按应力求解平面问题

（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
（1）对位移边界问题，不易按应 力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
将 上式整理得：
2 f x f y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 ) （2）平面应变情形 将 上式中的泊松比μ代为： 1 ， 得
（2-23）
应力表示的相容方程 （平面应力情形）
2
2 y
2 xy
其中
x 0, 2 y
2
2 y x
2
0
2 xy xy
0
所以满足相容方程 ，符合连续条件。
解答：
（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为
E E 3 x ( ) ( Axy By ) x y 2 2 1 1 E E 3 y ( ) ( Axy By ) y x 2 2 1 1
u x x
将
v y y
v u xy x y
x对y偏导数两次， 将 y 对x偏导数两次， 将 xy 分别对x和y偏导数两次
x 3u 3v 3u u v 2 2 2 2 y x xy yx xy y x
xy G xyG (C Dy 2 )
（3）平衡微分方程
解答：
（3）平衡微分方程
其中
x EA y, 2 x 1 xy yx 0, 2GDy x y
x yx fx 0 x y y xy fy 0 y x y E 3 ( Ax 3 By ) 2 y 1
（1） x
3xy 3xy 0
2 2
x
y
y y 0
3 3
2 2
—— 满足
3 y 2 3x 2 3 y 2 0
∴ 式（a）不是一组可能 的应力场。
将式（a）代入相容方程：
x 2 y 2 ( x y ) 0
因此，对于多连通物体，应变分量满足应变协调方程，只 是物体连续的必要条件,只有加上补充条件,条件才是充分的。
2. 变形协调方程的应力表示
（1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得：
2 2 ( x y ) 2 ( y x ) 2 y x 2(1 )
例 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它
们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 x y , y y , xy xy3 ; 2 4 2 2 2 （2） x C ( x y ), y Cy , xy 2Cxy; 解 （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程：
2 xy
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
2 2 y f x f y x ( x y ) 2 ( y x ) (1 ) 2 2 2 y x y x y x 2 2
2
2 y
平面应力问题
变形协调方程或相容方程(Saint-Venant)——
x 2 2 y x xy
2
2 y
2 xy
应变分量 ， ， x , y , xy 必须满足这个方程, 才能保证 位移分量
u和 v
y 和 xy 的存在。如果任意选取函数 x ，
（1） x
（ a） （ b）
x 2 2 y x xy 2 x 2 xy 2 y 2C 2C 0 2 2 y xy x
2
2 y
2 xy
x 2 2C 2C 0 2 y x xy
2
2 y
而不能满足这个方程, 那么, 由三个几何方程中的任何两个 求出的位移分量, 将与第三个几何方程不能相容。这就表示, 变形以后的物体就不再是连续的, 而将发生某些部分互相脱 离或互相侵入的情况。
相容方程几何意义
不相容举例
例： x
0 y 0 xy Cxy
u v 0, 0 x y
§2-8 按应力求解平面问题
弹性力学里求解问题,有三种基本方法——按位移求 解,按应力求解和混合求解。
按应力求解平面问题——平衡微分方程本来就不包 含应变分量和位移分量,应当保留。于是,只须由三个
几何方程中消去位移分量,得出三个应变分量之间的
一个关系式, 再将三个物理方程代入这个关系式,使 它只包含应力分量。
注意： 当体力 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即
（2-25）
用应力表示的相容方程 ：
f x f y (σ x σ y ) (1 )( ), x y
2
(c)
其中
2 2 2 2. x y 2
(4) 应力边界条件－－假定全部边界上均 为应力边界条件 ( s sσ ,su 0) 。
位移用变形─应力表示，须通过积分，
不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未
知项，因此位移边界条件用应力分量来表示
时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，
只考虑全部为应力边界条件的问题,
即 (s sσ , su 0) 。
⑶ 在A内求解应力的方程 平衡微分方程 （2个）。 (a)
补充方程─从几何方程，物理方程中 消去位移和形变得出 : 从几何方程中消去位移 u ， v ，得相容方 程（形变协调条件）：
D
D
F
3.按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
说明：
（2-2）
（2）相容方程（形变协调方程）
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
x 2 2 y x
2
2 y
2 xy . xy
(b)
平面应力问题
变形协调方程或相容方程
u x x
v y y
v u xy பைடு நூலகம் x y
要使得满足几何方程的位移存在且是单
值的,应变分量之间必须满足一定的条件
平面应力问题
变形协调方程或相容方程
2 xy
式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。
例题
已知薄板有下列形变关系：
x Axy, y By3 , xy C Dy2
式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条 件，若满足并列出应力分量表达式。 解答： （1）相容条件
x 将形变分量代入应变协调条件（相容方程） 2 2 y x xy
归纳：
按应力求解平面应力问题 ，应力 σ x , σ y , xy 必须满足下列条件： （1）A内的平衡微分方程； （2）A内的相容方程； （3）边界 s sσ上的应力边界条件； （4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件.
（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。
例 三连杆系统，由于物体是连续的，变 形前三连杆在 D 点共点（连续）， 变形后三连杆在 D ② ③ ① 点共点，则三连杆 的应变必须满足一 定的协调条件。
（2-22）
x fx y x 2 xy 2 x f x 2 yx x x
将上述两边相加：
xy
2 xy
x

fy
xy

2 y y

f y y
（2-2） 2 x 2 y f x f y 2 2 （b ） 2 xy y x y x
2 2 1 f x f y x y x 2 y 2 ( x y ) 1
2 2 x 2 y 2 ( x y ) 0
（2-24） 应力表示的相容方程 （平面应变情形）
1 x y E 1 y y x E 21 xy xy E u x x v y y v u xy x y
x
变形用应力表示（物理方程）。
xy
其中：C为常数。
由几何方程得：
积分得：
由几何方程的第三式得：
u v Cxy y x
u f1 ( x) v f 2 ( y )
df1 ( y ) df 2 ( x) Cxy dy dx
显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。
补充
a
多连通物体
+ -
b
c
-
+ d
对于多连通物体：我们总可以作适当的截面使它变成单连通物体，则上 述的结论也完全适用。具体地说，如果应变分量满足应变协调方程，则 在此被割开以后的区域里，一定能求得单值连续的函数。但对求得的位 移分量，当x，y点分别从截面两侧趋向于截面上某一点时，一般说它们 将趋向于不同的值。为使所考察的多连通物体在变形以后仍保持为连续 体，则必须加上补充条件。
1.按应力求解平面应力问题
（1）取 σ x , σ y , xy 为基本未知函数；
（2）其他未知函数用应力来表示:
平面应力问题的基本方程
平衡微分方程
x yx fx 0 x y y xy f y 0 y x
物理方程
几何方程
xy
1 x ( x y) E 1 y ( y x) （2-15） E
xy
2
2 xy xy
2(1 ) xy E
2 y
（a）
利用平衡方程将上述化简：
x 2 2 y x xy
y y
2
2 xy
（2-18）
例 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它
们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （ a） x y , y y , xy xy3 ; 22 4 2 2 （2） x C ( x y ), y Cy , xy 2Cxy; （ b） 解 （1） 将式（a）代入平衡方程： x xy 3 2 2 1 4 fx 0 ( x y y ) x y x y 2 4 （2-2） yx y fy 0 2 2 x y 2 2 ( y y )
EA y 2GDy f x 0 2 1 若满足平衡微分方程，必须有 E ( Ax 3By3 ) f 0 y 2 1
例
图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据 材料力学公式，写出弯曲应力 x 和剪应力 xy 的表达式，并取挤 压应力 y =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。