专题八 两角和与差的三角函数
高二数学两角和与差的三角函数
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 sin cos
3 1 (2) sin cos 2 2
2 6 (3) sin x cos x 4 4 4 4
cos15 sin15 1、化简： cos15 sin15
用 代
2 tБайду номын сангаасn tan 2 1 tan 2
T2
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
3 1 (1) sin cos 2 2
(2)sin cos
(3)a sin x b cos x
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
两角和与差的三角函数
我们的目标 掌握“合一变形”的技巧及其应 用
1、两角和、差角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
C C S S
cos( ) cos cos sin sin
2 sin 50 sin10 (1 3 tan10 ) 2 sin 2 80 . 2、求值：
2 x). 3、化简： sin( x ) 2 sin( x ) 3 cos( 3 3 3
4、(1)求函数 y sin x cos x的值域.
(2)函数y 3sin 2 x 3 3 cos 2 x 1的最小值是 对应的x值是 ；最大值是 ， ？
，对应的的 x值是
3 sin x 5、求函数y 的值域. 2 cos x
2、求函数y sin x 3 cos x 0 x 的值域. 2 3、求函数y log 0.2 sin x cos x 的最值.
《两角和与差的三角函数》参考课件
两角差的三角函数公式
公式形式
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny， cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny，
tan(x-y)=(tanxtany)/(1+tanxtany)
描述
两角差的三角函数公式用于计算 两个角度的差的的正弦、余弦和
正切值。
应用
在解决三角形问题、解析几何问 题、物理问题等领域有广泛应用
两角和的三角函数公式
公式形式
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny， cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，
tan(x+y)=(tanx+tany)/(1tanxtany)
描述
两角和的三角函数公式用于计算两 个角度的和的正弦、余弦和正切值 。
应用
在解决三角形问题、解析几何问题 、物理问题等领域有广泛应用。
信号处理
在通信和信号处理领域，两角和与差 的三角函数常被用于信号的调制和解 调过程。
2023
PART 03
两角和与差的三角函数的 性质
REPORTING
周期性
周期性定义
三角函数具有周期性，即对于任意整 数k，函数值重复出现。
周期性应用
周期性是三角函数的一个重要性质， 在解决实际问题中有着广泛的应用。
周期计算
周期T可以通过公式T=2π/ω计算，其 中ω是角频率。
奇偶性
奇偶性定义
如果对于函数f(x)，有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数 ；如果f(-x)=-f(x)，则称 f(x)为奇函数。
奇偶性判断
通过代入-x到函数中，计 算f(-x)的值，然后与f(x)进 行比较，可以判断函数的 奇偶性。
两角和与差的三角函数的证明
两角和与差的三角函数的证明1.两角和的证明：首先，我们来证明两角和的正弦和余弦公式。
设角A和角B的边长分别为a和b，且A和B为锐角。
我们可以建立一个直角三角形ABC，其中BC为斜边，边长为c。
根据三角形的定义，我们有BC^2 = AB^2 + AC^2、根据三角函数的定义，我们有sin A = AB / c，sin B = AC / c。
将这两个式子代入前面的等式，我们可以得到AB^2 + AC^2 = BC^2，即a^2 + b^2 = c^2、这就是著名的勾股定理。
进一步，我们可以利用勾股定理证明两角和的正弦公式。
再次考虑三角形ABC，设角C为角A与角B的和。
根据余弦定理，我们可以得到c^2= a^2 + b^2 - 2abcos C。
在直角三角形中，角C的余弦值等于角A的余弦值乘以角B的余弦值减去角A的正弦值乘以角B的正弦值，即cos C = cos A cos B - sin A sin B。
将这个式子代入前面的等式，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos A cos B - sin A sin B)。
进一步化简，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos A cos B + 2absin A sin B。
再次应用勾股定理，我们可以得到c^2 = (a cos B + b sin A)^2 + (b cos A - a sin B)^2、根据三角函数的定义，我们有sin C = (a cos B+ b sin A) / c，cos C = (b cos A - a sin B) / c。
将这两个式子代入前面的等式，我们可以得到sin C^2 + cos C^2 = 1、因此，得证了两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。
同时，我们也可以通过更复杂的推导，得到两角和的余弦公式、正切公式、余切公式、正割公式和余割公式。
两角和与差的三角函数
5
13
tan(2α − β ) 的值．
例 6、（福建卷）已知 − π < x < 0,sin x + cos x = 1 .
2
5
（I）求 sinx－cosx 的值；
3sin 2 x − 2 sin x cos x + cos2 x
（Ⅱ）求
2
22
2 的值.
tan x + cot x
作业
1、已知 sin(α − β )cosα − cos(α − β ) sinα = 3 ，那么 cos 2β 的值为 （ ） 5
2 22 2
例题分析
例 1、已知 0 < β < π < α < π ，且 cos(α − β ) = − 1 ， sin( α − β ) = 2 ，求 cos(α + β )的值.
2
29
2
3
例 2、计算： tan 20� + tan 40� + 3 tan 20� tan 40�.
例 3、若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sinα + sin β + sinγ = 0 ， cosα + cos β + cosγ = 0 ，求 β −α 的值.
例 4、已知 F(θ ) = cos2 θ + cos2(θ +α ) + cos2(θ + β ) ，问是否存在满足 0 ≤ α < β ≤ π 的 α、β ， 使得 F(θ )的值不随θ 的变化而变化？如果存在，求出α、β 的值；若不存在，说明理由.
例 5、（全国卷Ⅱ）已知 α 为第二象限的角， sinα = 3 ， β 为第一象限的角， cos β = 5 ．求
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
两角和与差的正弦课件
03
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的扩 展
半角公式
半角公式
sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]
应用
在解三角形问题中，利用半角公式可以求得角度的半角值，进而求得角度的精确值。
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
sinAcosB = 1/2[sin(A+B) + sin(A-B)]
05
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的注 意事项
公式使用的条件
01
02
03
公式适用范围
两角和与差的正弦公式适 用于角度在$0$到$pi$之 间的情况，超出此范围需 要特别处理。
角度单位统一
在使用公式时，需要确保 角度的单位统一，一般以 弧度为单位。
特殊角的处理
对于一些特殊角，如 $frac{pi}{2}$，需要特别 注意公式的应用，避免出 现错误的结果。
在三角函数图象和性质中的应用
两角和与差的正弦公式在研究三角函数的图象和性质时也 具有重要意义。通过运用正弦公式，可以推导出一些三角 函数的性质，如周期性、奇偶性等。
在绘制三角函数的图象时，可以利用正弦公式计算出不同 角度下的正弦值，从而绘制出完整的正弦函数图象。此外 ，在研究三角函数的对称性和周期性时，也需要用到两角 和与差的正弦公式。
公式推导过程
总结词
详细描述了如何推导两角和与差的正弦公式。
详细描述
首先，利用三角函数的加法公式，将sin(α+β)表示为sinαcosβ + cosαsinβ。然后， 利用三角函数的减法公式，将sin(α-β)表示为sinαcosβ - cosαsinβ。通过这两个公 式，可以方便地计算出任意两个角度的和与差的正弦值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
高考数学考点专题：三角函数与解三角形：两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式【考点梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 【教材改编】1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( )A.210 B ．－210 C.7210D ．－7210[答案] A[解析] ∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(2)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A. 32B. 12 C ．－12 D ．－32[答案] B[解析] 法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 5(2)改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( ) A.725 B ．－725 C.1625 D ．－1625 [答案] A[解析] 由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±352＝1－1825＝725.故选A. 4．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( ) A.35 B.25 C.75 D.85 [答案] B[解析] ∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin2α＋cos2α＝1－2tan αtan2α＋1＝1－610＝25.5．(必修4 P146A组T8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于()A．sin αB．cos αC．1 D．0 [答案] C[解析] sin 3αsin α－2cos 2α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α＝2cos2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos2α－(2cos2α－1)＝1.6．(必修4 P143A组T2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m的值为()A．3 B．4C．5 D．6[答案] C[解析] 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan α＝5tan β，∴m＝5，故选C.7．(必修4 P137A组T5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________.[答案]24 25[解析] 设30°＋α＝t，∴90°<t<180°，∵sin t ＝35，∴cos t ＝－45，∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°] ＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425.8．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.[答案] 33[解析] 原式＝2tan 15°(1－tan 15°)(1＋tan 15°)＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33.9．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________.[答案] π4[解析] 由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16， ∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.10．(必修4 P 125-126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. [解析] 证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA→＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有 OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA→与OB →的夹角为θ，则 OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.。
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·赣州模拟)已知sin α＋π6＋cos α＝45 3，则sin α＋π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析：由条件得 23sin α＋32cos α＝45 3，
即12sin α＋ 23cos α＝45. ∴sin α＋π3＝45.
[自主解答] (1)∵tan π4＋α＝2，
∴1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，∴11＋ －ttaann αα＝2.
2 ∴tan α＝13，∴tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－3 19＝34.
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和 变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维 转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后， 才能真正掌握公式的应用.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵0<x<π2，∴－π3<2x－π3<23π.
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点一、两角和的三角函数公式1.正弦函数的两角和公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2.余弦函数的两角和公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3.正切函数的两角和公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)二、两角差的三角函数公式1.正弦函数的两角差公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB2.余弦函数的两角差公式：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB3.正切函数的两角差公式：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)三、两角和与差的其他公式1.正弦函数的和差公式：sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]2.余弦函数的和差公式：cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]3.正切函数的和差公式：tanA + tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tanA - tanB = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)四、两角和与差的应用1.角平分公式：当A=B/2时，两角和公式可以简化为：sin(B/2) = ±√[(1 - cosB) / 2]cos(B/2) = ±√[(1 + cosB) / 2]2.三角解析式的使用：两角和与差的公式可以用于简化复杂的三角表达式，使计算更加方便。
三角恒等变换(八大题型+精准练习)(学生版)-2025届高三数学
三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类题型一、两角和与差的三角函数公式的应用题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形题型三、角的变换问题题型四、二倍角公式的应用题型五、给角求值题型六、给值求值题型七、给值求角题型八、三角恒等变换的综合应用题型一、两角和与差的三角函数公式的应用知识要点两角和与差的正余弦与正切①sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β；②cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；③tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β；精准练习1.(24-25高三·山东泰安·开学考试)已知sin α+β =13，sin α-β =12，则tan αtan β=()A.15B.-15C.5D.-52.(24-25高三上·安徽·开学考试)已知sin α+β =-35,1tan α+1tan β=2，则sin αsin β=()A.-310B.15C.-15D.3103.(24-25高三·重庆·阶段练习)已知cos α+β =13，cos αcos β=12，则cos 2α-2β =()A.23B.19C.-19D.-134.(2025·广东·一模)已知sin α+π3 -sin α=23，则cos 2α+π3 =()A.-59B.-19C.19D.595.(2024·江西九江·二模)已知α,β∈0,π2 ，cos α-β =56，tan α⋅tan β=14，则α+β=()A.π3B.π4C.π6D.2π36.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α-β =2cos α+β ,tan α-β =13，则tan α-tan β=()A.47 B.74C.45D.767.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π，且sin α+β +cos α+β =0,sin αsin β=6cos αcos β，则tan α-β =()A.-1B.-12C.-16D.-178.(24-25高三上·河北张家口·开学考试)已知sin (α-β)=13,tan αtan β=4，则sin (α+β)=.题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形知识要点1、两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α⋅tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1．2、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ)(其中sin ϕ=ba 2+b2，cos ϕ=aa 2+b2，tan ϕ=ba精准练习9.(23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13°+tan32°+tan13°tan32°=()A.tan19°B.1C.-tan19°D.-110.(2024·福建泉州·模拟预测)若sin θ+3cos θ=2，则tan θ=()A.-3B.-33C.33D.3题型三、角的变换问题知识要点拆分角问题：①α=2⋅α2；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α=12[(α+β)+(α-β)]；④β=12[(α+β)-(α-β)]；⑤π4+α=π2-π4-α ．注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-π4-α 等．11.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-112.(2024·江苏镇江·三模)已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=()A.13B.17C.16D.213.(24-25高三·福建福州·开学考试)已知α，β∈(0,π)，且cosα=35，sin(α-β)=513，则cosβ=()A.5665B.1665C.3365D.636514.(23-24高一·江苏南京·期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为()A.62B.64C.22D.2415.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知α,β∈0,π4，cos2α-sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为()A.π12B.π6C.π4D.π316.(23-24高三·天津·阶段练习)已知角α，β为锐角，tanα=32，sin(α-β)=2114，则tan2α-β的值为．17.(24-25高三·福建·阶段练习)已知tanα+β=4，tanα-β=-3，则tan2β=．题型四、二倍角公式的应用知识要点1、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα；②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；③tan2α=2tanα1-tan2α；2、降次(幂)公式sinαcosα=12sin2α;sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;3、半角公式sinα2=±1-cosα2;cosα2=±1+cosα2;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsin a.18.(2025·安徽·模拟预测)sin 2π12-sin 27π12=( )．A.32B.12C.-12D.-3219.(24-25高三·安徽亳州·开学考试)已知a ∈0,π2 ,sin3α=5sin a cos2α，则tan α值为()A.3B.32C.22D.120.(24-25高三·广西·阶段练习)已知sin π4+α =3sin π4-α ，则cos2α=()A.-45B.-35C.35D.4521.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)已知3sin θ+π3 =cos θ+π6 ，则cos2θ=()A.-12B.17C.12D.3222.(23-24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数f (x )=cos 2ωx +sin ωx cos ωx -12(ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.11423.(24-25高三·江苏徐州·阶段练习)已知sin2α=23,α∈0,π4 ，则cos α+π4 =()A.66B.56C.306D.15324.(24-25高三·全国·阶段练习)已知4tan π121+tan2π12cos αsin β+π3=1，则tan (β-α)=()A.3B.33C.1D.23325.(多选)(2024·辽宁·模拟预测)已知α∈π2,π ,β∈0,π ,cos2α=-35,cos β-α =-210，则()A.tan α=-12B.sin β-α =-7210C.α+β=5π4D.cos αcos β=-3210题型五、给角求值知识要点(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．精准练习26.(23-24高三·甘肃·阶段练习)计算12cos 35π+cos 25πcos 45π()A.2B.-12C.-1D.-227.(多选)(23-24高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为14的是()A.cos 275°-sin 275°B.tan15°1+tan 215°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°28.(23-24高三·吉林长春·阶段练习)cos20°1+cos20°tan20°+3 =.29.(2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° =.30.(23-24高三·安徽·期中)tan20°+4sin20°=．31.(2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72°+sin50°1+3tan10° -cos20°cos80°1-cos20°.32.(2024高一·湖南株洲·竞赛)1-2sin 25°2sin10°-2cos10°=．33.(11-12高一·全国·课后作业)3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=．题型六、给值求值知识要点给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式精准练习34.(2024·河南新乡·模拟预测)设cos20°=a ，则13tan50°-1=()A.1-a 23B.a 2+12C.aD.a 235.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α+π3 +sin α=23，则cos 2α+π3=()A.-1927B.-19C.19D.192736.(24-25高三·湖南衡阳·开学考试)已知cosα+β=6-24,sinα⋅sinβ=24，则cos2α-2β=()A.12B.22C.32D.137.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)若sin160°=m，则sin40°=()A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m238.(24-25高三·四川绵阳·开学考试)已知sin4θ2-cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+sin2θcos2θ-sin2θ+cosθ=()A.-2635B.-325C.-314D.-172839.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-140.(24-25高三·贵州黔东南·开学考试)已知α∈0,π，且cosα+π4=13，则cos2α=()A.429B.±429C.79D.±7941.(2024·山东淄博·二模)设β∈0,π2，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ=22，则tan(α+2β)=()A.-24B.24C.-22D.2242.(2024·江西宜春·模拟预测)已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4-α，则1-sin2α4cos2α=() A.6+42 B.6-42 C.17+122 D.17-12243.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知cosπ5-α=13，则sin11π10+2α=()A.79B.-79C.429D.-42944.(2024·安徽合肥·三模)已知2sinα=1+23cosα，则sin2α-π6=()A.-18B.-78C.34D.7845.(2024·河北保定·三模)已知锐角α，β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β，则sin (α+β)的值为()A.31010B.255C.35D.4546.(2024·福建泉州·模拟预测)已知α，β均为锐角，sin 2α-β =253cos α+sin β，则sin α-β =()A.255B.55C.23D.5347.(2024·重庆·三模)已知α∈0,π3，且2sin2α=4cos α-3cos 3α，则cos2α=()A.29B.13C.79D.22348.(2024·山西·三模)若sin2α=33,sin β-α =66，且α∈π4,π ,β∈π,3π2 ，则cos α+β =()A.5+26B.306C.63D.25-26题型七、给值求角知识要点给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．精准练习49.(23-24高一·江苏盐城·期中)已知tan α=-13，tan β=2，且α,β∈0,π ，则α+β的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π450.(23-24高一·河南·阶段练习)已知0<α<π2，1+sin2α sin π7=2cos 2π14cos2α，则α=()A.3π14B.5π28C.π7D.π1451.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<π4，且sin α-β =13,tan α=5tan β，则()A.sin αcos β=56B.sin βcos α=112C.sin2αsin2β=536D.α+β=π352.(2024·陕西铜川·模拟预测)若α∈-π2,π2 ，且cos2α=sin π4-α ，则α的值为．53.(2024高三·江苏·专题练习)已知α为锐角，且sin α+sin α+π3 +sin α+2π3=3，则α=.54.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)若α，β∈0,π2 ，cos α-β2=32，sin α2-β =-12，则α+β=.题型八、三角恒等变换的综合应用知识要点(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y =a sin x +b cos x 化为y =a 2+b 2sin (x +φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．精准练习55.(2024·广东珠海·一模)函数f x =23sin 2ωx +sin 2ωx +2π3，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是()A.ω=1B.函数f x 图象关于点π3,3对称C.函数f x 图象向右移φφ>0 个单位后，图象关于y 轴对称，则φ的最小值为5π12D.若x ∈0,π2，则函数f x 的最大值为3+156.(22-23高三上·河北唐山·开学考试)已知α,β∈0,π2 ，且1+sin βcos β=tan π4+α ，则()A.2α=βB.α=βC.α+β=π2D.α+β=π57.(2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为2π的是()A.f x =cos 2x +sin x cos xB.f x =1-cos2x2sin x cos xC.f x =cos x +π3+cos x -π3 D.f x =sin x +π6cos x +π6 58.(多选)(2023·河北保定·三模)已知f x =23cos 2x +2sin x cos x -3，则()A.f x =2cos 2x -π6B.f x 的图象的对称轴方程为x =2k π-π3k ∈Z C.f 2023π =3D.f x 在-3π2,-π2上单调递减59.(2024高三·全国·专题练习)设f x =2sin x cos x -2sin 2x -π4.当x ∈0,π2 时，f x +π6 =-13，则cos2x 的值为.60.(24-25高三上·河南·开学考试)已知函数f x =sin2x +sin 2x -π3在区间0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.61.(24-25高三·福建·阶段练习)已知函数f x =22cos 2x +22sin x cos x ．(1)将f x 化成f x =A cos ωx +φ +B A >0,ω>0,φ <π 的形式；(2)求f x 的单调区间；(3)若f x 在α,α+π4上的值域为a ,b ，求b -a 的取值范围．62.(24-25高三·北京·开学考试)已知函数f x =cos x 23sin x +cos x -sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (x )在区间[0,m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围.63.(22-23高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m =sin x -π6 ,12 ,n =cos x ,12.(1)若m ⊥n ,x ∈0,π2，求实数x 的值；(2)求函数f (x )=m ⋅n的单调递增区间.64.(24-25高一·全国·期末)设f (x )=2sin x cos x +2sin x +π4 ⋅sin π4-x ．(1)当x ∈-π2,0时，求f (x )的最大值和最小值；(2)已知f -α2 =33，且当π2≤α≤2π时，求f (α)的值．。
两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =± ③βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±（2）二倍角公式二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③ααα2tan 1tan 22tan -=（3）经常使用的公式①升（降）幂公式：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=、1sin cos sin 22ααα=；②辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+（ϕ由,a b 具体的值确定）；③正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅.三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。
.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。
（2）角的配凑。
α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。
（3）升幂与降幂。
主要用2倍角的余弦。
（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。
（5）引入辅助角。
asin θ＋bcos θ＝22b a +sin(θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
6
探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
8
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
两角和差公式与解三角形
一、两角和与差的正弦、余弦和正切1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β): cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β): cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β): sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β): sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β): tan(α＋β)＝； (6)T(α－β): tan(α－β)＝。
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α: sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α: cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α: tan 2α＝。
3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos2α＝, sin2α＝；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2,sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4。
4.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a, b 为常数), 可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ), 其中φ可由a, b 的值唯一确定。
两个技巧(1)拆角、拼角技巧: 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－。
(2)化简技巧: 切化弦、“1”的代换等。
三个变化(1)变角: 目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角, 其手法通常是“配凑”。
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形, 使其更贴近某个公式或某个期待的目标, 其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。
两角和与差的三角函数
(3)tan20°+4sin20°.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 (1)原式＝scions（（7755°°--3388°°））+-csions7755°°ssiinn3388°°
＝csoins7755°°ccooss3388°°＝tan75°＝tan(45°+30°)
3
＝1ta-tna4n54°5°+ttaann3300°°＝1+
16 B.65
C.1665或-6635
63 D.65
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 D 解析 求 sin(A+B)需要用到 sinA，cosB，求出代入．由 A， B 为△ABC 的内角，得 sinA＝45. 由 sinB＝153<12，cosA＝35< 23， ∴A>30°，B<30°(否则 B>150°，A+B>180°)，故 cosB ＝1123.可得 sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝6635.
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
第 课时 两角和与差的三角函数
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
课前自助餐
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ． (2)cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ．
(2)tanα+tanβ＝tan(α+β)(1-tanαtanβ)．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
1-tanα