专题2函数第11练指数函数文(含解析)-高考一轮复习资料

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新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 11 指数与指数函数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结11指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21 C．24 D．27答案 D解析因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.2．化简(a>0，b>0)的结果是()A．ba B．ab C．a2b D．ab答案 D解析3.函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.4．已知a＝(2)43，b＝225，c＝913，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b答案 A解析5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定答案 A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x).若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.6．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是() A．(2－22，2＋22) B．(－∞，2)C．(－∞，2＋22) D．[2＋22，＋∞)答案 C解析令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f （1）＝1－m ＋m ＋1≥0，解得2－22<m <2＋22或m ≤2－22，所以m <2＋2 2.故选C. 7．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln (y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3 答案 D解析因为实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，所以x >y ，根据函数y ＝x 2的对称性和单调性，可知x 2，y 2的大小不确定，故A ，B 中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知C 中的不等式也不恒成立；由于函数f (x )＝x 3在R 上单调递增，所以x 3>y 3，所以D 中的不等式恒成立．故选D.8．(多选)设函数f (x )＝2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2答案 ACD 解析9．(多选)已知函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是1 B ．函数f (x )是单调递增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称答案 BD解析函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，即f (x )＝e x －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t ，由y ＝t －1t 在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A 错误，B 正确；由f (2－x )＝e 1－x －e x －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1，0)对称，则C 错误，D 正确．故选BD.10．(多选)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x2，则f (x )，g (x )满足( )A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )B ．f (－2)＜f (3)C ．f (x )－g (x )＝π－xD ．f (2x )＝2f (x )g (x ) 答案 ABD解析 f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝πx ＋π－x2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )，A 正确；因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)＜f (3)，B 正确；f (x )－g (x )＝πx －π－x2－πx ＋π－x 2＝－2π－x 2＝－π－x，C 不正确；f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x2＝2f (x )g (x )，D 正确．11．求值：0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－590＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋0.0112＝________．答案 14380解析原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析由题意得，f (x )＝⎩⎨⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x ≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2022·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 答案 D解析因为a ＝30.7＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8＞30.7＝a ，c ＝log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，所以c ＜1＜a ＜b .故选D.14．(2022·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69 答案 C解析因为I (t )＝K1＋e －0.23（t －53），所以I (t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则e0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln 19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66.故选C.15．(2022·北京高考)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 D解析因为f (x )＝2x －x －1，所以f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1，在同一直角坐标系中作出y ＝2x 和y ＝x ＋1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x ＞x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).所以不等式f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.16．(2022·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．答案 6解析由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p 2p ＋ap ＝65，①2q 2q ＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q ＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ， ∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 三、模拟小题17．(2022·云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0] 答案 C解析要使函数有意义，需满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，解得x ≥0，因此，函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞).故选C. 18．(2022·湖北武汉高三开学考试)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，－13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 D ．(－∞，0)答案 A解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，存在x 0∈[－1，1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴3－x 0＋m －1＝－3 x 0－m ＋1，∴2m ＝－3－x 0－3 x 0＋2，构造函数y ＝－3－x 0－3 x 0＋2，x 0∈[－1，1]，令t ＝3x 0，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，y ＝－1t －t ＋2＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴t ＝1取得最大值0，t ＝13或t ＝3取得最小值－43，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.故选A. 19．(多选)(2022·山东日照二模)若实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，则下列关系式中可能成立的是( )A ．m ＝nB ．1<m <nC ．0<m <n <1D ．n <m <0 答案 ACD解析由题意，实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，可化为4m ＋5m ＝5n ＋4n ，设y ＝f (x )＝4x ＋5x ，y ＝g (x )＝5x ＋4x ，由初等函数的性质，可得f (x )，g (x )都是单调递增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，作直线y ＝t 0，当t 0<1时，n <m <0成立；当t 0＝1或t 0＝9时，m ＝n 成立；当1<t 0<9时，0<m <n <1成立；当t 0>9时，1<n <m 成立．综上，可知可能成立的为A ，C ，D.20．(多选)(2022·江苏淮安高三第一学期五校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]的叙述中正确的是( )A ．g (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在R 上是增函数D ．g (x )的值域是{－1，0，1} 答案 BC解析 ∵g (1)＝[f (1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e1＋e －12＝0，g (－1)＝[f (－1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e1＋1e －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ＋1－12＝－1，∴g (1)≠g (－1)，则g (x )不是偶函数，故A 错误；∵f (x )＝e x 1＋e x －12的定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝e －x1＋e －x －12＋e x 1＋e x －12＝1e x1＋1e x＋e x 1＋e x －1＝11＋e x ＋e x1＋e x －1＝0，∴f (x )为奇函数，故B 正确；∵f (x )＝e x 1＋e x －12＝1＋e x－11＋e x －12＝12－11＋e x ，又e x在R 上单调递增，∴f (x )＝12－11＋e x 在R 上是增函数，故C 正确；∵e x ＞0，∴1＋e x ＞1，则0＜11＋e x＜1，可得－12＜12－11＋e x ＜12，即－12＜f (x )＜12.∴g (x )＝[f (x )]∈{－1，0}，故D 错误．故选BC. 21．(2022·南阳模拟)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则a ＝________，实数m 的最小值为________．答案 1 1解析因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.22．(2022·福建漳州高三阶段考试)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1).若对任意的x ∈[0，2t ＋1]，均有f (x ＋t )≥[f (x )]3，则实数t 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－49解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1)，∴f (x )＝a |x |(a >1)，则[f (x )]3＝(a |x |)3＝a |3x |＝f (3x )，则f (x ＋t )≥[f (x )]3等价于f (x ＋t )≥f (3x )，当x ≥0时f (x )为增函数，则|x ＋t |≥|3x |，即8x 2－2tx －t 2≤0对任意x ∈[0，2t ＋1]恒成立，设g (x )＝8x 2－2tx －t 2，则⎩⎨⎧g （0）≤0g （2t ＋1）≤0⇔⎩⎨⎧－t 2≤0，27t 2＋30t ＋8≤0，解得－23≤t ≤－49，又2t ＋1＞0，∴－12＜t ≤－49.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·黑龙江鹤岗一中期末)函数f(x)＝2x－a2x是奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，求m的取值范围．解(1)∵函数f(x)＝2x－a2x是奇函数，∴f(－x)＝2－x－a2－x ＝－a·2x＋12x＝－2x＋a2x＝－f(x)，故a＝1，故f(x)＝2x－12x.(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，即m＋1<(2x)2－4·2x在x∈(0，＋∞)上恒成立，令t＝2x，t>1，h(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4(t>1)，显然h(t)在(1，＋∞)上的最小值是h(2)＝－4，故m ＋1<－4，解得m <－5.故m 的取值范围为(－∞，－5).2．(2022·湖北襄阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R ). (1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件．解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎨⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，即b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2022·宁夏银川一中期末)已知定义在R 上的奇函数f (x )，在x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1且f (－1)＝f (1).(1)求f (x )在x ∈[－1，1]上的解析式； (2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )<12；(3)若x ∈(0，1)，常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，解关于x 的不等式f (x )>1λ.解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数且x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1，∴f (0)＝0，当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，又f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)， ∴f (－1)＝f (1)＝0.综上所述，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 4x ＋1，x ∈（－1，0），2x 4x＋1，x ∈（0，1），0，x ∈{－1，0，1}．(2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x 4x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1，又2x ＋12x ≥22x ·12x ＝2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时取等号．∵x ∈(0，1)，∴2x ＋12x >2，∴f (x )<12. (3)当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，1λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12，f (x )>1λ，即4x －λ·2x ＋1<0，设t ＝2x ∈(1，2)，不等式变为t 2－λt ＋1<0，∵λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，∴Δ＝λ2－4>0， ∴λ－λ2－42<t <λ＋λ2－42.令g (λ)＝λ－λ2－42，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，g ′(λ)＝λ2－4－λ2λ2－4，又λ2－4<λ，∴g ′(λ)<0， ∴g (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52上单调递减，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<g (λ)<g (2)，即12<λ－λ2－42<1.令h (λ)＝λ＋λ2－42，h (λ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52上单调递增， ∴h (2)<h (λ)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即1<λ＋λ2－42<2，∴1<t <λ＋λ2－42，即0<x <log 2λ＋λ2－42.综上可知，不等式f (x )>1λ的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，log 2λ＋λ2－42. 4．(2022·山东枣庄高三模拟)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x ，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋a e －x 1－(e x 2＋a e －x 2) ＝（e x 1－e x 2）（e x 1＋x 2－a ）e x 1＋x 2.因为x 1<x 2，函数y ＝e x 为增函数，所以e x 1<e x 2，则e x 1－e x 2<0，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0，所以e x 1＋x 2－a >0恒成立，即a <e x 1＋x 2对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1].(3)由(1)(2)知，函数f (x )＝e x ＋e －x 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x ＋e －2x ＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立，等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立，而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）某工厂2005年某种产品的年产量为a,，若该产品年增长率为x ，则2010年该厂这种产品的年产量为y ，那么x 与y 的函数关系式是( )A. y=10axB. y= 10x aC. y = a(1+10%)xD. y = a(1+x)52.（5分）把函数y =2x 的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =2x 3，则t =( )A. 12B. log 23C. log 32D. √33.（5分）设a >0，b >0，化简(a 23b 13).(−a 12b 12)÷(13a 16b 56)的结果是( )A. −13a 23B. −3a 23C. −13aD. −3a4.（5分）某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2013年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2018年需退耕（）A. 8×1.14万公顷B. 8×1.15万公顷C. 8×1.16万公顷D. 8×1.13万公顷5.（5分）下列运算正确的是（）A. a2•a3=a6B. （x5）2=x7C. （-3c ）2=9c2D. （a-2b ）2=a2-2ab+4b26.（5分）给出下列结论，其中正确的序号是( )A. 当a <0时，(a 2)32=a 3 B. √a n n=|a|C. 函数y =(x −2)12−(3x −7)0的定义域是(2,+∞) D. √63=√64127.（5分）已知3x −3−y ⩾5−x −5y 成立，则下列正确的是( )A. x +y ⩽0B. x +y ⩾0C. x −y ⩾0D. x −y ⩽08.（5分）已知集合A ={ x |1<2x ⩽4}，B ={ x |x >1}，则A ∩B =( )A. { x |1⩽x <2}B. { x |1<x ⩽2}C. { x |0<x ⩽2}D. { x |0⩽x <2}9.（5分）三个数0.76，60.7，log 0.76的大小关系为( )A. log 0.76<0.76<60.7B. 0.76<60.7<log 0.76C. log 0.76<60.7<0.76D. 0.76<log 0.76<60.710.（5分）下列运算中，正确的是( )A. x 3⋅x 2=x 5B. x +x 2=x 3C. 2x 3÷x 2=xD. (x2)3=x 3211.（5分）化3√3√3√3为分数指数幂结果是( )A. 3 78B. 3 158C. 3 74D. 3 17812.（5分）下列判断正确的是( )A. 1.61.5>1.62B. 0.50.2>0.50.3C. 1.60.2<0.53.2D. log 20.5>log 32二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）log √22√2+log 23⋅log 34= ______ ，当a <0时，√a 2⋅3a 3⋅a −1= ______ ． 14.（5分）(279)0.5+0.1−2+(21027)3−π0=__________;lg √2+lg 3−lg √10lg 1.8=__________15.（5分）若√9a 2−6a +1=3a −1，则实数a 的取值范围是________. 16.（5分）若x ⋅log 32=1，则2x +2−x =________________.17.（5分）已知函数f(x)为R 上的奇函数且x <0时f(x)=(12)x −7，则不等式f(x)<1的解集为 ______ .18.（5分）解方程：52x −6×5x +5=0的解集为__________. 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 19.（12分）计算下列各式的结果： (1)lo g 53+lo g 5115+(lo g 3315).(lo g √2216)；(2)(6+2√5)12+8−23×(94)−12−(0.01)12−(√5−2)−1．20.（12分）计算下列各式的值：(1)log 4√8+≶50+≶2+5 log 53+(−9.8)0； (2)(2764) 23−(254)0.5+(0.008) −23×25．21.（12分）求值：(1)√49−(278)−13+(π−1)0；(2)4a 23b −13÷(−23a −13b −13)(a >0, b >0)．22.（12分）22-1.(1)√259−(827)13−(π+e )0+(14)−12； lg √10.(−lg 10)；23.（12分）求值与化简：(1)(179)12+(32)−1−√(√3−2)2； (2)2lg 6−lg 31+12lg 0.36+13lg 8+2log 24−log 29×log 32.24.（12分）已知函数y =f(x)的图象与g(x)=log a x(a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称，且g(x)的图象过(4,2)点． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x −1)>f(5−x)，求x 的取值范围．四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知实数a ，b 满足log 3a −log 3b <(13)a −(13)b ，则下列结论正确的是 ( )A. a<bB. 1a <1bC. 2a−b <1D. ln(b −a)>026.（5分）下列判断正确的有( )A. √(π−4)2=π−4B. 0∈{−1,0,2}C. cos 1°>sin π6D. y =(√x)2与y =x 是同一个函数27.（5分）已知集合M ={(x,y)|y =f(x)}，若对于任意实数对(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是()A. M ={(x,y)|y =1x 2} B. M ={(x,y)|y =sinx +1} C. M ={(x,y)|y =2x −2} D. M ={(x,y)|y =log 2x}28.（5分）下列说法不正确的是( )A. 命题“∀x > 0，2x > 1”的否定为“∀x ⩽0，2x ⩽1”B. “xy > 0”是“x +y > 0”的充要条件C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若“1 x 3”的必要不充分条件是“m−2 x m+2”，则实数m 的取值范围是[1,3] 29.（5分）已知x >0,y >0，lg 2x +lg 8y =lg 2，则1x +13y( )A. 有最小值4B. 有最小值−4C. 有最大值4D. 无最大值30.（5分）函数f （x ）是指数函数，则下列等式中正确的是（）A. f(x +y)=f(x)f(y)B. f(x −y)=f(x)f(y)C. f(xy )=f(x)−f(y) D. f(nx)=[f(x)]n (n ∈Q)答案和解析1.【答案】D;【解析】因为2005年年底的产量为a，年平均增长率为x，则2011年年底产量为a+ax=a（1+x），2010年年底的产量为a（1+x）+a（1+x）x=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2，由此得出，从2005年年底开始，每一年年底的产量构成以a为首项，以1+x为公比的等比数列，以2005年年底的产量a为首项，则2010年年底的产量为a5所以，2011年年底的产量y=a（1+x）5．故选D。

高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.5指数与指数函数练习(含解析)

高考数学一轮复习第二篇函数及其性质专题2.5指数与指数函数练习（含解析）【考试要求】1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x(a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 【知识梳理】 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a)n ＝a(a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n an ＝a ，当n 为偶数时，nan ＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1【微点提醒】1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a . 故y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1 B.2C. 3D.3【答案】 C【解析】依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y ＝a (1＋p %)x(0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N ) C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m ) D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N ) 【答案】 B【解析】设年产量经过x 年增加到y 件，则第一年为y ＝a (1＋p %)，第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2，第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3，…，则y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m 且x ∈N ). 【真题体验】4.(2018·晋中八校一模)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32【答案】 C 【解析】由题意得a 2a ·3a 2＝a2－12－13＝a 76.5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数【答案】 B【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x在R 上是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.6.(2019·潍坊检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 【考点聚焦】考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).【答案】见解析【解析】(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b. 【规律方法】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12. 【答案】见解析【解析】(1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·镇海中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 (2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】 (1)C (2)(0，2)【解析】 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x－12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】 (1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.【答案】(1)D (2)[－1，1]【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].考点三指数函数的性质及应用多维探究角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(－3，1)【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 角度2 与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________. 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]。

高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二函数概念与基本初等函数
一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

2023年一轮复习《指数函数》提升训练(含解析)

2023年一轮复习《指数函数》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.2.（5分）已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a+ b=( )A. −12B. −32C. −52D. −12或−523.（5分）已知A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−2,0]4.（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|⩽1,x∈R}，集合B={x|2x⩾1,x∈R}，则集合A∪B=()A. (−∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞)5.（5分）函数y=ln(5−x)+√2x−8的定义域是()A. [2,3)B. [3,5)C. (−∞,3)D. (2,3)6.（5分）设集合A={ x|e x>1}，B={ x||x|>2}，则A∩B=()A. (−2,0)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (1,+∞)7.（5分）已知实数a，b，c满足不等式0<a<b<c<1，且M=2a，N=5−b，P=(17)c，则M、N、P的大小关系为()A. M>N>PB. P<M<NC. N>P>MD. P>N>M8.（5分）若2x+5y⩽2−y+5−x，则有()A. x+y⩾0B. x+y⩽0C. x−y⩽0D. x−y⩾09.（5分）设集合A ={ x |2x ⩾4)，集合B ={ x |−1⩽x ⩽5)，则A ∩B =( )A. { x |−1⩽x ⩽2}B. { x |2⩽x ⩽5}C. { x |x ⩾−1}D. { x |x ⩾2}10.（5分）函数y =3|log 3x|的图象是( )A. B. C. D.11.（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)=f(−x)，当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，则f(x)在区间(1,32)内是( )A. 减函数且f(x)>0B. 减函数且f(x)<0C. 增函数且f(x)>0D. 增函数且f(x)<012.（5分）已知a =log 23+log 2√3，b =log 29−log 2√3，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a =b <cB. a =b >cC. a b >c二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知实数x ，y 均大于零，且x +2y =4，则log 2x +log 2y 的最大值为______． 14.（5分）已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x)+2，则f(≶3)+f(≶13)= ______ ．15.（5分）已知存在实数x ，y ∈(0,1)，使得不等式1x +11−x <2y 2−y+t 成立，则实数t的取值范围为__________.16.（5分）设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，若f(12)=0，若f(log 14x)>0，那么x 的取值范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知函数f(x)=3x ，且f(a +2)=18，g(x)=3ax −4x 的定义域为[－1，1].（1）求3a 的值及函数g(x)的解析式；（2）试判断函数g(x)的单调性；（3）若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围. 18.（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a.(1)若a >0，判断并证明函数f(x)的单调性；(2)若a ≠0，函数f(x)在区间[m,n ](m <n)上的取值范围是[k2m ,k2n ](k ∈R)，求ka 的范围．19.（12分）已知函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ，集合B={x |2⩽2x ⩽16}，非空集合C={x |m +1⩽x ⩽2m −1}，全集为实数集R. (1)求集合A ∩B 和∁R B;(2)若A ∪C =A ，求实数m 取值的集合．20.（12分）f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，a>0在区间[−1,2]上最大值9，最小值0．(1)求a，b的值(2)求不等式f(x)⩾1的解集．21.（12分）已知奇函数f(x)=12x−1+a．(1)求f(x)的定义域；(2)求a的值；(3)证明x>0时，f(x)>0．22.（12分）已知函数f(x)=2xa +a2x−1(a>0)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)解方程f(x)=134.答案和解析1.【答案】B;【解析】这道题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．2.【答案】B;【解析】当a>1时，f(x)单调递增，有f(−1)=1a+b=−1，f(0)=1+b=0，无解；当0<a<1时，f(x)单调递减，有f(−1)=1a+b=0，f(0)=1+b=−1，解得a=12，b=−2，所以a+b=−32．故选B．3.【答案】D;【解析】该题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩(∁R B)即可．解：A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}={ x|x>0}，∴∁R B={ x|x⩽0}，∴A∩(∁R B)=(−2,0]．故选：D ．4.【答案】D;【解析】【试题解析】此题主要考查集合的并集及其运算，考查指数不等式的求解，属于基础题. 先分别求出集合A 、B ，再根据集合的并集定义求解即可.解：集合A =\left{ x ||x|⩽1,x ∈R }=\left{ x |−1⩽x ⩽1,x ∈R }，集合B =\left{ x |2x ⩾1,x ∈R }=\left{ x |x ⩾0,x ∈R }，所以A ∪B =[−1,+∞). 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了函数的定义域及其求法，属基础题．根据对数的真数大于0，和偶次根式被开方非负列式解得．解：由{5−x >02x −8⩾0，解得：3⩽x <5，故选B.6.【答案】C; 【解析】此题主要考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={ x |x >0}，B ={ x |x <−2或x >2}； ∴A ∩B =(2,+∞). 故选C.7.【答案】A;【解析】解：∵0<a (15)c >(17)c ，即M >N >P ，故选：A根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．这道题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键8.【答案】B;【解析】此题主要考查指数幂的运算性质，函数的单调性，是中档题．由已知构造函数f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，利用单调性即可得解.解：由已知可得2x−5−x⩽2−y−5y，令f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，因为2x−5−x⩽2−y−5y，即2x−5−x⩽−(5y−2−y)，所以f(x)⩽f(−y)所以x⩽−y，即x+y⩽0.故选B.9.【答案】B;【解析】此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.解：由A={ x|2x⩾4}={ x|x⩾2}，集合B={ x|−1⩽x⩽5}，则A∩B={ x|2⩽x⩽5}.故选：B.10.【答案】B;x|>0，则y>1，【解析】解：当0<x<1，|log3x|⩾0，则y⩾1，当x⩾1时，|log3故选：B根据对数函数和指数函数的图象的性质即可判断．该题考查了函数图象的识别和对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(−x)，所以f(x+1)=−f(x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，所以函数的周期是2，则f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，设x ∈(−1,−12)，则x +1∈(0,12)，又当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，所以f(x +1)=log 12(−x)，由f(x +1)=f(−x)得，f(−x)=log 12(−x)，所以f(x)=−f(−x)=−log 12(−x)，由x ∈(−1,−12)得，f(x)=−log 12(−x)在(−1,−12)上是减函数，且f(x)<f(−1)=0，所以则f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0，故选：B ．根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．12.【答案】B;【解析】解：∵a =log 23+log 2√3=log 23√3，b =lo g 29−lo g 2√3=lo g √3=lo g 23√3>1，∴a =b >1，又0<c =log 32<1， ∴a =b >c ．故选：B ．利用对数的运算性质可求得a =log 23√3，b =log 23√3>1，而0<c =log 32<1，从而可得答案．该题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．13.【答案】1; 【解析】该题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解：∵实数x ，y >0，且x +2y =4，∴4⩾2√2xy ，化为xy ⩽2，当且仅当x =2y =2时取等号．则log 2x +log 2y =log 2(xy )⩽log 22=1．因此log 2x +log 2y 的最大值是1．故答案为：1．14.【答案】4;【解析】解：∵f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=ln1+4=4，∴f(≶3)+f(≶13)=f(≶3)+f(−≶3)=4．故答案为：4．利用f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=4，即可得出．该题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】(3,+∞);【解析】此题主要考查基本不等式的运用，不等式恒成立问题，属于中档题.求出1x +11−x的最小值为4，得到t>4−2y2−y，由0<y<1得到4−2y2−y>3，即可得到答案.解：∵1x +11−x=(x+1−x)(1x+11−x)=2+1−xx+x1−x⩾2+2√1−=4，当x=0.5时，显然等号成立，∴1x +11−x的最小值为4，∴只需存在实数y∈(0,1)，使得2y2−y+t>4成立即可，即t>4−2y2−y，易知当0<y<1时，y²−y<0，∴4−2y2−y>3，∴t>3，∴实数t的取值范围为(3,+∞).故答案为：(3,+∞).16.【答案】（12，2）;【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∴f(log14x)=f(|log14x|)，又∵f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，∴f(|log14x|)>0=f(12)，∴|log14x|<12，∴−12<12log2x<12，∴−1<log2x<1，∴12<x<2，故答案为：(12,2).首先，根据偶函数的性质，得到f(log 14x)=f(|log 14x|)，然后，根据函数的单调性得到∴−12<12log 2x <12，从而得到相应的范围．此题主要考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．17.【答案】解：（1）f (a +2)=3a+2=32⋅3a =18，所以3a =2，所以g (x )=(3a )x −4x =2x −4x . （2）g (x )=2x −4x =−(2x )2+2x ，令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减，又t =2x 为单调递增函数，所以g (x )在x ∈[−1,1]上单调递减.（3）由（2）知g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减，所以g (x )∈[−2,14]，即m ∈[−2,14].;【解析】（1）将a +2代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得3a =2，再代入即可得g (x )的解析式；（2）令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14，根据二次函数的性质可得μ(t )单调递减，t =2x 为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果；（3）利用二次函数的性质求出g (x )的范围即可.18.【答案】解：(1)当a >0时，因为2x >0，所以2x +a >0 所以函数f(x)=2x −a 2x +a 的定义域为R ，结论：函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)是增函数.证明：设对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)=2x 1−a2x 1+a −2x 2−a2x 2+a ， =(2x 1−a)(2x 2+a)−(2x 2−a)(2x 1+a)(2x 1+a)(2x 2+a)，=2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)，因为x 1<x 2，所以2x 2>2x 1，即2x 1−2x 2<0，又因为2x 1+a >0，2x 2+a >0，a >0，所以2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)<0，所以f(x 1)<f(x 2)，即证.(2)因为m <n ，所以2m <2n ，从而12m >12n . 又由[k 2m,k 2n]知，k2m<k 2n，所以k <0，因为a ≠0，所以a <0或a >0. ①当a >0时，由(1)知，函数f(x)=2x −a 2x +a是增函数.因为函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是 [k 2m,k 2n](k ∈R)，所以{f(m)=k2m ,f(n)=k 2n ，即： {2m −a2m +a =k2m2n −a 2n+a=k2n，从而关于x 的方程2x −a 2x +a=k 2x有两个互异实根.令t =2x ，则t >0，所以方程t 2−(a +k)t −ak =0(k <0)有两个互异正根，所以 \matrixLatexcasesFa+k2>0,a+k)^{2}+4ak>0,\\-ak>0\end{cases}从而：-3+2\sqrt{2}< \frac{k}{a}< 0. ②$当a <0时，函数$f(x)=1-\frac{2a}{2^{x}+a}在区间(-\infty,\log_{2}(-a))，(\log_{2}(-a),+\infty)上均单调递减， 若[m,n]⊆(\log_{2}(-a),+\infty)，则f(x)>1，于是\frac{k}{2^{m}}>0$，这与k <0矛盾，故舍去$; 若[m,n]\subseteq(-\infty,\log_{2}(-a))，则f(x)< 1， 于是\left{ \begin{array}{l}f(m)=\frac{k}{{2}^{n}}\\ f(n)=\frac{k}{{2}^{m}}\end{array}\right.,\;\;\;\;\;即：\;\left{ \begin{array}{l}\frac{{2}^{m}-a}{{2}^{m}+a}=\frac{k}{{2}^{n}}\;\;\;\;➀\\ \frac{{2}^{n}-a}{{2}^{n}+a}=\frac{k}{{2}^{m}}\;\;\;\;\;②\end{array}\right.,. 所以\left{ \begin{array}{ll}{2}^{n}({2}^{m}-a)=k({2}^{m}+a)\\ {2}^{m}({2}^{n}-a)=k({2}^{n}+a)\end{array}\right.，两式相减并整理得，(k-a)(2^{n}-2^{m})=0， 又2^{m}< 2^{n}，故2^{n}-2^{m}>0，从而k-a=0.$因为a <0，所以$\frac{k}{a}=1. 综上，\frac{k}{a}的范围是(-3+2\sqrt{2},0)∪{ 1}.$;【解析】此题主要考查函数的单调性，函数定义域与值域以及指数函数的性质，属于难题.(1)利用函数单调性的定义求证即可；(2)依题意，函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是[k 2m ,k 2n](k ∈R)，分别讨论a的范围即可求解.19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ， ∴\mathopA={x |−x 2+5x −6⩾又由2⩽2x ⩽16得B=[1,4].∴ A ∩B =[2,3]，∁R B =(−∞,1)∪(4,+∞). (2)∵A ∪C =A. ∴C ⊆A则{&m +1⩾2 2m −1⩽3 ，即1⩽m ⩽2.又要使集合C={ x|m+1⩽x⩽2m−1}为非空集合，则必须m+1⩽2m−1即m⩾2，综上可得m=2，所以实数m的取值集合为{2}.;【解析】此题主要考查集合的运算以及集合中参数的取值范围问题．属于基础题.(1)首先求出集合A与集合B，再求交集、补集；(2)由题意可知C⊆A，因此可建立不等式组，即可解出实数m的取值集合．20.【答案】解：（1）f（x）=a•4x-a•2x+1+1-b，a＞0，设t=2x（12≤t≤4），则g（t）=a t2-2at+1-b=a（t-1）2-a-b+1，当t=1时，取得最小值1-a-b，即有1-a-b=0，①又t=4时，取得最大值8a-b+1=9，②由①②解得a=1，b=0；（2）f（x）≥1，即为4x-2x+1+1≥1，即有2x（2x-2）≥0，由于2x＞0，则2x≥2，解得x≥1，则解集为{x|x≥1}．;【解析】(1)可令t=2x(12⩽t⩽4)，则g(t)=at2−2at+1−b=a(t−1)2−a−b+1，考虑对称轴和区间关系，可得t=1取得最小值，t=4取得最大值，解a，b的方程组，即可得到所求值；(2)由指数不等式的解法，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．该题考查指数函数的性质和运用，考查可化为二次函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及不等式的解法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2x-1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+a∴f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0∴a=12（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x-1＞0∴12x−1+12＞0，即x＞0时，f（x）＞0;【解析】(1)根据2x−1≠0，即2x≠1，求解．(2)根据奇函数的概念，f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0，求解．(3)根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．该题考查了函数的概念，性质，属于容易题．22.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立，∴2xa +a2x=2−xa+a2−x恒成立，即(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，∴1a−a=0，解得a=±1，∵a>0，∴a=1.(2)由(1)知f(x)=2x+2−x−1=134，∴4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，解得2x=4或14，∴x=±2，所以原方程的解为x=±2.;【解析】【试题解析】此题主要考查了偶函数的定义，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据f(x)为偶函数可得出f(−x)=f(x)恒成立，从而可得出(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，从而可求出a=1；(2)根据(1)即可得出4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，然后解出x的值即可．。

高考数学一轮复习考点指数与指数函数必刷题含解析

考点08 指数与指数函数1、不等式(13)x 2－8>3－2x 的解集是________．【答案】{x |－2<x <4}【解析】原不等式为(13)x 2－8>(13)2x ， ∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4.2、设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝(12)－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为________．【答案】a >c >b【解析】∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝(12)－1.5＝21.5， ∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .3、已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．【答案】7【解析】由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9. 所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7. 4、若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．【答案】－2【解析】∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6， ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2. 5、若f (x )＝a －x 与g (x )＝ax －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.【答案】2 【解析】函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.6、若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________．【答案】(22－2)x ＋1＋1【解析】函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1.7、给出下列结论：①当a <0时，＝a 3；②n a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确结论的序号有________．【答案】②③【解析】∵a <0时，>0，a 3<0，∴①错； ②显然正确；解⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥03x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，∴③正确； ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3， ∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．8、若曲线|y|＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为____．【答案】[－1，1]【解析】分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：若|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．9、若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a>0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求实数a 的值．【答案】3或13. 【解析】设t ＝a x ，则y ＝f(t)＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.①当a>1时，t ∈[a －1，a]，所以y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；②当0<a<1时，t ∈[a ，a －1]，所以y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．故所求a 的值为3或13. 10、函数f (x )＝ 2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R)的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．【答案】(－∞，23) 【解析】由2－x x －1≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >12时，x <a 2a －1. 又A ⊆B ，∴a 2a －1>2，得12<a <23. (2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A ∩B ＝A . (3)当2a －1<0，则a <12时，x >a 2a －1. ∵A ⊆B ，∴a 2a －1≤1，得a <12或a ≥1，故a <12. 由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，23)． 11、已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【答案】(1) log 32 (2) λ≤2【解析】(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0 恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.12、已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3. (1) 求f(x)的定义域；(2) 证明：f(－x)＝f(x)；(3) 证明：f(x)>0.【答案】(1) (－∞，0)∪(0，＋∞) (2) 见解析 (3) 见解析【解析】(1) 由2x－1≠0得x≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3可化为f(x)＝2x ＋12（2x －1）·x 3，则f(－x)＝2－x ＋12（2－x －1）(－x)3＝2x ＋12（2x －1）x 3＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)． (3) 当x>0时，2x >1，x 3>0，所以f(x)＝(12x －1＋12)x 3>0. 因为f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.综上所述，f(x)>0. 13、已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1) 作出函数的图象(简图)；(2) 由图象指出其单调区间；(3) 由图象指出当x 取什么值时函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|有最值，并求出最值．【答案】(1) 见图 (2) 单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞) (3) (－∞，－1]【解析】(1) 方法一：由函数解析式可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1，x≥－1，3x ＋1， x<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x≥0)――→向左平移1个单位长度y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x<0)――→向左平移1个单位长度y ＝3x ＋1(x<－1)．如图所示．方法二：①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象． ②将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|的图象，如图所示．(2) 由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．(3) 由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．14、已知函数f(x)＝a a 2－1(a x －a －x )(a>0且a≠1)． (1) 判断函数f(x)的奇偶性；(2) 讨论函数f(x)的单调性；(3) 若当x ∈[－1，1]时，f(x)≥b 恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】(1) 奇函数 (2) 单调递增 (3) (－∞，－1]【解析】(1) 因为函数定义域为R ，关于原点对称，又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(2) 当a >1时，a 2－1>0，因为y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以函数f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，因为y ＝a x 为减函数，y ＝a －x为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以函数f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，函数f (x )在定义域内单调递增．(3) 由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1，1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a ＝－1，所以要使f (x )≥b 在[－1，1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．15、已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 a <13，3－a 2 13≤a ，12－6a a >3 (2) 不存在【解析】(1)∵x ∈[－1,1]， ∴(13)x ∈[13，3]．设t ＝(13)x ，t ∈[13，3]，则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a . ∴h (a )＝＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 a <13，3－a 2 13≤a ，12－6a a(2)假设满足题意的m 、n 存在，∵m >n >3，∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数．∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ②②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， ∵m >n >3，∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， ∴满足题意的m 、n 不存在．。

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练(含解析)

2023年一轮复习《指数函数和对数函数》综合训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数．当x⩾0时f(x)={x 2,0⩽x⩽1f(x−1)+1,x>1.若恰有5个不同的实数x1，x2，…，x5，使得f(x)=mx成立，则实数m的值为()A. √2−1B. 2√2−2C. 2−√2D. 3−2√22.（5分）已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则至少要抽的次数是(参考数据：lg2=0.301)()A. 6B. 7C. 8D. 93.（5分）已知函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e−x+1)有唯一零点，则a=()A. −1B. −12C. 12D. 14.（5分）已知x1是方程x+≶x=3的根，x2是方程x+10x=3的根，那么x1+x2的值为()A. 6B. 3C. 2D. 15.（5分）函数y=|ln|x−2||+x2−4x的所有零点之和是()A. −8B. −4C. 4D. 86.（5分）已知函数f(x)={xlnx−x,x>0f(x+1),x⩽0，若关于x的方程2f(x)−kx+1=0有四个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (−14,−16]∪(14,12]B. [−14,−16)∪[14,12)C. (−12,−13]∪(12,1]D. [−12,−13]7.（5分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，f(−2)=0，则不等式xf(x+1)>0的解集为()A. (−3,−1)∪(0,+∞)B. (−∞,−3)∪(0,1)C. (−∞,−3)∪(−1,+∞)D. (−3,0)∪(1,+∞)8.（5分）已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)，满足对任意x∈(0,+∞)，恒有f[f(x)−1x]=4，若函数y=f(x)−4的零点个数为有限的n(n∈N∗)个，则n的最大值为()A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(−1,1)内有零点的函数是()A. y=−x3B. y=2x−1C. y=x2−12D. y=log2(x+2)10.（5分）(示范高中)已知x >0，y >0，≶2x +≶4y =≶2，则1x +1y 的最小值是( )A. 6B. 5C. 3+2√2D. 4√211.（5分）已知函数f(x)={|log 2(x +1)|,x ∈(−1,3)5−x,x ∈[3,+∞),则函数g(x)=f(f(x))−1的零点个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 612.（5分）已知函数f(x)在[−3,4]上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如表：A. (−3,−1)和(−1,1)B. (−3,−1)和(2,4)C. (−1,1)和(1,2)D. (−∞,−3)和(4,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）若log 9(3a +4b )=log 3√ab ，则a +3b 的最小值是________. 14.（5分）已知2a =3，b =log 25，则2b =______，2a+b =______． 15.（5分）若lga ，lgb 是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab=____． 16.（5分）计算 log23•log38=____．三、解答题（本大题共6小题，共72分） 17.（12分）求值：(1)0.027−13−(−17)−2−3−1+(−78)0； (2)3log 32+lg 16+3lg 5−lg 15.18.（12分）计算下列各式的值． (1)i −i 2+i 3−i 4+…+i 2021−i 2022；(2)log 168+101−lg5−(2764)13+(1−√2)lg1. 19.（12分）已知函数f(x)=a −22x +1(a ∈R) 为定义域上的奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f(x)在定义域上的单调性，并加以证明;(3)若关于x 的方程f(x)=23在区间(b,b +1)(b ∈N ∗)内有唯一解，求b 的值. 20.（12分）设二次函数f(x)=ax 2+(b −3)x +3．(1)若函数f(x)的零点为−3，2，求函数f(x)； (2)若f(1)=1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值． 21.（12分）解下列方程． (1)log 2[log 2(2x +3)]=2； (2)(12)x .82x =4．22.（12分）已知函数f(x)=−x 2+2ex +m −1，g(x)=x +e 2x(x >0).(1)若y =g(x)−m 有零点，求实数m 的取值范围；(2)求实数m 的取值范围，使得g(x)−f(x)=0有两个不相等的实根．四、多选题（本大题共5小题，共25分） 23.（5分）已知a >0，b >0，ln a =ln b 2=ln (3a +2b )3，则下列说法错误的是( )A. b =2aB. 3a +2b =b 3C. ln bln (a+1)=log 23D. eln b a=324.（5分）设函数f(x)={3x ,x ⩽0|log 3x|,x >0，若f(x)−a =0有三个不同的实数根，则实数a 的取值可以是( )A. 12 B. 1 C. −1 D. 225.（5分）若关于x 的不等式ae x +bx +c <0的解集为(−1,1)，则( )A. b >0B. |a|<|c|C. a +b +c >0D. 8a +2b +c >026.（5分）下列各选项中，值为1的是( )A. log 26.log 62B. log 62+log 64C. (2+√3)12⋅(2−√3)12D. (2+√3)12−(2−√3)1227.（5分）已知函数f(x)={cosx,x >0kx,x ⩽0，若方程f(x)+f(−x)=0有n 个不同的实根，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则下列说法正确的是( )A. x 1+x 2+x 3+…+x n =0B. 当n =1时，k <−1π C. 当n =3且k <0时，tan x 3=−1x 3D. 当k >12π时，n =3答案和解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数y=f(x)是定义域为R的奇函数．x⩾0时f(x)={x 2,0⩽x⩽1f(x−1)+1,x>1.∴f(0)=0，若恰有5个不同的实数x1，x2，…，x5，使得f(x)=mx成立，则f(x)=mx有且仅有两个正根，则m>0，且y=mx的图象，与y=f(x)，x∈[1,2]的图象相切，由y=f(x)=(x−1)2+1，x∈[1,2]，故mx=(x−1)2+1有且只有一个解，即x2−(m+2)x+2=0的Δ=0，解得：m=2√2−2，或m=−2√2−2(舍去)，故m=2√2−2，故选：B由已知中恰有5个不同的实数x1，x2，…，x5，使得f(x)=mx成立，可得f(x)=mx有且仅有两个正根，则m>0，且y=mx的图象，与y=f(x)，x∈[1,2]的图象相切，进而可得答案．此题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中结合函数奇偶性的函数特征，分析出f(x)=mx有且仅有两个正根，是解答的关键．2.【答案】B;【解析】解：假设至少要抽的次数是n，则(1−0.6)n<0.002，∴nlg0.4<lg0.002，∴n>lg0.002lg0.4=lg2−32lg2−1≈6.8．∴至少要抽的次数是7．故选：B．假设至少要抽的次数是n，则(1−0.6)n<0.002，化为对数式即可得出．该题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B;【解析】解：因为函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e−x+1)，令x−1=t，t∈R，则g(t)=sin(π2(t+1))+a(e t+e−t)=cos(π2t)+a(e t+e−t)为偶函数，因为函数f(x)=sin(π2x)+a(e x−1+e x−1)有唯一零点，t)+a(e t+e−1)有唯一零点，所以g(t)=cos(π2根据偶函数的对称性，则g(0)=1+2a=0，解得a=−1，2故选：B.t)+a(e t+e−t)有唯一零点，根据偶函数的对称性求令x−1=t，转化为g(t)=cos(π2解．此题主要考查了函数的零点问题，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：第一个方程：≶x=3−x，第二个方程，≶(3−x)=x．注意第二个方程如果做变量代换y=3−x，则≶y=3−y，其实是与第一个方程一样的．如果x1，x2是两个方程的解，则必有x1=3−x2，∴x1+x2=3．故选：B．第一个方程：≶x=3−x，第二个方程，≶(3−x)=x.注意第二个方程如果做变量代换y=3−x，则≶y=3−y，由此能求出结果．该题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．5.【答案】D;【解析】解：根据函数y=|ln|x−2||+x2−4x的零点，转化为|ln|x−2||+x2−4x=0的根，令y=|ln|x−2||，y=−x2+4x，两个函数的对称轴都为x=2，在同一坐标系中，画出函数的图象：x 3，x 2关于x =2对称，所以x 3+x 2=4， x 1，x 4关于x =2对称，所以x 1+x 4=4，所以x 1+x 2+x 3+x 4=8，故选：D ．根据函数y =|ln |x −2||+x 2−4x 的零点⇒|ln |x −2||+x 2−4x =0的根⇒y =|ln |x −2||，y =−x 2+4x 交点的横坐标，由两个函数都有对称轴x =2，结合图象可得x 3，x 2关于x =2对称，x 1，x 4关于x =2对称，进而得出答案．该题考查函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．6.【答案】C;【解析】解：当x >0时，f ′(x)=lnx ，当0<x <1时，f ′(x)<0，当x >1时，f ′(x)>0，所以当x >0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又当x ⩽0时，f(x)=f(x +1)，所以根据周期为1可得：当x ⩽0时f(x)的图象，故f(x)的图象如图所示：将方程2f(x)−kx +1=0，转化为方程f(x)=k2x −12有四个不同的实根，令g(x)=k2x −12，其图象恒过(0,−12)，因为f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，所以k CE <k2⩽k DE 或k BE <k2⩽k AE ，又由A(−3,0)，B(−2,0)，C(−2,−1)，D(−1,−1)，E(0,−12)，故k CE =14，k DE =12，k BE =−14，k DE =−16，所以14<k2⩽12或−14<k2⩽−16，即12<k ⩽1或−12<k ⩽−13. 故选：C.把方程2f(x)−kx +1=0有四个不同的实根，转化为函数y =f(x)和g(x)=k2x −12的图象有四个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解．此题主要考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，难点在于作出图象，属于中档题．7.【答案】B;【解析】本题查抽象函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题。

高考数学第一轮复习系列讲座11--指数函数与对数函数

y = loga x
(0<a<1)
图像
定义域值域
(0,+∞)
R
(0,+∞) (0,+∞)
R
R
单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
过定点
（1，0）（1，0）（1，0）
函数值变化情况
16
0<x<1时，y<0 x>1时，y>0
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奎屯
0<x<1时，y>0
x>1时，y<0
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二、知识点归纳新疆源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师王新敞 w xckt@ 新疆源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师王新敞 w xckt@
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三、题型讲解
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例2 画出函数 y log 2 | x |的图象 ,
并由图象写出它们的单调区间.
解: 因为 f (x) log2 | x | log2 | x | f (x) , (x 0)
C2
CC1 所以函数是偶函数,它的图
1

高考数学一轮复习第二章函数 2.5 指数与指数函数学案(文,含解析)新人教A版

学习资料2.5指数与指数函数必备知识预案自诊知识梳理1.根式(1)根式的概念x n=a ⇒(2)根式的性质①(）n=a（n∈N*)。

②2。

实数指数幂(1）分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是（a>0,m，n∈N*,n>1）。

②正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N＊,n>1)。

③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义。

(2）有理数指数幂的运算性质①a r a s=(a〉0，r，s∈Q)。

②(a r）s=(a>0，r，s∈Q)。

③（ab)r=(a〉0，b〉0，r∈Q）。

(3）无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a〉0,α为无理数）是一个的实数.整数指数幂的运算性质于实数指数幂。

3.指数函数的图象和性质函数y=a x（a>0，且a≠1)0〈a〈1a〉1图象图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升续表性质定义域值域单调性在R上在R 上函数值变化规律当x=0时，当x<0时,;当x>0时,当x〈0时,；当x〉0时,1。

指数函数y=a x(a〉0,且a≠1)的图象过三个定点：(1,a）,（0,1）,。

2。

指数函数y=a x与y=b x的图象特征，在第一象限内，图象越高,底数越大;在第二象限内,图象越高,底数越小。

考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”.(1）=π-4.（）（2)与(）n都等于a（n∈N*)。

（) （3)(—1=(-1。

(）（4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.（）(5)若a m>a n,则m〉n.()2。

（2020山东实验中学月考，3)已知m<n<1,则有()A。

m>n〉0 B.0〉m〉nC.n〉m〉0D.0>n>m3。

（2020广东广州模拟，4)已知函数f（x)=x,则不等式f（a2-4)〉f(3a)的解集为()A.(-4,1）B。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章指数与指数函数

3
<
3 4
3
，故D正确.
(2)设m，n∈R，则“m<n”是“
1 2
m－n>1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 12m－n>1，即12m－n>120， ∴m－n<0，∴m<n. 故“m<n”是“12m－n>1”的充要条件.
(3)函数f(x)＝
[高考改编题] 若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A.a＋b≤0
B.a－b≥0
C.a－b≤0
√D.a＋b≥0
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，
①
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
解析原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a>1.
思维升华
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域值域

2020版高考数学一轮复习加练半小时专题2 函数第11练指数函数理(含解析)

第11练指数函数[基础保分练]1．函数f (x )＝2x －8的定义域为__________． 2．(2019·镇江模拟)函数y ＝ax －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________． 3．已知2x >21－x ，则x 的取值范围是________．4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________． 5．(2019·扬州模拟)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 6．函数f (x )＝22112x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．7．某储蓄所计划从2016年底起，力争做到每年的储蓄量比前一年增加8%，则到2019年底该储蓄所的储蓄量比2016年的储蓄量增加________________．8．若函数f (x )＝|a x －1－1|在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在x ∈[－2,2]上恒有f (x )<2，则实数a 的取值范围是________________．10．已知不等式212x x +>22412x mx m -++⎛⎫ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________． [能力提升练] 1．已知函数f (x )＝2x －2－x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)______0.(填“>”“<”“＝”)2．设f (x )＝e x,0<a p ；④p ＝r >q .3．若关于x ＝1对称的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x 在x ∈[0,3]上解的个数是________． 4．已知f (x )＝2x －12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2－4)<0的解集为________． 5．已知函数y ＝a 1－x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 与点B (m,0)，C (0，n )(m ≠n ，mn ≠0)在同一直线上，则1m ＋1n＝________.6．(2018·南京模拟)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案精析基础保分练1.[)3，＋∞2.(2,2)3.x >124．y 1>y 3>y 2 5.充分不必要6．(－∞，1)7．(1.083－1)×100%解析设2016年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得2017年储蓄量为a (1＋0.08)＝1.08a ，2018年储蓄量为a (1＋0.08)×(1＋0.08)＝1.082a ，2019年储蓄量为a (1＋0.08)×(1＋0.08)×(1＋0.08)＝1.083a ，所以2019年底该储蓄所的储蓄量比2016年的储蓄量增加了1.083a －a a ＝1.083－1.8.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23解析当a >1时，令a x －1－1<0，得x <1，则f (x )在(－∞，1)上为减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1≤1，a <3a －1，解得12<a ≤23，不合题意，舍；当0<a <1时，同理⎩⎪⎨⎪⎧a <3a －1，3a －1≤1，解得12<a ≤23，故答案为12<a ≤23.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪()1，2 10.－3<m <5能力提升练1．> 2.③ 3.44．(－3,2)解析由题意知f (x )的定义域为R .∵f (x )＝2x －12x ＋1， ∴f (－x )＋f (x )＝2－x －12－x ＋1＋2x －12x ＋1＝1－2x 1＋2x ＋2x －12x ＋1＝0，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1，由复合函数的单调性可得f (x )为增函数， ∴f (x －2)＋f (x 2－4)<0可化为f (x －2)<－f (x 2－4)，即f (x －2)<f (4－x 2)，可得x －2<4－x 2，即x 2＋x －6<0，解得－3<x <2.5．1解析令1－x ＝0，求得x ＝1，y ＝1，可得函数y ＝a 1－x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，再根据点A 与点B (m,0)，C (0，n )(m ≠n ，mn ≠0)在同一直线上，可得k AB ＝k AC ，化简得m ＋n＝mn ，即1m ＋1n＝1. 6.14解析当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为[0，＋∞)上的减函数，不合题意；若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故a ＝14.。

高考数学一轮复习指数与指数函数考点专项练习(含解析)

高考数学一轮复习指数与指数函数考点专项练习（含解析）以指数为自变量底数为大于0且不等于1常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。

以下是指数与指数函数考点专项练习，请考生认真练习。

1.化简(x0)得()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y2.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan 的值为()A.0B.2C.1D.33.(2021福建三明模拟)设y1=40.7,y2=80.45,y3=,则()A.y3y2B.y2y3C.y1y3D.y1y24.已知函数f(x)=则f(9)+f(0)等于()A.0B.1C.2D.35.(2021山东临沂模拟)若函数y=ax+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象为()6.定义运算:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x*2-x的值域为()A.RB.(0,+)C.(0,1]D.[1,+)7.若a0,且ab+a-b=2,则ab-a-b= .8.若函数f(x)=a|2x-4|(a0,且a1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是.9.化简下列各式:(1)[(0.06)-2.5-(2).10.已知函数f(x)=3x+为偶函数.(1)求a的值;(2)利用函数单调性的定义,证明f(x)在(0,+)上单调递增.能力提升组11.函数f(x)=34x-2x在x[0,+)上的最小值是()A.-B.0C.2D.1012.函数y=(0a-b(a0),ab-a-b=2.8.[2,+) 解析:由f(1)=得a2=.因此a=,因此f(x)=.又因为g(x)=|2x-4|的单调递增区间为[2,+),因此f(x)的单调递减区间是[2,+).9.解:(1)原式=-1=-1=-1=0.(2)原式=-2)a=a2.10.(1)解:f(-x)=3-x+=a3x+.函数f(x)为偶函数,f(-x)=f(x).a3x+=3x+对任意xR恒成立,a=1.(2)证明:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x10,x1+x20,1,则1.0,(0,f(x1)f(x2).f(x)在(0,+)上单调递增.11.C 解析:设t=2x,x[0,+),t1.∵y=3t2-t(t1)的最小值为2,函数f(x)的最小值为2.12.D 解析:函数定义域为{x|xR,x0},且y=当x0时,函数是一个指数函数,其底数00,-0,x=log2(1+).(2)当t[1,2]时,2t+m0,即m(22t-1)-(24t-1).22t-10,m-(22t+1).∵t[1,2],-(1+22t)[-17,-5].与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练11 指数与指数函数(含解析)-人教版高三全册数学试题

课下层级训练(十一) 指数与指数函数[A 级基础强化训练]1．化简的结果为( ) A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab【答案】C [原式＝4÷＝－6ab －1＝－6a b.] 2．(2019·某某某某月考)函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B C D【答案】D ，如图[当x ＞0时，|x |＝x ，此时y ＝a x (0＜a ＜1)；当x ＜0时，|x |＝－x ，此时y ＝－a x(0＜a ＜1)，则函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状如图所示．]3．已知a ＝40.3，b ＝814，c ＝30.75，这三个数的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】C [a ＝40.3＝20.6，b ＝814＝234＝20.75，且20.6＜20.75，∴a ＜b ；又c ＝30.75，且20.75＜30.75，∴b ＜c ；∴a 、b 、c 的大小关系为a ＜b ＜C ．]4．(2019·某某某某月考)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )【答案】A [将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．]5．(2019·某某某某月考)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x C ．2－x D ．－2x【答案】D [由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .] 6．(2019·某某七台河月考)已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域( ) A ．[9，81]B ．[3，9]C ．[1，9]D ．[1，＋∞)【答案】C [由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，∴f (x )min ＝ f (2)＝32－2＝1；f (x )max ＝ f (4)＝34－2＝9.]7．(2019·某某某某月考)指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝______.【答案】43[设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3. 所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.] 8．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值X 围是__________.【答案】(0，1) [因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1.]9．化简： 614－(π－1)0－；【答案】解原式＝52－1－＝32－32＋42＝16. 10．(2019·某某某某月考)已知函数f (x )＝b ·a x(a ，b 为常数且a ＞0，a ≠0)的图象经过A (1，8)，B (3，32)．(1)试求a ，b 的值； (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，某某数m 的取值X 围．【答案】解 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝8，a 3·b ＝32，解得a ＝2，b ＝4.所以f (x )＝4×2x ＝2x ＋2.(2)设g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以g (x )在R 上是减函数．所以当x ≤1时，g (x )min ＝g (1)＝34. 若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x 在x ∈(－∞，1]时恒成立，则m ≤34.所以m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34. [B 级能力提升训练]11．(2019·某某省实验中学诊断)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，c ＝log 2π4，则( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】B [因为a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，b 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以0＜a ＜b ，又因为c ＝log 2π4＜log 21＝0.] 12．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )【答案】B [作出y ＝2|x |的图象，如图，结合选项知a ≤0，∵当a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，∴－4≤a ≤0，∴2|b |＝16.即b ＝4，故－4≤a ≤0，且b ＝4.]13．(2019·某某某某月考)方程4x －2x ＋1－3＝0的解集是__________. 【答案】{x |x ＝log 23} [设2x ＝t ，则方程变形为t 2－2t －3＝0，即(t －3)(t ＋1)＝0，解得t ＝3或t ＝－1(舍去)，所以2x＝3，所以x ＝log 23，所以方程的解集为{x |x ＝log 23}．]14．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值X 围是________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图A ．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.(2)当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.] 15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值X 围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．【答案】解 (1)由于a x －1≠0，则a x≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况，当x ＞0时，要使f (x )＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12a x －1＞0，则a x ＞1. 又∵x ＞0，∴a ＞1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0.16．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t ) ≥0对于t ∈[1，2]恒成立，某某数m 的取值X 围．【答案】解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12， ∵2x>0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1) ≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)恒成立，∵t ∈[1，2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

高考数学函数专题训练《指数函数》含答案解析

高考数学函数专题训练指数函数一、选择题1．设0n >，且1n n b a <<，则（） A ．01b a <<⇒>，所以当1n n a b >>时，11()()1n n n n a b >>，即 1a b >>，故选C.2.函数(21)xy x e =-的图象是（）【答案】A【解析】因为函数只有1个零点,所以排除C,D 两项,由()21e xy x '=+,可知函数在12x =-处取得极小值,所以不是定义域上的单调增函数,所以B 不对,只能选A ．3.已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>， 310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-， ()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.4.已知函数()93xxf x m =⋅-,若存在非零实数0x ,使得()()00f x f x -=成立,则实数m 的取值范围是（）A ．12m ≥B ．2m ≥C ．02m <<D ．102m << 【答案】D【解析】函数()93xxf x m =⋅-关于y 轴的对称函数为()()()93xx g x m g x f x --=-∴=g 有解,即33119393332099332x x xxxxx xx x x x m m m m --------=⋅-∴==+≥∴<<-+g Q5.已知点n A （n ,n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上,则46a a +与52a 的大小关系是（） A ．46a a +＞52a B ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关【答案】A【解析】点代入函数式得nn a a =,数列{}n a 为等比数列2464655222a a a a a a ∴+>==6.已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】依题意， 23log 31,0log 21a b =><=<，令()0f x =， x a x b =-+， xy a =为增函数，y x b =-+为减函数，故有1个零点.7.已知则之间的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．无法比较【答案】A 【解析】设，则，.∴，，∵，∴，即.故选A.8.设平行于x 轴的直线l 分别与函数和的图象相交于点A ，B ，若在函数的图象上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l （）A ．至少一条B ．至多一条C ．有且只有一条D ．无数条【答案】C【解析】设直线l 的方程为，由，得，所以点．由，得，所以点，从而|AB|＝1.如图，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，则CD ⊥AB ，且|AD|＝，|CD|＝，所以点.因为点C 在函数的图象上，则，解得，所以直线l 有且只有一条，故选C.9．已知函数()2x f x m =-的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称，若函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是A ．[)1,4,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,4D ．[)4,+∞ 【答案】B【解析】因为函数()y g x =与()2x f x m =-的图象关于y 轴对称，所以()2x g x m -=-，函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，所以函数()2x f x m =-和函数()2x g x m -=-在[]1,2上单调性相同，因为2x y m =-和函数2x y m -=-的单调性相反，所以()()220xx m m ---≤在[]1,2上恒成立，即()21220x x m m --++≤在[]1,2上恒成立，即22x x m -≤≤在[]1,2上恒成立，得122m ≤≤，即实数m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B.10.已知0a b >>，b a a b =，有如下四个结论：①e b <；②b e >；③a b ∃，满足2a b e ⋅<；④2a b e ⋅>．则正确结论的序号是（） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C 【解析】0,,b a a b a b >>=Q 则ln ln ln ln a bb a a b a b=⇒=，设函数ln ,0xy x x =>， 1ln ,0x y x x ='->，可知函数ln ,0x y x x=>在()0,e 单调递增，在(),e +∞上单调递减，如图所示，可知0b e << ，显然2ln ln 1ln ln 22a ba b a b e +>⇒+>⇒⋅> ，故选C 11．设0,0a b >>,则下列不等式成立的是（）A. 若2223a b a b +=+,则a b >B. 若2223a b a b +=+,则a b <C. 若2223a b a b -=-,则a b >D. 若2223a b a b -=-,则a b < 【答案】A【解析】设()22x f x x =+,则()f x 在R 上单调递增,且()()222322a b b f a a b b f b =+=+>+=则a＞b,因此A正确.12.已知函数，，则下列四个结论中正确的是（）①图象可由图象平移得到；②函数的图象关于直线对称；③函数的图象关于点对称；④不等式的解集是.A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】对于①，若的图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象向右平移个单位后得到的图象，所以①正确；对于②，设，则，，，关于对称，所以②正确；对于③，设，，，，关于对称，所以③正确；对于④，由得，化为，，若，若，所以④错误，故选C.二、填空题13.若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____．【答案】1(0,)2【解析】（1）当01a <<时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示，若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，由图象可知021a <<，解得102a <<；（2）当1a >时，作出函数1xy a =-的图象，如图所示，若直线2y a =与函数1(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，由图象可知021a <<，此时无解，综上所述，实数a 的取值范围是1(0,)2．14.若111,52=+==ba mb a 且,则m = ．【答案】10．【解析】m b a ==52Θ,m b m a 52log ,log ==∴,即5log 1,2log 1m m b a ==,则110log 11==+m ba ,即10=m ．15. 已知函数()()01x f x a b a a =+>≠，的定义域和值域都是[]10-，,则a b += . 【答案】32-【解析】分情况讨论：①当1a >时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递增．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1100f f -=-⎧⎪⎨=⎪⎩,无解；②当01a <<时,()=+xf x a b 在[]1,0-上递减．又()[]1,0∈-f x ,所以()()1001f f -=⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以32a b +=-． 16.已知，又（），若满足的有三个，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，，当时，当时，设，则要使得有三个不同的零点，则方程有两个不同的根，其中一个根在之间，一个根在之前，即且设，则，即实数的取值范围是.。

2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训：11 指数与指数函数 Word版含解析

指数与指数函数建议用时：45分钟一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )2．已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,6) B ．(1,5) C ．(0,5)D ．(5,0)A [由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P (1,6)．]3．(2020·泰州中学模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0,2)D ．[2，＋∞)B [由题意得到f (－x )＝f (x )，所以m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x ，整理得：m ＝3x (3x )2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12，故选B. ] 4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图象与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．]7．不等式的解集为________．(－1,4) [原不等式等价为又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4，即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]8．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾．综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解](1)当a ＝－1时，f (x )＝令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．[解](1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以m ≤56.即m 的取值范围是.1.已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A.0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1 C.1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x，∴b ＞1.,∵当x ＞0时，b x＜a x，∴当x ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2．设f (x )＝e x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝f (a )f (b )，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f(ab)，即q＞p.又r＝f(a)f(b)＝e a e b＝＝q，故q＝r＞p.故选C.] 3．(2020·苏州模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2x＋2－x＋|x|，则满足g(2x －1)＜g(3)的x的取值范围是________．(－1,2)[∵g(x)＝2x＋2－x＋|x|，∴g(－x)＝2x＋2－x＋|－x|＝2x＋2－x＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2x＋2－x＋x，则g′(x)＝(2x－2－x)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2). ]4．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．[解](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，所以f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.1．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]2．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解](1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋3(－1≤x ≤2)．设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2.当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝3716，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为34，3716. (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2，①当λ≤14时，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去；②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＝－2＜14，不符合，舍去；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，＜2，不符合，舍去．得λ＝32综上所述，实数λ的值为 2.。

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练指数函数(含

指数函数1、已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．解析 (1)y ＝2x ―――→向下平移2个单位y ＝2x －2――――――→把x 轴下方的部分翻折上去y ＝|f (x )|.答案：B2、下列各式比较大小正确的是( )．A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)A 中，∵函数y ＝1.7x 是增函数，2.5<3∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. D 中，∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.答案B3、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a.解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ t >1或t <－13. 4、(2012·山东卷)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.[解析] 若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意． [答案] 145．函数y ＝a x －1a(a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )．解析当a ＞1时单调递增，且在y 轴上的截距为0＜1－1a＜1时，故A ，B 不正确；当0＜a ＜1时单调递减，且在y 轴上的截距为1－1a＜0，故C 不正确；D 正确．答案 D6．函数y ＝2x －2－x 是( )．A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C ，D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x 都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x －2－x是R 上的增函数．答案 A7．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b ，选A.答案 A8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.答案 A9．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，b ＞1，所以a b∈(0,1)．答案 C10．已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案 (0,1)11．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32. 答案 12或3212．设f (x )＝e －x a ＋a e －x 是定义在R 上的函数． (1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －xa ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e xa ＋a e x ＝e －x a ＋ae －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x)＝0，又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1.13．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.。

2021版新高考数学一轮复习课时规范练11 指数与指数函数

课时规范练11 指数与指数函数基础巩固组1。

设集合A={x|2x>12}，B={x|x+1x-2≤0}，则A∩B=(）A.(-1,2）B。

［-1，2）C.(—1，2］D.[-1，2]2。

化简√64x12y66（x>0,y>0）得（）A.2x2yB.2xyC。

4x2y D。

—2x2y3.(多选）（2019江苏南京期中)若指数函数y=a x在区间[—1,1］上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是(）A。

2 B.12C.3 D.134。

（2019河北承德一中期中)设2x=8y+1，9y=3x—9，则x+y的值为（)A.18 B。

21C.24 D。

275。

函数f(x）=a|2x-4｜（a>0，a≠1）,满足f(1)=1，则f（x）的单调9递减区间是(）A。

（-∞，2] B.［2，+∞）C。

[—2,+∞) D.(-∞，—2]6.设a=log37,b=21。

1,c=0。

81。

1,则()A.b〈a〈cB.c〈a〈bC.c〈b〈aD.a〈c〈b7.下列函数中,与函数y=2x—2-x的定义域、单调性、奇偶性均一致的是(）A。

y=sin x B.y=x3C.y=(1)x D.y=log2x28.若偶函数f（x)满足f（x)=2x—4(x≥0）,则｛x|f（x—3）>0｝=（)A。

{x｜x<-3或x>5｝B。

｛x|x<1或x〉5｝C.｛x｜x<1或x〉7}D.{x|x〈—3或x>3}9。

（2019广东韶关一中期末）设x〉0,且1<b x〈a x，则()A。

0〈b<a〈1 B。

0<a<b<1C.1〈b〈a D。

1<a〈b10.（2019浙江嘉兴期中）若函数f(x)=(2a—1）x-3—2，则y=f（x）的图象恒过定点，又f（x）在R上是减函数,则实数a 的取值范围是.11.函数y=xx x|x|（0〈a〈1)图象的大致形状是（）综合提升组12.(多选）设函数f(x）=2x,对于任意的x1，x2(x1≠x2）,下列命题中正确的是(）A。

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第11练指数函数
[基础保分练]
1.函数f (x )＝2x
－8的定义域为__________.
2.(2019·镇江模拟)函数y ＝a x －2
＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________.
3.已知2x >21－x
，则x 的取值范围是________.
4.设y 1＝40.9
，y 2＝80.48
，y 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.5
，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__________.
5.(2019·扬州模拟)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x
在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3
在R 上是增函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
6.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
21x x －＋的单调递增区间是________.
7.某储蓄所计划从2016年底起，力争做到每年的储蓄量比前一年增加8%，则到2019年底该储蓄所的储蓄量比2016年的储蓄量增加________________.
8.若函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，
f (x )＝2x －2，则不等式f (x )≤0的解集为________.
9.若函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________.
10.已知不等式12x 2＋x >⎝ ⎛⎭⎪⎫122
24x mx m －＋＋对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.
[能力提升练]
1.(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝a x
，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，
f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________.
2.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －4≥0，x －2y －4≤0，
x －y ≥0，
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫122x ＋y
的最大值为________.
3.若关于x ＝1对称的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则
关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫19x
在x ∈[0,3]上解的个数是________.
4.已知f (x )＝2x
－12x ＋1，则不等式f (x －2)＋f (x 2
－4)<0的解集为________.
5.已知函数y ＝a
1－x
(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 与点B (m,0)，C (0，n )(m ≠n ，
mn ≠0)在同一直线上，则1
m ＋1
n
＝________.
6.(2018·南京模拟)若函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.
答案精析
基础保分练
1.[)3，＋∞
2.(2,2)
3.x >1
2
4.y 1>y 3>y 2
5.充分不必要
6.(－∞，1)
解析设t ＝x 2
－2x ＋1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t 为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知，
要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2
－2x ＋1的单调递减区间，
t ＝x 2－2x ＋1的对称轴为x ＝1，
单调递减区间为(－∞，1)，
所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1). 7.(1.083
－1)×100%
解析设2016年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得 2017年储蓄量为a (1＋0.08)＝1.08a ，
2018年储蓄量为a (1＋0.08)×(1＋0.08)＝1.082
a ， 2019年储蓄量为a (1＋0.08)×(1＋0.08)×(1＋0.08) ＝1.083
a ，
所以2019年底该储蓄所的储蓄量比2016年的储蓄量增加了1.083
a －a a
＝1.083
－1.
8.(－∞，－1]∪[0,1]
解析作出y ＝f (x )的图象如图所示.
故不等式f (x )≤0的解集为(－∞，－1]∪[0,1]. 9.12或32
解析 ∵函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，
∴①当0<a <1时，a －a 2
＝a
2，
∴a ＝12
；
②当a >1时，a 2
－a ＝a 2，∴a ＝32
.
10.－3<m <5
解析不等式等价为⎝ ⎛⎭⎪⎫122x x ＋>⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
24x mx m －＋＋，
即x 2
＋x <2x 2
－mx ＋m ＋4恒成立， ∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0恒成立，即Δ＝(m ＋1)2
－4(m ＋4)<0，即m 2
－2m －15<0，解得－3<m <5. 能力提升练 1.1 2.1
64
解析不等式组对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
设u ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋u ，直线的纵截距为u ，
当直线y ＝－2x ＋u 经过点A (2,2)时，直线的纵截距最小，u 最小，此时u 最小为2×2＋2＝6，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164
.
3.4
4.(－3,2)
解析由题意知f (x )的定义域为R . ∵f (x )＝2x
－1
2x ＋1
，
∴f (－x )＋f (x )＝2－x
－12－x ＋1＋2x －12x ＋1＝1－2x 1＋2x ＋2x
－1
2x
＋1＝0，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数.
又f (x )＝2x －12x ＋1＝2x
＋1－22x ＋1＝1－2
2x ＋1，由复合函数的单调性可得f (x )为增函数，
∴f (x －2)＋f (x 2
－4)<0可化为f (x －2)<－f (x 2
－4)，即f (x －2)<f (4－x 2
)，可得x －2<4－x 2
，即x 2
＋x －6<0，解得－3<x <2. 5.1
解析令1－x ＝0，求得x ＝1，y ＝1，可得函数y ＝a
1－x
(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，
再根据点A 与点B (m,0)，C (0，n )(m ≠n ，mn ≠0)在同一直线上，可得k AB ＝k AC ，化简得m ＋n ＝mn ，即1m ＋1
n
＝1.
6.14
解析当a >1时，有a 2
＝4，a －1
＝m ，
故a ＝2，m ＝1
2，此时g (x )＝－x 为[0，＋∞)上的减函数，不合题意；
若0<a <1，则a －1
＝4，a 2＝m ，
故a ＝14，m ＝116，此时g (x )＝3
4x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意.
故a ＝14.。