数列求和教案

数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式：
d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：
⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q
a a q
q a q na S n n n [例1] 已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
解：由2
1
2log log 3log 1log 3323
=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得：n n
x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 =
x
x x n
--1)
1(＝
2
11)211(21--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求
1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得
)1(21+=
n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n ∴
1)32()(++=
n n
S n S n f ＝64342++n n n ＝n
n 64
341++＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤ ∴ 当
8
8-
n ，即n ＝8时，
50
1)(max =n f 二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n
x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{
1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设
n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②（设制错位）
①－②得
n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利
用
等
比
数
列
的
求
和
公
式
得
：
n
n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=--。

∴
2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=
+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}
的通项之积
设n n
n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=
…………………………………① 14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S …………② ①－②得
14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S 1
122212+---=n n n ∴
1
2
2
4-+-
=n n n S 三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例6] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin
22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S
…………. ①
将①式右边反序得： 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S
……② 又因为
1
cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ，
①
+
②
得
：
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n （分组）
当a ＝1时，
2
)13(n
n n S n -+
=＝
2
)13(n n +（分组求和）当
1≠a 时，
2)13(1111n n a
a S n n -+--
=＝
2
)13(11n
n a a a n -+---
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k
++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得：
S n
＝
k
k k n
k n k n k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32
＝
)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
= 2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）
)()1(n f n f a n -+=
（2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则
[例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,321,
211n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n
-+=++=
11
1，则
1
13
212
11+++
⋅⋅⋅+++
+=
n n S n )
1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝
11-+n
[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n
，又1
2
+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
解： ∵
211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )111(82
122+-=+⋅=n n n n b n ∴数列{b n }的前n
项和：
)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 1
8+n n
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.解：由于)110(9199999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 个个 ∴
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝
)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n ＝)1111(91)10101010(911
321 个n n
+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+。