第5讲函数的概念、解析式及定义域
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。
（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
暑假初升高数学衔接讲义 第5讲 函数的概念及定义域(教师版)
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第5讲
1 ⇒a＝b＝ . 2
1 2 1 因此，f(x)＝ x ＋ x. 2 2
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
[点评]
①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解
析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)；将x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中 ，求得f(t)的解析式；再用x替换t，便得f(x)的解析式．注：换元后注意确 定新元t的取值范围． ②利用待定系数求解析式时，主要寻求恒等关系解出等式中的未 知数．
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
3．已知 f(x)的定义域是[－2,2]，则 f(x 2－1)的定义域是( A．[－1， 3] C．[－ 3， 3] B．[0， 3] D．[－4,4]
)
解析： 由－2≤x2－1≤2⇒－1≤x 2≤3⇒0≤x 2≤3⇒－ 3≤x≤ 3.
答案：C
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(3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0 知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
类型四
函数的建模应用
解题准备：由实际问题抽象出函数关系式，就是用函数知识解决 实际问题的基础．解这类题的一般步骤是：①设元；②列式；③用x表 示y；④考虑定义域(这个定义域必须使实际问题有意义)．
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函数的概念、定义域及解析式
函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。
记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。
映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。
一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。
2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。
记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。
（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。
原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。
函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。
3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。
（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。
函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。
4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。
函数的基本概念—函数定义、解析式(教师版)
函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念 （1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。
（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．（3）函数的三要素： 、 和 。
（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 （二）．相等函数如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、 例题分析 （一） 函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )． 例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)， 求f(x)的表达式。
第5讲 函数的概念
又x +
1 1 ≥ 2或x + ≤ −2 x x
∴ f ( x ) = x ( x − 3) ( x ≥ 2或x ≤ −2 )
（2）解：令 t =
∴ f ( x) = 则 f ( x) =
∴ 值域 [5，+ ∞ )
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⎧ ⎡1 ⎞ ⎪3x + 3 x ∈ ⎢ 2 , + ∞ ⎟ ⎣ ⎠ ⎪ ⎪ 1⎞ ⎡ x ∈ ⎢ −4, ⎟ （3）解： y = ⎨− x + 5 2⎠ ⎣ ⎪ ⎪ −3x − 3 x ∈ ( −∞, − 4 ) ⎪ ⎩
例 6．已知函数 f ( x) =
3x − 1 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ax + ax − 3
3 2
）
A．a＞
1 3
B．−12＜a ≤ 0
C．−12＜a＜0
D．a ≤
1 3
例 7． （1）若函数 f ( x) 的定义域为（0，3） ，则 f ( x 2 + 2 x) 的定义域是____________ （2）已知 f ( x + 1) 的定义域是 [ −2,5] ，则 f ( x) 的定义域是____________
函数的概念
教 师：苗金利
爱护环境，从我做起
提倡使用电子讲义
第5讲
教学目标：
函数的概念
（1）理解函数的概念；明确函数的三要素； （2）掌握函数的三种主要的表示方法，即解析法、列表法、图象法； （3）能够正确表示和求某些函数的定义域、值域。
学而思寒假八年级尖子班讲义第5讲函数基本概念
数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端．据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币．足球场上开球方的决定，习惯上也用硬币决定的．然而，硬币正反不一样！如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的．我们常说，正反面出现的概率都是0.5．那么，这里的“概率”是什么意思呢？如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半．投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5．这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率．我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然．由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差．以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异．由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差．幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计．尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差昵？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次．更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来．这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p(1－p)，结果是完全公平的．正反抵消不容易掷100次硬币，正面和反面相差多少次昵？1000次昵？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同．你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的．但事实如何？虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大．打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的．尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气．稍稍用点数学知识可以知道，掷2n交硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是l/nπ．当n越来越大，这个概率越来越趋近0．也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着硬币的总次数变低，最后越来越接近0．所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言．意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果．我们说投掷硬时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5．但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5．实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5．某几次投掷之后正面恰好一半，这种情况发生的机会反而很小．领先中考培优课程5函数基本概念知识目标模块一函数的基本概念题型一函数的概念知识导航“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．思考下面几个具体的例子：⑴电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y 的值随x的变化而变化吗？⑵某地的手机通话费为0.2元/min，小明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．w的值随t的变化而变化吗？⑶水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率为π．S的值r 的变化而变化吗？我们引入下列概念：概念一：变量与常量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量在⑴中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1500；若x＝205，则y＝2050；若x＝310，则y＝3100．在⑵中，可以发现：w和t是两个变量，每当t取定一个值时，w就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为w＝30－0.2t．据此可以算出t分别为50，100，120时，w分别为20，10，6．在⑶中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与之对应．它们的关系为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2．我们引入下列概念：概念二：函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a时y ＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．特别的，自变量的取值范围是考试的重点，不仅仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．概念三：解析式像w＝30－0.2t，S＝πr2这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．例11．下列变量之间，不是函数关系的是( )A ．长方形的长一定，其面积与宽B ．正方形的面积与周长C ．等腰三角形的面枳与底边的长D ．圆的面积与直径的长 2．下列关系中，能表示y 是x 的函数的有①y ＝2x ； ②y ＝x 2； ③y 2＝x ； ④y ＝|x |； ⑤|y |＝x ；⑥y ＝1x ．3．(2013年武汉二中八下期末)若函数y ＝x ＋8在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 4．(2013年武昌区八上期末)某养鸡专业户计划用一段长为35米的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场地，如图所示，墙长为20米，BC 边有一个宽为1米的木门(木门用其它材料做不占用竹篱笆)，设养鸡场AB 边的长为x 米，BC 边的长为y 米，BC 的长度不小于10米且不超过墙长，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围练1．下列关系中，y 不是x 的函数的是( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．|y |＝x 2．函数y ＝x －3x+1的自变量x 的取值范围是_________． 3．已知一个长方形的周长为20cm ，设长方形的一条边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系为___________(写出x 的取值范围)．题型二 函数的图象有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．函数图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．问题探究：画出函数y ＝x ＋1的图象．第一步：列表，在表格中给出一些自变量的值及其对应的函数值．第二步：描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描墙AB CD出表格中数值对应的各点．第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．练习：⑴画出函数y＝x2的图象．⑵画出函数y＝|x－1|的图象．例2⑴(2013年研口区八下期末)下列各曲线中，不表示y是x的函数关系的是( )⑵如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图像中，能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的是( )例3甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示．⑴A ，B 两城相距多远？⑵哪辆车先出发？哪辆车先到B 城？ ⑶甲、乙两车的平均速度分别为多少？练(2012年江岸区八下期末)如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y (千米)与行进时间t (小时)的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是()例4(2015年武汉中考)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．)))))A练(2011年武汉中考)一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分钟)之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_________分钟，容器中的水恰好放完．拓(2012年武汉中考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y (米)与乙出发的时间t (秒)之间的关系如图所示，给出以下结论；①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123．其中正确的是__________．函数的三种表示方法：⑴列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律．⑵解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示．⑶图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系．模块二 一次函数))秒) A题型一 正比例函数 知识导航 一、定义；一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 二、图像和性质 问题探究：在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象． ⑴y ＝2x ；⑵y ＝13x ；⑶y ＝－1.5x ；⑷y ＝－4x .由图象可以发现下列规律：⑴四个函数都是经过______的直线．⑵y ＝2x 和y ＝13x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)；y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)． 归纳总结：⑴正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx (k ≠0)⑵当k >0时，直线y ＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； 当k <0时，直线y ＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 却减小． ⑶由于两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象，一般地，过原点和点(1，k )(k 为常数，k ≠0)的直线，即正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像． 例5用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． ⑴y ＝32x ；⑵y ＝－3x ；⑶y ＝|x |.A练⑴下列函数中，一定是正比例函数的是( )A ．y ＝3x 2B ．y ＝－4xC ．3x ＋y ＝1D ．y ＝1x⑵下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是( )A ．正方体的体积与棱长B ．正方形的周长与边长C ．长方形的面积一定，它的长和宽D ．圆的面积和它的半径 ⑶关于函数y ＝x ＋5m －3是正比例函数，则m ＝_________．⑷正比例函数y ＝(3－m )x (脚为常数)，若y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．题型二 一次函数 知识导航 一、定义一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数，叫做一次函数． 注意：⑴k ≠0；⑵当b ＝0时，y ＝kx ，y 叫x 的正比例函数，故正比例函数是一种特殊的一次函数． 二、图像和性质问题探究一：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)和正比例函数y ＝kx (k ≠0)之间的关系． 在同一坐标系中画出函数y ＝－6x 和y ＝－6x ＋5的图象由图象可以发现下列规律：⑴这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_____________．⑵函数y ＝－6x 象经过原点，函数y ＝－6x ＋5的图象与y 轴交于点_________．即它可以看作由直线y ＝－6x 向______平移________个单位长度而得到． 归纳总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度得到(当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象也是一条直线，称之为直线y ＝kx ＋b问题探究二：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象．⑴y ＝x ＋1；⑵y ＝－x ＋1；⑶y ＝2x ＋1；⑷y ＝－2x ＋1归纳总结：⑴当k >0时，直线y ＝kx＋b 从左向右上升，y 随x 的增大而增大 ⑵当k <0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，y 随x 的增大而减小我们先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要． 三、图像和性质的深入探究⑴k 表示直线的倾斜程度，也即直线的斜率，如果两条直线(不重合)斜率相等，那么这两条直线平行．⑵b 表示直线与y 轴交点的纵坐标，也即直线在y 轴上的截距． ⑶k 、b 对一次函数y ＝kx ＋b 图像的控制例6⑴当m 为何值时，函数y ＝－(m －2)x m 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数？ ⑵(2016年武昌区八下期末)若一次函数y ＝(m －3)x ＋5的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_______． ⑶(2015年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m ＋4)x ＋2m －1的图象与y 轴交点在x 轴下方且y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 练⑴当m 为何值时，函数y ＝(m ＋2)x |m |－1＋m －2是一次函数？ ⑵(2015年江汉区八下期末)点(3，y 1)，(1，y 2)在直线y ＝2x ＋1上，则y 1与y 2的大小关系为________． 例7⑴(2015年武昌区八下期末)一次函数y ＝kx －k (k <0)的图像大致是( )⑵(2014年江汉区八下期末)已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝－x －k 的图象大致是( )练⑴若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a <b <c ，则函数y ＝cx ＋a 的图像可能是( )⑵直线y ＝mx ＋n 如图所示，化简：|m －n |－m 2．拓(2015年青山区八下期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过一、二、四象限，则直线y ＝bx －k 的图象可能是( )例8⑴已知一次函数y ＝(m －3)x ＋2m －1的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围． ⑵已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第三象限，求k 、b 的取值范围练(2014年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m －4)x ＋2m ＋1的图象不过第三象限，求m 的取值范围．[课后作业]第5讲函数基本概念1．【2014二中期末】下列函数中，( )是一次函数。
高中数学复习学(教)案(第5讲)函数的解析式与表示方法
题目 第二章函数函数的解析式与表示方法 高考要求1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；2.掌握求函数值域的几种常用方法；3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性. 知识点归纳1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．题型讲解例1（1）已知3311()f x x xx+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >）， 则21x t =-，∴2()lg1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>-．（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+，∴2a =，7b =，∴()27f x x =+． （4）12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x，得132()()f f x x x+=②，①2⨯-②得33()6f x x x=-，∴1()2f x x x=-．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．例1 已知函数f （x ）=31323-+-ax axx 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是A.a ＞31 B.－12＜a ≤0 C.－12＜a ＜0 D.a ≤31解：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0. 答案：B例2 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ.根据余弦定理得 12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2， ①12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2. ②由①＋②整理得y ＝2732+-x x .θ3-x y x 11DCBA其中⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 解得21＜x ＜25.∴函数的定义域为（21，25）.评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.例3 若函数f （x ）=cxax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c .解：由y =f （x ）=cxax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0.当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0. ∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 评述：求f （x ）=11212222c x b xa c xb x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.例4设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010.例5设f （x ）=1214+-x x－2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）.解法一：∵f （m ）=2，∴1214+-m m－2m +1=2. ①∴1214+-m m－2m =2－1.∴f （－m ）=1214+---m m+2m +1=mm212141⋅-+2m +1=12441+-⋅-m mm+2m +1=1241+-m m+2m +1=－1214+-m m+ 2m +1=－（1214+-m m－2m ）+1=－（2－1）+1=2－2.解法二：f （x ）=1214+-x x－2x +1＝222x x--－2x +1令22()22x xg x x --=-，则22()2()()2xxg x x g x ---=--=-∴22()21()12xxf x xg x --=-+=+∵()()12()21f m g m g m =+=⇒=-∴()()1()121122f m g m g m -=-+=-+=-++=-例6某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x . 令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06.∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1. 故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.例7 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c 元，若用水量超过am 3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m 3付b 元的超额费，已知耗损费不超过5元。
小题练透：第5讲函数的概念
第5 讲函数的概念1.函数的概念：(1)设A,B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中任何一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应叫做集合 A 到B 的一个函数，记作：f: A B. 即y = f(x)(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则．(3)只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． (4)函数的表示法：解析法，列表法，图象法2.函数的定义域：定义域一般用集合或区间表示.就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，求定义域的基本原则(1)分母不能为零. (2)负数不能开偶次方.(3)真数必须大于0 (4)a0 = 1, a ≠ 0 (0 的0 次方无意义)3.与x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈ A}叫做函数的值域4.分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（1）分段函数的定义域是各段定义域的并集（2）分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.（3）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则. x 属于哪段定义域内就是哪个解析式（4）求形如f[f(x)]的函数值时，遵循由内到外的顺序进行求解5.待定系法法求函数解析式：在求函数解析式时，若知道函数类型，可先设这个函数的一般形式，其中系数待定，然后根据题目已知条件列方程组，求出待定系数。
一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(19T2)函数y = lg (x + 2)的定义域是（）A.(−2,+∞)B.[−2, +∞)C.(−∞, 2)D.(−∞, 2]2.(18T2)函数f(x) = √3 − 4x的定义域是（）A.[3 , +∞)B. [4, +∞)4 3C.(−∞,3]D.(−∞,4]4 33.(17T2)函数f(x) = 1的定义域是( )√4+xA.(−∞,−4]B.(−∞,−4)C.[−4, +∞)D. (−4,−∞)的定义域是4.(16T2)函数f (x ) = √2x + 3的定义域是( )A.(−∞, +∞)B.[− 3 , +∞)2C.(−∞, − 3]D.(0, +∞)25.(15T2)函数f (x ) = √1 + x 的定义域是( )A.(−∞, −1]B.[−1, +∞)C.(−∞, 1]D.(−∞, +∞)6.(14T2)函数f (x ) = 1的定义域是( )√1–xA.(−∞, 1)B.(−1, +∞)C.[−1, 1]D.(−1,1)7.(13T2)函数y = √4 − x 2的定义域是 （ ）A.(−2,2)B.[−2,2]C.(−∞, −2)D.(2, +∞)8.(12T2)函数y = lg (x − 1)的定义域是 ( )A.(1, +∞)B.(−1, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, 1)9.(11T3)函数y = lg (1–x) ( )√1+xA.[−1,1]B.(−1,1)C.(−∞, 1)D.(−1, +∞)的定义域是（10.(10T2)函数y = x+1 的定义域是（）√2–xA.(−∞, 2)B.(2, +∞)C.(−∞, −1) ∩ (−1, +∞)D.(−∞, 2) ∩ (2, +∞)11.(08T8)函数y = √2x − 1 + log 3(10 − x)的定义域是（）A.(−∞, 10)B.(1 , 10) 2C.[1 , 10)D.[1 , +∞)2212.(06T5)函数y = log 2(x –1)）√2–xA.(−∞, 2)B.(1,2)C.(1, 2]D.(2, +∞)13.(05T2)函数f (x ) = √x–3的定义域为（）x+1A.(−∞, −1)B.(−1, +∞)C.(3, +∞)D.[3, +∞)14.(04T2)函数y = √3x − 1 + √2 − 3x 的定义域为()A.[1 , 2]B.(1 , 2)C.(1,2)D.[1,2]3 33 315.(01T3)函数y = √1 − 2x 的定义域是（ ）A.(−∞, +∞)B.[0, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0]17.设 { , 则二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分.16.设函数f (x ) = x 2 − 1, (x ≤ 0) f [f(−2)] ={x + 2, (x > 0),则f (x ) = 3x x ≤ 0f [f(−1)] = 3x − 2, x > 018.若函数 f(x)=4x-1 的值域为区间[3,11)，则函数的定义域为19.已知一次函数f = f(x)满足f (1) = 3, f (3) = 5,则这个函数的解析式为f (x ) = x + 220.已知抛物线y = ax 2 + bx + c 经过点A(−1,0), B(3,0), C(0, −3),则该抛物线的解析式为第5 讲函数的概念答案一、选择题：二、填空题：。
函数的定义域与解析式
解析式对定义域的限制
解析式中的数学表达式决定了函数的值域，从而间接限制了函数的定义域。
解析式中的数学表达式可能存在某些限制条件，如分母不为零、根号内非负等，这些条件决定了定义 域的具体范围。
定义域与解析式的综合应用
01
在解决实际问题时，需要根据问题的背景和条件来确定函数的 定义域和解析式。
02
在数学建模过程中，需要综合考虑定义域和解析式的限制条件，
建立符合实际问题的数学模型。
在函数图像的绘制中，需要同时考虑定义域和解析式的取值范
03
围，才能准确地绘制出函数的图像。
2023
PART 04
函数定义域与解析式的实 例分析
REPORTING
一次函数的定义域与解析式
定义域
对于一次函数，其定义域是全体实数集 $mathbb{R}$。
VS
解析式
根据定义域，我们可以确定 $x$ 可以取 任意实数值，而 $y$ 的值则由 $ax + b$ 确定。
02
在数学领域，定义域与解析式 是研究函数性质、图像、单调 性、奇偶性等的基础。
03
在物理、工程、经济等其他领 域，定义域与解析式也具有广 泛的应用价值，可以帮助我们 解决各种实际问题。
如何更好地理解和应用函数定义域与解析式
深入理解定义域与解析式 的概念和性质，掌握其基 本特征。
在实际应用中，注重定义域与 解析式的选择和确定，确保数 学模型的准确性和可靠性。
02
分式函数：分母不为0，其他实 数
03
根式函数：被开方数大于等于0，
其他实数
04
对数函数：真数大于0，底数大
于0且不等于1
05
三角函数：全体实数
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
第5讲 函数的概念及其表示方法
4．已知f(2x＋3)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________． 5．已知函数 f(x)＝3－x，x，x≤x＞1，1，若 f(x)＝2，则 x＝______．
目标 1 函数的概念
1 (1)下列四组函数，表示同一个函数的一组是
A．y＝ x2，y＝( x)2
B．y＝lg 10x，y＝10lg x
第二章 基本初等函数
第5讲 函数的概念及其表示方法
1．函数的概念 (1)设A，B是两个__非__空____的数集，如果按某个确定的__对__应__关_系__f____， 使对于集合A中的__每__一__个____元素x，在集合B中都有__唯__一____的元素y和 它对应，那么称__f_：_A__→_B___为从集合A到集合B的一个函数，记做y＝ f(x) ， x∈A ． 其 中 将 所 有 的 输 入 值 x 组 成 的 集 合 A 叫 做 函 数 y ＝ f(x) 的 __定_义__域____，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的__值_域_____．函数的 定义含有三个要素，即__定_义__域____、_值__域____和_对__应__关__系___． (2)当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系确定之后，函数的值域 也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相 同时，这两个函数才是同一个函数．
A．3x＋2
B．3x－2
C．2x＋3
D．2x－3
(3)若 f(x)对于定义域内的任意实数 x 都有 2f(x)－f1x＝2x＋1，则 f(2)等于
()
A．0
B．1
C．83
D．4
变式 (1)若函数 fx＋1x＝x2＋x12，且 f(m)＝4，则实数 m 的值为
A．
函数的概念及其定义域
2．1函数概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？答案因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念．梳理函数的概念：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．知识点二函数三要素思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．梳理一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大． 知识点三 复合函数及其定义域函数的形成过程就是从定义域中拿出一个元素，经过法则搅动一下．这相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数值．但有些时候，一个产品需要经过不止一个加工厂，得到一个最终产品．如下：CBA把A C →叫做f 和g 的一个复合．()2f x x =+， 2()g x x =，x 先被f 作用，再被g 作用，记为2[()](2)g f x x =+．这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数．注意[()]g f x 与[()]f g x 不是同一个函数，如上面例题中，2[()]2f g x x =+．再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人．但有时，[()]f g x 与[()]g f x 是相同的，如()1()2f x x g x x =+=+，． 梳理 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的． 复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
函数的定义域,值域解析式
)
例4(1)已知函数 f ( x ) = x , 求f ( x − 1).
2
f ( x − 1) = x − 2 x + 1
2
(2)已知函数 f ( x − 1) = x , 求f ( x ).
2
f ( x) = x + 2 x + 1
2
(3)已知函数 f ( x − 1) = x , 求f ( x + 1).
区间的概念 请阅读课本P31关于区间的内容 关于区间的内容 请阅读课本 关于区间
是两个实数， 我们规定 规定： 设a,b是两个实数，而且 是两个实数 而且a<b, 我们规定： (1)、满足不等式a≤x≤b的实数 的集合叫做闭区间， 、满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间， 的实数 的集合叫做闭区间 表示为 [a,b] (2)、满足不等式a<x<b的实数 的集合叫做开区间， 、满足不等式 的实数x的集合叫做开区间， 的实数 的集合叫做开区间 表示为 (a,b) (3)、满足不等式a≤x<b和a<x≤b的实数 的集合叫 、满足不等式 的实数x的集合叫 和 的实数 半开半闭区间， 做半开半闭区间，分别表示为 [a,b)和(a,b] 和
[-1,3]
练习
(1)已知函数f(2x-1)的定义域为 {x/1<x<3},求f(x)的定义域.
{x/1<x<5}
(2)已知函数f(x)的定义域为{x/1<x<3}, 求f(2x-1)的定义域.
{x/1<x<2}
练习 1、函数 f ( x ) =
( x + 1) 0 x − x
的定义域为
( C)
练习1、已知函数 的定义域为 的定义域为（ 练习 、已知函数f(x)的定义域为（a,b),且b-a>2, 且 的定义域为__________. 则f(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域为 的定义域为
函数的概念及其表示
课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦ ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨ 、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩ 相同,且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一 函数、映射概念的理解例1 (1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二 函数的定义域例2 (1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二 已知函数定义域,求参数的取值范围例3 (1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为 角度三 抽象函数的定义域例4 已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三 函数的解析式例5 (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四 分段函数例6 已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二 已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7 设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。
第5讲 二次函数图象和性质知识点总结
第5讲二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k为常数，a≠0）a＞0 a＜0 a＞0 a＜0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。
(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。
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题型三 分段函数问题
(1)已知函数 f(x)=f (x+2)(x≤-1) 已知函数 2x+2 (-1<x<1) 2x-4 (x≥1)， ， 0 则f [f(-2008)]= ； (2) f(x)=-x+1(x<0) x-1(x≥0),则不等式 则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的 则不等式 的 {x|x≤ 2 -1} . 解集是
t 1 2 t 1 ) -6 +5=t2-4t+8, 得f(t)=9( 3 3
（方法三）整体代换法. 方法三）整体代换法 因为f(3x+1)=(3x+1)2-4(3x+1)+8， 因为 ， 所以f(x)=x2-4x+8. 所以 (2)直接列方程组求解 直接列方程组求解. 直接列方程组求解 由2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x代换此式中的 代换此式中的x, 用 代换此式中的 得2f(-x)+f(x)=-3x+2, 解方程组 2f(x)+f(-x)=3x+2 2f(-x)+f(x)=-3x+2, 2 得f(x)=3x+ . 3
比较两端的系数， 比较两端的系数， 得 9a=9 a=1 解得 b=-4 , 6a+3b=-6 ， c=8 a+b+c=5 所以f(x)=x2-4x+8. 所以
t 1 , 令t=3x+1,则x= 则 3
(方法二 换元法 方法二)换元法 方法二 换元法.
代入f(3x+1)=9x2-6x+5中， 代入 中 所以f(x)=x2-4x+8. 所以
f(2)=log3(22-1)=1,f［f(2)］=f(1)=2e1-1=2.选C. ［ ］ 选 4.f(x)是反比例函数 且f(-3)=-1,则f(x)= 是反比例函数,且 是反比例函数 则
k 设f(x)= x
3 . x
k 则由已知得-1= 3 得k=3， ，则由已知得 ， ， 所以f(x)= 3 . 所以 x
5.已知 已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 若作代换 已知 ， x=g(t)， 则不改变函数 ， 则不改变函数f(x)的值域的 的值域的 代换是( 代换是 A ) A.g(t)=log2t C.g(t)=cost B.g(t)=|t| D.g(t)=et
因为f(x)中的 ∈R，而 中的x∈ ，A.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型 知道指数函数是一类重要的函数模型. 知道指数函数是一类重要的函数模型 3.对数函数 对数函数. 对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质 ， 知道用换 理解对数的概念及其运算性质， 理解对数的概念及其运算性质 底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数，了解对数在简化运算中的作用. 对数，了解对数在简化运算中的作用 (2)理解对数函数的概念 ， 理解对数函数的单 理解对数函数的概念， 理解对数函数的概念 调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点. 调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型 知道对数函数是一类重要的函数模型. 知道对数函数是一类重要的函数模型
(4)了解指数函数 了解指数函数y=ax 与对数函数 与对数函数y=logax 了解指数函数 互为反函数(a>0,且a≠１). 互为反函数 且 １ 4.幂函数 幂函数. 幂函数 (1)了解幂函数的概念 了解幂函数的概念. 了解幂函数的概念
1 1 (2)结合函数 结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的图 结合函数 2 x x 了解它们的变化规律. 象，了解它们的变化规律
2.函数 函数y= 函数
x+2 x 1
［ ∪ +lg(4-x)的定义域是 -2,1)∪(1,4) . 的定义域是
由 x+2≥0 x-1≠0 4-x>0 ,得-2≤x<1或1<x<4. 得 或
3.设 f(x)=2ex-1 (x<2) 设 log3(x2-1) (x≥２)，则f［f(2)］的值为 C) ２ ， ［ ］的值为( A.0 B.1 C.2 D.3
典例精讲
题型一 函数的定义域问题
的定义域是[0,1]， ）已知函数f(x)的定义域是 ， 例1 （1）已知函数 的定义域是
1 的定义域为R,则实 （2）若函数 ）若函数y= 2 的定义域为 则实 2 x + kx + 1
∪ 则f(x2-1)的定义域是 [- 2 ,-1]∪[1, 2] ； 的定义域是
数k的取值范围是 (-2 2 ,2 2 ) . 的取值范围是
（1）由0≤x2-1≤11≤x2≤2 ） - 2≤x≤-1或1≤x≤ . 2 或 所以f(x 的定义域是 的定义域是[所以 2-1)的定义域是 2,-1]∪[1, 2]. ∪ （2）问题等价于 2+kx+1≠0对x∈R恒 ）问题等价于2x 对 ∈ 恒 与 的定义域的关系问 点评 f(x)与 f[g(x)]的定义域的关系问 成立, 成立 题要搞清， 两者之间的“ 的含义不 题要搞清 ， 两者之间的 “ x”的含义不 所以=k2-8<0 -2 2 <k<2 2 . 所以 逆向问题注意等价转化思想. 同；逆向问题注意等价转化思想 故实数k的取值范围为 的取值范围为(-2 2 ,2 2 ). 故实数 的取值范围为
(1)(方法一 待定系数法 方法一)待定系数法 方法一 待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. 又f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5, 所以
新课标高中一轮 总复习
理数
第二单元 函 数
知识体系
考纲解读
1.函数 函数. 函数 (1)了解构成函数的要素 ， 会求一些简单 了解构成函数的要素， 了解构成函数的要素 函数的定义域和值域，了解映射的概念. 函数的定义域和值域，了解映射的概念 (2)在实际情景中 ， 会根据不同的需要选 在实际情景中， 在实际情景中 择恰当的方法（如图象法、列表法、 择恰当的方法（如图象法、列表法、解 析法）表示函数. 析法）表示函数 (3)了解简单的分段函数，并能简单应用. 了解简单的分段函数，并能简单应用 了解简单的分段函数
(4)理解函数的单调性、最大（小）值及几 理解函数的单调性、最大（ 理解函数的单调性 何意义， 结合具体函数， 何意义 ， 结合具体函数 ， 了解函数的奇 偶性的含义. 偶性的含义 (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 会运用函数图象理解和研究函数的性质 2.指数函数 指数函数. 指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景 了解指数函数模型的实际背景. 了解指数函数模型的实际背景 (2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指 理解有理数指数幂的含义， 理解有理数指数幂的含义 数幂的意义，掌握幂的运算. 数幂的意义，掌握幂的运算 (3)理解指数函数的概念，并理解指数函数 理解指数函数的概念， 理解指数函数的概念 的单调性与函数图象通过的特殊点. 的单调性与函数图象通过的特殊点
分析 函数的解析式是函数与自变量之间的
一种对应关系， 一种对应关系，是函数与自变量之间建立的 桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题 求函数的解析式是高考中的常见问题， 桥梁 求函数的解析式是高考中的常见问题， 其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常 其特点是类型活，方法多 求函数的解析式常 有以下几种方法：①如果已知函数f［f(x)］ 有以下几种方法： 如果已知函数f［ f(x)］ 的表达时，可用换元法或配凑法求解； 的表达时，可用换元法或配凑法求解；②如 果已知函数的结构时，可用待定系数法求解； 果已知函数的结构时，可用待定系数法求解； 1 如果所给式子含有f(x)、 ③如果所给式子含有 、f( )或f(x)、f(-x)等 或 、 等 x 形式，可构造另一方程，通过解方程组求解. 形式，可构造另一方程，通过解方程组求解
知识要点
1.函数的概念 函数的概念 是非空的数集， 设 A、 B是非空的数集 ， 如果按照某 、 是非空的数集 种 确 定 的 对 应 关 系 f, 使 对 于 集 合 A 中 的 任意一个数x 任意一个数 在集合B中都有 ① ，在集合 中都有 的数f(x)和它对应 ② 惟一确定 .的数 和它对应，那么就 的数 和它对应， 为从集合A到集合 的一个函数, 称 f:A→B为从集合 到集合 的一个函数 为从集合 到集合B的一个函数 其中x的取值范围 叫函数的③ 的取值范围A叫函数的 其中 的取值范围 叫函数的③ 定义域 , ∈ 叫函数的值域， ④ {f(x)|x∈A} 叫函数的值域，值域是 集合B 的子集. ⑤ 集合 .的子集 的子集
5.函数与方程 函数与方程. 函数与方程 (1)结合二次函数的图象 ， 了解函数的零 结合二次函数的图象， 结合二次函数的图象 点与方程根的关系， 点与方程根的关系 ， 判断一元二次方 程根的存在性及根的个数. 程根的存在性及根的个数
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相 根据具体函数的图象， 根据具体函数的图象 应方程的近似解. 应方程的近似解 6.函数模型及其应用 函数模型及其应用. 函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增 了解指数函数、 了解指数函数 长特征，体会直线上升、指数增长、 长特征，体会直线上升、指数增长、对数 增长等不同函数类型增长的含义. 增长等不同函数类型增长的含义 (2)了解函数模型（如指数函数、对数函数、 了解函数模型（如指数函数、对数函数、 了解函数模型 幂函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使 用的函数模型）的广泛应用. 用的函数模型）的广泛应用