高中数学1-1-3弧度制课件新人教A版必修
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弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
2 故该扇形的面积的最大值为245cm2，取得最大值时圆心角为 2 rad，弧长为 5 cm.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
人教高中数学必修一A版《弧度制》三角函数研讨说课复习课件
∠就是1弧度的角
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
3
3
3
－ 5 [若 x ＝－5，则 x＝ －5
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3
＝－ 5.]
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6
(2)± 2 019
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(3)[－3，＋∞)
[(1)27 的立方根是 3.
6
(2)因为 x ＝2 019，所以 x＝± 2 019.
6
4
(3)要使 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3.
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
3
3
3
－ 5 [若 x ＝－5，则 x＝ －5
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[(1)27 的立方根是 3.
6
(2)因为 x ＝2 019，所以 x＝± 2 019.
6
4
(3)要使 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3.
《弧度制》课件(新人教A版)
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
高中数学人教A版 必修第一册 弧度制 课件
4
3
6
6
2.将下列各角化成0到2的角加上2k (k Z )
的形式 :
(1) 19 ;(2) 315o;(3) 23 ;(4) 1500o
3
6
(5) 18 ;(6)672o.
7
角的集合与实数集合之间的对应关系： （1）每一个角都有唯一的一个实数与它对应；
（2）每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角 度制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
2.角度的换算进制?
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位 的角相加、相减时，由于运算进率非十进制， 总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选 择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？
弧 度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
4
4
2
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 8557
∴ tan1.5 tan8557 14.12
练习
1.计算 : (1) sin ;(2) sin ;(3) cos ;(4) tan
180
人教A版高中数学必修一课件 《任意角和弧度制》三角函数PPT(第一课时任意角)
理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角 的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否 的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反 例即可．
经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分
别是( )
A．60°，720°
B．－60°，－720°
D．－390°
解析：选 D.－390°＝330°－720°，所以与 330°角终边相同 的角是－390°.
3．若角 α 的终边与 75°角的终边关于直线 y＝0 对称，且－360° <α<360°，则角 α 的值为____________． 解析：如图，设 75°角的终边为射线 OA，射线 OA 关于直线 y＝ 0 对称的射线为 OB，则以射线 OB 为终边的一个角为－75°，所 以以射线 OB 为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又 －360°<α<360°，令 k＝0 或 1，得 α＝－75°或 285°.
－110°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C
与 30°角终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
本部分内容讲解结束
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象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负 半轴重合．
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ _{_β_|β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_}__，即任一与角 α 终边相同的角，都可以 表示成角 α 与_______整__数_个__周_角_____的和． ■名师点拨
高中数学新人教A版必修一三角函数的概念课件34张
【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所 【答 以案 －】1 485－°1可0π以＋表74示π为－10π＋74π.
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§3弧度制
解析：对于 A，60°＝60×1π80＝π3 ；对于 B，－130π＝－130× 180°＝－600°；对于 C，－150°＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ150×1π80＝－56π；对 于 D，π 12＝112×180°＝15°.
栏目 第十一页，编辑于星期五：二十三导点 四引十九分。
第一章 三 角 函 数
3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的 弧度数为________． 2 解析：|α|＝rl＝42＝2. 4，．面若π3积扇S形＝的__圆_心__角__为_．60°，π6半径为1，则扇形的弧长l＝________ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
果都是不同的，二者要注意不能混淆．
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5．角度制与弧度制换算的要点
第一章 三 角 函 数
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第一章 三 角 函 数
角度与弧度的互化
(1)把 112°30′化为弧度； (2)将－152π rad 化为度． (链接教材 P10 例 1、例 2)
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系
角度
120 135 150
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
数
°°°
弧度
π π π π 5π π 2π 3π 5π
数
0 12
6
4
3 12 2
3
4
6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
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弧度制课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
(2)求圆心角 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 .
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
数学人教A版(2019)必修第一册5.1.2弧度制 课件(共25张ppt)
180
180 8
故答案为： 3π . 8
今天学习了什么
1.弧度制的概念 2.弧度制化角度制 3.扇形面积
结论
比值只与 的大小有关
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧 度单位用符号rad表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫作单位圆，如图，在单位圆O中，
︵
AB
的长等于1，
AOB
就是1弧度的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数.零角的弧 度数是0.
说明
（1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；
角度数=弧度数
180 π
注意
（1）度数与弧度数的换算除计算器外，还可借助《中学数学用表》进 行计算； （2）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略； （3）应该熟练记忆一些特殊角的度数与弧度数的对应值.
例题来了
例1：按照下面要求，把 67 30 化成弧度： （1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.
180
360
n°转化为弧度，得 n ，于是， S 1 R2 ，
180
2
将
l
R
代入上式，即得
S
1 2
lR
.
课堂巩固
C 1.扇形的圆心角为
3π 8
，半径为
4，则扇形的面积为(
)
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
解析：由扇形的面积公式可得 S
1 2
r 2
1 42 2
3π 8
3π
.故选：C.
D 2.将 210°化成弧度为( )
7.已知扇形的圆心角为 120° 120°，即 2π rad ,故扇形面积 S 1 2π 32 3π ，
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练习反馈
（3）已知扇形的圆心角为 72 ，半径 为 20 ，求扇形的面积. 8 （4）（提高题）已知扇形的周长为4，当它的半径 与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大面 积是多少？ r=1,最大面积S=1,此时圆心角为2
详细答案见金榜1号P6例4
小 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个 结 仅与角α大小有关的常数,所以作为度
量角的标准.
2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
零角
正实数
零 负实数
负角
1rad = ( 180) º 57.3º =57º 18′
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表:
角 度 弧 度
1º= 180
π
rad0.01745rad
π
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
课堂练习：P9练习
1， 2， 3
五、弧长公式
1、角度制下的弧长公式
l
n r 180
n r
2
角度制下的扇形面积公式
S扇
360
2、弧度制下的弧长公式
lr
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
1 1 2 R = lr 2 2
（1）若三角形的三个内角之比是 2：3：4， 2 3 4 ， ， 求其三个内角的弧度数． 9 9 9 （2）已知扇形的周长为 8cm ，面积 2 4cm 为 ，求扇形的中心角的弧度数． 2
rad
(2)圆弧长为3r的弧所对的圆心角为 3
rad
(3)圆弧长为r/2的弧所对的圆心角为 1/2 rad
正角
正数
2.正角的弧度数 负角
零角 负角的弧度数
负数
0
正数 负数 零
任意角的集合 零角的弧度数
实数集R
3.任一已知角α的弧度数的绝对值
|α| = r 其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.
用1º 角作单位来度量角的制度叫做角度制
今天学习
另一种度量角的制度——弧度制。
弧度制
弧度制的定义:
用弧度做单位来度量 角的制度叫做 弧度制
B
1.定义：把长度等于半径 长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角.用符号rad表 示。 如：∠AOB=1 rad
练习：半径为r的圆中，
L=r
1弧度
O
r
A
(1)圆弧长为2r的弧所对的圆心角为 2
L —
L = |α| r (弧长计算公式)
由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 长的比的绝对值。
B
B
Байду номын сангаасL=r
1弧度
L=r 1弧度 A O O r r
A
的与 一半 个径 比长 值无 关
5.角度制与弧度制的换算: 360º = 2π rad, 180º = π rad
§1.2 弧度制
复习:
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 1.任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 2.象限角 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角α相同的角
α＋K· 360°，K∈Z
问1： 初中1度的角是怎样定义的呢？ 1 周角的 为1度的角。 360