√2，故B 错误； 令t ＝x +√3y ，∴y =3，代入圆M 的方程（x ﹣3）2+y 2＝2， 可得4x 2﹣（18+2t ）x +t 2+21＝0，由于（x ，y ）在圆上，∴4x 2﹣（18+2t ）x +t 2+21＝0有根，则Δ＝（18+2t ）2﹣4×4×（t 2+21）≥0，整理得：t 2﹣6t +1≤0，解得：3﹣2√2≤t ≤3+2√2， ∴t 的最小值为3﹣2√2，即x +√3y 的最小值为3﹣2√2，故C 正确； （x ﹣a ﹣1）2+（y ﹣a ）2＝8圆心坐标（a +1，a ），半径为2√2， 圆M 的（x ﹣3）2+y 2＝2的圆心坐标为（3，0），半径为√2，要使圆（x ﹣a ﹣1）2+（y ﹣a ）2＝8与圆M 有公共点，则圆心距∈[2√2−√2，2√2+√2]，即圆心距∈[√2，3√2]，∴√2≤√(a +1−3)2+a 2≤3√2，即：{a 2−2a −7≤0a 2−2a +1≥0，解得1﹣2√2≤a ≤1+2√2，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量n →=(4，1，2)，点A （﹣1，2，1），B （2，s ，t ），且AB →∥n →，则s +t ＝ 214．解：因为A （﹣1，2，1），B （2，s ，t ）， 所以AB →=(3，s −2，t −1)， 因为AB →∥n →， 所以34=s−21=t−12，解得s =114，t =52， 所以s +t =114+52=214． 故答案为：214．14．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为25．解：设装变形金刚玩具的盒子分别为A ，B ，C ，D ，装积木玩具的盒子为E ，则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ），共10种不同方法，恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有（A ，E ），（B ，E ），（C ，E ），（D ，E ），共4种不同方法，故所求概率P =410=25．故答案为：25．15．已知P 为棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1内（含正方体表面）任意一点，则AP →⋅AC →的最大值为 2 ．解：由题意画出图形如图，因为AP →⋅AC →=|AP →||AC →|cos ＜AP →，AC →＞， |AP →|cos ＜AP →，AC →＞是向量AP →在AC →上的投影， 所以当P 在C 1位置时，投影最大，AP →⋅AC →的最大值为：AC →2=(√12+12)2=2． 故答案为：2．16．若圆C 1：（x +1）2+（y ﹣2）2＝r 2（r ＞0）上恰有2个点到直线l ：4x ﹣3y ﹣10＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为 （3，5） ． 解：如图所示．设与直线l 平行且与直线l 之间的距离为1的直线方程为4x ﹣3y +c ＝0， 则√42+(−3)2=1，解得c ＝﹣5或c ＝﹣15，圆C 1：（x +1）2+（y ﹣2）2＝r 2（r ＞0），则圆心C 1（﹣1，2）， 圆心C 1（﹣1，2）到直线4x ﹣3y ﹣5＝0的距离为d 1=|−4−6−5|√4+(−3)=3， 圆心C 1（﹣1，2）到直线4x ﹣3y ﹣15＝0的距离为d 2=√4+(−3)=5，由图可知，圆C 1与直线4x ﹣3y ﹣5＝0相交，与直线4x ﹣3y ﹣15＝0相离， 所以d 1＜r ＜d 2，即3＜r ＜5， 则实数r 的取值范围为（3，5）． 故答案为：（3，5）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x ﹣ay +3＝0，l 2：（2﹣a ）x +3y ﹣1＝0． （1）若l 1∥l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求过原点O 与点A （a ，a 2）的直线l 的方程． 解：（1）因为l 1∥l 2，所以1×3﹣（2﹣a ）×（﹣a ）＝0， 化简得a 2﹣2a ﹣3＝0，解得a ＝3或a ＝﹣1， 当a ＝3或a ＝﹣1时，l 1与l 2均不重合， 所以a 的值为3或﹣1．（2）因为l 1⊥l 2，所以2﹣a ﹣3a ＝0，解得a =12， 所以直线l 的斜率为a 2a=a =12，所以直线l 的方程为y =12x ，即x ﹣2y ＝0．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，PC ＝4，∠ABC ＝∠BCP ＝∠DCP ＝120°．（1）利用空间向量证明P A ⊥BD ； （2）求AP 的长．（1）证明：设AB →=a →，AD →=b →，CP →=c →，则由题意有： |a →|＝|b →|＝3，|c →|＝4，＜a →，b →＞=＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=60°， 则BD →=AD →−AB →=b →−a →，AP →=AB →+BC →+CP →=a →+b →+c →， 所以BD →⋅AP →=(b →−a →)⋅(a →+b →+c →)=b →2−a →2+b →⋅c →−a →⋅c →＝32﹣32+3×4×12−3×4×12=0，所以P A ⊥BD ；（2）解：由（1）知AP →=a →+b →+c →，所以AP →2=(a →+b →+c →)2=a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2b →⋅c →+2a →⋅c →＝32+32+42+2×3×3×12+2×3×4×12+2×3×4×12 ＝9+9+16+9+12+12＝67， 所以AP =√67．19．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时，m 的值以及最短弦长．（1）证明：直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，可化为（2x +y ﹣7）m +（x +y ﹣4）＝0， 联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1．故直线l 恒过定点（3，1）．（2）解：设P （3，1），C （1，3），当直线l ⊥CP 时，直线l 被圆截得的弦长最短． 因为直线CP 的斜率为k CP =1−33−1=−1． 故直线l 的斜率为k =−2m+1m+1=1，解得m =−23． 此时圆心C 到直线l 的距离为d =|PC|=√(3−1)2+(1−3)2=2√2， 又因为圆半径r ＝5，所以最短弦长为2√r 2−d 2=2√17．20．（12分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同． （1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．解：（1）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包， 每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同， 小王发2次红包，记“甲第i 次抢得红包”为事件A i （i ＝1，2）， “甲第i 次没有抢得红包”为事件A i ． 则P(A i )=13，P(A i )=23．记“甲恰有1次抢得红包”为事件A ，则A =A 1A 2+A 1A 2， 由事件的独立性和互斥性，得P(A)=P(A 1A 2+A 1A 2)=P(A 1A 2)+P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2) =13×23+23×13=49．（2）小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包， 记“乙第i 次抢得红包”为事件B i （i ＝1，2，3），“乙第i 次没有抢得红包”为事件B i ． 则P(B i )=13，P(B i )=23． 由事件的独立性和互斥性，得P 1=P(B 1B 2B 3+B 1B 2B 3)=(13)2×23+(23)2×13=29； P 2=P(B 1B 2B 3+B 1B 2B 3)=2×(13)2×23=427； P 3=P(B 1B 2B 3)=(13)3=127． ∴P =P 1+P 2+P 3=29+427+127=1127．即乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率为1127．21．（12分）设A ，B 是平面上两点，则满足|PA||PB|=k （其中k 为常数，k ≠0且k ≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A(√6，0)，B(√62，0)，且k =√2． （1）求点P 所在圆M 的方程．（2）已知圆Ω：（x +2）2+（y ﹣2）2＝5与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左边），斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD ＝∠FCD ． （1）解：由题意可得，|PA||PB|=√2，即|PA|=√2|PB|，设P （x ，y ），则(x −√6)2+y 2=2[(x −√62)2+y 2]，整理得x 2+y 2＝3，故圆M 的方程为x 2+y 2＝3．（2）证明：对于圆Ω，令y ＝0，得x ＝﹣1或x ＝﹣3， 所以C （﹣3，0），D （﹣1，0）．设直线l 的方程为x ＝ty ﹣1，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）． 由{x =ty −1x 2+y 2=3，得（1+t 2）y 2﹣2ty ﹣2＝0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=−21+t 2． 所以k CE +k CF =y1x 1+3+y2x 2+3=y 1(x 2+3)+y 2(x 1+3)(x 1+3)(x 2+3)=y 1(y 2t+2)+y 2(ty 1+2)(x 1+3)(x 2+3)=2×ty 1y 2+y 1+y 2(x 1+3)(x 2+3)=2×−2t 1+t 2+2t 1+t 2(x 1+3)(x 2+3)=0，则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD ＝∠FCD ．22．（12分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四棱锥D 1﹣ABCD 是正四棱锥，AD 1⊥D 1C ． （1）求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值；（2）若四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为16，点E 在棱AB 上，且AE →=35AB →，求点C 1到平面A 1CE的距离．解：（1）连接AC ，BD ，相交于点O ，由题意知，四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，连接D 1O ，则D 1O ⊥平面ABCD ，所以OA ，OB ，OD 1两两垂直，以点O 为坐标原点，OA ，OB ，OD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，设OA ＝a （a ＞0），因为AD 1⊥D 1C ，所以OD 1＝a ，设BD 1与AC 1交于点F ，则F 为BD 1的中点，所以O （0，0，0），A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （﹣a ，0，0），D （0，﹣a ，0），D 1（0，0，a ），F(0，a 2，a 2)，所以BC →=(−a ，−a ，0)，CC 1→=DD 1→=(0，a ，a)，直线AC 1的一个方向向量为t →=2a AF →=(−2，1，1)，设平面BCC 1B 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BC →=0n →⋅CC 1→=0，即{−ax −ay =0ay +az =0，取z ＝1，得n →=(1，−1，1)， 设AC 1与平面BCC 1B 1所成角为θ， 则sin θ=|t →⋅n →||t →|⋅|n →|=|−2−1+1|√6×√3=√23，所以直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√23． （2）因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为(√2a)2a =16，所以a ＝2，由（1）知，O （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C （﹣2，0，0），D （0，﹣2，0），D 1（0，0，2），所以AB →=(−2，2，0)，BC →=(−2，−2，0)，DD 1→=(0，2，2)，CC 1→=DD 1→=(0，2，2)，因为AE →=35AB →，所以EB →=25AB →，所以A 1E →=AE →−AA 1→=35AB →−DD 1→=(−65，−45，−2)，EC →=EB →+BC →=25AB →+BC →=(−145，−65，0)， 设平面A 1EC 的法向量为m →=(x′，y′，z′)，则{m →⋅A 1E →=0m →⋅EC →=0，即{−65x′−45y′−2z′=0−145x′−65y′=0， 取z '＝1，得m →=(3，−7，1)，所以点C 1到平面A 1CE 的距离为|m →⋅CC 1→||m →|=222=12√5959．。

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若i 为虚数单位，则复数z =2−i1−i的实部为（ ） A ．12B ．32C ．−12D ．−322．直线l ：x ﹣y +1＝0关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．x +y ﹣1＝0B ．x ﹣y +1＝0C ．x +y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝03．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝150°，则|a →+b →|为（ ） A ．√25−10√3B ．√25−11√3C ．√25−12√3D ．√25−13√34．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP 、AB 、AC 两两互相垂直，AP ＝3，AB ＝1，AC =√15，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．20πC ．25πD ．36π5．数学上规定，圆锥的顶点到该圆锥底面圆周上任意一点的连线叫圆锥的母线；沿圆锥的任意一条母线剪开展开成平面图形即为一个扇形；展开后的扇形的半径就是圆锥的母线，展开后的扇形的弧长就是圆锥底面周长；通过展开，就把求立体图形的侧面积转化为了求平面图形的面积．设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则展开后的扇形半径为l ，弧长为圆锥底面周长2πr ，扇形的面积公式为：S =12×扇形半径×扇形弧长=12×l ×2πr =πrl ．故圆锥侧面积公式为S ＝πrl ．已知圆锥的底面直径为2√3，轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π6．正三棱锥O ﹣ABC 的侧棱长为4，底面边长为6，则顶点O 到底面ABC 的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数（x ，y ）表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝60°，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算cos ∠MPN 的值为（ ）A ．√714B ．√77C ．√715D ．2√7158．已知直线l ：x +y ﹣1＝0截圆Ω：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为√14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l '：（1+2m ）x +（m ﹣1）y ﹣3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值范围为（ ） A ．[2−√2，2+√3] B ．[2−√2，2+√2] C ．[√6−√2，√6+√3] D ．[√6−√2，√6+√2] 二、多项选择题。

2023-2024学年广东省广州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省广州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝02．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．83．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣14．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4 C ．1或4 D ．4或86．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√558．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝312．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 ． 14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 ．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 ．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 ．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是边长为4的正方形，AA 1B 1B 为矩形，AB ＝3，BC ＝5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值； （3）求点C 到平面A 1C 1B 的距离．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值． 20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ADEF 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AE 和BD 上移动，且EM 和DN 的长度保持相等，记EM =DN =a(0＜a ＜√2)，活动弹子Q 在EF 上移动． （1）求证：直线MN ∥平面CDE ； （2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）Q 为EF 上的点，求EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．2023-2024学年广东省广州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为﹣1且倾斜角为3π4的直线方程为（ ）A ．x +y +1＝0B ．x +y ﹣1＝0C ．x ﹣y +1＝0D ．x ﹣y ﹣1＝0解：由题意可得，直线的斜率k ＝﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y ＝﹣x ﹣1即x +y +1＝0 故选：A ．2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．﹣8D ．8解：∵直线l ∥平面α，∴l 的方向向量（2，m ，1）与平面α的一个法向量（1，12，2）垂直， ∴2×1+m ×12+1×2＝0， ∴m ＝﹣8． 故选：C ．3．两条直线l 1：ax +（1+a ）y ＝3，l 2：（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．0或﹣1解：因为直线ax +（1+a ）y ＝3与（a +1）x +（3﹣2a ）y ＝2互相垂直，所以A 1A 2+B 1B 2＝0， 即：a （1+a ）+（1+a ）（3﹣2a ）＝0，解得：a ＝﹣1或 a ＝3． 故选：C ．4．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 为BC 的中点，N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，则用a →，b →，c →表示NM →为（ ）A ．12a →+16b →−c →B ．−12a →+16b →+c →C ．12a →−16b →−c →D ．−12a →−16b →+c →解：∵M 为BC 的中点， ∴AM →=12(AB →+AC →)，∵N 为A 1C 1靠近A 1的三等分点，∴A 1N →=13A 1C 1→=13AC →，∴MN →=MA →+AA 1→+A 1N →=−12(AB →+AC →)+AA 1→+13AC →=−12(a →+b →)+c →+13b →=−12a →−16b →+c →，∴NM →=12a →+16b →−c →．故选：A ．5．“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率．若椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，则该椭圆的长轴长为（ ） A ．8 B ．2或4C ．1或4D ．4或8解：∵椭圆x 2m+y 24=1的离心率为√32，知m ＞0， 当m ＞4时，椭圆焦点在x 轴上，此时a 2＝m ，b 2＝4， ∴c 2a 2=m−4m=34，解得m ＝16，则a ＝4，∴椭圆的长轴长为2a ＝8；当0＜m ＜4时，椭圆焦点在y 轴上，此时a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2a 2=4−m 4=34，解得m ＝1，满足题意，此时a ＝2，∴椭圆的长轴长为2a ＝4．综上，该椭圆的长轴长为4或8． 故选：D ．6．已知点A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），若直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[−43，34] B ．(−∞，−43]∪[34，+∞) C ．[−34，43]D ．(−∞，−34]∪[43，+∞)解：直线l ：mx +y +m ﹣1＝0，即m （x +1）+y ﹣1＝0， 则直线l 过定点C （﹣1，1），∵A （2，﹣3），B （﹣5，﹣2），C （﹣1，1）， ∴k AC =−3−12+1=−43，k BC =−2−1−5+1=34，∵直线l ：mx +y +m ﹣1＝0与线段AB （含端点）有公共点， ∴−m ≥34或﹣m ≤−43，解得m ≤−34或m ≥43，故实数m 的取值范围为（﹣∞，−34]∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B ﹣CD ﹣A 的余弦值为（ ）A ．2B ．12C ．√33D ．√55解：取AC 中点E ，过点E 作EF ⊥CD 交CD 于点F ，如图，∵菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴△ABC ，△ACD 均为等边三角形，不妨设AC ＝2，则△ABC ，△ACD 的边长都为2，且BE ⊥AC ，∵平面BAC ⊥平面DAC ，BE ⊥AC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC ，BE ⊂平面BAC ， ∴BE ⊥平面DAC ， 又CD ⊂平面DAC ， ∴BE ⊥CD ，又EF ⊥CD ，BE ∩EF ＝E ，且都在平面BEF 内， ∴CD ⊥平面BEF ， ∴∠BFE 为所求二面角，在△BEF 中，∠BEF ＝90°，BE =√22−1=√3，EF =1×sin60°=√32， ∴BF =√3+34=√152，∴cos ∠BFE =√32152=√55．故选：D ．8．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=√2，则PA →•PD →的最大值为（ ） A ．1+√22B ．1+2√22C ．1+√2D ．2+√2解：如图，设∠OPC ＝α，则−π4≤α≤π4， 根据题意可得：∠APO ＝45°， ∴PA →⋅PD →=|PA →|⋅|PD →|⋅cos(α+π4) =1×√2cosαcos(α+π4) ＝cos 2α﹣sin αcos α =1+cos2α−sin2α2=12+√22cos(2α+π4)，又−π4≤α≤π4， ∴当2α+π4=0，α=−π8，cos （2α+π4）＝1时， PA →⋅PD →取得最大值12+√22． 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π）B ．“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充要条件C ．直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0）D ．直线y ＝﹣2x +5与直线2x +y +1＝0平行，且与圆x 2+y 2＝5相切解：直线 x sin α﹣y +1＝0的倾斜角θ，可得tan θ＝sin α∈[﹣1，1]，所以θ的取值范围为[0，π4]∪[3π4，π），所以A 正确；“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”，可得√32+42=3．解得c ＝5，c ＝﹣25，所以“c ＝5”是“点（2，1）到直线3x +4y +c ＝0距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确； 直线l ：λx +y ﹣3λ＝0（λ∈R ）恒过定点（3，0），所以C 正确； 直线y ＝﹣2x +5即2x +y ﹣5＝0与直线2x +y +1＝0平行，√22+12=√5，所以直线y ＝﹣2x +5与圆x 2+y 2＝5相切， 所以D 正确； 故选：ACD ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列结论错误的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是(2√55，√55，0) C ．AB →与BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：对于A ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)，∵−12≠21，∴A →B 与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ：AB →=(2，1，0)，则与AB 同向的单位向量是AB→|AB →|=√5(2，1，0)=(2√55，√55，0)，故B 正确；对于C ：AB →=(2，1，0)，BC →=(−3，1，1)，∴cos〈AB →，BC →〉=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ：AB →=(2，1，0)，AC →=(−1，2，1)， 设平面ABC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=(1，−2，5)，故D 正确． 故选：AC ．11．设圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0的圆心为C ，P （5，1）为圆外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则（ ） A ．|PA|=|PB|=2√5 B ．P ，A ，C ，B 四点共圆C ．∠APB ＝60°D ．直线AB 的方程为：x ＝3解：将圆化为标准方程可得（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 所以，圆心C （1，1），半径r ＝2．对于A 项，由已知可得P A ⊥AC ，|CP|=√(5−1)2+(1−1)2=4． 所以，|PA|=√|CP|2−|AC|2=2√3． 同理可得，|PB|=2√3．故A 错误；对于B 项，因为P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以∠P AC ＝∠PBC ＝90°， 所以点A ，B 都在以PC 为直径的圆上， 所以P ，A ，C ，B 四点共圆．故B 正确； 对于C 项，因为|CP |＝4，|AC |＝2，在Rt △ACP 中，有sin ∠APC =|AC||CP|=12，所以∠APC ＝30°． 同理可得，∠BPC ＝30°． 所以∠APB ＝60°．故C 正确；对于D 项，线段PC 的中点为E （3，1），|CE|=12|CP|=2． 所以，圆E 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝4． 显然，AB 是圆C 与圆E 的公共弦． 两圆方程作差，整理可得x ＝2．所以，直线AB 的方程为x ＝2．故D 错误． 故选：BC ．12．如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则（ ）A ．当P 在平面BCC 1B 1上运动时，三棱锥P ﹣AA 1D 的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]C ．若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是√5D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+4√2 解：对于A ：△AA 1D 的面积不变，点P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长， 所以三棱锥P ﹣AA 1D 的体积的体积不变，且V P−AA 1D =13S △AA 1D ⋅AB =13×12×2×2×2=43，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系， 可得A 1（2，0，2），D 1（0，0，2），C 1（0，2，2），设P （x ，2﹣x ，0），0≤x ≤2，则D 1P →=(x ，2−x ，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)， 设直线D 1P 与A 1C 1所成角为θ， 则cosθ=cos〈D 1P →，A 1C 1→〉=|D 1P →⋅A 1C 1→||D 1P →||A 1C 1→|=|x−1|√(x−1)+3，因为0≤|x ﹣1|≤1，当|x ﹣1|＝0时， 可得cos θ＝0，所以θ=π2； 当0＜|x ﹣1|≤1时，cosθ=|x−1|√(x−1)2+3=1√1+3|x−1|2≤12，由θ∈[0，π2]，所以π3≤θ＜π2，所以异面直线D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是[π3，π2]，所以B 正确；对于C ，由B 1（2，2，2），D 1（0，0，2），C （0，2，0），F （2，1，2）， 设P （m ，n ，0），0≤m ≤2，0≤n ≤2，则CB 1→=(2，0，2)，CD 1→=(0，−2，2)，FP →=(m −2，n −1，−2)， 设平面CB 1D 1的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅CD 1→=−2b +2c =0n →⋅CB 1→=2a +2c =0， 取a ＝1，可得b ＝﹣1，c ＝﹣1，所以n →=(1，−1，−1)，因为PF ∥平面B 1CD ，所以FP →⋅n →=(m −2)−(n −1)+2=0，可得n ＝m +1， 所以|FP →|=√(m −2)2+(n −1)2+4=√2m 2−4m +8=√2(m −1)2+6≥√6， 当m ＝1时，等号成立，所以C 错误．对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°， 由AA 1⊥平面ABCD ，得直线AP 与AA 1所成的角为45°， 若点P 在平面DCC 1D 1和平面BCC 1B 1内， 因为∠B 1AB ＝45°，∠D 1AD ＝45°，故不成立； 在平面ADD 1A 1内，点P 的轨迹是AD 1=2√2； 在平面ABB 1A 1内，点P 的轨迹是AB 1=2√2； 在平面A 1B 1C 1D 1时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为∠P AM ＝45°，所以PM ＝AM ，又因为PM ＝AB ， 所以AM ＝AB ，所以A 1P ＝AB ，所以点P 的轨迹是以A 1点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P 的轨迹的长度为14×2π×2=π，综上，点P 的轨迹的总长度为π+4√2，所以D 正确； 故选：ABD ．三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知a →=(2，2，1)，b →=(1，0，0)，则a →在b →上的投影向量的坐标为 （2，0，0） ． 解：空间向量a →=(2，2，1)和b →=(1，0，0)， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|a →⋅b→|a →||b →|b→|b →|=a →⋅b→|b →|2b →=2×112(1，0，0)=（2，0，0）． 故答案为：（2，0，0）．14．两条平行直线3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0间的距离是 1 ． 解：3x +4y ﹣5＝0与ax +8y ﹣20＝0， 则a3=84≠−20−5，解得a ＝6，故ax +8y ﹣20＝0，即3x +4y ﹣10＝0， 所求两平行直线距离的距离为√322=1．故答案为：1．15．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4，则圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 x 2+（y ﹣3）2＝4 ． 解：由已知可得，圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝4的圆心C （3，0），半径r ＝2， 设点C （3，0）关于直线y ＝x 对称的点为C 1（x 0，y 0），则有{y 02=x 0+32y 0−0x 0−3=−1，解得{x 0=0y 0=3，即点C 1（0，3），所以圆C 关于直线y ＝x 对称的圆的方程为x 2+（y ﹣3）2＝4． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝4．16．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为3和1，球心距离|O 1O 2|＝8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于2√55．解：如图，圆锥面与其内切球O 1、O 2分别相切与B ，A ，连接O 1B ，O 2A ，则O 1B ⊥AB ，O 2A ⊥AB ，过O 1作O 1D ⊥O 2A 于D ， 连接O 1F ，O 2E ，EF 交O 1O 2于点C ．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt △O 1O 2D 中，DO 2＝3﹣1＝2，O 1D =√82−22=2√15． ∴cos α=O 1D O 1O 2=2√158=√154． ∵O 1O 2＝8， CO 2＝8﹣O 1C ， ∵△EO 2C ∽△FO 1C ， ∴8−O 1C O 2E=O 1C O 1F，解得O 1C ＝2．∴CF =√O 1C 2−FO 12=√22−12=√3． 即cos β=CFO 1C =√32． 则椭圆的离心率e =cosβcosα=√32154=2√55．O 故答案为：2√55．四、解答题，本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）根据条件，写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）与3x +2y +2＝0垂直，且过点A （2，2）的直线； （2）经过点（3，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线．解：（1）3x +2y +2＝0的斜率为k =−32，则与其垂直的直线的斜率为23，则过点A（2，2）的直线方程为y−2=23(x−2)，化简得2x﹣3y+2＝0；（2）由题意，①当直线过原点时，设其方程为y＝kx，∴4＝3k，k=4 3，∴y=43x，即4x﹣3y＝0；②当直线不过原点，设方程为xa +ya=1(a≠0)，则3a +4a=1，解得a＝7，x 7+y7=1，即x+y﹣7＝0，综上可得：所求直线方程为4x﹣3y＝0或x+y﹣7＝0．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB ＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面ABC1与平面A1C1B所成角的正弦值；（3）求点C到平面A1C1B的距离．解：（1）证明：因为侧面AA1C1C为正方形，AA1B1B为矩形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，因为AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥平面ABC；（2）解：由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB2+AC2＝BC2即AB⊥AC，如图，以A为原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B （0，3，0），A 1（0，0，4），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），C （4，0，0），连接AC 1， 所以AB →=(0，3，0)，AC 1→=(4，0，4)，A 1B →=(0，3，−4)，A 1C 1→=(4，0，0)， 设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，故m →⊥AB →，m →⊥AC 1→， 则{m →⋅AB →=0m →⋅AC 1→=0，即{3y 1=04x 1+4z 1=0，令z 1＝1，则x 1＝﹣1，y 1＝0，可得m →=(−1，0，1)，设平面A 1C 1B 的法向量为n →=(x ，y ，z)，故n →⊥A 1B →，n →⊥A 1C 1→， 则{n →⋅A 1B →=0n →⋅A 1C 1→=0，即{3y −4z =04x =0，令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，可得n →=(0，4，3)， 设平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=32×5=3√210，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−18100=√8210； 故所求平面ABC 1与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为√8210； （3）由（1）知平面A 1C 1B 的法向量为n →=(0，4，3)，CC 1→=(0，0，4)， 则点C 到平面A 1C 1B 的距离为d =|CC 1→⋅n →||n →|=3×4√4+3=125， 故点C 到平面A 1C 1B 的距离为125．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y =12x +m 交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |=√5，求m 的值．解：（1）由题意可得{a 2=b 2+c 2=22c a=√32，解得：a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{y =12x +m x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2﹣2＝0， ∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2，∴|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√52√4m 2−8m 2+8=√5⋅√2−m 2=√5， 解得m ＝±1．20．（12分）已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆m ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； （2）求两圆的公切线方程．解：（1）易知圆O 的圆心（0，0），半径为1，圆M 的圆心（2，1），半径为3，已知圆O ：x 2+y 2＝1，圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9，即x 2﹣4x +y 2﹣2y ＝4， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为l ：4x +2y +3＝0， 所以点O 到l 的距离为d =|3|√16+4=3√510，所以公共弦长为|AB|=2√12−(3510)2=√555，故两圆公共弦直线方程为l：4x+2y+3＝0，公共弦长为√55 5；（2）因为圆O的圆心（0，0），半径为1，圆M的圆心（2，1），半径为3，由图象可知，有一条公切线为：x＝﹣1，直线OM：y=12x与x＝﹣1的交点为(−1，−12)，设另一条公切线的方程为y+12=k(x+1)，即kx−y+k−12=0，则点M（2，1）到此公切线的距离d=|3k−32|√k+1=3，解得k=−34，所以另一条公切线的方程为y=−34x−54，即3x+4y+5＝0综上，两圆的公切线方程为x＝﹣1和3x+4y+5＝0．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AE和BD上移动，且EM和DN的长度保持相等，记EM=DN=a(0＜a＜√2)，活动弹子Q在EF上移动．（1）求证：直线MN∥平面CDE；（2）a为何值时，MN的长最小？（3）Q为EF上的点，求EB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）证明：如图1，在平面ADEF内，过点M作MG∥DE，交AD于点G，连接NG，MN，∵MG ∥DE ，∴AM ME=AG GD．由已知可得，AE =BD =√2，EM ＝DN ＝a ， ∴AM ＝BN ，AM ME=BN ND，∴AG GD=BN ND=AM ME，∴GN ∥AB ．又AB ∥CD ，∴GN ∥CD ．∵MG ⊄平面CDE ，MG ∥DE ，DE ⊂平面CDE ， ∴MG ∥平面CDE ， 同理可得，GN ∥平面CDE ．∵MG ⊂平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，MG ∩GN ＝G ， ∴平面MNG ∥平面CDE ．∵MN ⊂平面MNG ，∴直线MN ∥平面CDE ．（2）由（1）可知，MG ∥DE ，AM =AE −EM =√2−a ， ∴MG ED=AM AE，∴MG =AM⋅ED AE =√2−a2． 同理可得，GN =DN⋅AB DB =a2． 又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， ∴ED ⊥平面ABCD ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥CD ． ∵MG ∥DE ，GN ∥CD ，∴MG ⊥GN ， ∴△MGN 是直角三角形， ∴MN 2=MG 2+GN 2=(√2−a 2)2+(a 2)2=a 2−√2a +1=(a −√22)2+12．又0＜a ＜√2，∴a =√22，即M ，N 为线段中点时，MN 2有最小值12，∴当a =√22时，MN 的长度最小，最小值为√22．（3）由（2）知，ED ⊥平面ABCD ． 又DA ⊥DC ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示，则D （0，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），B （1，1，0），设Q （b ，0，1），0≤b ≤1， ∴EB →=(1，1，−1)，DC →=(0，1，0)，DQ →=(b ，0，1)． 设n →=(x ，y ，z)是平面QCD 的一个法向量，则{n →⋅DC →=y =0n →⋅DQ →=bx +z =0，取x ＝1，则n →=(1，0，−b)是平面QCD 的一个法向量． 设EB 与平面QCD 所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈EB →，n →〉|=|EB →⋅n →||EB →||n →|=√3×√b +1．当b ＝0时，sinθ=√33；当0＜b ≤1时， 有sin 2θ=(√3×√b +1)2=b 2+2b+13(b 2+1)=2b 3(b 2+1)+13=23(b+1b)+13． ∵b +1b ≥2√b ⋅1b =2，当且仅当b =1b ，即b ＝1时等号成立， ∴b +1b ≥2，0＜1b+1b≤12， ∴sin 2θ=23(b+1b )+13≤23×12+13=23． ∵sin θ＞0，∴sinθ≤√23=√63．综上所述，EB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．22．（12分）已知点P 到A （﹣2，0）的距离是点P 到B （1，0）的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点C （5，8），求|QB |2+|QC |2的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点M （m ，0），使ME →⋅MF →恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：（1）设P （x ，y ），由题意可得，|P A |＝2|PB |，即√(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，化简得（x ﹣2）2+y 2＝4；（2）设Q （x 0，y 0），由题意可得（x ﹣2）2+y 2＝4，{x 0+x =2×1y 0+y =0，即{x =2−x 0y =−y 0，代入上式可得x 02+y 02=4， ∴Q 的轨迹方程为x 2+y 2＝4，|QB |2+|QC |2＝（x ﹣1）2+y 2+（x ﹣5）2+（y ﹣8）2＝2x 2+2y 2﹣12x ﹣16y +90＝﹣12x ﹣16y +98＝﹣4（3x +4y ）+98．令z ＝3x +4y ，∴3x +4y ﹣z ＝0，d =|z|5≤r ＝2， ∴﹣10≤z ≤10，因此，|QB |2+|QC |2的最大值为138；（3）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（1+k 2）x 2﹣2k 2x +k 2﹣4＝0． 显然Δ＞0，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−41+k 2， ME →=(x 1−m ，y 1)，MF →=(x 2−m ，y 2)，∴ME →⋅MF →=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m （x 1+x 2）+x 1x 2+k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝m 2−2mk21+k 2+k 2−41+k 2+k 2 （k 2−41+k 2+2k 21+k 2+1）=(m 2−m−2)k 2+m 2−41+k 2要使上式为定值，需m 2﹣2m ﹣2＝m 2﹣4，解得m ＝1，∴ME →⋅MF →为定值﹣3，当直线l 的斜率不存在时E （1，√3），F （1，−√3），由M （1，0）可得ME →=（0，√3），MF →=（0，−√3），∴ME →⋅MF →=−3，综上所述，在x 轴上是否存在点M （1，0），使ME →⋅MF →恒为定值﹣3．。

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024—2025学年度高二年级11月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（ ）A.11B.10C.9D.82.已知直线：，：，且，则（）A.1B.-2C.2D.33.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.-2B.1C.3D.44.已知，，三点不共线，点不在平面内，（，），若，，，四点共面，则的最大值为（ ）A.B.C.1D.25.已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）A.32B.62C.64D.306.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）D.()1,1,3a = ()2,3,2b = a b ⋅=1l 220250x my +-=2l ()1320250m x y +++=12//l l m =()2,3A -()1,B m -()1,2-m =A B CO ABC 12OD OA xOB yOC =++x 0y >A B CD xy 18116{}31A x x =∈-≤N ()(){}120B x x x =∈+-<Z {}22,,C z z x y x A y B ==+∈∈111ABC ABC -14AA =6AB AC ==D BC E 11BC 1B DE 11ACC A 127.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）A. B.C.D.10.已知复数，则（ ）A.的虚部为B.C.在复平面内的对应点位于直线上D.为方程的一个根11.三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）A.5D.6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个过和的直线的两点式方程______.13.已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______.14.中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；212025x ax y -+=()4,7a (],4-∞(],8-∞[]4,8(],7-∞1111A B C D ABCD -P 10AP BP AP AP ⋅=⋅=ABP ∠ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin f x x x ωω=0ω>π()f x 2π3-π6-5π12π321iz =-z 2-z =z 0x y -=z 2220x x -+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=3AB =2BD =4CD =ABD BCD 3πAC ()3,1-()2,2-α()3,5,4m =- O α∈P α∉10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αABC △A B C a b c ABC △S sin 2sin cos cos A BA B=2Sa ()1,3A()4,7B AB（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.16.（本小题满分15分）已知，.（1）求在方向上投影向量的坐标；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.17.（本小题满分15分）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值；（3）求的长度.18.（本小题满分17分）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.（1）求的取值范围；（2）求的面积取得最小值时对应的周长；（3）若，也为“整数点”，求直线的一般式方程.19.（本小题满分17分）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus ）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.π3l ()2,1l ()1,2AB =-()0,AC =A B A CAB AC 12DD DE = 2DB DF = 3C D C G =12GC GH = 1E F BC ⊥EF 1CG 1BH xOy ()52,0A a +520,1a B a +⎛⎫⎪+⎝⎭a AOB △A B AB S V l V Sl =Oxyz ()0,0,1P(),,Q a b c若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.a 0b >1c >Q ABC ABC △()()()2222000x x y y z z r -+-+-=()000,,x y z r ()()()0000Ax x B y y C z z -+-+-=()0000,,P x y z (),,u A B C =2024—2025学年度高二年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1. A 【解析】.故选A.2. C 【解析】由题意可得，故，解得.故选C.3. C 【解析】由题干条件可得，解得 3.故选C.4. B 【解析】因为，，，四点共面，所以，所以，当且仅当时取“＝”.故选B.5. B 【解析】由题意可得，，故，故集合的非空真子集个数为.故选B.6. C 【解析】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故，因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，则，即直线与平面.故选C.7. B 【解析】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即.故选B.8. B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，12133211a b ⋅=⨯+⨯+⨯=12//l l 21131m m -=≠+2m =32121m +-=--m =A B C D 112x y ++=21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭14x y =={}2,3,4A ={}0,1B ={}{}22,,4,6,9,11,16,18C z z x y x A y B ==+∈∈=C 62262-=A AB AC 1AA x y z ()3,3,0D ()4,2,4E ()1,1,4DE =-x ⊥11ACC A 11ACC A ()1,0,0n =cos ,DE n DE n DE n ⋅===DE 11ACC A 2025xy =212025x ax y -+=()4,721y x ax =-+()4,721y x ax =-+2a x =42a≤8a ≤设，、、，则有、、，设中点为，中点为，则有，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故由可得，故，故.故选B.二、选择题9. ABD 【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，令（），解得（）.故选ABD.10. BCD 【解析】对于A ，，故，其虚部为，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直(),,Px y z x y []0,2z ∈()2,0,0A ()2,2,0B ()12,0,2A AB ()12,1,0O 1AA ()22,0,1O 11PO =()()222211x y z -+-+=10AP AP ⋅=21PO =()()222211x y z -++-=()()()()222222211211x y z x y z ⎧-+-+=⎪⎨-++-=⎪⎩22222242404240x y z x y x y z x z ⎧++--+=⎨++--+=⎩y z =2224240x y x y +--+=()2,2,BP x y z =-- ()0,2,0BA =-()()22222222244824BP x y z x y x y y =-+-+=+--+=-+ cos ,BP BA BP BA BP BA ⋅====()()222211x y z -++-=[]0,1y ∈cos ,BP BA ⎤⎥⎦π0,4ABP ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π3x k +=k ∈Z ππ26k x =-k ∈Z ()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i z =-1a -z ==z ()1,1线上，故C 正确；对于D ，易得，故D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】三棱锥中，由可得，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以.故选BC.三、填空题12.（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.【解析】经过点和点直线两点式方程是：.故答案为.【解析】由题可知平面的一个法向量为，又，故点到平面的距离为.14. 【解析】由，可得，即，所以，所以，0x y -=()()21i 21i 22i 22i 20+-++=--+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=AB BD ⊥CD BD⊥,BA DCA BD C --AC AB BD DC BA BD D C =++=-++ 3AB =2BD =4CD =22222AC BA BD DC BA DC=++-⋅9416234cos ,2924cos ,BA DC BA DC =++-⨯⨯=-ABD BCD π3π,3BA DC = AC = 2π,3BA DC =AC =AC 132123y x -+=--+()3,1-()2,2-132123y x -+=--+132123y x -+=--+α()3,5,4m =- 10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αOP m d m⋅===38sin 2sin cos cos A B A B=222222222a b b c a a c b bcac=+-+-22233a b c =+2233b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111sin 222S bc A bc bc ===故令，，则，，所以，等号成立条件为.故答案为.四、解答题15.解：（1）由题意可得，，所以线段的中点为，，所以直线的垂直平分线的斜率为，故线段垂直平分线的斜截式方程为，即.（2）设直线的截距式方程为，则①，.由①②解得，，故直线.16.解：（1）因为，，所以，，所以在方向上投影向量为.（2）因为，，222S bc a a ==2b m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2c n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭33m n +=2S a 238S a ≤=58m =38()1,3A()4,7B AB 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭734413AB k -==-AB 34-AB 35542y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭35548y x =-+l 1x ya b+=211a b +=tan 3b k a π-===2a =-1b =-l 1=()1,2AB =- ()0,AC =08210AB AC ⋅=++=3AC = A B A C 101099AB AC AC AC ACAC ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭()1,2AB =- ()0,AC = AB =所以，又，所以，故以，为邻边的平行四边形的面积为17.解：（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得，，，，，，因为，，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅()0,πCAB ∠∈sin CAB ∠==AB AC sin 3S AB AC CAB =∠== D DA DC 1D D x y z Dxyz ()0,0,1E()1,1,0F ()12,2,2B ()0,2,0C ()10,2,2C 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,13H ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--()()11210120EF B C ⋅=⨯-+⨯-⨯-=1EF BC ⊥1E F BC ⊥()1,1,1EF =- 120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅==.故异面直线与（3）由（1）可得，故.18.解：（1）由题意可得，解得.（2）由（1），，则，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以的周长为.（3）由题意可知，均为整数，所以均为整数，又因为，，，.所以，即.所以，，0或2，所以直线的一般式方程为或或或.19.解：（1）考虑提示：球体体积，半圆面积，==EF 1CG 112,,13B H ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1B H ==5205201a a a +>⎧⎪+⎨>⎪+⎩1a >-10a +>()()152195*********AOBa S a a a a +⎡⎤=⨯+⨯=+++⎢⎥++⎣⎦△112122⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦()9411a a +=+12a =()6,0A()0,4B AOB △4610+=+52a +523211a a a +=+++352,1a a ++1a >-22a k =>-k ∈Z 3361212k a k ==+++21,2,3,6k +=1,0,1,4k =-12a =-12AB 280x y +-=23120x y +-=50x y +-=390x y +-=34π3r V =2π2r S =设几何重心到圆心的距离为，由于几何重心在对称轴上，则运动的轨迹长度为，运用巴普斯定理有：，解得，代入即.注：开始时代入计算也给分.（2）由题知：球面方程为，故.另一方面：.则切面方程为：：，代入得到：，于是，运用等体积法：设的面积为，（当且仅当取等）.x 2πx 23π4π2π23r r x V ⨯==43πr x =3r =4πx =()22211x y z ++-=()22211a b c ++-=(),,1PQ a b c =- L ()()()()1a x a b y b c z c -+-+--()()()222111ax by c z a b c c ⎡⎤=++--++---⎣⎦()10ax by c z c =++--=,0,00,,00,0,1c A a c B b c C a ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎩()31131261C OAB c c c c V c a b ab c -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪--⎝⎭ABC △A B C S △333C OAB C OAB C OAB ABC O L V V V S cd c---→===△()()()()()222222211111c c c ab c a b c c c =≥=-⎡⎤+----⎣⎦()()213221323cc c c c c c c ===≥=+---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a b ==c =。

2012-2013高代第二学期期中试卷答案

2012-2013高代第二学期期中试卷答案

北 京 交 通 大 学2012 -2013学年第二学期《高等代数II 》期中考试试卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）1．已知R 3的两组基：I: )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； II: )0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ；那么由I 到II 的过渡矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011110101 。

2. 在22⨯P 中，已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00103A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004A 是22⨯P 的基，那么，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4523A 在该基下的坐标为 (5,3,2,4) 。

3. 设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 的解空间，那么1W ∩2W 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-+=-++000332143214321x x x x x x x x x x x x 的解空间。

4. 设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==, 则()=+21dim W W 3 。

5. 设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=⋂21dim W W 0 。

6. 设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002 . 7．设3阶矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 1,1/2,1/3 。

8．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 0,1 。

2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1．直线√3x +3y +2=0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知向量a →=(−3，2，1)，b →=(2，2，−1)，c ＝（m ，4，0），若a →，b →，c →共面，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．﹣1D ．﹣53．圆x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0的周长等于（ ） A ．√2πB ．2πC ．2√2πD ．4π4．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，3）到焦点的距离是5p ，则p ＝（ ） A ．34B ．32C ．43D ．235．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，且二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，AB ＝2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则AP ＝（ ）A ．√3B ．√5C ．√7D ．36．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数√5−12(√5−12≈0.618)，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，则a ＝（ ）A ．√5−12B ．√5−12C ．√5+12D ．√5+127．圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，若|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．3−√52B ．3−√5C ．√2−1D ．12二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 2一定过点(−23，1) B ．若l 1⊥l 2，则a =25C ．若l 1∥l 2，则a ＝3D ．点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值为210．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1C 1的中点，点P 是底面ABCD 上的一点，且D 1P ∥平面A 1C 1B ，则下列说法正确的是（ ）A ．D 1P ⊥DB 1 B ．存在点P ，使得A 1P ⊥BEC ．D 1P 的最小值为√6D ．PA 1→⋅PE →的最大值为612．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 23+y 2=1，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为√2x +y ﹣4＝0，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ，MB 分别与椭圆相切于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝4B ．记点A 到直线l 的距离为d ，则d ﹣|AF 2|的最小值为0C ．一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为4√3D ．△AOB 的面积的最大值为√32三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知直线l 1：ax +y +1＝0与l 2：2x ﹣by ﹣1＝0相交于点M （1，1），则a +b ＝ ． 14．已知圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，则圆C 的方程为 ．15．已知直线过点A （1，﹣1，﹣1），且方向向量为（1，0，﹣1），则点P （1，1，1）到直线l 的距离为 ．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则∠APB 取最大值时，∠APB 叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，设P 对圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝1的张角为θ，则cos θ的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知BA →=(−1，−2，2)，BC →=(−2，2，1)，AC →=(−1，4，−1)，设a →=BA →，b →=BC →，c →=AC →．（1）判断△ABC 的形状；（2）若(−2a →+kb →)∥c →，求k 的值．18．（12分）直线l 1：x +2y ﹣11＝0与直线l 2：2x +y ﹣10＝0相交于点P ，直线l 经过点P ． （1）若直线l ⊥l 2，求直线l 的方程；（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．19．（12分）在平面内，A （3，0），B （﹣1，0），C 为动点，若AC →⋅BC →=5． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l ：x ﹣y +3＝0与曲线C 交于M ，N ，求|MN |的长．20．（12分）已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33，求平面P AD 与平面BDE 的夹角的余弦值．22．（12分）已知圆F 1：（x +1）2+y 2＝r 2与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝（4﹣r ）2（1≤r ≤3）的公共点的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP →⋅AQ→是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年广东省东莞市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1．直线√3x +3y +2=0的倾斜角为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解：由直线的方程可得直线的斜率k =−√33，设直线的倾斜角为α，且α∈[0，π）， 所以tan α＝k =−√33，所以α=56π，即α＝150°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，2，1)，b →=(2，2，−1)，c ＝（m ，4，0），若a →，b →，c →共面，则m ＝（ ） A ．2B ．3C ．﹣1D ．﹣5解：因为a →，b →，c →共面，所以c →=xa →+yb →，即（m ，4，0）＝x （﹣3，2，1）+y （2，2，﹣1）＝（﹣3x +2y ，2x +2y ，x ﹣y ）， 所以{−3x +2y =m2x +2y =4x −y =0，解得x ＝1，y ＝1，m ＝﹣1．故选：C ．3．圆x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0的周长等于（ ） A ．√2πB ．2πC ．2√2πD ．4π解：∵圆的一般方程为x 2+y 2﹣2x +6y +8＝0， ∴将圆化成标准方程，得（x ﹣1）2+（y +3）2＝2 由此可得圆的圆心为C （1，﹣3），半径r =√2 因此该圆的周长为2πr =2√2π 故选：C ．4．若抛物线x 2＝2py （p ＞0）上一点M （m ，3）到焦点的距离是5p ，则p ＝（ ） A ．34B ．32C ．43D ．23解：根据抛物线的几何性质可得：p 2+3=5p ， ∴p =23，故选：D ．5．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD ，侧面A 1ADD 1都是正方形，且二面角A 1﹣AD ﹣B 的大小为120°，AB ＝2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则AP ＝（ ）A ．√3B ．√5C ．√7D ．3解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形DD 1C 1C 是平行四边形， 又P 是C 1D ，CD 1的交点，所以P 是C 1D 的中点，所以AP →=AD →+DP →=AD →+12(DC →+DD 1→)=12AB →+AD →+12AA 1→，由题意AB →⋅AD →=0，AB →⋅AA 1→=−2，AD →⋅AA 1→=0，所以AP →2=(12AB →+AD →+12AA 1→)2=14AB →2+AD →2+14AA 1→2+AB →⋅AD →+AD →⋅AA 1→+12AB →⋅AA 1→=5，即AP =√5． 故选：B ．6．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数√5−12(√5−12≈0.618)，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，则a ＝（ ）A ．√√5−12B ．√5−12C ．√√5+12D ．√5+12解：双曲线x 2a−y 2=1是黄金双曲线，可得√a+1√a=√5−1，解得a =√5−12． 故选：B ．7．圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1解：由题意得圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1， 圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的圆心为（1，﹣1），半径为2，则两圆圆心距为√2，而2−1＜√2＜2+1，即圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2相交，故将x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣2x +2y ＝2相减得2x ﹣2y +1＝0，即圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2﹣2x +2y ＝2的公共弦所在直线方程为2x ﹣2y +1＝0， 令x ＝0，则y =12；令y ＝0，则x =−12，故2x ﹣2y +1＝0与两坐标轴所围城的三角形面积为12×|−12|×12=18．故选：C ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，若|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．3−√52B ．3−√5C ．√2−1D ．12解：由于椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ， 则由射影定理可得|PF 2|2=|F 1F 2|•|AF 2|＝2c ×c2=c 2，∴|PF 2|＝c ． Rt △△PF 1F 2中，|PF 1|=√c 2+(2c)2=√5c ．再根据椭圆的定义，可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ，即√5c +c ＝2a ， ∴e =c a =√5−12，则e 2=3−√52， 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 2一定过点(−23，1) B ．若l 1⊥l 2，则a =25C ．若l 1∥l 2，则a ＝3D ．点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值为2解：对于选项A ：因为3x +（a ﹣1）y +3﹣a ＝0，即a （y ﹣1）+3x ﹣y +3＝0，所以直线l 2过定点(−23，1)，故选项A 正确；对于选项B ：由l 1⊥l 2，可得a ×3+2×（a ﹣1）＝0，解得a =25，故选项B 正确； 对于选项C ：由l 1∥l 2，可得a ×（a ﹣1）＝2×3，解得a ＝3或a ＝﹣2． 当a ＝3时，直线l 1：3x +2y +9＝0，直线l 2：3x +2y ＝0，此时l 1∥l 2；当a ＝﹣2时，直线l 1：﹣2x +2y ﹣6＝0，即x ﹣y +3＝0，直线l 2：3x ﹣3y +5＝0，即x −y +53=0，此时l 1∥l 2．综上可知若l 1∥l 2，则a ＝3或a ＝﹣2，故选项C 错误； 对于选项D ：因为点O （0，0）到直线l 1的距离d =|3a|√a 2+2，所以当a ＝0时，d ＝0； 当a ≠0时，d =|3a|√a 2+2=√9a 2a 2+4=√91+4a 2＜3，则点O （0，0）到直线l 1的距离的最大值不存在，故选项D 错误． 故选：AB ．10．已知空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），则下列说法正确的是（ ） A ．AB →与AC →是共线向量 B ．与AB →同向的单位向量是（2√55，√55，0）C ．AB →和BC →夹角的余弦值是√5511D ．平面ABC 的一个法向量是（1，﹣2，5）解：空间中三点A （0，1，0），B （2，2，0），C （﹣1，3，1），对于A ，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），∴AB →与AC →不是共线向量，故A 错误；对于B ，AB →=（2，1，0），AB→|AB →|=（2√55，√55，0），故B 正确； 对于C ，AB →=（2，1，0），BC →=（﹣3，1，1）， ∴AB →和BC →夹角的余弦值是： cos ＜AB →，BC →＞=AB →⋅BC→|AB →|⋅|BC →|=−5√5⋅√11=−√5511，故C 错误；对于D ，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1）， 设平面ABC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=2x +y =0n →⋅AC →=−x +2y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，5），故D 正确． 故选：BD ．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1C 1的中点，点P 是底面ABCD 上的一点，且D 1P ∥平面A 1C 1B ，则下列说法正确的是（ ）A ．D 1P ⊥DB 1 B ．存在点P ，使得A 1P ⊥BEC ．D 1P 的最小值为√6D ．PA 1→⋅PE →的最大值为6解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（2，0，2），B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2），E （0，1，2），D 1（0，0，2），所以DB 1→=(2，2，2)，A 1C 1→=(−2，2，0)，BA 1→=(0，−2，2)， 所以DB 1→⋅A 1C 1→=0，DB 1→⋅BA 1→=0， 即DB 1⊥A 1C 1，DB 1⊥BA 1，因为BA 1∩A 1C 1＝A 1，BA 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ， 所以DB 1⊥平面A 1C 1B ，又D 1P ∥平面A 1C 1B ，所以DB 1⊥D 1P ，故A 正确； 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤2，0≤y ≤2），所以D 1P →⋅DB 1→=(x ，y ，−2)⋅(2，2，2)=2x +2y −4=0， 解得y ＝2﹣x ，所以P(x ，2−x ，0)(0≤x ≤2)，BE →=(−2，−1，2)，A 1P →=(x −2，2−x ，−2)(0≤x ≤2)，BE →⋅A 1P →=(−2，−1，2)⋅(x −2，2−x ，−2)=0， 解得x ＝﹣2， 又因为0≤x ≤2，所以不存在点P ，使得A 1P ⊥BE ，故B 错误；因为|D 1P →|=√x 2+y 2+4=√2(x −1)2+6，0≤x ≤2， 所以|D 1P →|min =√6，故C 正确；PA 1→=(2−x ，x −2，2)，PE →=(−x ，x −1，2)，所以PA 1→⋅PE →=(2−x)(−x)+(x −1)(x −2)+4=2x 2−5x +6=2（x −54）2+238，0≤x ≤2， x =54时，PA 1→⋅PE →取到最小值238，x ＝0时，PA 1→⋅PE →取到最大值6，所以PA 1→⋅PE →∈[238，6]，故D 正确． 故选：ACD ．12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 23+y 2=1，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为√2x +y ﹣4＝0，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ，MB 分别与椭圆相切于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2＝4B ．记点A 到直线l 的距离为d ，则d ﹣|AF 2|的最小值为0C ．一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为4√3D ．△AOB 的面积的最大值为√32解：由题意可知：a =√3，b =1，c =√a 2−b 2=√2，对于选项A ：当直线MA ，MB 一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则M(±√3，±1)， 当直线MA ，MB 斜率均存在时，设M （x 0，y 0），切线方程为：y ＝k （x ﹣x 0）+y 0， 联立方程{y =k(x −x 0)+y 0x 23+y 2=1得：(1+3k 2)x 2−6k(kx 0−y 0)x +3(kx 0−y 0)2−3=0， 由Δ=36k 2(kx 0−y 0)2−12(1+3k 2)[(kx 0−y 0)2−1]=0，整理可得：(x 02−3)k 2−2x 0y 0k +y 02−1=0，则k MA ⋅k MB=y 02−1x 02−3，又因为MA ⊥MB ，则k MA •k MB ＝﹣1，即y 02−1x 02−3=−1，整理得x 02+y 02=4，所以M 点轨迹为x 2+y 2＝4，且M(±√3，±1)也满足x 2+y 2＝4，所以蒙日圆的方程为x 2+y 2＝4，故A 正确；对于选项B ，因为A 为椭圆C 上的点，则|AF 1|+|AF 2|=2√3，即|AF 2|=2√3−|AF 1|， 可得d −|AF 2|=d −(2√3−|AF 1|)=d +|AF 1|−2√3，因为d +|AF 1|的最小值为点F 1到直线l 的距离，且F 1(−√2，0)， 可知(d +|AF 1|)min =|−2−4|√1+2=2√3， 所以(d −|AF 2|)min =2√3−2√3=0，故B 正确；对于选项C ：因为矩形四条边均与C 相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形， 设矩形的长为m ，宽为n ，蒙日圆的半径r ＝2，则m 2+n 2＝16， 可得mn ≤m 2+n 22=8，当且仅当m =n =2√2时，等号成立， 所以此矩形面积最大值为8，故C 错误；对于选项D ：设A （x 1，y 1）位于椭圆上，下证：在A 处的切线方程为x 1x 3+y 1y =1，由x 123+y 12=1，即3y 12=3−x 12，可知A （x 1，y 1）在直线x 1x 3+y 1y =1上，联立方程{x 1x3+y 1y =1x 23+y 2=1，消去y 得(3y 12+x 12)x 2−6x 1x +9−9y 12=0，即x 2−2x 1x +x 12=0，解得x ＝x 1，即直线x 1x 3+y 1y =1与椭圆相切，所以在点A 处的切线方程为x 1x 3+y 1y =1，同理可知：在点B 处的切线方程为x 2x 3+y 2y =1，设M （x 0，y 0），则{x 1x 03+y 1y 0=1x 2x 03+y 2y 0=1，可知A ，B 坐标满足方程x 0x3+y 0y =1，即切点弦AB 所在直线方程为：x 0x 3+y 0y =1，当y 0＝0时，M （±2，0），此时AB 所在直线方程为：x =±32，可得|AB|=2√1−943=1，S △AOB =12×32×1=34，当y 0≠0时，由{x 0x3+y 0y =1x 23+y 2=1得：(3y 02+x 02)x 2−6x 0x +9−9y 02=0，由A 知：x 02+y 02=4，可得(12−2x 02)x 2−6x 0x +9x 02−27=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=3x 06−x 02，x 1x 2=9x 02−2712−2x 02， ∴|AB|=√1+x 029y 02⋅√(3x 06−x 02)2−4×9x 02−2712−2x 02=√x 02+9y 02⋅√9−2x 02(6−x 02)2，又原点O 到直线AB 的距离d =1√x 09+y 02=3√x 0+9y 0，∴S △AOB =12|AB|⋅d =32√9−2x 02(6−x 02)2， 令t =16−x 02∈[16，12)，则x 02=6−1t ， 可得S △AOB =32√2t −3t 2≤√32，当且仅当t =13时，等号成立，综上所述：△AOB 的面积的最大值为√32，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13．已知直线l 1：ax +y +1＝0与l 2：2x ﹣by ﹣1＝0相交于点M （1，1），则a +b ＝ ﹣1 ． 解：把M （1，1）分别代入直线l 1和直线l 2的方程， 有a +1+1＝0，2﹣b ﹣1＝0 所以a ＝﹣2，b ＝1， 所以a +b ＝﹣1． 故答案为：﹣1．14．已知圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，则圆C 的方程为 （x ﹣4）2+y 2＝4 ．解：因为圆心为（a ，0）的圆C 与直线l ：y =√33x 相切于点N(3，√3)，所以√33−a=−√3，解得a ＝4，所以圆心为（4，0），半径为r =√(4−3)2+(√3)2=2， 所以圆C 的方程为（x ﹣4）2+y 2＝4． 故答案为：（x ﹣4）2+y 2＝4．15．已知直线过点A （1，﹣1，﹣1），且方向向量为（1，0，﹣1），则点P （1，1，1）到直线l 的距离为 √6 ．解：取直线l 的方向向量为a →=(1，0，−1)， 因为A （1，﹣1，﹣1），P （1，1，1）， 所以AP →=(0，2，2)，所以|AP →|=√02+22+22=2√2，所以AP→|AP →|=(0，√2，√2)，所以AP→|AP →|⋅a →=0×1+0×√2+(−1)×√2=−√2，所以点P 到直线l 的距离为d =√|AP →|2−(AP →|AP →|⋅a →)2=√(2√2)2−(−√2)2=√6．故答案为：√6．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则∠APB 取最大值时，∠APB 叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，设P 对圆M ：（x ﹣3）2+y 2＝1的张角为θ，则cos θ的最小值为 34．解：如图，cos θ＝cos ∠APB ＝cos2∠APM ＝1﹣2sin 2∠APM ， 要使cos θ最小，则sin ∠APM 最大，故|PM |最小， 设P （a 24，a ），则|PM |=√(a 24−3)2+a 2=√116(a 2−4)2+8． ∴当a 2＝4，即a ＝±2时，|PM|min =2√2，此时P （1，2）或（1，﹣2），(cosθ)min =1−2sin 2∠APM =1−2×(12√2)2=34．故答案为：34．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17．（10分）已知BA →=(−1，−2，2)，BC →=(−2，2，1)，AC →=(−1，4，−1)，设a →=BA →，b →=BC →，c →=AC →．（1）判断△ABC 的形状；（2）若(−2a →+kb →)∥c →，求k 的值．解：（1）∵BA →=(−1，−2，2)，∴|BA →|=√(−1)2+(−2)2+22=3， 同理|BC →|=3，|AC →|=3√2，∴|AC →|2=|BA →|2+|BC →|2，且|BA →|=|BC →|， 所以△ABC 是等腰直角三角形．（2）∵−2a →+kb →=(2−2k ，4+2k ，k −4)，又(−2a →+kb →)∥c →， ∴2−2k −1=4+2k 4=−4+k −1，解得k ＝2．所以k 的值为2．18．（12分）直线l 1：x +2y ﹣11＝0与直线l 2：2x +y ﹣10＝0相交于点P ，直线l 经过点P ． （1）若直线l ⊥l 2，求直线l 的方程；（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：（1）联立{x +2y −11=02x +y −10=0，解得{x =3y =4，即P （3，4）．∵l ⊥l 2，不妨设直线l 的方程为x ﹣2y +λ＝0， 将点P （3，4）代入x ﹣2y +λ＝0，得λ＝5， ∴直线l 的方程为x ﹣2y +5＝0．（2）当直线l 经过坐标原点时，直线l 的方程是y =43x ，即4x ﹣3y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点时，设直线l 的方程为xa +y a =1，将点P （3，4）代入x a+y a=1，得a ＝7，∴直线l 的方程为x 7+y 7=1，即x +y ﹣7＝0．综上所述，直线l 的方程是4x ﹣3y ＝0或x +y ﹣7＝0．19．（12分）在平面内，A （3，0），B （﹣1，0），C 为动点，若AC →⋅BC →=5． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l ：x ﹣y +3＝0与曲线C 交于M ，N ，求|MN |的长． 解：（1）设C （x ，y ），AC →=（x ﹣3，y ），BC →=（x +1，y ）， 所以AC →⋅BC →=（x ﹣3，y ）•（x +1，y ）＝（x ﹣3）（x +1）+y 2＝5， 所以x 2﹣2x +y 2﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，所以点C 的轨迹方程为（x ﹣1）2+y 2＝9．（2）由（1）可知点C 的轨迹为以P （1，0）为圆心，3为半径的圆， 若曲线C 截直线l 所得的弦长最小，则圆心P 到直线l 的距离最大， 又圆心P 到直线l 的距离为√2=2√2，所以由弦长公式可得弦长为|MN |=2√9−(2√2)2=2．20．（12分）已知双曲线C 的焦点坐标为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，实轴长为4． （1）求双曲线C 标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积． 解：（1）由条件c =√5，2a ＝4，∴b ＝1， 双曲线方程为x 24−y 2＝1，（2）．由双曲线定义|PF 1|﹣|PF 2|＝±4， ∵|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2＝20， ∴|PF 1|•|PF 2|＝2，∴△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|•|PF 2|=12×2＝1 21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33，求平面P AD 与平面BDE 的夹角的余弦值．证明：（1）∵四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ， 且∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ， ∴△BCD 为等边三角形， ∴AB ＝2BD ＝4，又四边形ABCD 为梯形，AB ∥DC ，则∠ABD ＝60°， 在△ABD 中，根据余弦定理可知：AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcos∠ABD =42+22−2×4×2×12=12， ∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ，∵AD ⊥PB ，PB ∩BD ＝B ，PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AD ⊥平面PBD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD ；解：（2）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，∠BCD ＝60°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，AD ⊥PB ，若PB ＝PD ，点E 满足PE →=2EC →，且三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√33， ∵O 为BD 中点，PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ， 由（1）可知，平面PBD ⊥平面ABCD ，又平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，利用面面垂直的性质定理， ∴PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则OC ⊥BD ，且OC ⊂平面ABCD ， 故PO ⊥OC ，PO ⊥BD ， ∴PO ，BD ，OC 两两垂直，以OB →为x 轴正方向，以OC →为y 轴正方向，以OP →为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A(−1，−2√3，0)，B(1，0，0)，C(0，√3，0)，D(−1，0，0)，设P （0，0，t ）且t ＞0，∵PE →=23PC →，则E(0，2√33，t3)，∵三棱锥E ﹣ABD 的体积为4√3313×12×2×2√3×t 3=4√33，∴t ＝6，∵PE →=23PC →，∴E(O ，2√33，2)，∴DE →=（1，2√33，2），DB →=（2，0，0），DP →=（1，0，6），DA →=2CO →=（0，﹣2√3，0），设平面P AD 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)， 则{m →⋅DP →=a +6c =0m →⋅DA →=−2√3b =0，取m →=(−6，0，1)，设平面BDE 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DB →=2x =0n →⋅DE →=x +2√33y +2z =0，取n →=(0，√3，−1)， ∴平面P AD 与平面BDE 的夹角余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=137×2=√3774．22．（12分）已知圆F 1：（x +1）2+y 2＝r 2与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝（4﹣r ）2（1≤r ≤3）的公共点的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP →⋅AQ →是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）设公共点为P ，则PF 1＝r ，PF 2＝4﹣r ， 所以PF 1+PF 2＝4＞F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a ＝4，所以a ＝2，又c ＝1，所以b 2＝3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)， 将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2 ＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2=7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP →⋅OQ →=0，故OP ⊥OQ ，综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP →⋅AQ →=−|AP →||AQ →|=−|OA →|2=−127．。

2023-2024学年广东省东莞实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省东莞实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．32．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．03．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√36．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．11258．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ）A．15B．25C．35D．45二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是410．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝011．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A（﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B，则|AB|＝．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A，B两点，且AB＝7，A到直线l的距离AA1＝3，B到直线l的距离B1B ＝4，A1B1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为．15．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣1＝0，则y﹣2x的最大值为．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l过点P（2，﹣1）．（1）若直线l与直线2x+y+3＝0垂直，求直线l的方程（2）若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC上的动点，且AE＝BF＝a．（1）求证：A1F⊥C1E；（2）当a＝1时，求点A到平面C1EF的距离．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．2023-2024学年广东省东莞实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过A （﹣1，3），B （1，9）两点的直线的一个方向向量为（1，k ），则k ＝（ ） A ．−13B ．13C ．﹣3D ．3 解：由点A （﹣1，3），B （1，9），可得直线AB 的斜率为k AB =9−31+1=3， 因为经过A ，B 两点的直线的一个方向向量为（1，k ），所以k ＝3． 故选：D ．2．若两条不同的直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣1或1D ．0解：因为直线l 1：（2a ﹣4）x ﹣2y ﹣2＝0与直线l 2：3x +（a +2）y +1＝0平行， 所以（2a ﹣4）（a +2）+6＝0，解得a ＝±1， 当a ＝1时，l 1：x +y +1＝0，l 2：x +y +13=0，两直线平行， 当a ＝﹣1时，l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合， 所以a ＝1． 故选：B ．3．已知a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），若a →，b →，c →三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：a →=（2，﹣1，3），b →=（﹣1，4，﹣2），c →=（1，3，λ），a →，b →，c →三向量共面，∴可设c →=ma →+nb →，即（1，3，λ）＝（2m ﹣n ，﹣m +4n ，3m ﹣2n ）， ∴{2m −n =1−m +4n =33m −2n =λ，解得m ＝1，n ＝1，λ＝1．∴实数λ等于1． 故选：A ．4．已知A （1，﹣2，1），B （1，﹣5，4），C （2，3，4），则AC →在AB →上的投影向量为（ ） A ．（0，﹣1，1）B ．（0，1，﹣1）C ．(0，√2，−√2)D ．(0，−√2，√2)解：因为AC →=(1，5，3)，AB →=(0，−3，3)， 所以AC →⋅AB →=0+5×(−3)+3×3=−6，因为|AB →|=3√2，所以AC →⋅AB →|AB →|=3√2=−√2，故AC →在AB →上的投影向量为√23√2→=−13AB →=(0，1，−1)．故选：B ．5．圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为（ ） A ．2B ．4C ．2√2D ．2√3解：化圆C ：x 2+y 2﹣2x +2y ﹣2＝0为（x ﹣1）2+（y +1）2＝4， 则圆心坐标为C （1，﹣1），半径为2， 点P （0，0）在圆C 内部，∵|PC |=√2，∴圆C 被过点P （0，0）的直线截得的最短弦长为2√22−(√2)2=2√2． 故选：C ．6．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，且对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ．若AB 和CD 所在直线的方程分别是3x +4y ﹣6＝0与3x +4y +9＝0，则直线l 与CD 所在直线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，对角线交于点E ，过点E 作与AB 所在直线的平行线l ，如图所示：计算AB 和CD 所在直线的距离为d =|−6−9|√3+4=3，因为△ABE ∽△CDE ，且CD ：AB ＝2：1，所以直线l 与CD 所在直线的距离为3×22+1=2． 故选：B ．7．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R ，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为R30，远地距离为R20，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为（ ）A ．15B ．2125C ．1120D ．1125解：根据题意：a −c =R +R 30，a +c =R +R 20，解得a =2524R ，c =1120R ，故离心率e =c a =1125． 故选：D ．8．在平面直角坐标系中，已知定点A （0，4），B （2，0），若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的最大值是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：以A （0，4），B （2，0）两点为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5， 设圆心为N ，所以N （1，2），半径为√5，若在圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m 上存在点P ，使得∠APB 为直角，则圆M 与圆N 有公共点， 又圆M ：x 2+y 2+2x +4y +5＝m ，所以M （﹣1，﹣2），半径为√m （m ＞0），所以MN ＝2√5，故|√m −√5|≤2√5≤√m +√5，解得5≤m ≤45， 所以m 的最大值为45， 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知M是椭圆C：x 28+y24=1上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率e=√22C．椭圆的短轴长为4D．△MF1F2的面积的最大值是4解：因椭圆方程为x28+y24=1，所以a=2√2，b=2，c=2，所以椭圆的焦距为2c＝4，离心率e=ca=√22，短轴长为2b＝4，故A错误，B，C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，△MF1F2以F1F2为底时的高最大，为2，此时△MF1F2的面积取最大为12×2c×b=12×2×2×2=4，故正确．故选：BCD．10．已知直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，则直线方程可以为（）A．x+y＝0B．x+y﹣5＝0C．3x﹣2y＝0D．3x+2y＝0解：直线l过原点，且A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，斜率必存在，故设所求直线的方程为kx﹣y＝0，∵A（1，4），B（3，2）两点到直线l的距离相等，∴√1+k2=√1+k2，解得k＝﹣1或k=32，故所求直线方程为x+y＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（）A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°解：如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1⊂平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin∠C1BO=OC1BC1=12，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角为45°，故D正确．故选：ABD．12．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y+2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线P A、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（）A．四边形MAPB面积的最小值为4B．四边形MAPB面积的最大值为8C．当∠APB最大时，|PA|=2√2D．当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y＝0解：如图所示：由圆的几何性质可得MA⊥P A，MB⊥PB，由切线长定理可得|P A|＝|PB|，又因为|MA|＝|MB|，|MP|＝|MP|，所以，△P AM△PBM，所以，SÛ1bMAPB＝2S△P AM＝|P A|•|AM|＝2|P A|，因为|PA|=√|MP|2−|MA|2=√|MP|2−4，当MP⊥l时，|MP|取最小值，且|MP|min=|1+1+2|2=2√2，所以，四边形MAPB的面积的最小值为2×√(2√2)2−4=4，A对；因为|MP|无最大值，即|P A|无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B错；因为∠APM为锐角，∠APB＝2∠APM，且sin∠APM=|AM||MP|=2|MP|，故当|MP |最小时，∠APM 最大，此时∠APB 最大，此时|P A |＝2，C 错； 由上可知，当∠APB 最大时，|P A |＝|PB |＝|MA |＝|MB |＝2且∠P AM ＝90°， 故四边形MAPB 为正方形，且有MP ⊥l ，则MP 的方程为y ＝x ， 联立{y =x x +y +2=0，可得{x =−1y =−1，即点P （﹣1，﹣1），由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点O （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝﹣x ，D 对． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点为点B ，则|AB |＝ 2√6 ． 解：空间直角坐标系中，点A （﹣1，1，﹣2）关于原点的对称点B （1，﹣1，2）， 则B ，A 间的距离为|BC |＝2√1+1+4=2√6． 故答案为：2√6．14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l ，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A ，B 两点，且AB ＝7，A 到直线l 的距离AA 1＝3，B 到直线l 的距离B 1B ＝4，A 1B 1=2√3，则斜坡面β与水平面α所成角的大小为2π3．解：设AA 1→与B 1B →的夹角为θ，因为AB →=AA 1→+A 1B 1→+B 1B →，AA 1→⋅A 1B 1→=A 1B 1→⋅B 1B →=0，所以AB →2=(AA 1→+A 1B 1→+B 1B →)2=AA 1→2+A 1B 1→2+B 1B →2+2AA 1→⋅B 1B →+2AA 1→⋅A 1B 1→+2A 1B 1→⋅B 1B →， 即49＝9+12+16+2×3×4cos θ，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，所以斜坡面β与水平面α所成的角为2π3．故答案为：2π3．15．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0，则y ﹣2x 的最大值为 1 ． 解：方程x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0化为（x ﹣2）2+y 2＝5， 则方程表示以（2，0）为圆心，√5为半径的圆， 令t ＝y ﹣2x ，则2x ﹣y +t ＝0，由题意可得直线2x﹣y+t＝0与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0有交点，则圆心（2，0）到直线2x﹣y+t＝0的距离√4+1≤√5，解得﹣9≤t≤1，所以y﹣2x的最大值为1．故答案为：1．16．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，则下列结论正确的是①③④．（填写序号）①曲线C围成的图形的周长是4√2π；②曲线C上的任意两点间的距离不超过4；③曲线C围成的图形的面积是4（π+2）；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|4m﹣3n﹣17|的最小值是10﹣5√2．解：由x2+y2＝2|x|+2|y|，当x≥0，y≥0时，x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（1，1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y≥0时，x2+y2＝﹣2x+2y，即（x+1）2+（y﹣1）2＝2，表示圆心为（﹣1，1），半径r=√2的半圆；当x≥0，y＜0时，x2+y2＝2x﹣2y，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（1，﹣1），半径r=√2的半圆；当x＜0，y＜0时，x2+y2＝﹣2x﹣2y，即（x+1）2+（y+1）2＝2，表示圆心为（﹣1，﹣1），半径r=√2的半圆．曲线C：x2+y2＝2|x|+2|y|的图象如下图所示：由图象可知，曲线C由4个半圆组成，故其周长为2×2π×r=4√2π，围成的图形的面积为4×12π×(√2)2+(2√2)2=4π+8=4(π+2)，故①正确、③正确；曲线C上的任意两点间的最大距离为4r=4√2，故②错误；P（m，n）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离d2=√4+3=|4m−3n−17|5，圆心（1，﹣1）到直线4x﹣3y﹣17＝0的距离为d1=|4+3−17|√4+3=2，若使d 2最小，则有(d 2)min =d 1−r =2−√2，所以|4m −3n −17|min =10−5√2，故④正确．故答案为：①③④．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l 过点P （2，﹣1）．（1）若直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．解：（1）因为直线l 与直线2x +y +3＝0垂直，所以可设直线l 的方程为x ﹣2y +m ＝0，因为直线l 过点P （2，﹣1），所以2﹣2×（﹣1）+m ＝0，解得m ＝﹣4，所以直线l 的方程为x ﹣2y ﹣4＝0（2）当直线l 过原点时，直线l 的方程是y =−x 2，即x +2y ＝0． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x ﹣y ＝a ，把点P （2，﹣1）代入方程得a ＝3，所以直线l 的方程是x ﹣y ﹣3＝0．综上，所求直线l 的方程为x +2y ＝0或x ﹣y ﹣3＝018．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ＝a ．（1）求证：A 1F ⊥C 1E ；（2）当a ＝1时，求点A 到平面C 1EF 的距离．（1）证明：如图，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，AE ＝BF ＝a ，（0≤a ≤2），则A 1（2，0，2），F （2﹣a ，2，0），C 1（0，2，2），E （2，a ，0），∴A 1F →=（﹣a ，2，﹣2），C 1E →=（2，a ﹣2，﹣2），∴A 1F →⋅C 1E →=−2a +2a ﹣4+4＝0，∴A1F⊥C1E；（2）解：∵a＝1，∴E为AB的中点，∴A与B到平面C1EF的距离相等，V C1−EBF =13×12×1×1×2=13，EF=√2，C1F=√5，C1E=√12+22+22=3，∴cos∠C1FE=2+5−92×√2×√5=−√1010，则sin∠C1FE=√1−(−√1010)2=3√1010，∴S△C1FE =12×√2×√5×3√1010=32，设点B到平面C1EF的距离为h，∴13×32ℎ=13，解得h=23，即点A到平面C1EF的距离为23．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点，|F1F2|＝2，M(2，2√55)为C上一点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P为C上一点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解：（1）不妨设椭圆C的焦距为2c，因为|F1F2|＝2，所以c＝1，此时F1（﹣1，0），F2（1，0），因为M(2，2√55)为C上一点，所以|MF1|=√9+45=7√55，|MF2|=√1+45=3√55，因为|MF1|+|MF2|＝2a，解得a=√5，此时b=√5−1=2，则椭圆C的标准方程为x25+y24=1；（2）因为∠F2PF1＝30°，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−√3|PF1||PF2|，由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=2√5，对等式两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=20，即22+√3|PF1||PF2|+2|PF1|⋅|PF2|=20，解得|PF1|⋅|PF2|=16(2−√3)，故△F1PF2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|sin30°=4(2−√3)20．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x﹣4＝0与圆C2：x2+y2+6y﹣28＝0．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x﹣y﹣4＝0上的圆的方程．解：（1）将两圆的方程相减可得公共弦方程：x2+y2+6x﹣4﹣（x2+y2+6y﹣28）＝0即x﹣y+4＝0；（2）设圆的方程：x2+y2+6x﹣4+λ（x2+y2+6y﹣28）＝0，其圆心坐标为（−31+λ，−3λ1+λ）代入直线x﹣y﹣4＝0，解得λ＝﹣7所以所求方程为x2+y2﹣x+7y﹣32＝0．21．（12分）已知圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0（m∈R）．（1）求m的值，使圆C的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（1，﹣2）的直线方程．解：（1）∵圆C的方程为x2+y2﹣2mx﹣4y+6m﹣9＝0，∴该圆的半径r=12√4m2+16−4(6m−9)=√(m−3)2+4，要使圆C的周长最小，其半径最小，故当m＝3时，圆的半径最小，即其周长最小．（2）当m＝3时，该圆圆心为（3，2），r=√4=2，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，该直线与圆相切，当直线l的斜率存在时，设直线方程为y+2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2＝0，∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离为半径r，即√k2+1=2，解得k=34，即直线方程为3x﹣4y﹣11＝0，综上所述，所求的直线方程为x＝1或3x﹣4y﹣11＝0．22．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．解：（1）证明：过P 在平面P AD 内作直线l ∥AD ，由AD ∥BC ，可得l ∥BC ，即l 为平面P AD 和平面PBC 的交线，∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又BC ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，设平面PCD 中有任一直线l ′，则BC ⊥直线l ′，∵l ∥BC ，∴l ⊥直线l ′，∴由线面垂直的定义得l ⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz则D （0，0，0），A （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，1），B （1，1，0），设Q （m ，0，1），DQ →=（m ，0，1），PB →=（1，1，﹣1），DC →=（0，1，0），设平面QCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅DC →=0n →⋅DQ →=0，∴{b =0am +c =0，取a ＝﹣1，可得n →=（﹣1，0，m ）， ∴cos ＜n →，PB →＞=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=√3⋅√1+m 2，∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值为√3⋅√1+m 2=√33•√1+2m+m 21+m 2 =√33•√1+2m 1+m 2≤√33•√1+22=√63，当且仅当m ＝1取等号， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广东二师附中2012学年第一学期高二期中测试文科数学(问卷)说明：1、本试卷共20题，共6页，全卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2、考生在答卷前，请填写好装订线内姓名、学号等栏目。

3、请用蓝（黑）墨水钢笔（或圆珠笔）作答。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分，共10题，满分50分）1、已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则=N M C u )(( ) A ．{ 3 } B ．{ 2 } C ．{ 2，3，4 } D ．{0，1，2，3，4}2、函数1lg )(-=x xx f 的定义域是 ( )A ．[0，+∞)B ．(0,+∞)C ．),1()1,0[+∞⋃D ．),1()1,0(+∞⋃ 3、已知x ，y 之间的一组数据如下表，则y 与x 的线性回归方程y=a+bx 必经过点( )A ．（2，2）B ．（1.5，0）C ．（1.5，4）D ．（1，2）4、先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为( ) A ．18B ．38C ． 58D ．785、“2>x ”是“0)2)(1(>-+x x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、给出系列函数①3x x y -=，②x x x y cos sin +=，③x x y cos sin =，④xxy -+=22，其中是偶函数的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 7、右边的框图的功能是计算表达式210111222+++的值，则在①、②两处应填入（ ）A ．0 10n n =≤和B ． 1 10n n =≤和C ．0 10n n =<和D ． 1 10n n =<和8、从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个黒球与都是黒球B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球9、函数3()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 10、给出以下三个命题：①若0≤ab ，则0≤a 或0≤b ；②在∆ABC 中，若B A sin sin =，则B A =； ③在一元二次方程02=++c bx ax 中，若042<-ac b ，则方程有．实数根。

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题．．．．．．的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．②③二．填空题 （每小题5分，共4题，满分20分）11、命题“09322<+-∈∃ax x R x ,”的否定为 ；12、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下根据上图可得这100名学生中体重在).,.[564556的学生人数是13、已知函数⎩⎨⎧=-,log ,2)(81x x f x )2()2(>≤x x 则满足41)(=x f 的x 值为 。

14、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是三．填空题 （共6题，满分80分）15、（12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？16、(12分)已知命题p ：关于x 的方程0422=++ax x 无实数解；命题q ：函数x 23)()(a x f -=是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围。

17、（14(1)(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． (3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.参考公式：回归直线的方程是：a bx y+=ˆ， 其中i i n i ini iix yx b y a xn xy x n yx b 是与其中ˆ;,)1221-=--=∑∑==对应的回归估计值.18、（14分）在参加世界杯足球赛的32支球队中，随机抽取20名队员，调查其年龄为25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，2224，25，26，28。

（1）填写下面的频率分布表； （2）并画出频率分布直方图；（3）现在要在这20名队员中，年龄符合20至24岁的，再选取2名队员参加访谈，求这2名队员年龄是23或24岁的概率。

19、（14分）已知关于x 的方程0222=++b ax x（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；20、（14分）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]1,1[-上有零点，求a 的取值范围。

广东二师附中2012学年第一学期高二期中测试文科数学（答题纸）一、选择题（每小题5分，共50分）（答案填涂在答题卡）二、填空题（每小题5分，共20分）11 1213 14三、解答题（共80分）班级 考号 座位号 姓名 . …………………………………………广东二师附中2012学年第一学期高二期中测试文科数学答案1-5 ADCDA 6-10 BCDBB11、 2,2390x R x ax ∀∈-+≥ 12、40 13、2或3 14、3115、解： 74)7090708060(51=++++=甲x ……2分73)7580706080(51=++++=乙x……4分104416461451222222=++++=）（甲s ……8分 5627313751222222=++++=）（乙s …………10分∵ 22乙甲乙甲，s s x x >> …………11分 ∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡 …………12分16、解：由于关于x 的方程0422=++ax x 无解故2201642<<-∴<-=∆a a ,………………………………………………3分 又因为x a x f )()(23-=是增函数，所以23023<∴>-a a ,………………6分又由于q p ∨为真，q p ∧为假，可知p 和q 一真一假……………………7分 （1）若p 真q 假，则2232322<≤∴⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-a a a ,……………………………9分 （2）若p 假q 真，则22322-≤∴⎪⎩⎪⎨⎧<≥-≤a a a a ,或……………………………11分 综上可知，实数a 的取值范围为2223-≤<≤a a 或………………………12分17．解：（1）略……………3分（五个点中，有错的，不能得2分，有两个或两个以上对的，至少得1分）两个变量符合正相关 ……………4分（2）设回归直线的方程是：a bx y+=ˆ，;4.3 ,6 ==y x ……………6分∴91196.136.01)4.0()1()4.1(3)())((121+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-=---=∑∑==ni i ni i ix x y y x xb 212010==……………10分4.0=a∴y 对销售额x 的回归直线方程为：4.05.0+=x y ……………12分 （3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：4.045.0ˆ+⨯=y＝2.4(百万元) ………14分(1)18解：……3分(2)……7分（3）年龄符合20至24岁的队员共有5人，设20至22岁的队员为1、2，22至24岁的队员为a 、b 、c ，再选取2名队员参加访谈可能出现的结果有20种，分别为:合计201(1)设事件A 为“被抽取的2名队员年龄是23或24岁”，则事件A 包含的基本事件有6个，分别为： （b ，a ）、（c ，a ）、（a ，b ）、（c ，b ）、（a ，c ）、（b ，c ）……12分 103206)(==∴A P …………………………………………………13分答：被抽取的2名队员年龄是23或24岁的概率为103………14分19、解:设事件A 为“方程0222=++b ax x 有实根”，当0,0≥≥b a 时，方程0222=++b ax x 有实根的充要条件为04422≥-=∆b a ，即b a ≥……………2分（1）基本事件共12个：（0,0），（0,1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值 ……………4分 事件A 中包括9个基本事件， ………6分 事件A 发生的概率为43129)(==A P ……………8分（2）试验的全部结果所构成的区域为}20,30|),{(≤≤≤≤b a b a ， …………9分 构成事件A 的区域为},20,30|),{(b a b a b a ≥≤≤≤≤， …… …10分如图为阴影部分： 所以所求的概率为3223221232=⨯⨯-⨯ ………12分………14分20、。

相关文档
最新文档