反比例函数K的几何意义最新版本ppt课件

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反比例函数中K的几何意义课件

总结词
k值决定了反比例函数图像的形状和位置。
详细描述
在反比例函数y=k/x中，k值决定了图像的形状和位置。当k>0时，图像出现在第一象限和第三象限；当k<0时，图像出现在第二象限和第四象限。
k的正负与图像的位置
总结词
k的正负决定了图像所在的象限。
详细描述
当k>0时，图像分布在第一象限和第三象限；当k<0时，图像分布在第二象限和第四象限。
拓展反比例函数的应用领域
随着科学技术的发展，反比例函数的应用领域也在不断扩大。未来我们可以尝试将反比例函数应用于其他领域，如经济学、生物学等，以解决实际问题。
探索与其他数学知识的联系
反比例函数作为数学中的一个重要概念，与其他数学知识有着密切的联系。未来我们可以进一步探索反比例函数与其他数学知识之间的联系，以促进数学学科的发展。
k值对反比例函数图像的影响
随着k值的增大或减小，反比例函数的图像会向内或
反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，如电流与电阻、电容与电压
等物理量之间的关系可以用反比例函数来描述。
对反比例函数的研究展望
深入探究反比例函数的性质
尽管我们已经对反比例函数的性质有了一定的了解，但仍有许多未知的性质等待我们去发现和研究。例如，反比例函数的极限行为、奇偶性等性质。
反比例函数的性质
反比例函数具有以下性质：当 x 增大时，y 值会减小；当 x 减小时，y 值会增大。这是因为 xy =
k 的关系。
在图像上，反比例函数的两个分支在 x 轴和 y 轴上分别趋于无穷
大和无穷小。
反比例函数在坐标系中的图像是不闭合的，且无限接近于坐标轴
。
Part
02

《反比例函数的应用与k的几何意义》PPT课件

解：当 30≤x≤60 时， w＝－0.1x2＋10x－210＝－0.1(x－50)2＋40， ∴当 x＝50 时，w 取得最大值，为 40；当 60＜x≤80 时，w＝－2 4x00＋70， ∵－2 400＜0，∴w 随 x 的增大而增大，
能力提升练
∴当 x＝80 时，w 取得最大值，为 40. 故销售价格定为 50 元/件或 80 元/件时，获得的纯利润最大，最大纯利润是 40 百元．
能力提升练将(7，100)代入 y＝kx得 k＝700，∴y＝70x0. 将 y＝30 代入 y＝70x0，解得 x＝730， ∴y＝70x0(7＜x≤730 )．令 y＝50，解得 x＝14.
∴饮水机的一个循环周期为730min.每一个循环周期内，在 0≤x≤2 及 14≤x≤730时间段内，水温不超过 50℃.
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！四、提醒类
素养核心练 10．[中考·呼伦贝尔]某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年
动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克/毫升)与服药时间 x(小时)之间的函数关系如图所示(当 4≤x≤10 时，y 与 x 成反比例)． (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数表达式；
沪科版九年级上
第21章二次函数与反比例函数
第5节反比例函数第3课时反比例函数的应用与k的几
何意义

《反比例函数》课件

S△四边形CAED= S△OBE ，△ABE 为公共
部分，S梯形CABD= S△ABO .
y
A
C
D
O
B
E
x
重难剖析重难点4：反比例函数的实际应用
病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，
每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药
后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与
1
D.
3
2. 若 y a 1 x
A. 1
B. －1
a2 2
是反比例函数，则 a 的值为 ( A )
C. ±1
a+1≠0
a2-2=-1
a=1
D. 任意实数
重难剖析重难点2：反比例函数的图象和性质
已知点 A(1，y1),B(2，y2),C(-3，y3) 都在反比例函数
6

= 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是( D )
比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例
系数．
k
三种表达方法：y 或 xy=k 或 y=kx－1(k≠0)．
x
注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
2.反比例函数的图象和性质
k
（1）反比例函数的图象：反比例函数 y (k≠0)的
x
图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
重难剖析重难点5：反比例函数的综合应用
1
2
如图,已知 A (－4, ),B (－1,2) 是一次函数y =kx+b 与反

比例函数 = (m＜0)图象的两个交点,AC⊥x 轴于点

人教版数学九年级下册26.1.1反比例函数中K的几何意义课件

，求$k$的值。
利用K值解决实际问题
例题3：某工厂生产A、B两种配套产品，其中每天生产$x$吨A产品，需生产 $y$吨B产品。已知生产A产品的成本与产量的平方成正比。经测算，生产1吨 A产品需要4万元，而B产品的成本为每
吨8万元。求
(1)生产A、B两种配套产品的平均成本的最小值；
(2)若原料供应商对这种小型工厂供货办法使得该工厂每天生产A产品的产量 $x$在$0 < x leqslant 2$的范围内，那么在这种情况下，该工厂应生产A产
当$K < 0$时，距离公式同样适用，只是图像位于第二、四象限。
K值与角度关系
对于反比例函数图像上任意一点，其与原点连线的倾斜角$theta$与该点的横坐标$x$和纵坐标$y$满足关系：$tantheta = frac{y}{x} = frac{K}{x^2}$。
当$K > 0$时，$theta$为锐角或直角；当$K < 0$时，$theta$为钝角或直角。
随着$|K|$的增大，倾斜角$theta$也逐渐增大，但始终不会超过直角。
05
典型例题解析
求反比例函数中K值
01
例题1
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $A(2,3)$，求$k$的值。
02
例题2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $B(m,n)$和$C(p,q)$，且$mn = 6$，$pq = 8$
06
课堂小结与拓展延伸
课堂小结
反比例函数$y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）中，比例系数$k$的几何意义：过双曲线上任意一点引 $x$轴、$y$轴垂线，所得矩形面
积为$|k|$。

反比例函数中k的几何意义-优质课公开课课件一等奖

坐标轴围成的矩形的面积，发现，无论图像
上的点如何移动，矩形的面积却始终不变，
且刚好为。接着，我们发现双曲线上的点
||
与坐标轴围成的三角形的面积始终为，可
2
见值常常与图形的面积相联系。
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PPT素材：/sucai/
PPT背景：/beijing/
3
相交于、两

点，过作 ⊥ 轴，过作 ⊥ 轴，则
图中阴影部分的面积为（）
A、2
B、3
C、4
D、6
3

点和点都在反比例函数 = 的图像上
⊥ 轴， ⊥ 轴
△ = △
3
=
2
阴影部分的面积就是两个三角形面积之和，为3
正确答案是选项B。
我们通过探究反比例函数图像上的点与
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PPT图表：/tubiao/
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数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/yingyu/
美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexue/
物理课件：/kejian/wuli/
PPT图表：/tubiao/
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A、2
B、4
C、6
D、8
两个矩形的面积相等，且都为比例系数4。
1 = 矩形 − 阴影矩形 = 4 − 1 = 3
2 = 矩形 − 阴影矩形 = 4 − 1 = 3

反比例函数中K的几何意义上课ppt课件

别向x轴、y轴作垂线
⑴若P的坐标是（-1,3）则PM=__3__,PN=_1___
⑵若F的坐标是（0.5，-6），则FB=_6___,FA=_0_.5__
⑶若P的坐标是（x，y），则PM=__y__,PN=__x__ y
P
N
B
x
M0
平面直角坐标系内任意一点P(x,y)
.
AF
P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即是 y
1
1.理解并掌握反比例函数中 ∣K∣的几何意义； 2.能灵活运用∣K∣的几何意义求图形面积； 3.能根据图形面积求出K值
2
概念回顾
定义
形如__y_＝__kx___(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数
关系式
防错提醒
y k 或y＝kx－1或xy＝k(k≠0) x
(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0
5 2
B
D
x
14
变式练习

y 6
已知：如图,反比例函数
与x一次函数
y=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.
（1）求这个一次函数的解析式（2）求△AOB的面积.
解
:
(2)
y

6 x
,
y x 1.
解得xy

3,2或xy

2, 3.
A(2,3),B(3,2).
为什么？数缺形时少直觉，形少数时难入微．
21
反比例函数 y kx上一点P（x0，y0），过点P 分别作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、
B，则矩形AOBP的面积为 k ；
且S△AOP= S△BOP = k

《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件

随着x的增大或减小，曲线会逐渐靠近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
曲线形状
图像是由两支分别位于第一和第三象限的曲线组成，这两支曲线关于原点对称。
k<0时图像特征
1 2
图像位于第二、四象限
当k<0时，反比例函数的图像会出现在第二和第四象限。
曲线形状
图像同样是由两支分别位于第二和第四象限的曲线组成，这两支曲线也关于原点对称。
图像的性质。
总结
反比例函数的图像性质与 $k$ 的正负有关。当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$
时，图像位于第二、四象限。
涉及综合应用问题
01
例题5
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图像与一次函数 $y = ax + b$ 的
图像交于点 $M(2,1)$ 和 $N(-1,-2)$，求这两个函数的解析式。
反比例函数的极限与连续性问题
讨论反比例函数在特定点的极限行为，以及在定义域内的连续性。
反比例函数与其他函数的复合问题
研究反比例函数与其他基本函数（如幂函数、三角函数等）的复合性质及图像特征。
THANK YOU
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
反比例函数图像的基本性质
反比例函数图像为双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
k的几何意义
k的绝对值表示双曲线与坐标轴所围成的矩形的面积。当k>0时，矩形在第一象限；当 k<0时，矩形在第二象限。
反比例函数图像的对称性
通过中心对称性，我们可以更好地理解反比例函数的性质和行为，以及它在解决实际问题中的应

反比例函数函数K的几何意义ppt课件

的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4。则 S1+S2+S3+S4= _____2___
21
变式三：
已知：如图，正比例函数 y ax 的图象与反比例函数 y
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

k x
的图象交于点A(3，2)
（2）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点D．当四边形 OADM的面积为6时，请判断线段BM与 DM 的大小关系，并说明理由．
E
B
D
F
F
O
MM
A
15
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE= S△OAD= ，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点， ∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则 + +9=4可解得：k=3．
∵OC=3
∴OB=4
即n=4
∴m=
∴MB=，MD=3﹣ = ∴MB=MD
22
E
• ∴AE⊥y轴，
• ∴四边形AEOD是矩形，
• ∵点A在双曲线上，
• ∴S矩形AEOD=4， • 同理S矩形OCBE=k， • ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE－S矩形AEOD=k－4=8， • ∴k=12．
4
变式练习：
（1）（2013娄底中考数学）已知：如图，点M是反比例函数（x>0)的图象上任意一点，MN丄y
16
（四）：课堂小结
★数学思想方法：数形结合、转化思想、整体应用
★解题方法：运用K的几何意义、割补法解面积问题学会找到复杂图形中的基本图形

《反比例函数》课件PPT

教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

课时与时间教师活动学生活动◇资源准备□评价○反思第二课时15 创设情境温旧引新5′应用迁移巩固提高20′依托“面积”加深理解15′反思小结观点提炼5′布置作业问题：已知点（5，2）在反比例函数 y= 的图象上，判断点（- 5，- 2）是否也在此图象上.题中的“？”是被一名同学不小心擦掉的数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题.例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6），（1）这个函数的图象分布在哪个象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4）、C（- 2，- 4）和D（2，5）是否在这个函数的图像上？例2如图是反比例函数y= 的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在图中的图象上取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a＞a′，那么b和b′有怎样的大小关系？巩固练习：教材45页第1、2题.过图象上任意一点作坐标轴的垂线段，与坐标轴构成的长方形的面积S=| k|.反比例函数的性质运用的注意点：1）k的符号决定图象所在象限，反之，图象所在象限决定k的符号.2）在每一个象限内，y随x的变化情况，在不同象限切忌使用.3）从反比例函数的图象上任一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积等于| k|.4）要注意发挥图象的作用.习题17.1第7、9题学生思考后解答小组合作、探究学生独立完成学生归纳，教师引导并补充△好奇心能生发求知欲.使学生在宽松的环境中彼此分享成功的喜悦.△使学生养成团结协作的意识.△巩固所学知识.△培养学生的归纳能力.教学设计总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

反比例函数的图象与性质-ppt课件

方 ■ 方法：利用数形结合思想解决反比例函数与几何的综
法
技合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=

（k

为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质

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第二十六章反比例函数
26.1.2反比例函数的图象和性质3
内容：反比例函数中“k”的几何意义与面积相关联的题目分析
商丘外国语中学陈电亮 .
反比例函数中“k”的几何意义
如图，是 y 的6 图象，点P是图象上的一个动点. 1、若P(1，y)x，则矩形OAPB的面积＝6 _________
2想、一若想P(：3，若yP)(，x，则y矩)，形则OA矩P形BO的A面P积B的＝6 面__积__＝6_________ 3、若P(5，y)，则矩形OAPB的面积＝6 _________
N,延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,∆AOC的面
积为6，则k的值为 4 .
y
A B
o
M. N C
x
6,如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 y 4 和y 2 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意x 一点，x连接
AC、BC，则∆ABC的面积为（ A ）
P(m,n)
oA
x
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足
分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的. .
1.如图，A,B是双曲线轴、y轴作垂线段，若
yS阴 3x 上影 1 的，点，S 分1则别S 经2过A,4B两点向. X
y y
A
C S1 H
B
o
D
o
S2 பைடு நூலகம்F
xx
,有 :
x
(2)过 P 作 x轴的垂线 ,垂足为 A ,则
S OyA 1 2 POA A P 1 2|m |•|n|1 2|k|
y
P(m,n)
P(m,n)
oA x
oA
x
过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的
三角形的面积是不变的. .
5）.如的图图，象点上A，、过B在点反A、比B例作函x轴数的y垂线，kx（垂k足＞分0，别x为＞M0、
y 2 x
B. 3 C. 4
B
E
A
D. 5
C
oD
x
.
8,双曲线y1 ,y2在第一象限的图象如图所示.已知y1﹦—x1 , 过y1上的任意一点A作X轴的平行线交y2与点B，交y轴于点C.若S△AOB=1, 则y2的解析式是＿y＿2= .—3x y
A
B
C
y2
y1
O
x
.
面积性质（三）
(3)设 P(m,n)关于原点的对称点是 P(m,n),
过 P作 x轴的垂线与过 P作 y轴的垂线交于 A点 ,则
SΔ PAP2 1|APAP|2 1|2m||2n|2|k|(如图所示 ).
y
Oo
P’/ (-m,-n)
P(m,n)
x
A
.
9、如图，A、B是函数 y
1
x 的图象上关于原
点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行
于x轴，∆ABC的面积为S，则 C .
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
A
oo x
C
B
.
10,如图，在反比例函数
y
2 x （x>0)的图象上，有点P1、P2、
P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作
x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次
为 S1，S2，S3 ，则 3
y
S1S2 S3 2 ．
y
2 x （x>0)
思考：1.你能求出S2和S3的值吗？
2.S1呢？ O
.
P1
P2
P3
P4
x 1 23 4
总结提高性质：反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线，围成的矩形或三角形的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合
.
.
.
2、在双曲线 y k (X>0)上
任一点分别作x轴、xy轴的垂线段， y
与x轴y轴围成矩形面积为12，求函
数解析式__y__ _1_x2__或__y
12 x
O
x
.
3.如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、 Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1 ____=S2.
y
P
∟
A s1
Q
BE
∟
s2
∟
O CD
x
.
4.如图，点A在双曲线 y = —1 上，点B在双曲线y= —3X 上，且AB∥X轴X ，C、D在X 轴上,若四边形ABCD为长方形，则它的面积为＿2＿.
y
EA B
OD C
x
.
面积性质（二）
设 P (m ,n )是双曲线
y=
k (k ≠
0 )上任意一点
A. 3
B. 4 C. 5 D. 6
y4 x
yy= y= y 2 x
AP B
Co
.
x
7任,如意图一，点点，AA是B∥反x比轴例交函反数比例y 函2x数(x＞y 0)的3 的图图象象上于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，x 其中
C、D在轴上，则S平行四边形ABCD为（ D ）
A. 2
y3 y x
y P(1,y)
B
BB
OA
P(3,y) P(5,y)
A Ax
.
面积性质（一）
设 P ( m , n )是双曲线 y k ( k 0 ) 上任意一点 , 有 : x
（1）过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B,
则: S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B