四川省凉山州2013届高三数学第二次诊断性检测试题 理 新人教A版

四川省凉山州2013届高三第二次诊断性测试
数学（理）试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0．5毫米的黑色签字笔填
写在答题卡上, 并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0 5毫米黑
色签字笔书写在答题}的对应框内，超山答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个符合要求）
1．设集合A={x|| x|>2}，B={x|x 2
－2x －3<0}，则A B=（ ），
A ．（一∞，-2） （-1,+∞）
B ．（-1,3）
C ．（2,3）
D ．（-1,2）
2．命题p ：x ∀∈R，x 2
－3≤0，则⌝p 是（ ）
A ．x ∀∈R,x 2－3>0
B ．x ∀∈R, x 2
－
3≥0
C ．∃x∈R，x 2－3≤0
D ．∃x∈R，x 2
－3>0 3．递增等比数列{a n }中，a 2+ a 5=9，a 3a 4=18，则
2013
2010
a a =（ ） A ．1
2
B ．2
C ．4
D ．8
4．若x 、y 满足6
13
x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则y x 的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ． 3
D ．1
5．执行如图程序框图，输出结果是（ ） A ．1 B ．2
C ．
1
2
D ．4
6．某几何体三视图如图所示，则其体积为（ ） A ．2π B ．4π C ．π+2 D ．π+6 7．函数f （x ）=cosx cos （
2
π
+x ）+x 的零点的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ． 2
D ． 3
8． A 、B 是抛物线x 2
=y 上任意两点（非原点），当OA ·OB
最小时，O A 、OB 两条直线
的斜率之积k OA k OB 的值为（ ）
A ．
1
2
B ．-
1
2
C D ．9．设集合
12345{,,,,}A a a a a a =，记()n A 是i j a a +的不同值的个数，其中i ，
j {1,2,3,4,5}∈且i j ≠，()n A 的最大值为k ，()n A 的最小值为m ，则m k =
A ．
4
5
B ．
710
C ．
35
D ．12
10．图1是边长为1的菱形，∠DAB= 60o
，现沿BD 将△ABD 翻折起，得四面体A′－ BDC （图2），若二面角A′－BD －C 的半面角为α（0<a<π），给出以下四个命题：
（1）BD⊥A'C；②A'C 的长的范围是（0A'B⊥DC 时，则cos 1
3
α=；
④当四面体A'－BDC 体积最大时, A'－BDC 的外接球的表面积是53
π
．
其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分） 11．复数2
()3(a i bi i +=+为虚数单位，,)a b R ∈，则ab= 。

12．20
111()52
og og --= 。

13．6
21()x x -
展开式中的第四项的系数是 （用数字作答） 14．若a 在b 上的投影为1，|a －b | =2，<a －b ，b >=120°，则|b
|= 。

15．在直角坐标平面内，点A （x ，y ）实施变换
f 后，对应点为'(,)A y x ，给出以下命
题：
①圆2
22(0)x
y r r +=≠上任意一点实施变换f 后，对应点的轨迹仍是网X 2+y 2=r 2:
②若直线y=kx+b 上海一点实施变换
f 后，对应点的轨迹方程仍是
,1;
y k x b k =+=-则
③椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>每一点，实施变换f 后，对应点的轨迹仍是离心率小变
的椭圆；
④曲线;1(0)C y nx x x =->上每一点实施变换
f 后，对应点轨迹足曲线C'，M 是曲
线C 上任意一点，N 是曲线C'上任意一点，则|MN|ln2)+。

以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号） 三、解答题（共6个小题，共75分）
16．（12分）春节期间，甲乙两社区各5人参加社区服务写春联活动。

据统计得两社区5
人书写对联数目如径叶图所示．
（1）分别求甲乙两社区书写对联数的平均数；
（2）在对联数不少于10的人中，甲乙两社区各抽取1人，记其对联数分别为a ，b ，
设X=|a －b|，求X 的分布列。

17．（12分）锐角△ABC 中，a ，b ，c 为其内角A 、B 、C 所对边长，向量
(s i n s i n ,s i n (
)),(s i n s i n ,s i n (
))3
3m A B B n A B
B ππ
=++=--
，
若
,m n A
B
⊥
·AC = 12。

（1）求角A;
（2）若a=7，求b ，c （其中b<c ）．
18．（12分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长都为 2 E 是线段BC 1上一点，
112
3
C E BC =，G 为△ABC 的中心．
（1）求证：GE∥侧面AA
1B 1B ；
（2）求平面B 1GE 与面AA 1B 1B 所成锐二面角的余弦值．
19．（13分）设函数f （x ）=x 3+3ax 2
－4（a∈R，x∈R），
g （x ）= 一2ax 2
+x （a∈R，x∈R） （l ）若函数
()f x （0，2）上单调递减，布区间(2,)+∞单调递增，求a 的值；
（2）若函数()()y f x g x =+在R 上有两个不同的极值点，求23(1)
(1)3
g f +的取信范围
（3）若方程3()64()0f x f x -=，有且只有三个不同的实根，求a 的取值范围．
20．（12分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的离心率121
,,2e F F =是其左右焦点，点P （x o ,3）是直线2a x c
=（其中222
c a b =-）上一点，且直线PF 2的倾斜角为4π．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若A 、B 是椭圆E 上两点，满足|AB|=1，求△AOB（O 为坐标原点）面积的最小值．
21．（14分）设函数
2()l n (1)(0)f x x x
x =+->，数列{}n a 前n 项和
11,22,1,n n n n S S S a a +=+=数列{}n b ，满足(,)n n b f n a =。

（1）求数列{}n a 的通项a n ； （2）设数列22
{}n
n
a 的前项和为n A ，数列{}n
b 的前n 项和为B n ，证明：4;n n A B +<
（3）设正项数列{}n x 满足111
,(1)3
n n n n x x x a x +==+，证明：01()n x n N +<<∈成
立。