初二下四边形压轴题复习进程
备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，在△ABP 和△QBP 中，{90APB BPHA BQP BP BP∠=∠∠=∠=︒=，∴△ABP ≌△QBP （AAS ），∴AP=QP ，AB=BQ ，又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，在△BCH 和△BQH 中，{90BC BQC BQH BH BH=∠=∠=︒=，∴△BCH ≌△BQH （SAS ），∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH 的周长是定值．（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．又∵EF 为折痕，∴EF ⊥BP ．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP ．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM 和△BPA 中，{EFM ABPEMF A FM AB∠=∠∠=∠=，∴△EFM ≌△BPA （AAS ）．∴EM=AP ．设AP=x在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．解得BE=2+28x ， ∴CF=BE-EM=2+28x -x ， ∴BE+CF=24x -x+4=14（x-2）2+3． 当x=2时，BE+CF 取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．2．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）133． 【解析】 分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x= 133， ∵BD=22AD AB + =213， ∴OB=12BD=13， ∵BD ⊥EF ，∴EO=22BE OB -=213， ∴EF=2EO=4133． 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键3．在△ABC 中，AB=BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点（点P 不与点A ，O ，C 重合）．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ． （1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF ﹣AE|=2，EF=23，当△POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．【答案】（1）OF =OE ；（2）OF ⊥EK ，OF=OE ，理由见解析；（3）OP 62233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、622+；(3)、3212++.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22OC CD+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=22OE CE+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴OD=2222215OC CD+=+=(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，∴四边形BECF是矩形，∴BF=CF=12，CF=BE=32，在Rt △OCE 中，OC=222231122OE CE ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=622+． (3)、如图3中，当OF ⊥DE 时，OF 的值最大，设OF 交DE 于H ，在OH 上取一点M ，使得OM=DM ，连接DM ．∵FD=FE=DE=1，OF ⊥DE ， ∴DH=HE ，OD=OE ，∠DOH=12∠DOE=22.5°， ∵OM=DM ， ∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=12， ∴DM=OM=2， ∵FH=223DF DH -=， ∴OF=OM+MH+FH=2132++=321++． ∴OF 的最大值为321++． 考点：四边形综合题．5．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF ；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC＝BC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AG是BC的垂直平分线，∴GC＝GB，∴∠GBF＝∠BCG，∵BG＝BF，∴GC＝BE，∵CE＝EF，∴∠CEF＝180°﹣2∠F，∵BG＝BF，∴∠GBF＝180°﹣2∠F，∴∠GBF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠BCG，∵∠BCE＝∠CEF+∠F，∠BCE＝∠BCG+∠GCE，∴∠GCE＝∠F，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE ＝EG ，∴∠GAE ＝∠AGE ，在Rt △ACD 中，N 为AC 的中点，∴DN ＝12AC ＝AN ，∠DAN ＝∠ADN ， ∴∠ADN ＝∠AGE ，∴DN ∥GF ，在Rt △GDF 中，M 是FG 的中点， ∴DM ＝12FG ＝GM ，∠GDM ＝∠AGE ， ∴∠GDM ＝∠DAN ，∴DM ∥AE ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∴EM ＝DN ＝12AC ， ∵AC ＝AB ＝5， ∴EM ＝52． 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．7．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若42ADB =∠，则DBE ∠的度数为______.（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；【算一算】首先求出GD=9-72033=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三角形的判定定理证出DF=DG=203，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．【详解】（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=42°，由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=12∠DBC=21°，故答案为21．（2）【画一画】如图所示：【算一算】如3所示：∵AG=73，AD=9，∴GD=9-72033，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC=AD=9，∴∠DGF=∠BFG，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=203，∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=22222016433 DF CD⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴BF=BC-CF=9161133-=，由翻折不变性可知，FB=FB′=11 3，∴B′D=DF-FB′=2011333-=.【点睛】四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．8．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，证明：PE=2PF．【答案】（1）①证明见解析，②2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，∴∠AOE+∠DOE=90°，∴∠AOF+∠AOE=90°，∴∠DOE=∠AOF ，在△AOF 和△DOE 中，OAF ODE OA ODAOF DOE ＝＝＝∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOF ≌△DOE ，∴AF=DE ；②解：过点O 作OG ⊥AB 于G ，∵正方形的边长为23， ∴OG=12BC=3， ∵∠DOE=15°，△AOF ≌△DOE ，∴∠AOF=15°，∴∠FOG=45°-15°=30°，∴OF=OG cos DOG∠=2， ∴EF=22=22OF OE +；（2）证明：如图2，过点P 作HP ⊥BD 交AB 于点H ，则△HPB 为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP ，∵BD=3BP ，∴PD=2BP ，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE ，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF ∽△PDE ， ∴12PF PH PE PD ==， ∴PE=2PF ．【点睛】 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别是边BC 、CD 上两点，且BM ＝CN ，连接AM 和BN ，交于点P ．猜想AM 与BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM 和BN ，交于点P ，求△APB 周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC 为边长为23的菱形ABCD 的对角线，∠ABC ＝60°．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 向终点C 和A 运动．连接AM 和BN ，交于点P ．求△APB 周长的最大值．【答案】（1）AM ⊥BN ，证明见解析；（2）△APB 周长的最大值2；（3）△PAB 的周长最大值3．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS 证明△ABM ≌△BCN ，即可证得AM ⊥BN ； （2）如图②，以AB 为斜边向外作等腰直角△AEB ，∠AEB=90°，作EF ⊥PA 于E ，作EG ⊥PB 于G ，连接EP ，证明PA+PB=2EF ，求出EF 的最大值即可；（3）如图③，延长DA 到K ，使得AK=AB ，则△ABK 是等边三角形，连接PK ，取PH=PB ，证明PA+PB=PK ，求出PK 的最大值即可.试题解析：（1）结论：AM ⊥BN ．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．10．已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如图1所示．（1）填空：AB= ，BC= ．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转，①当AC与x轴平行时，则点A的坐标是②当旋转角为90°时，得到△BDE，如图2所示，求过B、D两点直线的函数关系式．③在②的条件下，旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少？（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，点C′为直线AB上的一点，请直接写出△ABC扫过的图形的面积．【答案】（1）：5；5；（2）①（0，﹣2）；②直线BD的解析式为y=﹣x+3；③S=π；（3）△ABC扫过的面积为．【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上的点的坐标特征，结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，利用勾股定理即可解答；（2）①因为B（0，3），所以OB=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；②过点C作CF⊥OA与点F，证明△AOB≌△CFA，得到点C的坐标，求出直线AC解析式，根据AC∥BD，所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同，设出解析式，即可解答．③利用旋转的性质进而得出A，B，C对应点位置进而得出答案，再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案；（3）利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3，在Rt△AOB中，AB=，∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，∴BC=；（2）①如图1，∵B（0，3），∴OB=3，∵AB=5，∴AO=AB-BO=5-3=2，∴A（0，-2）．当在x轴上方时，点A的坐标为（0，8），②如图2，过点C作CF⊥OA与点F，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAO+∠CAF=90°，∵∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CAF=∠OBA，在△AOB和△CFA中，，∴△AOB≌△CFA（AAS）；∴OA=CF=4，OB=AF=3，∴OF=7，CF=4，∴C（-7，4）∵A（-4，0）设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：，则直线AC解析式为y=x，∵将△ABC绕点B逆时针旋转，当旋转角为90°时，得到△BDE，∴∠ABD=90°，∵∠CAB=90°，∴∠ABD=∠CAB=90°，∴AC∥BD，∴设直线BD的解析式为y=x+b1，把B（0，3）代入解析式的：b1=3，∴直线BD的解析式为y=x+3；③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积，所以可得：S=；（3）将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC，如图3：将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3，求得C′的横坐标为，平行四边CAA′C′的面积为（7+）×4=，三角形ABC的面积为×5×5=△ABC扫过的面积为：．考点：几何变换综合题．。
(完整版)八年级下四边形知识点经典题型要点总结
朔州市文曲星教育文化培训中心中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。
能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。
会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力·（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s 菱=争6(n、6 分别为对角线长)．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。
八年级下四边形知识点经典题型要点总结
八年级下四边形知识点经典题型要点总结在八年级下册的数学学习中，四边形是一个重要的几何图形，其中包括了矩形、正方形、菱形、平行四边形、梯形等等。
通过对于这些四边形的学习和掌握，不仅可以提高我们的空间想象力，还有助于解决实际问题。
在本文中，我们将总结四边形的知识点和经典题型要点，帮助大家更好地掌握这一部分内容。
1. 矩形矩形是一个具有四个直角的四边形，其特点是对角线相等，对边平行且相等。
矩形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 2 × (长 + 宽)- 面积计算公式：面积 = 长 ×宽- 对角线长度相等：对角线长度等于 $\sqrt{长^2 + 宽^2}$2. 正方形正方形是一种特殊的矩形，其特点是四个边和四个角都相等。
正方形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 4 ×边长- 面积计算公式：面积 = 边长 ×边长- 对角线长度：对角线长度等于边长 × $\sqrt{2}$3. 菱形菱形是一种具有对边平行且相等的四边形，其特点是所有角都是直角。
菱形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 4 ×边长- 面积计算公式：面积 = 对角线之积的一半- 对角线的长度关系：对角线互相垂直且相等4. 平行四边形平行四边形是一种具有对边平行且相等的四边形，其特点是对角线互相平分。
平行四边形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 2 × (边长1 + 边长2)- 面积计算公式：面积 = 底边 ×高- 对角线的长度和关系：对角线长度等于 $\sqrt{边长1^2 + 边长2^2 + 2×底边×高^2}$5. 梯形梯形是一种具有两条平行边的四边形，其特点是底边和顶边平行且相等。
梯形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 底边1 + 底边2 + 左斜边 + 右斜边- 面积计算公式：面积 = （底边1 + 底边2） ×高 / 2通过对于这些四边形的学习和掌握，我们可以更好地解决与其相关的问题。
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册 中心对称图形平行四边形压轴题复习(二)
中心对称图形——平行四边形压轴题复习（二）1．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、DB、BF．（1）求证：∠DEB＝∠BFD；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．3．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．（1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∠1＝∠2．它是一个矩形吗？为什么？6．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．7．如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC，分别作∠BAC、∠BCA、∠ACD、∠DAC的角平分线AE、CE、CF、AF．（1）当AB＝BC时，求证：四边形AECF是菱形；（2）设AB＝4，BC＝3，分别作EM⊥AC于点M，FN⊥AC于点N，求MN的长；（3）分别作EG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H，当GC＝3，HC＝4时，求矩形ABCD的面积．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．9．已知P是正方形ABCD边BC上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE交于E点，连接AE交CD于F．（1）求证：EP＝AP；（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE的长．10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E 作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD 的2倍的所有的角．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．12．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．13．如图，菱形ABCD中，E为AB边上的一点，F为BC延长线上的一点，且∠BED+∠F ＝180°求证：DE＝DF．14．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．15．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD 于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB且DC∥AB，∵E，F分别为边AB、CD上的中点，∴DF＝DC，BE＝AB，且DF∥BE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠DEB＝∠BFD；（2）证明：∵E为边AB的中点，∴AE＝BE，∵∠ADB＝90°，∴△ADB为直角三角形∴DE＝AB＝BE，由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，∴平行四边形BFDE是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∵O是BD的中点，∴DO＝BO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DC∥AB（即DF∥BE），∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝＝＝10，∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，∴四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，即BE＝，∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．3．解：（1）PC＝PE，PC⊥PE证明∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴PA＝PC，∴PC＝PE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠FDE，∵四边形ABCD是正方形，，∴∠ADC＝90°，∴∠FDE＝90°，∴∠CPF＝90°，∴PC⊥PE．（2）PA＝CE．理由如下：证明：∵点P位于AE的垂直平分线上，∴PA＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AC，∠ADB＝∠CDB，∵PD＝PD，∴△ABP≌△CBP，∴PA＝PC∴PC＝PE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CBP，∵PB＝PB，∴△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED，∵∠PFC＝∠DFE，∴△CPF∽△EDF，∴∠CPF＝∠EDF，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°∴∠ADC＝∠ABC＝120°∴∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°∴∠CPF＝60°∵PE＝PC∴△PCE是等边三角形∴CE＝PE∴AP＝CE．4．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．5．解：四边形ABCD是矩形．理由如下：证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC＝AC，OB＝BD．又∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形．6．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AD＝BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，∴在△ADF和△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AD＝EC，而AD＝BC∴BC＝EC．7．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，同理，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）过E作EH⊥BC于点H，EG⊥AB于点G，∵∠B＝90°，∴四边形BHEG为矩形，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EM＝EG＝EH，∴四边形BHEG是正方形，∴BG＝BH，∵EM＝EG＝EH，AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEG≌Rt△AEM（HL），Rt△CEH≌Rt△CEM（HL），∴AM＝AG，CM＝CH，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，设AM＝AG＝x，CM＝CH＝y，BH＝BG＝z，则，解得，，∴AM＝3，CM＝2，∵由（1）知四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AF∥CE，∴∠FAN＝∠ECM，∵∠ANF＝∠CME＝90°，∴△ANF≌△CME（AAS），∴AN＝CM＝2，∴MN＝AM﹣AN＝3﹣2＝1；（3）过E作EK⊥AB于点K，EL⊥AC于点L，如图，∵矩形ABCD中AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE、CF分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠KAE＝∠HCF，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，∵∠AKE＝∠CHF＝90°，∴△AEK≌△CHF（AAS），∴AK＝CH＝4，∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴EK＝EL＝EG，∵AE＝AE，CE＝CE，∴Rt△AEK≌Rt△AEL（HL），Rt△CEG≌Rt△CEL（HL），∴AK＝AL＝4，CG＝CL＝3，∴AC＝AL+CL＝4+3＝7，∵EK＝EG，∠EKB＝∠B＝∠EGB＝90°，∴四边形BGEK为正方形，∴BG＝BK，∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝24．8．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵DF＝．9（1）证明：连接AC，过P点作PG⊥BC交AC于G点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，∵PG⊥BC，∴∠GPC＝90°，∴∠PGC＝45°，∴PG＝PC，∵∠DCE＝45°，∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠GPC＝90°，∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，在△PAG和△PEC中∴△PAG≌△PEC（ASA），∴PE＝PA；（2）解：延长CB到Q，使BQ＝DF，过E作EH⊥BC，EH交BC延长线于H，连接AQ，PF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABQ＝∠D＝90°，在△ABQ和△ADF中∴△ABQ≌△ADF（SAS），∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，∵∠APE＝90°，AP＝PE，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，在△QAP和△FAP中∴△QAP≌△FAP（SAS），∴QP＝PE，∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，在△PEH和△APB中∴△PEH≌△APB（AAS），∴BP＝EH，∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ECH＝45°＝∠CEH，∴CH＝EH＝BP，设EH＝CH＝BP＝x，∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，在Rt△PCF中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，解之得：x＝，即CH＝EH＝，∴在Rt△CHE中，由勾股定理得：CE＝CH＝．10．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠BDA，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF为菱形．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，∵∠ABF＝∠AEF，∴∠ABF＝2∠BAD．所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．11．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE＝AD＝AE，故答案为：＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵AE⊥BF，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，OB＝OB，∠ABO＝∠EBO，∴△ABO≌△EBO（ASA），∴AB＝BE，∴AF＝BE，又AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）如图，作AG⊥BC于点G，∵四边形ABEF是菱形，OA＝OE＝AE＝6，OB＝OF＝BF＝8，∴AB＝＝10，BE＝10，设BG＝x，则EG＝BE﹣BG＝10﹣x，∴在Rt△ABG和Rt△AEG中，根据勾股定理，得AG2＝AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2即102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2解得x＝，∴AG＝＝．∴四边形ABCD的面积为：BC•AG＝15×＝144．13．解：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，∵∠BED+∠F＝180°，∠BED+∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，又∵∠DNE＝∠DMF，∴△DNE≌△DMF（AAS）∴DE＝DF．14．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，∴x＝2﹣．15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．。
初二下期末几何压轴题及解析
初二下期末几何压轴题及解析初二下期末几何及解析1、已知四边形ABCD，以边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G。
1) 当四边形ABCD为正方形时，EB和FD的数量关系是什么？2) 当四边形ABCD为矩形时，EB和FD具有什么数量关系？请证明。
3) 四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数。
解答：1) EB=FD。
2) EB=FD。
证明：因为△AFB为等边三角形，所以AF=AB，∠FAB=60°；因为△ADE为等边三角形，所以AD=AE，∠EAD=60°，所以∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠FAD=∠BAE。
因此，△FAD≌△BAE，从而EB=FD。
3) ∠EGD不发生变化，因为在任何情况下，∠EGD都等于60°。
2、已知：在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF。
1) 求证：△ABE≌△FCE；2) 若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形。
解答：1) 如图1.在△ABE和△XXX中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，因此△ABE≌△XXX。
2) 因为△ABE≌△FCE，所以AB=FC。
又因为AB∥FC，所以四边形ABFC是平行四边形。
由于四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC。
又因为AF=AD，所以AF=BC，从而四边形ABFC是矩形。
3、已知△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1.1) 要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△XXX的边上。
XXX设计出了一种剪法，如图1所示。
请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来。
2) 请在图3和图4中画出两个不同于图1和图2的剪法。
解答：1) 另一种剪法如图2所示，将△XXX沿着AC折叠，使点C与点B重合，然后将纸张沿着BD剪去一部分，即可得到正方形。
初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。
3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。
6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
）8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。
9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。
⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。
⑵有一个角是直角的菱形是正方形。
（矩形+菱形=正方形）常考题：一．选择题（共14小题）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．1711．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．812．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．1913．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13小题）15．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．16．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．21．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．22．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C （0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．三．解答题（共13小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．31．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．32．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．33．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？35．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ABD≌△EBD；（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．38．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．4．（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．6．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．10．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．11．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．12．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．13．（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．14．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13小题）15．（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（2015•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD 的周长等于20．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．18．（2007•临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．19．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．20．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65度．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．21．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．25．（2013•阜新）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014•丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．。
浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)
浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ． （1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ． （1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ， 在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ， 即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ． 在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ， 又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ， 又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形， 当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ， 又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在． 综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ， 则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ， 在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2） 同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）． 在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=， 此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ， 理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°， 由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ； （3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为： 过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。
期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题-【微专题】八年级数学下册常考点微专题提分精练
八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题1. （1）问题背景：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，BE ＝DF ，M 为AF 的中点，求证：①∠BAE ＝∠DAF ；②AE ＝2DM ．（2）变式关联：如图2，点E 在正方形ABCD 内，点F 在直线BC 的上方，BE ＝DF ，BE ⊥DF ，M 为AF 的中点，求证：①CE ⊥CF ；②AE ＝2DM ．（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 在线段BC 上，F 在线段BD 上，BE ＝DF ，直接写出()2AE AF +的最小值．2. 已知：正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，连接CE ，作EF CE ⊥交AB 于点F ．（1）如图（1），求证：CE EF =；（2）如图（2），作EM BD ⊥交AD 于点M ，连接BM ，求证：BM =；（3）如图（3），延长CE 交DA 于点N ，若BE =6AN =，则CE =_________．3. 已知，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，6AB =，E 、F 分别为AD 、CD 上一点．（1）如图1，若60EBF ∠=︒，求证：AE DF =；（2）如图2，E 为AD 中点，1DF =，线段EG 交BC 于G ，FH 交AB 于H ，60EOF ∠=︒，若BH x =，CG y =．①求y 与x 之间的函数关系式；②若6x y +=，则HF =______．4. （1）问题背景：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CB CD ⊥交AB 的延长线于F 求证：CE CF =；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB 、EF 交于M ，请探究DM 、BM 与BF 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB 和CE 交于点N ，连接CM 并延长交AB 于点P ，已知DE =，15DME ∠=︒，直接写出PB 的长________．5. 正方形ABCD 的边长为4．（1）如图1，点E 在AB 上，连接DE ，作AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．①求证：DF CG =；②如图2，对角线AC ，BD 交于点O ，连接OF ，若3AE =，求OF 的长；（2）如图3，点K 在CB 的延长线上，2BK =，点N 在BC 的延长线上，4CN =，点P 在BC 上，连接AP ，在AP 的右侧作PQ AP ⊥，PQ AP =，连接KQ ．点P 从点B 沿BN 方向运动，当点P 运动到BC 中点时，设KQ 的中点为1M ，当点P 运动到N 点时，设KQ 的中点为2M ，直接写出12M M 的长为________．6. 如图，已知四边形ABCD ，∠A ＝∠C ＝90°，BD 是四边形ABCD 的对角线，O 是BD 的中点，BF 是∠ABE 的角平分线交AD 于点F ，DE 是∠ADC 的角平分线交BC 于点E ，连接FO 并延长交DE 于点G ．（1）求∠ABC +∠ADC 的度数；（2）求证：FO ＝OG ；（3）当BC ＝CD ，∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°时，求证：DM ＝2AB7. 如图，已知在ABC 和ADE 中，AB AC =．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AD AE =，4AC =，3CE =，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，若60BAC DAB ∠=∠=︒，AD AB =，E 、F 分别为BC AB 、边上的动点，CF 与AE 相交于点M ，BCF CAE ≌，连接DM ，点N 是DM 的中点，证明：2AM CM AN +=；（3）在（2）的条件下，G 是AC 的中点，1AC =，连接GE ，H 是ABC 所在平面内一点，连接HE HG 、，HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，连接HD ，求HD 的最小值．8. 在□ABCD 中，对角线AC AB =，且AC AB ⊥，E 为CD 边上一动点，连接BE 交AC 于点F ，M 为线段BE 上一动点，连接AM ．（1）如图1，若8AB =，2CF =，M 为BF 的中点，求AM 的长；（2）如图2，若M 在线段BF 上，45AME ∠=︒，作CN AM ∥交BE 于点N ，连接AN ，求证：AN AB =；（3）如图3，若M 在线段EF 上，将△ABM 沿着AM 翻折至同一平面内，得到AB M ' ，点B 的对应点为点B '．当30ABE ∠=︒，90BMB '∠=︒时，请直接写出B M EM AM'-的值．9. 在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，连接AC 、AF 、EF ．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，若CE CF =，5AF =，6EF =，求AG 的长；（2）如图2，若60ABC ∠=︒，DAF EFC ∠=∠，求证：BE CF =；（3）如图3，在（2）的条件下，将BEF △沿BF 翻折至同一平面内，得到BE F ' ，连接CE '与BF 交于点O ，记CEF △、CE F ' 、BCF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，当O 为BF 中点时，请直接写出3213S S S -的值．10. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ．（1）如图1，点F 为DE 的中点，连接AF ，若BE AE =，求FAD ∠的度数；（2）如图2，BEM △是等边三角形，连接DM ，H 为DM 的中点，连接AH ，猜想线段AH 与AE 之间的数量关系，并证明．（3）在（2）的条件下，N 为AD 的中点，连接AM ，以AM 为边作等边 AMP ，连接PN ，若AD =PN 的最小值．11. 问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．12. 矩形ABCD 中，将矩形沿AE 、AG 翻折，点B 的对应点为点F ，点D 的对应点为点Q ，A 、F 、Q 三点在同一直线上．（1）如图1，求EAG ∠的度数；（2）如图2，当AB BC =时，连接BD ，交AE 、AG 于点M 、N ，若3BM =，4DN =，求MN 的长度；（3）如图3，当8AB =，9AD =时，连接EG ，45GEC ∠=︒，求BE 的长．13. 如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在CD 边上运动（不与点C 、D 重合）．过点B 作AE 的平行线交DC 的延长线于点F ，过点D 作AE 的垂线DN 分别交于AE ，BF 于点M 、N ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形；（2）若13DE DC =，求线段MN 的长；（3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．14. （1）如图1，在正方形ABCD 中，AE ，DF 相交于点O 且AE ⊥DF ．则AE 和DF 的数量关系为 ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边AD ，BC ，CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF ＝BG ．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE ＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．15. 已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且BP ．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．（1）如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；（2）当∠FPB＝60°时，求△BEP的面积；（3）当△BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．16. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D 不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．=-．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF BC CD（2）如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；（3）如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．18. 在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC 的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）8【解析】【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF （SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出2AP则可得出答案．【详解】解：（1）问题情景：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∵M为AF的中点，AF，∴DM=12∴AE=AF=2DM；（2）变式关联：①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，CD=CB，∵BE⊥DF，∴∠BGD=∠BCD=90°，∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE=∠CDF，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，∴CE⊥CF；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，∵M为AF的中点，∴AM=MF，∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)，∴AN=DF，∵△CBE ≌△CDF ，∴BE =DF =AN ，∠NAM =∠DFM ，∴AN ∥DF ，∴∠DAN +∠ADF =180°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°，AB =DA ，∵∠BGD =90°，∴∠ABE +∠ADF =180°，∴∠ABE =∠DAN ，∴△ABE ≌△DAN (SAS)，∴AE =DN =2DM ；（3）拓展应用：过点D 作DP ⊥DF ，且使PD =AB ，连接PF ，PA ，过点P 作PQ ⊥AD ，交AD 的延长线于点Q ，∴△ABE ≌△PDF (SAS)，∴AE =PF ，∵∠ADB =45°，∴∠PDQ =45°，DQ =PQ ，∴AF +AE =AF +PF ≥AP ，即当A ，F ，P 三点共线时，AE +AF 的最小值为AP ，∵AD =AB =DP =2，∴PQ =DQ ，∴(2222228AP AQ QP =+=++=+∴()2AE AF +的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【2题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，由“ASA ”可证△ECH =△EFG ，可得CE =EF ；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AD 于Q ，EG ⊥AB 于G ，交CD 于P ，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF 是等腰直角三角形，从而得到CF =，再证得四边形AGPD 是矩形，四边形DQHC 是矩形，四边形DQEP 是矩形，从而得到DQ =QM =GF =AG ，由“SAS ”可证△ABM ≌△BCF ，可得BM =CF ，可得结论；（3）过点E 作GE ⊥AB 于点G ，EQ ⊥AD 于点Q ，可得△EGB 是等腰直角三角形，进而得到BG =EG =7，再根据四边形AGEQ 是矩形，可得AQ =EG =7，从而得到QN =1，再由勾股定理列出方程可求EF 的长．【小问1详解】证明：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD =∠CBD =45°，∵EG ⊥AB ，EH ⊥BC ，∠ABC =90°，∴四边形FGBH 是正方形，∴GE=EH，∠GEH=90°，∴∠CEF=∠GEH=90°，∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，在△ECH和△EFG中，∵∠CEH=∠GEF，EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，∴△ECH≌△EFG（ASA），∴CE=EF；【小问2详解】证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴PG⊥CD，QH⊥AD，∵CE=EF，CE⊥EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF ，∵PG⊥AB，QH⊥AD，∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，∴DQ=CH，DP=AG，∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，∴EP=EQ，∴四边形DPEQ是正方形，∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，∵△ECH≌△EFG，∴GF=CH=DQ，∵ME⊥BD，∠ADB=45°，∴△DEM是等腰直角三角形，∵EQ⊥AD，∴DQ=QM，∴DQ=QM=GF=AG，∴DM=AF，∵AD=AB，∴AM=BF，又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，∴△ABM≌△BCF（SAS），∴BM=CF，∴BM=；【小问3详解】解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，由（2）得：AG=GF=QE，∵EG⊥AB，∠ABD=45°，∴△EGB是等腰直角三角形，∵BE=，∴BG=EG=7，∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，∴四边形AGEQ是矩形，∴AQ=EG=7，∵AN =6，∴QN =1，∵22222NF EN EF AN AF =+=+，222EN QE QN =+，222EF EG GF =+，∴222364149GF GF GF +=+++，∴27GF =，∴249756EF =+=，∴EF CE ==．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【3题答案】【答案】（1）证明见解析（2）①4y x =+；②【解析】【分析】（1）连接DB ，由菱形的性质得出∠ABD =∠BDC =60°，60,A C ∠=∠=︒证出△ABD 为等边三角形， AB =BD ，证明△ABE ≌△DBF （ASA ），由全等三角形的性质可得出结论；（2）①过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，证明四边形BMEG 为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG =EM =6-y ，得出AM =y -3，同理DN =1+x ，由（1）得AM =DN ，得出y -3=x +1，则可得出答案； ②过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由题意求出x =1，y =5，得出BH =1，CG =5，由直角三角形的性质求出AM =3，由勾股定理求出答案即可．【小问1详解】证明：如图1，连接DB ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，∴∠ABD =∠BDC =60°，,,AB CD AD BC ∥∥60,A C ∴∠=∠=︒∴△ABD 为等边三角形，∴AB =BD ，∵∠EBF =60°，∴∠ABE =∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中， ,ABE DBF AB BD A BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DBF （ASA ），∴AE =DF ；【小问2详解】解：①如图2，过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，∵,AD BC BM EG ∥∥，∴四边形BMEG 为平行四边形，而6,,,AB BC CD AD CG y BH x ====== ∴BG =EM =6-y ，∵E 是AD的中点，∴3,AE DE ==∴AM =y -3， 同理DN =1+x ，∵BN HF ∥，∴∠EOF =∠EIN =60°，∵BM EG ∥，∴∠MBN =∠EIN =60°，由（1）得，AM =DN ，∴y -3=x +1，∴y =x +4；②如图3，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由①知y =x +4，又∵x +y =6，∴x =1，y =5，∴BH =1，CG =5，∵DM ⊥AB ，AB CD ∥，∴DM ⊥CD ，∴四边形MDFN 为矩形，∴DM =NF ，DF =MN =1，∵∠A =60°，AD =6，∴AM =12AD =3，∴DM ==，∵AB =6，∴NH =AB -AM -MN -BH =6-3-1-1=1，∴HF ===，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．【4题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝BMBF；（3【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；（3）由直角三角形的性质可得AFAE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE和△CBF中，D CBF DC BCDCE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△CDE≌△CBF（ASA），∴CE＝CF；（2）DM＝BMBF，理由如下：如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠FBH＝45°，∵FH⊥AB，∴∠FBH＝∠H＝45°，∴BF＝FH＝DE，∴BH BF，∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，∴△DME≌△HMF（AAS），∴DM＝MH，EM＝MF，∴DM＝MB＋BH＝MB BF；（3）连接EP，∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，∴∠AFE＝30°，∴AF，∴AB＋BF AB−DE），∴AB ＋=-+，∴AB ＝，∴AE ＝，AF ＝，∵EC ＝CF ，∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴CP 是EF 的垂直平分线，∴EP ＝PF ，∵PE 2＝AE 2＋AP 2，∴PF 2＝24＋（−PF ）2，∴PF ＝，∴PB +，【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）①见解析；（2）【解析】【分析】（1）①证明△ADF ≌△DCG ，即可求证；②连接OG ，由①得：△ADF ≌△DCG ，可得AF =DG ，可证得△AOF ≌△DOG ，从而得到OG =OF ，∠DOG =∠AOF ，进而得到△FOG 为等腰直角三角形，可得到OF FG =，再由1122ADE S AE AD AF DE =⨯=⨯ ，求出125DG AF ==，从而得到165DF =，进而得到FG = 45，即可求解；（2）取CK 的中点Y ，连接MY ，CQ ，可得12YM CQ =，从而得到点M 的运动轨迹为线段YM ，然后分别计算出当点P 运动到BC 中点时，当点P 运动到N 点时，YM 1，YM 2的长， 即可求解．【小问1详解】①证明：在正方形ABCD 中，AD =CD ，∠DAB =∠ADC =90°，∴∠ADF +∠CDG =90°，∵AF D E ⊥，CG DE ⊥，∴∠AFD =∠CGD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠DAF =∠CDG ，∴△ADF ≌△DCG ，∴DF =CG ；②解：如图，连接OG ，在正方形ABCD 中，OA =OD ，∠BAO =∠ADO =45°，∠AOD =∠BAD =90°，∴∠DAF +∠EAF =90°，∠EAF +∠OAF =∠ODG +∠ADF =45°，由①得：△ADF ≌△DCG ，∴AF =DG ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠ADF =∠EAF ，∴∠OAF =∠ODG ，在△AOF 和△DOG 中，∵AF =DG ，∠OAF =∠ODG ，OA =OD ，∴△AOF ≌△DOG ，∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，∴△FOG为等腰直角三角形，∴FG==，∴OF FG=，在Rt AED△中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，∴5DE=，∵AF⊥DE，∴1122ADES AE AD AF DE=⨯=⨯，∴125 DG AF==，∴165 DF=，∴FG=DF-DG=45，∴OF==；【小问2详解】解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，∵点M为KQ的中点，∴12YM CQ=，YM∥CQ，∴点M的运动轨迹为线段YM，如图，当点P运动到BC中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPJ=90°，∴∠BAP=∠QPJ，∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，∴△ABP≌△PJQ，∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，∴CJ=2，∴CQ==YM=∴1如图，当点P运动到N点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，同理：△ABP≌△PLQ，∴QL=BP=8，PL=AB=4，∴CL=8，∴CQ ==，∴2YM =，∴12M M 的长为21YM YM -==．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）180°（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）在四边形ABCD 中，内角和为360°，因为∠A ＝∠C ＝90°，所以∠ABC +∠ADC ＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF +∠CBF +∠ADE +∠CDE ＝180°，根据BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线，得到∠ABF +∠ADE ＝90°，由∠ABF +∠AFB ＝90°，得∠ADE ＝∠AFB ，求出BF ∥ED ，所以∠BFG ＝∠FGD ，得证BFO ∆≌DOG ∆，由此得出结论；（3）证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN ，易证BCD BKD ∆≅∆，所以BK ＝CD ，可证∆≅∆BAD NAD ，所以2=NB AB ，由22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，可证∆≅∆BKN MCD ，所以2==MD BN AB ；证法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ，可得∆≅∆BAD BND ，所以=AB NB ，再由∆≅∆LND BND 得=NB NL ，所以2=BL AB ，易证LBC MDC ∠=∠，则∆≅∆LCB MCD ，所以2==BL MD AB ．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 的内角和为360°，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ABC +∠ADC ＝180°．【小问2详解】证明：由（1）可知，∠ABF +∠CBF+∠ADE +∠CDE ＝180°，∵BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线∴∠ABF ＝∠CBF ；∠ADE ＝∠CDE ，∴2∠ABF +2∠ADE ＝180°，∴∠ABF +∠ADE ＝90°，又∵∠ABF +∠AFB ＝90°，∴∠ADE ＝∠AFB ，∴BF ∥ED ，∴∠BFG ＝∠FGD ．在BFO ∆和DOG ∆中BFO DGO BO ODBOF DOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆≅∆BFO DOG ，∴OF OG =；【小问3详解】证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN，∴四边形BCDK 是矩形，∵BC=CD ，∴四边形BCDK 是正方形，∴BCD BKD ∆≅∆，∴BK ＝CD ，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∠BDK ＝45°，∴∠ADN ＝22.5°=∠BDA ，在△BAD 和△NAD 中ADB ADN AD AD BAD NAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BAD NAD （ASA ）∴2=NB AB ，∵22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，在△BKN 和△MCD 中22.5ABK MDC BK CD BKN MCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BKN MCD （ASA ）∴2==MD BN AB ；解法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ．∵BC=CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∴∠BDM ＝22.5°，在△BAD 和△BND 中ADB BDN BD BDBAD BND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，BAD BND ∴∆≅∆（ASA ），AB NB ∴=，在△LND 和△BND 中90BND LDN ND ND BDN LDN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LND BND ∴∆≅∆（ASA ），NB NL ∴=，2BL AB ∴=，∴LBC MDC ∠=∠，在△LCB 和△MCD 中BCL BCD BC CD LBC MDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LCB MCD ∴∆≅∆（ASA ），2BL MD AB ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【7题答案】【答案】（1（2）证明见解析（312-【解析】【分析】（1）先证明45ABC ACB ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌，得到45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，则90CBD ∠=︒，求出BC =CD =；（2）如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，先求出60CAQ ∠=︒，再由已知条件得到AD AB AC AQ ===，即可证明ABC ACQ △，△都是等边三角形，得到60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，由全等三角形的性质得到CAE BCF ∠=∠，即可证明60CMH ∠=︒，推出MCH △是等边三角形，则60CM HM CH MCH ===︒，∠，证明QCM ACH △≌△得到QM AH =，再证明AN 是DMQ △的中位线，得到2QM AN =，即可证明2AM CM AN +=；（3）如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，根据轴对称的性质得到CG HG =，则12AG CG HG ===，由三角形三边的关系得到HD DG HG ≤-，则当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG -，过点G 作GT AD ⊥交DA延长线于T ，求出14AT =，TG =54DT =，即可求出DG =，则12HD =-最小值．【小问1详解】解：如图所示，连接BD ，∵90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AB AC =，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，又∵AD AE =，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，∴90CBD ∠=︒，∵4AC =，∴BC ==，∴CD ==【小问2详解】证明：如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60CAQ ∠=︒，∵AD AB =，AB AC =，∴AD AB AC AQ ===，∴ABC ACQ △，△都是等边三角形，∴60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，∵BCF CAE ≌，∴CAE BCF ∠=∠，∴60CMH CAE ACM BCF ACM ACB =+=+==︒∠∠∠∠∠∠，∴MCH △是等边三角形，∴60CM HM CH MCH ===︒，∠，∴MCH ACM ACQ ACM +=+∠∠∠∠，即QCM ACH =∠∠，∴()SAS QCM ACH △≌△，∴QM AH =，∵N 是DM 的中点，AD AQ =，∴AN 是DMQ △的中位线，∴2QM AN =，∴2AH AN =，即2AM MH AN +=，∴2AM CM AN +=；【小问3详解】解：如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，∵HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，∴CG HG =，∵G 是AC 的中点，∴1122AG CG HG AC ====，∴HD DG HG ≤-，∴当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG HG DG -=-，过点G 作GT AD ⊥交DA 延长线于T ，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60GAT =︒∠，∴30AGT =︒∠，∴1124AT AG ==，∴TG ==，54DT AD AT =+=，∴DG ==，∴12HD =-最小值．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）5；（2）证明过程见解析；（3）'B M EM AM-=．【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出AF 的长度，再用勾股定理求出BF 的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM 的长度即可；（2）过点A 作AG ⊥AM ，交BE 于点G ，连接CG ，先证出△ABM 和△ACG 全等，再证出BG ⊥CG ，再证出△ACG 和△ANG 全等，得到AC =AN ，即可得到结论；（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF 、AN 、MN 、AB 、AM 的长度，然后表示出BM 、EM 的长度，最后求出答案即可．【小问1详解】∵8AC AB ==，2CF =，∴826AF AC CF =-=-=，∵AC AB ⊥，∴在Rt ABF 中由勾股定理得：10BF ===，∵M 为BF 的中点，∴1110522AM BF ==⨯=．【小问2详解】作AG AM ⊥交BE 于点G ，连接CG ，∵AC AB ⊥，AG AM ⊥，∴1+3=90∠∠︒，2390∠+∠=︒，∴12∠=∠．∵45AME ∠=︒，∴AMG 为等腰直角三角形，∴AM AG =．在ABM 和ACG 中，∵12AB AC AM AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABM ≌ACG （SAS ），∴45∠=∠．∵67∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，∵//CN AM ，∴845AME ∠=∠=︒，∴CNG △为等腰直角三角形，∴GN CG =，∵45AGM ∠=︒，∴9135∠=︒，∴3609135AGC CGN ∠=︒-∠-∠=︒．在ACG 和ANG 中，∵9AG AG AGC CG NG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACG ≌ANG （SAS ），∴AC AN =，∴AN AB =．【小问3详解】'B M EM AM-=．解析：作AN BE ⊥于点N ，设FN a =，∵130∠=︒，90BMB '∠=︒，∴根据折叠知2690245∠=∠=︒÷=︒，又AN ⊥BE ，∴5360∠=∠=︒，430∠=︒，∴22AF FN a ==，在Rt △AFN 中根据勾股定理得AN ==，∴AN MN ==，同理AM ==，2AB AN ==，同理3BN a ==，'3B M BM BN NM a ==+=+．∵2222BE BF EF AF FC AC AB =+=+===，∴()26BM EM BM BE BM BM BE a -=--=-=-，∴'B M EM AM -==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．【9题答案】【答案】（1）4（2）证明见解析 （3）16【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知AG EF ⊥，EG FG =，可得132FG EF ==，根据勾股定理即可求出AG 的长；（2）在AD 上截取DH DF =，连接FH ，则AH CF =，因为60ABC ∠=︒，所以120AHF ECF ∠=∠=︒，则可证AHF △≌FCE △（ASA ），所以CE HF DF ==，又因为BC =CD ，所以BE CF =；（3）延长CE '交AB 于点I ，连接FI ，则△BOI ≌△FOC ，所以BI =CF ，又因为BI ∥CF ，所以四边形ACFI 是平行形，BFI BFC S S =△△，由BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，设''BE I FE I S S x ==△△，则32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△，1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x =-=-=+=△△△△△△，代入计算可得321136-=S S S ．【小问1详解】解：∵在菱形ABCD 中，AC 平分BCD ∠，CE CF = ，∴AG EF ⊥，EG FG =．∵6EF =，∴116322FG EF ==⨯=在Rt AFG 中，90AGF ∠=︒，5AF =，∴4AG ===．【小问2详解】证明：在AD 上截取DH DF =，连接FH ．∵在菱形ABCD 中，DA DC =，∴DA DH DC DF -=-，即AH CF =．∵60ABC ∠=︒，∴60D ABC ∠=∠=︒．∴DFH 为等边三角形．∴60DHF ∠=︒．∴180********AHF DHF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵//AD BC ，∴180********BCD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴AHF ECF ∠=∠．在AHF △和FCE △中，∵DAF EFC AH FC AHF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AHF △≌FCE △（ASA ）．∴CE HF DF ==．∵BC DC =，∴BC CE DC DF -=-，即BE CF =．【小问3详解】321136-=S S S．解析：延长CE '交AB 于点I ，连接FI ．∵AB ∥CD ，∴∠ABF =∠BFC ，∵点O 是BF 的中点，∴BO =FO ，∵∠BOI =∠FOC ，∴△BOI ≌△FOC ，∴BI =FC ，∴四边形ACFI 是平行形，∴BFI BFC S S =△△，∵BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，∴''BE I FE I S S x ==△△．∴3BCF CFI S S S ==△△．∴32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△．∵BEF △沿BF 翻折至同一平面内得到BE F ' ，∴'BEF BE F S S =△△，∴1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x=-=-=+=△△△△△△∴32113326S S x S x -==⨯．【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．【10题答案】【答案】（1）30°；（2）AE＝2AH，证明见解析；（3【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN 长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，∵BE＝AE，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，∵点F为DE的中点，DE，∴AF＝DF＝12∴∠FAD＝∠ADB＝30°；【小问2详解】AE＝2AH，证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BEM是等边三角形，∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，∴∠ABM＝∠EBC，∴△AMB≌△CEB（SAS），∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴AD＝AC，∵AD＝AF，∴AF＝AC，∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，∴∠FAB＝∠ACB＝60°，∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，∴△FAM≌△ACE（SAS），∴MF＝AE，∵FA＝AD，H为DM的中点，MF，∴AH＝12∴AE＝MF＝2AH；【小问3详解】连接NC、PC、NP，∵△AMP为等边三角形，∴∠MAP＝60°，AM＝AP，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，∴△AMB≌△APC（SAS），∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，∵AC＝CD，N为AD的中点，∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，∵AD＝，∴DN＝12AD，∴NC DN＝3，∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，∴∠PNC＝30°，∴PC＝12NC＝32，∴PN PC PN．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【11题答案】【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【解析】【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和=90DAE ∠︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解；（2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠= ．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴= ≌．∴矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒= ，,ABH DAE AH DE ∴∴= ≌．又,DE AF AH AF =∴= ，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．∵四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆ ≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴= ．60,AHB AHF ∠=︒∴ 是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）45°（2）5（3）4【解析】【分析】（1）由折叠的性质得()290EAQ GAQ ∠+∠=︒，则45EAG EAQ GAQ ∠=∠+∠=︒；（2）连接MF ，NF ，BF ，DF ，由折叠的性质知AE 垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，则3BM MF ==，4DN NF ==，再求出90MFN ∠=︒，利用勾股定理可得答案；（3）设BE x =，则9EC x =-，()891DG CD GC x x =-=--=-，1QF =，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，证明四边形FQGH 是矩形，求出EH ，在Rt GHE 中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【小问1详解】解：由折叠的性质可知：BAE QAE ∠=∠，DAG QAG ∠=∠，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，90BAE QAE DAG QAG ∴∠+∠+∠+∠=︒，()290EAQ GAQ ∴∠+∠=︒，45EAG EAQ GAQ ∴∠=∠+∠=︒；【小问2详解】如图，连接MF ，NF ，BF ，DF ，若AB BC =，则四边形ABCD 是正方形，由题意可知点Q 与点F 重合，由折叠的性质可知：点B 与点F 关于AE 对称，点D 与点F 关于AG 对称，AE ∴垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，3BM MF ∴==，4DN NF ==，BD 为正方形ABCD 的对角线，1452MBE MFE ABC ∴∠=∠=∠=︒，1452NDG NFG ADC ∠=∠=∠=︒，18090MFN MFE NFG ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt MFN 中，由勾股定理得：5MN ==．【小问3详解】设BE x =，由题意可知：45GEC ∠=︒，90ECG ∠=︒，180EGC GEC ECG ∴∠=︒-∠-∠ 1804590=︒-︒-︒ 45=︒，GEC EGC ∴∠=∠，EC CG ∴=，ECG ∴ 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中，9BC AD ==，8CD AB ==，BE x = ，9EC GC BC BE x ∴==-=-，()891DG CD GC x x =-=--=-，)9EG x ∴==-，由折叠的性质可知：BE EF x ==，1DG QG x ==-，90AFE ABE ∠=∠=︒，90AQG ADG ∠=∠=︒，9AQ AD ==，8AF AB ==，1QF AQ AF ∴=-=，如图，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，则90FHG HFQ FQG ∠=∠=∠=︒，∴四边形FQGH 是矩形，1FH QG x ∴==-，1GH QF ==，121EH EF FH x x x ∴=+=+-=-，在Rt GHE 中，由勾股定理得：222GH EH EG +=，即)2221(21)9]x x +-=-，整理得：()()2040x x +-=，解得4x =或20(x =-舍去)，4BE ∴=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．【13题答案】【答案】（1）见解析 （2）MN = （3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变，且45CND ∠=︒【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得出AB CD ，再根据AE BF ∥，即可证明四边形ABFE 是平行四边形；（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出AE =，再根据平行四边形的面积求出EF 的长即可；（3）在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，根据“SAS ”证明DGC BNC ≌，得出CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，说明△GCN 为等腰直角三角形，即可得出结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ，即AB EF ∥，∵AE BF ∥，∴四边形ABFE 是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴6AB BC CD AD ====，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，∵123DE DC ==，∴在Rt △ADE 中根据勾股定理得：AE ===，∵ABFE S AB BC AE MN =⨯=⨯ ，∴AB BC MN AE ⨯===【小问3详解】解：点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变；在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，如图所示：∵DN ⊥AE ，∴90DME ∠=︒，∵AE BF ∥，∴90DNF DME ∠=∠=︒，∴90F NDF ∠+∠=︒，∵18090BCF BCD ∠=︒-∠=︒，∴90F FBC ∠+∠=︒，∴NDF FBC ∠=∠，∵在△DGC 和△BNC 中DC BC CDG CBN DG BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DGC BNC ≌（SAS ），∴CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，∴90BCN BCG BCG DCG ∠+∠=∠+∠=︒，∴190452CND CGN ∠=∠=⨯︒=︒．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．【14题答案】【答案】（1）AE ＝DF ；（2）见解析；（3）CN 的长度为3【解析】【分析】（1）证明∠BAE =∠ADF ，则△ABE ≌△DAF （AAS ），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG =∠MEF ，证明△BCG ≌△EMF （ASA ），即可求解；（3）证明△EHF ≌△MGN （ASA ），则NG =HF ，而AE =2，BF =4，故NG =HF =4-2=2，进而求解．【详解】解：（1）∵∠DAO +∠BAE =90°，∠DAO +∠ADF =90°，∴∠BAE =∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中，BAE ADF ABE DAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AE =DF ，故答案为：AE =DF ；（2）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，则四边形ABME 为矩形，则AB =EM ，在正方形ABCD 中，AB =BC ，∴EM =BC ，∵EM ⊥BC ，∴∠MEF +∠EFM =90°，∵BG ⊥EF ，∴∠CBG +∠EFM =90°，。
中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．（2）S的最大值为，此时x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．（3）本题要分类讨论：①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，有题意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣x）．（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值为，此时x=2．（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，则CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．综上所述，x=，或x=，或x=．考点：二次函数综合题．2．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.3．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.4．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==OB OD86为点D的对应点，再将纸片还原。
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册第九章 中心对称图形—平行四边形 压轴题提优复习(三)
八年级数学苏科版下册《中心对称图形—平行四边形》压轴题提优复习（三）1．已知：如图，点E、F分别为▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE ＝CF．2．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AD＝4，AB＝8，则线段EF的长是．（直接写出答案即可）3．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．4．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．6．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．9．如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．10．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？【思路分析】①读题标注；②梳理思路；要证四边形ABCD是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：．【过程书写】11．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）连接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是菱形；（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且AB＝2，则BC＝．12．如图1，在矩形ABCD中AB＝4，BC＝8，点E、F是BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）如果四边形AECF是菱形，求这个菱形的边长．（3）如图2，在（2）的条件下，取AB、CD的中点G、H，连接DG、BH，DG分别交AE、CF于点M、Q，BH分别交AE、CF于点N、P，求点P到BC的距离并直接写出四边形MNPQ的面积．13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD （1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．参考答案1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠OAE＝∠OCF，∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，∴四边形DEBF是菱形．（2）如图，作FH⊥AB于H．设DF＝BF＝x，在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝4，CF＝4﹣x，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴DF＝5，CF＝3，∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，∴四边形BCFH是矩形，∴CF＝BH＝3，FH＝BC＝4，∵BF＝DF＝5，∴EH＝2，∴EF＝＝＝2，故答案为．3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BF，∴∠DEG＝∠CFG，∵G是CD的中点，∴GD＝GC，在△GED和△GFC中，，∴△GED≌△GFC（AAS），∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形CEDF是平行四边形，（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：作AP⊥BC于P，如图所示：∵AB＝6cm，∠B＝60°，∴∠BAP＝30°，∴BP＝AB＝2.5cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，∵AE＝7.5cm，∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，在△ABP和△CDE中，，∴△ABP≌△CDE（SAS），∴∠CED＝∠APB＝90°，∴平行四边形CEDF是矩形，故答案为：7.5；②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：∵AE＝5cm，AD＝10cm，∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴平行四边形CEDF是菱形，故答案为：5．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四边形DEBF是平行四边形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．6．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．7．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝AC＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝＝3，∴OE＝OA＝3．8．（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）解：由（1）知四边形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝2，∴四边形ADCE的面积为CD×AD＝2×2＝4；（3）解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．9．（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝20，AD＝BC，∵AP＝10，AB＝20，∴BP＝10＝AP，∴△PAD≌△PBC（SAS），∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴，，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形；理由如下：若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设PA＝x，PB＝20﹣x，由勾股定理得：DP2+CP2＝DC2，即64+x2+64+（20﹣x）2＝202，解得：x＝4或x＝16．∴当AP＝4或AP＝16时，四边形PMEN是矩形．10．解：是菱形，∵AB∥CD，AD∥BC，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，∵两纸条宽度相同，所以纸条宽度AE＝AF．又∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，∴CD＝BC．∴平行四边形ABCD为菱形．故答案为：四条边相等的四边形即为菱形．11．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）证明：如图所示：由（1）得：DF∥AC，∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，∴△DFG≌△CEG（AAS），∴FG＝EG，∴四边形CFDE是平行四边形，∴AB∥CD，又∵AB⊥BF，∴CD⊥BF，∴平行四边形CFDE是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB＝2，∵四边形CFDE是正方形，∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵AB⊥BF，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AD＝＝＝，∴BC＝，故答案为：．12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，BE＝DF，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AF∥EC，AF＝EC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：设菱形AECF的边长为x，∵四边形AECF为菱形，AB＝4，BC＝8，∴AE＝EC＝x，BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2即x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5，∴菱形AECF的边长为5；（3）四边形MNPQ面积为20﹣2×＝．13．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，（3）如图，作EM⊥DB于点M，在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，∴BM＝2在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM＝ME＝2，∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4 14．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．15．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）EF＝．。
八年级下册---平行四边形压轴题解析
八年级下册---平行四边形压轴题一．选择题（共15小题）1．（2012•玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（）C D2．（2015•泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（）3．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）4．（2014•市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）5．（2014•江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF其中正确的是（）6．（2014•武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）7．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．8．（2013•惠山区校级一模）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（）9．（2013•江苏模拟）在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）10．（2013•武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO 于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（）11．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点11+﹣11+11+或12．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，则S△CEF：S△DGF等于（）13．（2012•杭州模拟）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）15．（2012•碑林区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）八年级下册---平行四边形压轴题参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2012•玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（）C D，AE=AH+HE=1+．2．（2015•泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（），，，3．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）EF=ACEF=AC4．（2014•市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）=，==，5．（2014•江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF其中正确的是（）6．（2014•武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）7．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．8．（2013•惠山区校级一模）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（），判断出PE=AE=BE==×1+×=0.5+的距离为9．（2013•江苏模拟）在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）PD BE=，所以=2+，PB=，由勾股定理得：BE=，PD=BE=，PD BE=，=2+．故选项10．（2013•武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO 于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（）11．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点11+﹣11+11+或AE=代入求出BE=DF=3﹣，，在BE=DF=3CF=5+3CE+CF=11+12．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，则S△CEF：S△DGF等于（），13．（2012•杭州模拟）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）×EM=xx14．（2012•淄博模拟）则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）15．（2012•碑林区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）。
数学人教版八年级下册平行四边形复习课
第十八章平行四边形第16课时平行四边形复习课教学目标知识目标：掌握矩形、菱形、正方形的概念、性质和一个四边形是矩形、菱形、正方形的条件，了解它们与平行四边形之间的关系.能力目标：培养学生分析问题解决问题的能力，综合应用数学知识的能力情感态度价值观目标：通过解决问题获得成功体现自身价值，战胜困难教学重点：熟练掌握矩形、菱形、正方形的相关概念及性质，学会它们的判定方法.教学难点：能形成解决问题的能力教学过程一、体系图引入，引发思考二、牛刀小试学生做后，小组交流，教师点评升华1、如图，点P 是矩形ABCD 的边AD上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是 （ ）A.4.8B.5C.6D.7.2解析：如图，连接OP ，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.由勾股定理得AC=BD=10，∴OA=OD=5.∵S △AOD = S 矩形ABCD =12，S △AOD =S △AOP +S △DOP= ×OA×PE+ ×OD×PF= OA·(PE+PF)=12，∴PE+PF=4.8.三、乘胜追击学生做后，小组交流，教师点评升华412、如图，菱形ABCD 的面积为120cm2，正方形AECF 的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm.解析：如图，连接AC ，BD 相交于点O.∵正方形AECF 的面积为50cm2，∴AE 2=EC 2=50.在Rt △AEC 中，∵AE 2+EC 2=AC 2，∴AC=10.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 且OA=0.5AC=5，OB=0.5BD ， ∴S 菱形ABCD=0.5AC×BD=120，∴BD=24，OB=12BD=12.∵AC ⊥BD ，∴在Rt △AOB 中，AB 2=AO 2+BO 2=52+122=132.AB=13四、开花结果学生做后，小组交流，教师点评升华3、如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH ，其中点E、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上.若BF= ，则小正方形的周长为 （ ）26五、师生互动，总结知识先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 教学反思学生对特殊平行四边形的掌握情况很好，望多加复习巩固，做到熟练会用.课后作业如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C-D-A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x(s)．(1)填空：AB=_________；S菱形ABCD=__________(2)运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记△AMN与△AOB的重叠部分面积为S．当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值；(3)运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点Ⅳ的速度为每秒a个单位(其中103a )，当x=6时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．。
初二年级下期末几何压轴题和解析
初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），E B和FD的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。
）解（1）EB=FD 。
（2）EB=FD。
证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：（1）如图1．在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．FAB CDE图14321EDCBAF3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1．（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3）， 得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。
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1、 已知D 、E 分别为x 轴、y 轴的点 OD ＝5，OE ＝10， A 为OD 中点．
（1）平面内是否存在点F ，使以点E 、F 、A 、D 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点F 的坐标； （2）点M 是直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。
（1）如果︒=∠60B ，求证：AE =AF ；
（2）如果)900(︒<<︒=∠ααB ，（1）中的结论：AE =AF 是否依然成立，请说明理由。
（3）如果AB 长为5，菱形ABCD 面积为20，设BE =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域。
x
x
B D
3、如图，已知矩形ABCD ，把矩形ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ． （1）若AB
BC
，试求四边形ABDE 的面积；
（2）记AD 与BE 的交点为P ，若AB =a ，BC ＝b ， 试求PD 的长（用a 、b 表示）
4、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一动点（不与点A 、点D 重合） 将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ． （1）当点P 移动到AD 边的中点时，求BE 的长；
（2）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式。
P
H G A B
C
D
E
F E
A C
B
D
P
H G A
B
C
D
E
F
5、在矩形ABCD 中，
AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、
BC 、DA 上，AE =2。
（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积。
（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积。
（用含a 的代数式表示）
6、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.
（1）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；
（2）设△MBN 的周长为P ，在旋转正方形OABC 的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论. x
C
D
F
7、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与AB 不重合），FG DE ，FG 与边BC 相交于点F 、 与边DA 的延长线相交于点G 。
（1）猜想 BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论。
（2）连接DF ，如果正方形的边长为2，设AE =x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式。
（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为2
5
，求点C 到直线DE 的距离。
8（1）如图1所示，BD 、CE 分别是△A BC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ， 连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 分别交于点M 、N ，那么线段FG 与△ABC 的周长存在的数量关系是什么？ 即：FG ＝ （AB ＋BC+AC ） （直接写出结果．．．．．．．）．
（2）如图2，若BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线；其他条件不变，线段FG 与ΔABC 三边之间又有怎样的
数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图3，若BD 为△ABC 的内角平分线，C E 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG 与ΔABC 三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明。
D
A E
B
G
F C
F
G
A
E N
D M F
G
A
E
D
F
G A
B E
D
C
9、已知：如图，在梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ， AD =2，AB =3， CD
=P 是AD 延长线上
一点，联结BP ，E 、F 分别为BP 、DC 的中点．
（1）设DP =x ，EF =y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）联结DE 和PF ，若DE =PF ，求PD 的长．
10、已知：在梯形ABCD 中，∠A =90°，∠C =45°，AD ∥BC ， AD =AB =4，E 是射线AD 上一点，联结BE ， BE ⊥EF ，联结BE ． （1）如图，E 是线段AD 上，
○1求证：BE =EF ；
○2设DE =x ，△BEF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）射线AD 上是否存在点E ，使△BEF 的面积是△ABE 的面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长．
备用图
A
D
C
B E
F。