八年级数学培优第1讲 梯形蝴蝶定理

八年级数学培优第一讲梯形蝴蝶定理
如图，在梯形中，存在以下关系：
1.S3=S4
2.S1×S2=S3×S4
3.AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)
例1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。

已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
例2、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方
厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例3、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成
四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD
的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是
多少平方千米？
例4、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

例5、四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所
示。

如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的1
3
，且
2
AO=，3
DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

例6、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形
BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的
面积大10cm2，求CF的长。

例7、E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
25
9
O
D
C
B
A
D
A
O
C B
【精选习题】
1、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于F，设S四
边形EADF
=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4。

则下列正确的是（）A．S1S3＜S2S4B．S1S3=S2S4C．S1S3＞S2S4D．不能确定
2、如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和
△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是cm2。

3、如图3，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中
点。

连接AO并延长交BC于D，连接CO并延长交AB于F，求四
边形BDOF的面积。

4、如图，D是BE的中点，EC=2EF，AF=2FD，若S△DEF=2，求S△ABC.
5、如图在四边形ABCD中点M为AD的中点，点N为BC的中
点，若S四边形ABCD=1。

求四边形BMDN的面积？
A
D
E
F
M
A
D
6、 如图 已知AD=
31AB ， BE=31BC ，CF=31AC 。

求证： S∆DEF=3
1S∆ABC 。

7、 已知, △ABC 中,AB=AC=10,且S △ABC =75,且P 为底边BC 上一动点，
PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ． 求证：PD+PE 的值
8、 已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的
高AM 为h 。

（1）“若点P 在边BC 上（如图1），此时h 3=0，可得结论：h 1+h 2+h 3=h”。

请说明理由。

（2）当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，
h 1、h 2、h 3与h 之间怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。

A
D
F E D A E F D
M A B P C E D
M B P C
E
F
D M
A B C。