2018届高考数学二轮复习(文数)集合与常用逻辑用语、不等式专题一 第2讲学案含答案(全国通用)

第2讲 不等式1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点． 2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围． 3．利用不等式解决实际问题．热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)(2017届湖南衡阳八中月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2， 则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2) 答案 C解析 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2.令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，则不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)，故选C.(2)(2017届湖南师大附中月考)若0<a <1，则关于x 的不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫a ，1a 解析 原不等式等价于(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，∵0<a <1，∴a <1a，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ，1a . 思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)(2017届安徽寿县一中月考)不等式1x －2≤1的解集是______________．答案 (－∞，2)∪[3，＋∞) 解析1x －2≤1⇔3－x x －2≤0⇔x －3x －2≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －2)≥0，x －2≠0⇔x <2或x ≥3， 即不等式1x －2≤1的解集是(－∞，2)∪[3，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝ln|x |，则f (x )>1的解集为________________． 答案 (－∞，－e)∪(e ，＋∞)解析 函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x <0，ln x ，x >0.当x >0时，解f (x )＝ln x >1，得x >e ，即x 的取值范围是(e ，＋∞)；当x <0时，解f (x )＝ln(－x )>1， 得x <－e ，即x 的取值范围是(－∞，－e)． 综上可得f (x )>1的解集为(－∞，－e)∪(e ，＋∞)． 热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)(2017届重庆市第八中学适应性考试)已知a >0，b >0且2ab ＝a ＋2b ，则a ＋8b 的最小值为( ) A ．4 2B ．9C ．10 D.272答案 B解析 2ab ＝a ＋2b 两边同除以2ab ，得1a ＋12b＝1，所以(a ＋8b )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＝5＋8b a ＋a 2b ≥5＋4＝9，当且仅当8b a ＝a2b时取等号． (2)(2017届山西临汾一中等五校联考)已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx 的最小值为( )A.53B.103C.32 D ．3答案 D解析 由于x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋3y ＋x x －1≥24x x ＋3y ·3y ＋xx－1＝3，当且仅当4xx ＋3y＝3y ＋x x 时，等号成立，故选D.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)(2017届山西晋中榆社中学月考)若实数m ，n 满足6m ＋4n ＝2mn ，则mn 的最小值为________． 答案 4 3 解析 26m ·4n ≤6m ＋4n＝2mn ⇒4 6mn ≤2mn ⇒mn ≥43(当且仅当6m ＝4n时取等号)． (2)(2017届河南百校联盟质监)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 答案 12解析 因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8. 所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号． 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)(2017·全国Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0， 则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B.(2)(2017届重庆市第一中学月考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －4≤0，2x －y ＋4≥0，若z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．2 C.12 D ．2或－1答案 C解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)．由z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，即直线的截距最小，z 最大．若a ＝0，此时y ＝－z ，此时，目标函数只在B 处取得最大值，不满足条件；若a >0，目标函数y ＝ax －z 的斜率k ＝a >0，要使z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax －z 与直线x －2y －4＝0平行，此时a ＝12；若a <0，不满足，故选C.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 (1)(2017届汕头期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －9≥0，x －y －3≤0，y ≤3， 则使得z ＝y －2x 取得最大值的最优解为( ) A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(4,3) D ．(6,3)答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，当目标函数z ＝y －2x 经过点A (4,3)时取得最大值，所以使得z ＝y －2x 取得最大值的最优解为(4,3)，故选C.(2)(2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤8，x ＋3y ≤9，x ≥0，y ≥0，则z ＝y －6x －6的最大值为________．答案 3解析 如图，画出可行域，z ＝y －6x －6表示可行域内的点和定点F (6,6)连线的斜率，显然直线AF 的斜率最大， 又k AF ＝6－06－4＝3，故y －6x －6的最大值为3.真题体验1．(2017·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为________．答案 9解析 作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋12z .作出直线l 0：y ＝－12x ，并平移该直线，可知当直线y ＝－12x ＋12z 过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)． ∴z max ＝3＋2×3＝9.2．(2016·浙江改编)已知实数a ，b ，c ，则下列正确的是________．(填序号) ①若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ②若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ③若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100； ④若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100. 答案 ④解析 对①，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，此式不成立； 对②，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，此式不成立； 对③，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，此式不成立． 故填④.3．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为__________． 答案 (2,4)解析 由－1<x －3<1，得2<x <4，故解集为(2,4)．4．(2017·天津)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.押题预测1．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72C ．4 D.92押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 C解析 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4. 2．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案 D解析 由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝4x ＋y 的最小值为( )A ．－6B ．6C ．7D ．8押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点． 答案 C解析 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图所示，当直线z ＝4x ＋y 过点C (1,3)时，z 取得最小值且最小值为4＋3＝7，故选C.4．若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－2,0)押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点． 答案 A解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min .。