[数学]2017-2018年江西省赣州市寻乌中学高一(上)数学期末试卷带解析word

2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）若集合A={x|x＜3},B={x|x＞0},则A∪B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＞0}C．{x|x＜3}D．R2．（4.00分）已知α为锐角,则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角3．（4.00分）已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C',△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么在原△ABC的面积为（）A．B．C．D．4．（4.00分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对5．（4.00分）在空间直角坐标系中点P（1,3,﹣5）关于xoy对称的点的坐标是（）A．（﹣1,3,﹣5）B．（1,﹣3,5）C．（1,3,5） D．（﹣1,﹣3,5）6．（4.00分）过点A（1,2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=07．（4.00分）三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．（4.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞,+∞）上既是奇函数又是增函数,则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．（4.00分）在平面直角坐标系xOy中,以C（1,1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A,B两点,点M,N分别在线段OA,OB上,若,MN与圆C相切,则|MN|的最小值为（）A．1 B．C．D．10．（4.00分）定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）=,则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣111．（4.00分）如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1 B．2 C．D．12．（4.00分）若函数f（x）是R上的单调函数,且对任意实数x,都有f[f（x）+]=,则f（log23）=（）A．1 B．C．D．0二、填空题（每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上）13．（4.00分）已知函数,则=．14．（4.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1,）处的切线方程为．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在区间[0,+∞）上单调递增,则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x取值集合是．16．（4.00分）在直角坐标系内,已知A（3,2）是圆C上一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若圆C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M,N的坐标分别为（﹣m,0）,（m,0）,则实数m的取值集合为．三、解答题（本大题共6小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8.00分）已知集合．（1）当m=2时,求A∪B；（2）若B⊆A,求实数m的取值范围．18．（10.00分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2,2）,过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时,求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长．19．（10.00分）已知函数f（x）=ax++c是奇函数,且满足f（1）=,f（2）=．（1）求a,b,c的值；（2）试判断函数f（x）在区间（0,）上的单调性并证明．20．（8.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．21．（10.00分）已知圆O：x2+y2=2,直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当时,求k的值；（2）若是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,探究：直线CD是否过定点？若过定点则求出该定点,若不存在则说明理由；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形EGFH的面积的最大值．22．（10.00分）设函数y=f（x）的定义域为D,值域为A,如果存在函数x=g（t）,使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A,那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由；①；②f（x）=x2﹣x+1,x∈R,x=g（t）=2t,t∈R．（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2,8],已知是y=f（x）的一个等值域变换,且函数y=f[g（t）]的定义域为R,求实数m、n的值．2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）若集合A={x|x＜3},B={x|x＞0},则A∪B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|x＞0}C．{x|x＜3}D．R【解答】解：∵集合A={x|x＜3},B={x|x＞0},作出图象,如图：∴结合图象知A∪B=R．故选：D．2．（4.00分）已知α为锐角,则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角【解答】解：α为锐角,所以α∈（0°,90°）,则2α∈（0°,180°）,故选：D．3．（4.00分）已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C',△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么在原△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,故面积为,而原图和直观图面积之间的关系=,那么原△ABC的面积为：,故选：C．4．（4.00分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是确定直径,长方体的对角线为：,所以球的半径为：,所以这个球的表面积是：=50π．故选：B．5．（4.00分）在空间直角坐标系中点P（1,3,﹣5）关于xoy对称的点的坐标是（）A．（﹣1,3,﹣5）B．（1,﹣3,5）C．（1,3,5） D．（﹣1,﹣3,5）【解答】解：过点A（1,3,﹣5）作平面xOy的垂线,垂足为H,并延长到A′,使AH′=AH,则A′的横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来纵坐标的相反数,即得：A′（1,3,5）．故选：C．6．（4.00分）过点A（1,2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：根据题意得,当与直线OA垂直时距离最大,因直线OA的斜率为2,所以所求直线斜率为﹣,所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1）,化简得：x+2y﹣5=0,故选：B．7．（4.00分）三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0,由指数函数的性质可知：0＜a＜1,c＞1∴b＜a＜c故选：C．8．（4.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞,+∞）上既是奇函数又是增函数,则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x,（a＞0,a≠1）在（﹣∞,+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x,（a＞0,a≠1）在（﹣∞,+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点,且为增函数故选：C．9．（4.00分）在平面直角坐标系xOy中,以C（1,1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A,B两点,点M,N分别在线段OA,OB上,若,MN与圆C相切,则|MN|的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由题意,根据圆的对称性,可得OC⊥MN时,|MN|取得最小值,最小值为2（﹣1）=2﹣2,故选：D．10．（4.00分）定义在R上的奇函数f（x）,当x≥0时,f（x）=,则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【解答】解：∵当x≥0时,f（x）=；即x∈[0,1）时,f（x）=（x+1）∈（﹣1,0]；x∈[1,3]时,f（x）=x﹣2∈[﹣1,1]；x∈（3,+∞）时,f（x）=4﹣x∈（﹣∞,﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象,再利用奇函数的对称性,画出x＜0时f（x）的图象,如图所示；则直线y=a,与y=f（x）的图象有5个交点,则方程f（x）﹣a=0共有五个实根,最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为6,∵x∈（﹣1,0）时,﹣x∈（0,1）,∴f（﹣x）=（﹣x+1）,又f（﹣x）=﹣f（x）,∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log 2（1﹣x）,∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a,即1﹣x=2a,解得x=1﹣2a,∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．11．（4.00分）如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：由题意可知,P在正视图中的射影是在C1D1上,AB在正视图中,在平面CDD1C1上的射影是CD,P的射影到CD的距离是AA1=2,所以三棱锥P﹣ABC的正视图的面积为=1；三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值为=,所以三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为=2,故选：B．12．（4.00分）若函数f（x）是R上的单调函数,且对任意实数x,都有f[f（x）+]=,则f（log23）=（）A．1 B．C．D．0【解答】解：∵函数f（x）是R上的单调函数,且对任意实数x,都有f[f（x）+]=,∴f（x）+=a恒成立,且f（a）=,即f（x）=﹣+a,f（a）=﹣+a=,解得：a=1,∴f（x）=﹣+1,∴f（log23）=,故选：C．二、填空题（每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上）13．（4.00分）已知函数,则=．【解答】解：∵函数,∴f（）==﹣2,=f（﹣2）=．故答案为：．14．（4.00分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1,）处的切线方程为x﹣y+2=0．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2,0）,所以切点与圆心连线的斜率：=﹣,所以切线的斜率为：,切线方程为：y﹣=（x﹣1）,即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．15．（4.00分）已知偶函数f（x）在区间[0,+∞）上单调递增,则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x取值集合是（﹣1,2）．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（3）得,f（|2x﹣1|）＜f（3）；又f（x）在[0,+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜3；解得﹣1＜x＜2；∴x的取值范围是：（﹣1,2）．故答案为：（﹣1,2）．16．（4.00分）在直角坐标系内,已知A（3,2）是圆C上一点,折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,若圆C上存在点P,使∠MPN=90°,其中M,N的坐标分别为（﹣m,0）,（m,0）,则实数m的取值集合为[3,7] ．【解答】解：由题意,∴A（3,2）是⊙C上一点,折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合,两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0,∴圆上不相同的两点为B（1,4）,D（5,4）,∵A（3,2）,BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3,4）,半径为1,∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．过P,M,N的圆的方程为x2+y2=m2,∴两圆外切时,m的最大值为+2=7,两圆内切时,m的最小值为﹣2=3,故答案为[3,7]．三、解答题（本大题共6小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8.00分）已知集合．（1）当m=2时,求A∪B；（2）若B⊆A,求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时,A={x|﹣1≤x≤5},由B中不等式变形得3﹣2≤3x≤34,解得﹣2≤x≤4,即B={x|﹣2≤x≤4}．∴A∪B={x|﹣2≤x≤5}．（2）∵B⊆A,∴,解得m≥3,∴m的取值范围为{m|m≥3}．18．（10.00分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2,2）,过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时,求直线l的方程；（写一般式）（2）当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长．【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1,0）,因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2（x﹣1）,即2x﹣y﹣2=0．（2）当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为．19．（10.00分）已知函数f（x）=ax++c是奇函数,且满足f（1）=,f（2）=．（1）求a,b,c的值；（2）试判断函数f（x）在区间（0,）上的单调性并证明．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=﹣f（x）∴c=0,∵,∴,∴；（2）∵由（1）问可得f（x）=2x+,∴f（x）在区间（0,0.5）上是单调递减的；证明：设任意的两个实数0＜x1＜x2＜,∵f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+﹣=2（x1﹣x2）+=,又∵0＜x1＜x2＜,∴x1﹣x2＜0,0＜x1x2＜,∴﹣4x1x2＞﹣1∴1﹣4x1x2＞0,f（x1）﹣f（x2）＞0,∴f（x）在区间（0,0.5）上是单调递减的．20．（8.00分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD．（2）解：连接BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形,所以OB∥DC．由（1）知PO⊥OB,∠PBO为锐角,所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=,在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1,在Rt△PBO中,PB=,所以cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．（3）解：假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为．=x,由（2）得CD=OB=,设QD=x,则S△DQC在Rt△POC中,PC=,==,所以PC=CD=DP,S△PCD=V Q﹣PCD,得x=,所以存在点Q满足题意,此时=．由V p﹣DQC21．（10.00分）已知圆O：x2+y2=2,直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A,B,当时,求k的值；（2）若是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,探究：直线CD是否过定点？若过定点则求出该定点,若不存在则说明理由；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形EGFH的面积的最大值．【解答】解：（1）∵,∴点O到l的距离,∴．（2）由题意可知：O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设．其方程为：,即,又C、D在圆O：x2+y2=2上,∴,即,由,得∴直线CD过定点．（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2．则,∴,当且仅当,即时,取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为．22．（10.00分）设函数y=f（x）的定义域为D,值域为A,如果存在函数x=g（t）,使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A,那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由；①；②f（x）=x2﹣x+1,x∈R,x=g（t）=2t,t∈R．（2）设f（x）=log2x的定义域为x∈[2,8],已知是y=f（x）的一个等值域变换,且函数y=f[g（t）]的定义域为R,求实数m、n的值．【解答】解：（1）在①中,∵,∴函数y=f（x）的值域为R,函数y=f[g（t）]的值域是（0,+∞）,故①不是等值域变换,在②中,,即f（x）的值域为,当t∈R时,,即y=f[g（t）]的值域仍为,∴x=g（t）是f（x）的一个等值域变换,故②是等值域变换．（2）f（x）=log2x定义域为[2,8],因为x=g（t）是f（x）的一个等值域变换,且函数y=f[g（t）]的定义域为R,∴的值域为[2,8],,∴恒有,解得．。