第13讲平面应力问题的近似性

§6.4 平面应力问题的近似性

学习思路:

对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。

应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。

对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。

学习要点：

1. 平面应变与平面应力问题；

2. 平面应力问题与基本方程；

3. 平面应力问题的误差；

对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。

因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。

下表列出了两种平面问题的主要差别。

上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。

虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。

由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，

变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求

这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要

求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。

由于平面应力问题εz≠0，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，εz很小，可以认为εz近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。

对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。

假如重新假定应力分量σx，σy，τxy是x，y，z的函数，应力分量σz，τxz 和τyz仍然等于零，则可以选取新的应力函数

求解平面应力问题。如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数ψ(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。

显然，新的应力函数ψ(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。

根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。

对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。

§6.5 应力函数的物理意义及边界条件表示

学习思路:

边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。

将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。

分析表明：边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y 轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，它能够帮助我们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。

学习要点：

1. 应力函数与面力边界条件；

2. 应力函数的偏导数与边界条件；

3. 应力函数与边界条件；

4. 应力函数性质

在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。

本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点的的物理意义。

对于平面物体，如果应力分量满足面力边界条件，则边界应力函数满足

设A为边界上任一定点，而B为边界上任一动点,如图所示。

边界上由A到B为正方向，也就是说物体在d s的左侧，边界法线方向余弦为

因此边界条件可以表示为

对于上述应力函数表达公式从定点A到动点B作积分，可得

由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响的。所以可以适当的选取a，b，c，使得应力函数(x，y)的一阶偏导数

在定点A的值为零。

因此，上述公式可以简化为

另外，根据应力函数的全微分

对上式从定点A到动点B作分部积分，则

积分并将应力函数边界条件公式代入上式，则

整理并且将公式代入，可得

由于在应力函数中增加或减少一个线性项ax+by+c，对于所求应力是没有影响

的。所以我们适当的选取a，b，c，使应力函数(x,y)在定点的值为零。因此上式可以简化为

另外

显然，上述公式的第一式表示由定点A到动点B边界上的面力对B点的合力矩，而第二和第三式分别表示由A到B边界面力的合力沿x，y轴的投影。

因此可以得出以下结论，边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合

力在x轴和y轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，将可帮助我们在逆解法中确定应力函数的基本形式。

上述公式也是应力函数表达的面力边界条件，和面力边界条件比较，三个公式中只有两个是独立的。

§6.6 逆解法与多项式应力函数

学习思路:

弹性力学问题的求解归结为在给定边界条件下求解双调和方程。由于偏微分方程的求解是相当困难的，因此使用逆解法求解。

逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。

逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。

学习要点：

1. 逆解法与线性应力函数；

2. 二次和三次应力函数与边界条件；

3. 四次应力函数与边界应力条件；

平面问题的求解方法，归结为给定边界条件下求解双调和方程。偏微分方程的求解是相当困难的，对于某些矩形平面物体，可以使用逆解法求解。

逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。

逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。

1．一次多项式

(x,y)=ax+by+c