数列求和教学设计
中学数学数列求和教案
中学数学数列求和教案一、教学目标1. 理解数列的基本概念，并能正确判断是否为等差数列或等比数列。
2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式，并能正确计算相应的数值。
3. 理解数列的求和公式，并能运用求和公式计算数列的和值。
二、教学准备教师：备好黑板、粉笔，准备好习题和板书内容。
学生：纸、铅笔、计算器等。
三、教学过程1. 知识点引入教师向学生展示一些数字序列（如1, 3, 5, 7, 9...）并问学生如何判断它们是否为等差数列。
引导学生发现其中的规律，并引入等差数列的概念。
2. 等差数列的定义和性质教师将等差数列的定义和性质进行讲解，并帮助学生掌握等差数列的通项公式 an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列的求和公式教师引导学生思考如何求等差数列的和值，并引出等差数列的求和公式 Sn = n/2 (a1+an)。
4. 例题演练教师出示一个等差数列的例题，引导学生使用通项公式和求和公式计算数列的某一项和总和。
全班共同讨论，并解释结果的意义。
5. 等比数列的定义和性质教师将等比数列的定义和性质进行讲解，并帮助学生掌握等比数列的通项公式 an = a1 * r^(n-1)。
6. 等比数列的求和公式教师引导学生思考如何求等比数列的和值，并引出等比数列的求和公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
7. 例题演练教师出示一个等比数列的例题，引导学生使用通项公式和求和公式计算数列的某一项和总和。
全班共同讨论，并解释结果的意义。
8. 综合练习教师布置一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解答，并及时给予指导和纠正。
9. 课堂总结教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列求和在数学及现实生活中的应用价值。
四、巩固练习教师布置相关题目作为课后作业，要求学生用所学知识独立解答，并在下节课前交给教师检查。
五、教学拓展教师鼓励学生积极参与数学竞赛、参观数学实验室等拓展活动，加深对数列求和的理解和应用。
《数列求和》教学设计
《数列求和》教学设计（第一课时）目标：1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式2、掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法重点：掌握由数列通项公式求数列的前几项和的方法难点：非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和以及应用。
利用裂项相消法、错位相减法求数列的前几项和；高考定位：知识梳理：一、数列求和的常用方法1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝______________； (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.一、公式法求数列的前n项和•求数列的通项公式»等差数列»等比数列•求数列前n项和的公式»等差数列»等比数列高考链接例(2016·北京高考改编)已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{a n}的通项公式；a n＝2n－1，b n＝3n－1.(2) 求数列{a n}，{b n}的前n项和；(3)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和；例题第二问主要考察的是等差数列与等比数列的求和公式，故而让学生快速计算，要求算的要快，要准确。
初中数列求和计算教案
初中数列求和计算教案教学目标：1. 理解数列求和的概念及意义；2. 掌握等差数列和等比数列的求和公式；3. 能够运用数列求和公式解决实际问题。
教学重点：1. 数列求和的概念及意义；2. 等差数列和等比数列的求和公式。
教学难点：1. 数列求和公式的运用；2. 解决实际问题。
教学准备：1. 数列求和的相关知识；2. 教学课件或黑板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数列的概念，复习等差数列和等比数列的定义；2. 提问：我们已经学习了数列的概念，那么数列的和有什么意义呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解数列求和的概念，即数列中所有项的和；2. 介绍等差数列求和公式：S = n/2 * (a1 + an)，其中S为数列的和，n为项数，a1为首项，an为末项；3. 介绍等比数列求和公式：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中S为数列的和，a1为首项，q为公比，n为项数；4. 通过例题讲解求和公式的运用。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生运用求和公式计算；2. 引导学生独立思考，解答问题；3. 挑选学生回答问题，并给予评价和指导。
四、拓展应用（15分钟）1. 引导学生思考实际问题，如计算一组连续自然数的和；2. 让学生运用求和公式解决实际问题，并解释结果的意义；3. 引导学生总结数列求和在实际生活中的应用。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结数列求和的概念和意义；2. 强调数列求和公式的运用和实际应用。
教学反思：本节课通过讲解数列求和的概念和公式，让学生掌握等差数列和等比数列的求和方法，并在实际问题中运用。
在教学过程中，要注意引导学生独立思考，培养学生的解题能力。
同时，通过拓展应用环节，让学生感受数列求和在实际生活中的意义，提高学生的学习兴趣。
教学设计5：6.4 数列求和
6.4 数列求和[知识回顾]一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝ ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝ . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5.数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[考点探究]考点一分组转化法求和典题导入[例1] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n .由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.以题试法1．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．考点二错位相减法求和典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3. (1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．以题试法2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点三裂项相消法求和典题导入[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .本例条件不变，若数列{b n }满足b n ＝1S n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n}是等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1，1a n a n＋2＝12d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋2.以题试法3．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．答案[知识回顾]一、公式法 2．(2)n 2 (3) n 2＋n [例1][自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 1．解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.[例2][自主解答] (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)． 由a 2＝4，a 6＝8a 3 ，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)， 于是a n ＝2n . (2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n . T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2. 2．解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2·3n －1，得等比数列{a n }的公比q＝3，首项为2.∴a 1＝S 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1. (2)由a n ＋12＝(4＋k )a nb n ，可得b n ＝n2·3n －1， 即b n ＝32·n 3n .∵T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ， ∴13T n ＝32⎝⎛⎭⎫132＋233＋334＋…＋n 3n ＋1， ∴23T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1， ∴T n ＝94⎝⎛⎭⎫12－12·3n －n 3n ＋1.[例3][自主解答] (1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时， S n －1＝(n －1)·a n －1－(n －1)(n －2)，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)·(n －2)， 即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝22n －12n ＋1＝12n －1－12n ＋1， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.解：S n ＝na n －n (n －1)＝n (2n －1)－n (n －1)＝n 2. b n ＝1S n ＋n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.3．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝nn ＋34. ∵1S n ＝4nn ＋3＝43⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.。
教学设计2：6.4 数列求和
第四节 数列求和1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： 1111,(1)1.11n n nna q S a a q a q q qq ⎧=⎪=⎨--=≠⎪--⎩2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f(n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(人教A 版教材习题改编)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S nn}的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100 【解析】 ∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，∴S nn ＝n ＋2.∴数列{S nn }前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【答案】 C2．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200×(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9)C ．200(1－2－9) D ．100(1－2－9) 【解析】 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋ (2)9) ＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 【答案】 A3．(2013·合肥质检)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 【解析】 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 【答案】 A4．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A .100101B .99101C .99100D .101100 【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×（5－1）2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.【答案】 A5．设数列{a n }的通项a n ＝4n －1，数列{b n }的通项b n ＝3n －1，则数列{a n ·b n }的前n 项和T n ＝________．【解析】 T n ＝1·2＋4·5＋42·8＋…＋4n －1(3n －1)，① 4T n ＝4·2＋42·5＋43·8＋…＋4n (3n －1)．②②－①得：3T n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋4n (3n －1)＝－2＋4(1－4n －1)＋4n (3n －1)＝2＋(3n －2)·4n .所以T n ＝(n －23)·4n ＋23.【答案】 (n －23)·4n ＋23已知函数f(x)＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f(x)的图象上，a n 的前n 项和为S n .(1)求使a n ＜0的n 的最大值； (2)求S n .【思路点拨】 (1)由条件，求出a n ，利用数列的性质求a n ＜0的n 的最大值；(2)将{a n }转化为两个特殊数列求和．【尝试解答】 (1)∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －3x －1的图象上， ∴a n ＝2n －3n －1，∵a n ＜0，∴2n －3n －1＜0，即2n ＜3n ＋1， 又∵n ∈N *，∴n ≤3，即n 的最大值为3. (2)∵a n ＝2n －3n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋…＋(2n －3×n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2－3·n （n ＋1）2－n＝2n ＋1－n （3n ＋5）2－2.,1．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和． 2．常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)a n ＝b n ±c n ，数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和．若数列{a n }是1，(1＋12)，(1＋12＋14)，…，(1＋12＋14＋…＋12n －1)，…，试求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－（12）n1－12＝2(1－12n )，∴S n ＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n )]＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝2[n －12（1－12n ）1－12]＝2[n －(1－12n )]＝2n －2＋12n －1.公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的前n 项和为S n ，且na n c n ＝1，求证：S n ＜1.【思路点拨】 (1)由a 1，a 3，a 7成等比数列，求得公差d ，进而确定{a n }的通项公式． (2)根据{c n }的通项公式特征，利用裂项相消法求得S n ，从而证得S n ＜1. 【尝试解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 3＝2＋2d ，a 7＝2＋6d . ∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴(2＋2d )2＝2(2＋6d )，又d ≠0，∴可求d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(2)∵na n c n ＝1，又由(1)知a n ＝n ＋1，∴c n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＜1.,1．本题中在求数列{c n }的前n 项和S n 时，把c n ＝1n （n ＋1）变形为c n ＝1n －1n ＋1是解题的关键．2．裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝2（n ＋1）a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n ，T 10.【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，S 6＝6a 1＋6×52d ＝66解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2. ∴a n ＝6＋(n －1)·2＝2n ＋4.(2)b n ＝2（n ＋1）a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＝12－1n ＋2＝n2（n ＋2），从而T 10＝102（10＋2）＝512.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .【思路点拨】 由a n ＋1＝S n ＋1－S n 得S n 与S n ＋1的递推关系，求得S n 和a n ，由a n 的特征，利用错位相减法求数列{na n }的前n 项和T n .【尝试解答】 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1， ∴数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，因此S n ＝3n －1(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得：－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3（1－3n －2）1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ∈N *)．,1．本例(2)求T n 时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视讨论n ＝1的情形． 2．(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，若{b n }的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．(2012·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4， 从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.两种思路解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．两个提醒1.裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差．2．在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点(见学生用书第99页)数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．易错辨析之九通项遗漏导致错位相减求和错误(2012·浙江高考改编)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n－3，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.【错解】(1)由S n＝2n2＋n－3，得n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋(n－1)－3，∴a n＝2n2－2(n－1)2＋1＝4n－1，由4n－1＝a n＝4log2b n＋3，得b n＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知a n b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.错因分析：(1)求a n，忽视n＝1的情形，错求a n，导致后续问题不能正确求解．(2)错位相减求和时，弄错等比数列的项数，盲目认为除首、末项外成等比数列．防范措施：(1)由S n 求a n ，当n ＝1时，a 1＝S 1检验是否满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，若不满足，应分段表示a n ，从而求T n 时，应分类讨论．(2)由于{a n b n }的通项分段表示，求T n 时，不仅注意对n 进行讨论，而且在写出“T n ”与“qT n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和． 【正解】 (1)在错解中，补上当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，不适合a n ＝4n －1(n ≥2)，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （n ＝1），4n －1 （n ≥2），∴a 1＝4log 2b 1＋3，∴b 1＝2－34，于是b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－34 （n ＝1），2n －1（n ≥2）.(2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ， 当n ＝1时，T 1＝a 1b 1＝0×2－34＝0，当n ≥2时，T n ＝7×2＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)·2n －1， ∴2T n ＝7×22＋11×23＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ， 则T n ＝2T n －T n ＝(4n －1)·2n －14－4(22＋23＋…＋2n －1)＝(4n －1)·2n－14－4×22（1－2n －2）1－2＝(4n －5)·2n ＋2，又n ＝1时，T 1＝0适合上式， 故T n ＝(4n －5)·2n ＋2，n ∈N *.1．(2012·课标全国卷)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830 【解析】 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，从而a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，a 2k ＋3＋a 2k ＋1＝2，因此a 2k ＋3＝a 2k －1，∴a 1＝a 5＝a 9＝…＝a 61， 于是S 60＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×（3＋119）2＝1 830.【答案】 D2．(2013·青岛调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列{a n2n －1}的前n 项和为S n ，∵a n 2n －1＝2－n 2n －1＝12n －2－n 2n －1， ∴S n ＝(2＋1＋12＋122＋…＋12n －2)－(1＋22＋322＋…＋n2n －1)．记T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，② ①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ，∴12T n ＝1－12n1－12－n 2n .即T n ＝4(1－12n )－n2n －1. ∴S n ＝2[1－（12）n ]1－12－4(1－12n )＋n 2n －1＝4(1－12n )－4(1－12n )＋n 2n －1＝n2n －1.。
数列求和公式教案
数列求和公式教案教案标题：数列求和公式教案教案目标：1. 了解数列的概念和特点。
2. 掌握数列求和公式的推导和应用。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学重点：1. 数列求和公式的推导过程。
2. 数列求和公式的应用。
教学难点：1. 数列求和公式的推导过程。
2. 复杂数列求和公式的应用。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教材、多媒体课件。
2. 学生准备：课本、笔记工具。
教学过程：Step 1: 引入（5分钟）教师通过提问和示例引入数列的概念，引发学生对数列的兴趣，并与学生一起总结数列的特点。
Step 2: 数列求和公式的推导（15分钟）2.1 教师给出一些简单的数列，引导学生观察规律，并引导学生尝试推导数列求和公式。
2.2 教师给出数列求和公式的推导过程，逐步解释每个步骤的原因和意义。
2.3 学生进行小组合作，尝试推导其他数列的求和公式，并与全班分享他们的思路和答案。
Step 3: 数列求和公式的应用（20分钟）3.1 教师通过多个实际问题引导学生将数列求和公式应用于实际情境中。
3.2 学生进行个人或小组练习，解决与数列求和相关的问题。
3.3 学生展示他们的解决方法和答案，并与全班进行讨论和比较。
Step 4: 拓展与延伸（10分钟）4.1 教师提供一些复杂的数列求和问题，引导学生运用已学知识进行解决。
4.2 学生进行个人或小组探究，解决更具挑战性的数列求和问题。
4.3 学生展示他们的解决方法和答案，并与全班进行讨论和比较。
Step 5: 总结与评价（5分钟）教师与学生一起总结数列求和公式的推导过程和应用方法，并对学生的学习成果进行评价和反馈。
教学延伸：1. 学生可以尝试推导其他类型的数列求和公式，如等差数列、等比数列等。
2. 学生可以通过阅读相关数学文献或书籍，了解更多数列求和公式的应用领域。
教学资源：1. 教材：数学教材相关章节。
2. 多媒体课件：用于展示示例和推导过程等。
教学评价：1. 学生的课堂参与情况。
数列求和免费教案
数列求和免费教案教案标题：数列求和免费教案教学目标：1. 学生能够理解数列的概念和性质。
2. 学生能够应用递推公式求解数列的前n项和。
3. 学生能够解决实际问题中与数列求和相关的计算。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学投影仪等教学工具。
2. 学生准备纸和笔。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）教师通过提问引导学生回顾数列的概念，并与学生一起讨论数列的应用领域，如金融、物理等。
步骤二：概念讲解（10分钟）教师通过示例和图示解释数列的递推公式和通项公式，并与学生一起探讨数列的性质，如等差数列和等比数列的特点。
步骤三：数列求和方法介绍（10分钟）教师向学生介绍数列求和的常用方法，包括等差数列求和公式和等比数列求和公式，并通过实例演示求解数列的前n项和。
步骤四：练习与讨论（15分钟）教师提供一些练习题，要求学生独立解答，并在解答完成后进行讨论和答疑。
教师可以选择一些实际问题，让学生应用数列求和的方法解决问题。
步骤五：拓展应用（10分钟）教师引导学生思考更复杂的数列求和问题，如求解部分项和、求解无穷级数等，并与学生一起探讨解决方法。
步骤六：总结与归纳（5分钟）教师与学生一起总结数列求和的方法和应用，并提醒学生在实际问题中灵活运用数列求和的知识。
步骤七：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生练习数列求和的应用，并在下节课前完成。
教学延伸：1. 学生可以通过编写程序来计算数列的前n项和，进一步巩固数列求和的概念和方法。
2. 学生可以研究更复杂的数列求和问题，如级数求和、递归数列求和等，拓展数列求和的应用领域。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和讨论，观察学生对数列求和的理解和应用能力。
2. 教师可以布置作业来评估学生的数列求和能力，并及时给予反馈。
教学反思：教师可以根据学生的学习情况和反馈，调整教学方法和内容，以提高学生对数列求和的理解和应用能力。
《数列求和》教学设计
《数列求和》教学设计一、教学目标1.知识目标学生能够理解数列求和的基本概念，掌握常用的数列求和公式，能够熟练应用求和公式解决实际问题。
2.能力目标学生能够运用数学思维和方法，分析问题，提出合理的求和方法，并能灵活运用求和公式解决实际问题。
3.情感目标学生能够树立积极的学习态度，发现数列求和的有趣之处，提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1.教学重点(1)数列求和的基本概念和常用的求和公式；(2)运用求和公式解决实际问题。
2.教学难点(1)问题分析和求解的过程；(2)运用数列求和解决实际问题。
三、教学过程设计1.导入新课(10分钟)(1)向学生提问：“在做加法运算的时候，我们经常会遇到从1开始的连续整数相加的问题，你们知道如何快速求和吗？”(2)引导学生思考，并提示“等差数列”的概念。
(3)分享一个有趣的问题：“小明和小红相约去打篮球，每天他们都会增加一个篮球的练习量，小明从第一天开始每天练习一个篮球，小红从第一天开始每天练习两个篮球，问他们练习30天后总共练习了多少个篮球？”(4)引导学生思考解决问题的方法。
2.板书设计(5分钟)根据导入新课的内容，板书“等差数列”和“数列求和”的概念。
3.概念讲解(20分钟)(1)对等差数列的概念进行详细讲解和举例。
(2)引入数列求和的概念，并通过具体的例子让学生理解求和的含义。
(3)介绍数学家高斯的求和故事，引出等差数列求和公式。
4.基本求和公式(20分钟)(1)教师讲解等差数列求和的基本公式S_n=(a_1+a_n)*n/2，并通过例题进行演练。
(2)介绍等差数列求和公式的推导过程，并通过几个简单例子进行说明。
5.应用题训练(25分钟)(1)学生分组进行应用题训练，训练内容包括常见的等差数列求和问题和实际生活中的应用问题。
(2)学生在小组内共同讨论，解决问题，并由小组代表上台分享解题思路和解题过程。
6.拓展练习(15分钟)(1)给出一些拓展练习，要求学生在规定时间内完成，并进行答案的交流和讨论。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
高中数学数列的求和教案
高中数学数列的求和教案
一、教学目标
1. 知识与技能：了解数列的基本概念与性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够熟练计算数列的和。
2. 过程与方法：通过理论学习和实际练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的方法。
3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重点和难点
1. 等差数列、等比数列的求和公式的掌握和应用。
2. 解题方法的灵活应用和实际问题的转化。
三、教学内容
1. 数列的基本概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
四、教学过程
1. 导入：通过提出一个生活中的实际问题，引出数列的概念和重要性。
2. 讲解：介绍数列的基本概念和性质，重点讲解等差数列、等比数列的求和公式。
3. 实例讲解：通过几个具体的例题，讲解如何应用求和公式计算数列的和。
4. 练习：学生独立或分组完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 拓展：带领学生思考更复杂的数列求和问题，引导学生拓展思维。
6. 讲评：对学生的练习情况进行总结和讲评，指导学生做好巩固练习。
五、板书设计
1. 数列的概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
六、教学反思
通过本节课的教学，学生能够较好地掌握数列求和的基本方法和技巧，但是在应用中还存在一定的困难，需要通过更多的实践和练习加以巩固。
下节课可以通过更复杂的案例实践来提高学生的解题能力。
数列求和教案
数列求和教案一、教学目标1.了解数列的概念和性质；2.掌握等差数列和等比数列的通项公式；3.掌握数列求和公式；4.能够应用数列求和公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列和等比数列的通项公式；2.数列求和公式。
三、教学难点1.数列求和公式的应用。
四、教学过程1. 引入教师通过举例子引入数列的概念，让学生了解数列的定义和性质。
2. 等差数列和等比数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式教师通过举例子引入等差数列的概念，让学生了解等差数列的定义和性质。
然后，教师介绍等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d其中，a n表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差。
2.2 等比数列的通项公式教师通过举例子引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的定义和性质。
然后，教师介绍等比数列的通项公式：a n=a1q n−1其中，a n表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比。
3. 数列求和公式3.1 等差数列的求和公式教师介绍等差数列的求和公式：S n=n2(a1+a n)其中，S n表示等差数列的前n项和。
3.2 等比数列的求和公式教师介绍等比数列的求和公式：S n=a1(q n−1) q−1其中，S n表示等比数列的前n项和。
4. 应用教师通过例题让学生掌握数列求和公式的应用。
五、教学总结教师对本节课的内容进行总结，强调数列求和公式的重要性和应用。
六、作业1.完成课堂练习；2.完成课后作业。
七、教学反思本节课的教学重点是数列求和公式的应用，但是由于时间有限，只能介绍一些基本的应用，没有涉及到更复杂的应用。
下次教学中，应该加强对数列求和公式的应用讲解，让学生更好地掌握数列求和公式的应用。
第四节 数列求和 示范课教案
数列求和教案【教学目标】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.【教学重点】数列求和的几种常见方法【教学难点】非等差数列，非等比数列求和的转化【教学过程】一、知识梳理1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.裂项求和常用的三种变形(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.二、诊断自测1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n3572.,9,25,.41.48.49 D.56n n s s s s A B C ===已知等差数列的前项和为若则3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1＋n ，则S 99＝() A.7 B.8 C.9 D.104.数列112，314，518，7116，……的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2＋1－12n B.2n 2－n ＋1－12n C.n 2＋1－12n －1 D.n 2－n ＋1－12n三、典型例题分析例1．已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n 4(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n a n 2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .例2【2021年新高考1卷】已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n nb a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.四、课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？。
数列求和优质课教案
数列求和教学目标： 让学生回顾数列基本知识点；让学生能够掌握数列的求和的几种基本方法；锻炼学生的自我思考能力。
教学重难点：对题意的分析以及方法的选择。
学法指导：示范，探究教学过程：※课标展示，强调本节内容及重点一、 回顾数列求和的方法：学生活动：请学生做总结，不全的由其他同学做补充。
通过课件总结方法：1、 公式法2、 分组求和法3、 裂项法4、 错位相加法5、 倒叙相加法二、 互动探究1、（2010重庆）、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
2、（2010山东） 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=．{}n a 的前n 项和为n S 。
（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n a 的前n 项和T n ． 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
3 学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
4学生活动：学生小组讨论后，由学生对本题题意及解题方法进行讲解，然后由其他组同学进行补充或者更正。
教师活动：通过课件展示整个解题过程，1、点出学生方法中的不足2、强调步骤的严密性3、对例题做出点评。
《数列求和》教学设计
第四章数列《数列求和》教学设计1.理解一些常见数列的求和方法．2.会求一些常见数列的前n项和．教学重点：常见数列的求和方法.教学难点：错位相减法求一类数列的和.PPT课件．【新课导入】问题1：等差数列的前n项和公式是什么？设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.问题2：等比数列的前n项和公式是什么？师生活动：学生回顾公式并回答．预设的答案：设计意图：通过回顾公式，引入新课．问题3：如果一个数列既不是等差数列也不是等比数列，如何求它的前n项和呢？常见数列的求和方法有哪些？设计意图：通过该问题，引起学生思考既不是等差数列也不是等比数列的特殊数列求和．【探究新知】知识点一 错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解． 数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.知识点二 裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.知识点三 分组求和法对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和.知识点四 倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.知识点五 并项求和法奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论. 并项求和一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．【巩固练习】例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n ＋2)·2n ，求该数列前n 项和S n . 师生活动：学生分组讨论，教师讲解． 预设的答案：S n ＝5×2＋8×22＋11×23＋14×24＋…＋(3n －1)·2n －1＋(3n ＋2)·2n ……① 2S n ＝5×22＋8×23＋11×24＋14×25＋…＋(3n －1)·2n ＋(3n ＋2)·2n ＋1……② ①－②得：－S n ＝5×2＋3×22＋3×23＋3×24＋…＋3·2n －1＋3·2n －(3n ＋2)·2n ＋1 ＝10＋3(22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n )－(3n ＋2)·2n ＋1＝10＋3(2n ＋1－4)－(3n ＋2)·2n ＋1q {}n n a b ±{}{},n n a b 1()n a a +(1)()nn a f n =-＝3·2n ＋1－(3n ＋2)·2n ＋1－2 ＝(1－3n )·2n ＋1－2故S n ＝(3n －1)·2n ＋1＋2. 设计意图：通过该题让学生理解乘公比错位相减法的应用及步骤.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．易错点剖析：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n −qS n ”的表达式；(3)两式相减时最后一项因为没有对应项不要忘记变号；(4)对相减后的和式的结构要认识清楚，中间是n －1项的和；(5)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.例2 已知等差数列为递增数列，且满足,．（1）求数列的通项公式； （2）令，为数列的前n 项和，求．师生活动：学生分析题意，完成（1）；师生一起完成（2）．预设的答案：（1）由题意知，或为递增数列，，故数列的通项公式为（2）. 设计意图：通过该题让学生理解裂项相消法的应用及相消规则.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：等差数列中相邻两项积的倒数构成的数列求和用裂项相消法；常见的通项分解（裂项）有： （1） [一般] {}n a 12a =222435a a a +={}n a *1()(1)(1)n n n b n N a a =∈+-n S {}n b n S 222(22)(23)(24)d d d +++=+23440d d ∴--=2d ∴=23d =-{}n a 2d ∴={}n a 2.n a n =1111()(21)(21)22121n b n n n n ==-+--+11111111[(1)()()...()]2335572121n S n n ∴=-+-+-++--+11(1)221n =-+21nn =+111(1)1n a n n n n ==-++1111()()n a n n k k n n k==-++（2）（3） （4）（5）例3 求和：.师生活动：学生分组讨论，派代表发言；教师完善．预设的答案：原式. 设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.例4求和 师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：设 ①②①+②得，所以.设计意图：通过该题让学生理解倒序相加法.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：如果一个数列距离首末两项的和相等，就可以采用倒序相加法. 例5求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善．预设的答案：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+2(2)1111()(21)(21)22121n n a n n n n ==+--+-+1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==--++++n a ==()()()12235435235n n ----⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()122462353535n n ---=+++⋅⋅⋅+-⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()()()1215152233152154nn n n nn -----+=-⨯=+---︒++︒+︒+︒89sin 3sin 2sin 1sin 2222 ︒++︒+︒+︒=89sin 3sin 2sin 1sin 2222T ︒++︒+︒+︒=1sin 87sin 88sin 89sin 2222 T ︒++︒+︒+︒=89cos 3cos 2cos 1cos 2222 T 289T =44.5T =＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.设计意图：通过该题让学生理解并项求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．方法总结：通常数列中的项是正负交替或奇偶项各有规律的，往往采用并项求和法.【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：目标检测题【目标检测设计】 1.已知若等比数列满足则（ ）A ．B ．1010C ．2019D ．2020 设计意图：进一步巩固错位相减法.本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 2.求数列的前n 项和. 设计意图：进一步巩固错位相减法.该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和. 3.求数列前n 项的和.设计意图：让学生进一步巩固裂项相消法. 参考答案： 1.D等比数列满足即2020故选D. 2.①， ②， 22()(),1f x x x=∈+R {}n a 120201,a a =122020()()()f a f a f a +++=201922n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S {}n 12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()()32121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭22()(),1f x x x =∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++{}n a 120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=122020()()()f a f a f a +++=231123122222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++234111*********n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++①-②得， . 3.∵， .23411111112222222n n n n S +=++++⋅⋅⋅+-1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--111,22n n n +=--11222n n nnS -∴=--()()3311212122121n a n n n n ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭3111111131311233557212122121n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
高中数学数列求和教案模板
高中数学数列求和教案模板
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握数列求和的基本方法，能够运用公式求解数列求和问题。
2. 过程与方法：培养学生分析问题、归纳规律和运用公式求解问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生坚持不懈、勇于探索的学习态度。
二、教学重点和难点：
1. 掌握等差数列求和公式和等比数列求和公式。
2. 解决实际问题中的数列求和问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的实际问题引入数列求和的概念，引起学生兴趣。
2. 提出问题：给学生几道数列求和的练习题，让学生自己尝试解答。
3. 教学讲解：介绍等差数列求和公式和等比数列求和公式，讲解求解数列求和的基本方法。
4. 拓展练习：让学生做一些更复杂的数列求和题，巩固所学知识。
5. 实际应用：引导学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
6. 总结：对本堂课所学内容进行总结，巩固学生的学习成果。
四、课堂作业：
1. 完成课堂练习题。
2. 设计一个与生活相关的数列求和问题，并用公式解决。
五、教学反思：
1. 教学过程中是否引入了生活实例，激发了学生的学习兴趣？
2. 是否根据学生的实际情况，调整了教学内容和难度？
3. 学生能否掌握数列求和的基本方法和公式，是否能够独立解决数列求和问题？
六、板书设计：
1. 等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2. 等比数列求和公式：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
七、教学反馈：
通过课堂练习和作业的批改，及时了解学生对数列求和知识的掌握情况，做好巩固和拓展工作。
数列求和教案
数列求和教案教案标题：数列求和教案教案目标：1. 理解数列的概念和性质。
2. 掌握数列求和的方法和技巧。
3. 运用数列求和的知识解决问题。
教案步骤：1. 引入数列的概念和性质a. 使用具体生活例子引起学生对数列的兴趣，如斐波那契数列、等差数列等。
b. 解释数列的定义：数列是按照一定规律排列的数字的集合。
c. 解释数列的基本性质，如公差、首项、通项公式等。
2. 解决等差数列求和的问题a. 解释等差数列的概念和性质，包括公差和通项公式。
b. 引导学生理解等差数列求和公式的推导过程。
c. 给予学生一些具体的等差数列求和问题，并引导他们运用所学的知识解决问题。
3. 解决等比数列求和的问题a. 解释等比数列的概念和性质，包括公比和通项公式。
b. 引导学生理解等比数列求和公式的推导过程。
c. 给予学生一些具体的等比数列求和问题，并引导他们运用所学的知识解决问题。
4. 解决其他类型数列求和的问题a. 引导学生思考其他类型数列的求和方法，如斐波那契数列、等差数列的和等。
b. 给予学生一些具体的其他类型数列求和问题，并引导他们找到解决问题的方法和技巧。
5. 总结和拓展a. 总结数列求和的基本方法和技巧。
b. 提供更多的数列求和问题，让学生加深对所学知识的理解和运用。
c. 鼓励学生在课后拓展数列求和的应用，如数学竞赛等。
扩展练习：1. 对于等差数列 {3, 7, 11, 15, ...}，求前10项的和。
2. 对于等比数列 {2, 4, 8, 16, ...}，求前5项的和。
3. 对于斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, ...}，求前8项的和。
评估方式：1. 在课堂上布置练习题，检查学生对数列求和的理解和运用能力。
2. 考察学生解决数列求和问题的思路和方法。
3. 鼓励学生在课后通过编写文章或讲解视频来展示对数列求和知识的理解深度。
教案提供的专业指导将帮助教师详细规划教学内容和步骤，确保学生能够深入理解数列求和的概念和运用方法。
高中数学数列求和的教案
高中数学数列求和的教案
教学目标：学生能够理解数列的概念，能够通过已知数列的通项公式求和，并能够通过数列的性质推导出求和公式。
教学重点和难点：数列的求和公式的推导及应用。
教学准备：
1. 知识点讲解：数列、等差数列、等比数列、通项公式、求和公式。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、课件、习题。
教学步骤：
Step 1：引入
通过引入一个简单的数列例子开始本节课的教学，让学生理解数列的概念和特点。
Step 2：等差数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等差数列的性质和通项公式，引导学生通过对数列进行分组求和，推导等差数列求和的公式。
2. 给出练习题让学生尝试应用等差数列求和公式进行计算。
Step 3：等比数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等比数列的性质和通项公式，引导学生通过求和两个等比数列的公式，推导等比数列求和的公式。
2. 给出练习题让学生尝试应用等比数列求和公式进行计算。
Step 4：总结与拓展
1. 总结本节课所学内容，强化数列的概念和求和公式的应用。
2. 给出拓展练习题，加深学生对数列求和公式的理解和应用能力。
Step 5：作业布置
布置作业，要求学生完成相关练习题并检查答案。
教学反馈：通过课堂练习和作业检查，检查学生对数列求和公式的掌握情况并及时进行反馈。
教学延伸：引导学生进一步理解数列的性质和应用，拓展更多数列求和的相关知识。
教学评价：通过课堂教学和作业完成情况评估学生对数列求和公式的掌握情况，及时调整教学方法和内容，帮助学生提高数学能力。
数列求和教案
数列求和教案数列求和是数学中常见的问题，可以用来加深对数列的理解和运算规律的掌握。
下面是一个关于数列求和的教案：教学目标：1. 了解数列求和的概念；2. 掌握常见数列的求和方法；3. 能够应用数列求和的方法解决实际问题。
教学重点：1. 数列求和的概念；2. 等差数列和等比数列的求和方法；3. 应用数列求和解决实际问题。
教学准备：1. 数列求和的教学课件；2. 相关的练习题目和解答；3. 板书工具。
教学过程：第一步：导入1. 利用一道简单的题目引入数列求和的概念，如：已知数列的前5项为1、3、5、7、9，求这5项的和。
第二步：讲解1. 介绍数列求和的概念和基本方法，引入等差数列和等比数列的求和公式；2. 通过一些例题，讲解等差数列和等比数列的求和公式的推导过程，并解释推导过程中的思路和方法；3. 引入数列求和的一般方法：根据题目中给出的数列规律，确定数列的通项公式或递推公式，进而应用相应的求和公式计算出数列的和；4. 强调数列求和中需注意的细节和常见错误，如求和的范围、数列的序号等。
第三步：练习1. 给学生分发练习题目，让学生独立完成，并及时批改；2. 在全班讲解练习题目的解答过程和方法，引导学生思考、探讨。
第四步：拓展1. 利用一些应用题目，引导学生将数列求和应用到实际问题中，如班级人数、得分等问题；2. 引导学生思考和总结数列求和的方法和技巧，以及数列求和的应用领域。
第五步：总结1. 总结数列求和的基本方法和注意事项；2. 给学生布置课后作业。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握数列求和的基本概念和方法，能够应用数列求和解决简单的问题。
同时，教师需要注意引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和主动性。
在教学过程中，学生的参与和互动也是非常重要的，可以通过小组合作、讨论等方式增加学生的活跃度和学习效果。
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数列求和教学设计
鹿城中学田光海高三数学
一、教材分析
数列的求和是北师大版高中必修5第一章第内容。
它是等差数列和等比数列的延续，与前面学习的函数也有着密切的联系。
它是从实际问题中抽离出来的数学模型，实际问题中有广泛地应用。
同时，在公式推导过程中蕴含着分类讨论等丰富的数学思想。
二、教法分析
基于本节课是专题方法推导总结课，应着重采用探究式教学方法。
在教学中以学生的讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路。
三、学法分析
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的概念及通项公式，已经具备了一定的知识基础。
在教师创设的情景中，结合教师点拨提问，经过交流讨论，形成认识过程。
在这个过程中，学生主动参与学习，提高自身的数学修养。
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
四、三维目标
1知识与技能
理解掌握各种数列求和的方法,学会解析数列解答题,提高解决中难题的能力.
2过程与方法
通过对例题的研究使学生感受数列求和方法的多样性
3情感态度与价值观
感受数学问题的差异，但又能以不同的方法加以解决，进而体会到数学知识的灵活性五、教学重点与难点
本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立如下教学重点与难点：
重点：数列求和公式的推导及其简单应用。
此推导过程中蕴含了分类讨论，递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键，所以非常重要。
为此，我给出了四种方法进行数
列求和，加深学生理解，突出重点。
难点：数列求和公式的推导及应用。
在此之前，已经学习了等差数列与等比数列的前n 项和，可由此引发进行数列求和的专题学习，为此，我引导学生先进性等差与等比数列的复习。
由此引入专题学习。
下面，为了讲清重点和难点，达到本节课的教学目标，我再从教法学法上谈谈： 六、教学过程
(n a a +求下列各数列的前n 项和Sn:3
)
(1)1)n
a a
a +++≠
五：板书设计
六．教学反思
这节课是高中数学必修5第二章数列的重要的内容之一，是在学习了等差、等比数列的前n项和的基础上，对一些非等差、等比数列的求和进行探讨。
这节课总体上感觉备课比较充分，各个环节相衔接，能够形成一节完整就为系统的课。
本节课教学过程分为导入新课、知识回顾、例题讲解、练习训练、课堂小结、布置作业。
本节课总体上讲对于内容的把握基本到位，对学生的定位准确，教学过程中留给学生思考的时间，以学生为主体。
没有精心的预设，就没有精彩的生成。
我一直都是深刻记得这句话，也在教学中实践它。
但是我仍然感觉自己做不到“精彩”而更多的是“平淡无奇”。
是这节课我有了深刻的体会，让我开始审视我前面几个月所走过了路，才发现教学真的是需要智慧，做到用心去体会，用心去设计，用心去聆听学生的声音……。