第一章 直角三角形的边角关系综合练习(二)
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析
中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案解析一、直角三角形的边角关系1.如图,反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标;(2)求tanC 的值.【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2.【解析】【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标;(2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出C tan 即可.【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上,∴a =2,∴A (1,2),把A (1,2)代入 k y x =得2k =, ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称,∴()12B --, ; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,∵90ABC ∠=︒ , 90BHC ∠=︒ ,∴C ABH ∠∠=,∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=, ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题,涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识,熟练掌握和应用相关知识是解题的关键,(2)小题求出∠C=∠AOD 是关键.2.在Rt △ACB 和△AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE. 特殊发现:如图1,若点E 、F 分别落在边AB ,AC 上,则结论:PC =PE 成立(不要求证明). 问题探究:把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转.(1)如图2,若点E 落在边CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)记AC BC=k ,当k 为何值时,△CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】 (1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有EM FP MC PB=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC BC =tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可.【详解】解:(1)PC=PE 成立,理由如下:如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,∴EM FP MC PB=,∵点P 是BF 的中点,∴EM=MC ,又∵PM ⊥CE ,∴PC=PE ;(2)PC=PE 成立,理由如下:如图3,过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF 和△EAF 中,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA ,AF=AF ,∴△DAF ≌△EAF (AAS ),∴AD=AE ,在△DAP 和△EAP 中,∵AD=AE ,∠DAP=∠EAP ,AP=AP ,∴△DAP ≌△EAP (SAS ),∴PD=PE ,∵FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,∴FD ∥BC ∥PM ,∴DM FP MC PB=, ∵点P 是BF 的中点,∴DM=MC ,又∵PM ⊥AC ,∴PC=PD ,又∵PD=PE ,∴PC=PE ;(3)如图4,∵△CPE 总是等边三角形,∴∠CEP=60°,∴∠CAB=60°,∵∠ACB=90°,∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°, ∵AC k BC =,AC BC=tan30°, ∴k=tan30°=3, ∴当k 为33时,△CPE 总是等边三角形.【点睛】考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.3.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是»AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G .(1)求证:△PAC ∽△PDF ;(2)若AB =5,¼¼AP BP=,求PD 的长.【答案】(1)证明见解析;(2310 【解析】【分析】 (1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到¶¶ADAC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;(2)连接OP ,由¶¶APBP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC ,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP GE ED=,然后根据勾股定理即可得到结果.【详解】(1)证明:连接AD ,∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴¶¶ADAC =, ∴∠ACD =∠B =∠ADC ,∵∠FPC =∠B ,∴∠ACD =∠FPC ,∴∠APC =∠ACF ,∵∠FAC =∠CAF ,∴△PAC ∽△CAF ;(2)连接OP ,则OA =OB =OP =1522AB =, ∵¶¶APBP =, ∴OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC =2BC ,∴tan ∠CAB =tan ∠DCB =BC AC,∴12 CE BEAE CE==,∴AE=4BE,∵AE+BE=AB=5,∴AE=4,BE=1,CE=2,∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED=,∴2.52 OE GE OPGE CE-==,∴GE=23,OG=56,∴PG=225OP OG6+=,GD=222 3DE GE+=,∴PD=PG+GD=3102.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG∽△EDG是解题的关键.4.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,点D是边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.(1)如图①,当点E落在边BA的延长线上时,∠EDC=度(直接填空);(2)如图②,当点E落在边AC上时,求证:BD=12 EC;(3)当AB=2E到AC31时,直接写出tan∠CAE的值.【答案】(1)90;(2)详见解析;(3)633 tan11EAC-∠=【解析】【分析】(1)利用三角形的外角的性质即可解决问题;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.只要证明△BAD≌△PAE(SAS),提出BD=PE,再证明EC=2PE即可;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,可得EP=3x,EH=2PH=2x,由此FH=2x+3﹣1,CF=23x+3﹣3,由△BAD≌△PAE,得BD=EP=3x,AE=AD,在Rt△ABG中, AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,故AE2=AD2=AF2+EF2,由勾股定理得AF=1+3,由此tan∠EAF=2﹣3,根据对称性可得tan∠EAC=6-33.【详解】(1)如图1中,∵∠EDC=∠B+∠BED,∠B=∠BED=45°,∴∠EDC=90°,故答案为90;(2)如图2中,作PA⊥AB交BC于P,连接PE.∵∠DAE=∠BAP=90°,∴∠BAD=∠PAE,∵∠B=45°,∴∠B=∠APB=45°,∴AB=AP,∵AD=AE,∴△BAD≌△PAE(SAS),∴BD=PE,∠APE=∠B=45°,∴∠EPD=∠EPC=90°,∵∠C=30°,∴EC=2PE=2BD;(3)如图3,作EF⊥AC于F,延长FE交BC于H,作AG⊥BC于G,PA⊥AB交BC于P,连接PE.设PH=x,在Rt△EPH中,∵∠EPH=90°,∠EHP=60°,∴EP3,EH=2PH=2x,∴FH=31,CF3FH=33∵△BAD≌△PAE,∴BD=EP3,AE=AD,在Rt△ABG中,∵AB=2∴AG=GB=2,在Rt△AGC中,AC=2AG=4,∵AE2=AD2=AF2+EF2,∴22+(23)231)2+(4﹣3﹣32,整理得:9x2﹣12x=0,解得x=43(舍弃)或0∴PH =0,此时E ,P ,H 共点,∴AF =1+3, ∴tan ∠EAF =EF AF =3131-+=2﹣3. 根据对称性可知当点E 在AC 的上方时,同法可得tan ∠EAC =6-33. 【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.5.如图,已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A (-3,6),并与x 轴交于点B (-1,0)和点C ,顶点为点P .(1)求这个二次函数解析式;(2)设D 为x 轴上一点,满足∠DPC =∠BAC ,求点D 的坐标; (3)作直线AP ,在抛物线的对称轴上是否存在一点M ,在直线AP 上是否存在点N ,使AM +MN 的值最小?若存在,求出M 、N 的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)点C 坐标为(3,0),点P (1,-2);(2)点P (7,0);(3)点N (-75,145). 【解析】【分析】(1)将点A 、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)利用S △ABC =12×AC×BH= 12×BC×y A ,求出sinα= 222105BH AB ==,则tanα= 12,在△PMD 中,tanα= MD PM 1222x =+,即可求解; (3)作点A 关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ,此时AM+MN 最小,即可求解.【详解】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩,解得:132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩,故:抛物线的表达式为:y=12x2-x-32,令y=0,则x=-1或3,令x=0,则y=-32,故点C坐标为(3,0),点P(1,-2);(2)过点B作BH⊥AC交于点H,过点P作PG⊥x轴交于点G,设:∠DPC=∠BAC=α,由题意得:AB10,AC2BC=4,PC2,S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A,解得:BH2sinα=BHAB22210=5,则tanα=12,由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°,延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,则MD=MC=x,在△PMD中,tanα=MDPM22x+12,解得:x2CD2x=4,故点P(7,0);(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为:84=-2,则直线A′N表达式中的k值为12,设直线A′N的表达式为:y=12x+b,将点A′坐标代入上式并求解得:b=72,故直线A′N的表达式为:y=12x+72…①,当x=1时,y=4,故点M(1,4),同理直线AP的表达式为:y=-2x…②,联立①②两个方程并求解得:x=-75,故点N(-75,145).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用对称点求解最小值,是此类题目的一般方法.6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长:_________________;(2)当t =__________时,点Q与点C重合时;(3)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,求出t的值.【答案】(1);(2)1;(3)t的值为或或.【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出AD,即可得出结论;(2)利用AQ=AC,即可得出结论;(3)分三种情况,利用锐角三角函数,即可得出结论.【详解】(1)∵AP= , AB=4,∠A=30°∴AC= , AD=∴CD=;(2)AQ=2AD=当AQ=AC时,Q与C重合即=∴t=1;(3)①如图,当PQ的垂直平分线过AB的中点F时,∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2.∵∠A=∠AQP=30°,∴∠FPG=60°,∴∠PFG=30°,∴PF=2PG=2t,∴AP+PF=2t+2t=2,∴t=②如图,当PQ的垂直平分线过AC的中点N时,∴∠QMN =90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t.在Rt△NMQ中,∵AN+NQ=AQ,∴③如图,当PQ的垂直平分线过BC的中点F时,∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°.∵∠ABC=60°,∴∠BFH=30°=∠H,∴BH=BF=1.在Rt△PEH中,PH=2PE=2t.∵AH=AP+PH=AB+BH,∴2t+2t=5,∴t=.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数,垂直平分线的性质,正确作出图形是解本题的关键.7.现有一个“Z“型的工件(工件厚度忽略不计),如图所示,其中AB为20cm,BC为60cm,∠ABC=90,∠BCD=60°,求该工件如图摆放时的高度(即A到CD的距离).(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.73)【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,由∠CQP=∠AQB、∠CPQ=∠B=90°知∠A=∠C =60°,在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长,结合BC知CQ的长,在△CPQ中可得PQ,根据AP=AQ+PQ得出答案.【详解】解:如图,过点A作AP⊥CD于点P,交BC于点Q,∵∠CQP=∠AQB,∠CPQ=∠B=90°,∴∠A=∠C=60°,在△ABQ中,∵AQ=(cm),BQ=AB tan A=20tan60°=20(cm),∴CQ=BC﹣BQ=60﹣20(cm),在△CPQ中,∵PQ=CQ sin C=(60﹣20)sin60°=30(﹣1)cm,∴AP =AQ+PQ=40+30(﹣1)≈61.9(cm),答:工件如图摆放时的高度约为61.9cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键.8.如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°,沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度i=5:12.(1)求此人所在位置点P的铅直高度.(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计,参考数据:tan53°≈43,tan63.4°≈2)【答案】(1)此人所在P的铅直高度约为14.3米;(2)从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析:(1)过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,设PF=5x,在Rt△ABC中求出AB,用含x 的式子表示出AE,EP,由tan∠APE,求得x即可;(2)在Rt△CPF中,求出CP的长.详解:过P作PF⊥BD于F,作PE⊥AB于E,∵斜坡的坡度i=5:12,设PF=5x,CF=12x,∵四边形BFPE为矩形,∴BF=PEPF=BE.在RT△ABC中,BC=90,tan∠ACB=AB BC,∴AB=tan63.4°×BC≈2×90=180,∴AE=AB-BE=AB-PF=180-5x,EP=BC+CF≈90+120x.在RT△AEP中,tan∠APE=1805490123 AE xEP x-≈=+,∴x=20,7∴PF=5x=10014.3≈.7答:此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP=13x,∴CP=13×20≈37.1,BC+CP=90+37.1=127.1.7答:从P到点B的路程约为127.1米.点睛:本题考查了解直角三角形的应用,关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形,找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题,构造直角三角形,用勾股定理或三角函数求相应的线段长.9.如图,正方形ABCD的边长为2+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F,(1)求证:△ABF∽△ACE;(2)求tan∠BAE的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小,求出最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)tan∠EAB2﹣1;(3)PE+PF的最小值为+22【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可;(2)如图1中,作EH⊥AC于H.首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=x,构建方程求出x即可解决问题;(3)如图2中,作点F 关于直线AC 的对称点H ,连接EH 交AC 于点P ,连接PF ,此时PF+PE 的值最小,最小值为线段EH 的长;【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ACE =∠ABF =∠CAB =45°,∵AE 平分∠CAB ,∴∠EAC =∠BAF =22.5°,∴△ABF ∽△ACE .(2)解:如图1中,作EH ⊥AC 于H .∵EA 平分∠CAB ,EH ⊥AC ,EB ⊥AB ,∴BE =EB ,∵∠HCE =45°,∠CHE =90°,∴∠HCE =∠HEC =45°,∴HC =EH ,∴BE =EH =HC ,设BE =HE =HC =x ,则EC =2x , ∵BC =2+1,∴x+x =2+1,∴x =1,在Rt △ABE 中,∵∠ABE =90°,∴tan ∠EAB =221BE AB == ﹣1. (3)如图2中,作点F 关于直线AC 的对称点H ,连接EH 交AC 于点P ,连接PF ,此时PF+PE 的值最小.作EM ⊥BD 于M .BM =EM =22, ∵AC =22AB BC +=2+2,∴OA =OC =OB =12AC =222+ , ∴OH =OF =OA•tan ∠OAF =OA•tan ∠EAB =222+ •(2﹣1)=22, ∴HM =OH+OM =222+, 在Rt △EHM 中,EH =2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= =22+.. ∴PE+PF 的最小值为22+..【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定,勾股定理,最短问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.10.如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点B 到航线l 的距离BD 为4km ,点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处.现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处.求这艘轮船的航行路程CE 的长度.(结果精确到0.1km )(参考数据:3≈1.73,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49)【答案】20.9km【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解:如图,在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,∴BF=cos 60BD o=8km , ∵AB=20km ,∴AF=12km , ∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD ,∴△AEF ∽△BDF ,∴AE BD AF BF=, ∴AE=6km , 在Rt △AEF 中,CE=AE•tan74°≈20.9km .故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.11.如图所示,小华在湖边看到湖中有一棵树AB ,AB 与水面AC 垂直.此时,小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米.她测得树梢B 点的仰角为30°,测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°.求树高AB (结果保留根号)【答案】AB=(3)m .【解析】【分析】设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8,根据∠ADB′=45°,可知DE=B′E=x+8,再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值,进而得到答案,【详解】如图:过点D 作DE ⊥AB 于点E , 设BE=x ,则BA=x+4,B′E=x+8,∵∠ADB′=45°,∴DE=B′E=x+8,∵∠BDE=30°,∴tan30°=38BE x DE x ==+ ,解得3, ∴AB=BE+4=(3)m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键12.如图,由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米,ABD 30∠=o ,为了达到无障碍通道的坡道标准,现准备把斜坡改长,使ACD 5.71∠=o .()1求斜坡AB 的长;()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据:3 1.732≈,tan5.710.100)≈o【答案】()1?AB 1.2=米;()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米. 【解析】【分析】()1在Rt ABD V 中,根据AB AD sin30=÷o 计算即可;()2分别求出CD 、BD 即可解决问题; 【详解】()1在Rt ABD V 中,1AB AD sin300.6 1.2(2=÷=÷=o 米), ()2在Rt ABD V 中,3BD AD tan300.6 1.039(=÷=≈o 米), 在Rt ACD V 中,CD AD tan5.716(=÷≈o 米),BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米).答:求斜坡AB 的长为1.2米,斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.。
九年级数学下册 第一章直角三角形的边角关系单元综合检测2 试题
第一章 直角三角形的边角关系本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写; 出题人:令狐学复;欧阳化语;令狐理总。
单元测试时间是:90分钟,满分是:100分一、选择题〔每一小题3分,一共30分,请把答案填入答卷相应的表格内〕1. 有一山坡程度方向前进了40米,就升高了20米,那么这个山坡的坡度是〔 〕A .1:2B .2:1C .D2. 假设A ∠为锐角,且1cos 3A =,那么〔 〕 A .0°< A ∠<30° B .30°<A ∠<45° C .45°<A ∠<60° D .60°<A ∠<90°3. 比拟tan 46,cos 29,sin 59︒︒︒的大小关系是〔 〕A .tan 46cos 29sin 59︒<︒<︒B .tan 46sin 59cos 29︒<︒<︒C .sin 59tan 46cos 29︒<︒<︒D .sin 59cos 29tan 46︒<︒<︒ 4. 在Rt ABC △中,90C ∠=°,假设1sin 2A =,那么A ∠的度数是〔 〕 A .60°B .45°C .30°D .无法确定5. 同一时刻,身高2.26m 的姚明在阳光下影长为1.13m ;小林浩在阳光下的影长为0.64m ,那么小林浩的身高为〔 〕6. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的程度线,∠ABC =150°,BC 的长是8 m ,那么乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是〔 〕 Am B .4 m C. mD .8 mAB7. tan 45sin 452sin 30cos 45tan 30︒︒-︒︒+︒=〔 〕A .12B .22C .32D .338. 如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的程度间隔 为5米,那么这两树在坡面上的间隔 AB 为〔 〕A . αcos 5B . αcos 5C . αsin 5D .αsin 59. 将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如下图的形状,那么折痕PQ 的长是〔 〕 A .233cm B .433cm C .5cm D .2cm 10.2tan 302tan 301tan 30︒-︒++︒=〔 〕A .233 B .2313- C .231- D .1 单元测试答卷班级___________学号_________ 姓名____________〔时间是:90分钟,满分是:100分〕一、选择题〔每一小题3分,一共30分,请把答案填入相应的表格内〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题〔每空3分,一共30分〕 题号 11 12 13 14 15 答案题号16171819α5米AB60°P Q2cm答案11. 在Rt ABC △中,90C ∠=°,sinA=45,BC=20,那么ABC △的周长为__________ 12. 在Rt ABC △中,9032C AB BC ∠===°,,,那么cos A 的值是 .13. 如图,某游乐场内滑梯的滑板与地面所成的角∠A = 35°,滑梯的高度BC = 2米,那么滑板AB 的长约为_________米〔准确到0.1〕.14. 如图,小明从A 地沿北偏30向走1003m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时小明离A 地 m .15. 如图,将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A ''',使点B '与C 点重合,连结B A ',那么C B A ''∠tan 的值是 .16. 某校初三〔一〕班课外活动小组为了测得旗杆的高度,他们在离旗杆6米的A B 处的仰角为60°,如下图,那么旗杆的高度为 米.〔3 1.732≈,结果准确到0.1米〕17. 如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开场时绳子与水面的夹角为30°,此人以BCAAC (B ′)BA ′C ′ACDEB60°每秒0.5米收绳.问:未开场收绳子的时候,图中绳子BC 的长度是__________米;收绳8秒后船向岸边挪动了____________米?〔结果保存根号〕18. 小鹏学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:“如下图,把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,α=36°,那么长方形卡片的周长为________.〞〔准确到1mm 〕19. 〔参考数据:sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75〕20. 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地,测得10BC CD ==米,120B C ∠=∠=°,45A ∠=°.那么这块草地的面积为__________.三、 解答题〔一共40分〕 21. 〔6分〕计算:22009(21)86sin 45(1)--+-+-°.CDABαl12mmDCBA22. 〔7分〕如图,AC 是我某大楼的高,在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º,沿BC 方向前进18米到达D 点,测得tan ∠ADC = 53.现打算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆贺建国60周年的大型标语,假设标语底端距地面15m ,请你计算标语AE 的长度应为多少?23. 〔7分〕如图,两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ,AOC ∠为36°,指挥中心M 设在OA 路段上,与O 地的间隔 为18千米.一次行动中,王警官带队从O 地出发,沿OC 方向行进,王警官与指挥中心均配有对讲机,两部对讲机只能在10千米之内进展通话,通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据:sin 360.59cos360.81tan 360.73===°,°,°.】23. 〔10分〕如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点A 到航线l 的间隔 为2km ,点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处.现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处. 〔1〕求观测点B 到航线l 的间隔 ;B〔2〕求该轮船航行的速度〔结果准确到0.1km/h 〕.1.73,sin 760.97°≈,cos 760.24°≈,tan 76 4.01°≈〕24.〔10分〕花园小区有一朝向为正南方向的居民楼〔如图〕,该居民楼的一楼是高4米的小区商场,商场以上是居民住房.在该楼的前面16米处要盖一栋高18米的办公楼.当冬季正午的阳光与程度线的夹角为35°时,问:〔1〕商场以上的居民住房采光是否有影响,为什么?〔2〕假设要使商场采光不受影响,两楼应相距多少 米?〔结果保存一位小数〕〔参考数据:sin 350.57≈°,cos350.82≈°,tan 350.70≈°〕参考答案一、选择题 1. A 2. D 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. B 9. B 10. D 二、填空题 11. 6012. 13.14. 100 15.31 16.17. 解〔1〕如图,在Rt △ABC 中,BCAC=sin30° ∴ BC =︒sin305=10米 〔2〕收绳8秒后,绳子BC 缩短了4米,只有6米,这时,船到河岸的间隔 为1125365622=-=-米.故挪动间隔为.18. 解:作BE l ⊥于点E ,DF l ⊥于点F .18018090909036.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒°°°°,,根据题意,得BE =24mm ,DF =48mm. 在Rt ABE △中,sin BEABα=, 2440sin 360.60BE AB ∴===°mm在Rt ADF △中,cos DFADF AD∠=,4860cos360.80DF AD ∴===°mm .∴矩形ABCD 的周长=2〔40+60〕=200mm .19. 解:连接BD ,过C 作CE BD ⊥于E ,10120BC DC ABC BCD ==∠=∠=,°, 123090ABD ∴∠=∠=∴∠=°,°.5CE BE ∴=∴=,452A AB BD BE ∠=∴===°,ABD BCD ABCD S S S ∴=+△△四边形CE BD BD AB •+•=21212115(15022m =⨯+⨯=+. 三、解答题 20.解:)2200916sin 45(1)--+-︒+-=21+-=21)1++--ClD CBAE 1 2=211+++-=2+21. 解:在Rt ABC △中,90ACB ∠=°,45ABC ∠=°,Rt ABC ∴△是等腰直角三角形,AC BC =.在Rt ADC △中,90ACD ∠=°,tan AC ADC DC ∠=53=, 35DC AC ∴=, BC DC BD -=,即3185AC AC -=.45AC ∴=.那么451530AE AC EC =-=-=. 答:标语AE 的长度应为30米. 22. 解:过点M 作MH OC ⊥于点H . 在Rt MOH △中,sin MHMOH OM∠= 18OM =,36MOH ∠=°,18sin 36180.5910.6210MH ∴=⨯=⨯=>°.即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话. 23. 解:〔1〕设AB 与l 交于点O .在Rt AOD △中,6024cos 60ADOAD AD OA ∠====°,,°.又106AB OB AB OA =∴=-=,.在Rt BOE △中,)(360cos ,60km OB BE OAD OBE =︒=∴︒=∠=∠∴观测点B 到航线l 的间隔 为3km .〔2〕在Rt AOD △中,3260tan =︒=AD OD .B在Rt BOE △中,3360tan =︒=BE OE .DE OD OE ∴=+=.在Rt CBE △中,︒=∠=∴=︒=∠76tan 3tan ,3,76CBE BE CE BE CBE .3tan 76 3.38CD CE DE ∴=-=-°.15min h 12=,1212 3.3840.6112CDCD ∴==⨯≈〔km/h 〕.24. 解:〔1〕如图,光线交CD 于点E ,过点E 作EF BD ∥交AB 于点F . 设DE x =米,那么(18)AF x =-米在Rt AFE △中,35AEF ∠=°,tan 35AFEF ∴=° 180.7016x-=, 6.8x = 6.84>,∴居民住房的采光有影响.〔2〕如图,在Rt ABD △中tan ABADB BD ∠= 18tan 35BD =°,1825.7125.80.70BD =≈≈ 答:两楼相距25.8米.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写; 出题人:令狐学复;欧阳化语;令狐理总。
2021-2022学年北师大版九年级数学《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合达标测试(附答案)一.选择题(共6小题,满分30分)1.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,若BD=3,CD=2,则tan B的值为()A.B.C.D.2.在△ABC中,BC=2,AC=2,∠A=30°,则AB的长为()A.B.2C.或4D.2或43.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,则∠ACD 的正切值是()A.B.C.D.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长度为()A.2B.8C.D.5.如图,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,tan ∠CPN为()A.1B.2C.D.6.某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度,坝外斜坡的坡度i=1:1,则两个坡角的和为()A.90°B.60°C.75°D.105°二.填空题(共10小题,满分50分)7.如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上,则sin∠ACB的值为.8.如图,点D在钝角△ABC的边BC上连接AD,∠B=45°,∠CAD=∠CDA,CA:CB =5:7,则∠BAD的余弦值为.9.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于.10.如图所示的网格是正方形网格,∠BAC∠DAE.(填“>”,“=”或“<”)11.如图所示,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,AC⊥CD,若sin∠ACB=,则cos∠ADC=.12.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tan A=,则CD=.13.如图,一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC 的长度约为米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)14.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会,很多学校都开展了冰雪项目学习.如图,滑雪轨道由AB,BC两部分组成,AB,BC的长度都为200米,一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点,若AB与水平面的夹角α为20°,BC与水平面的夹角β为45°,则他下降的高度为米.(参考数据:sin20°≈0.34)15.如图,某中学综合楼入口处有两级台阶,台阶高AD=BE=15cm,深DE=30cm,在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道,设台阶起点为A,斜坡的起点为C,若斜坡CB的坡度i=1:9,则AC的长为cm.16.如图,一幢居民楼OC临近坡AP,山坡AP的坡度为i=1:(tanα=),小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°,当从A处沿坡面行走6米到达P处时,测得楼顶C的仰角刚好为45°,点O,A,B在同一直线上,则该居民楼的高度为(结果保留根号).三.解答题(共5小题,满分40分)17.已知:Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=60°,CD⊥AB于点D,CD=,解这个直角三角形.18.如图,△ABC中,∠A=30°,AC=2,tan B=,求AB的长.19.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,AE=6,cos A=.(1)求CD的长;(2)求tan∠DBC的值.20.如图,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由;(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.21.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.(1)问B处距离灯塔P有多远?(结果精确到0.1海里)(2)假设有一圆形暗礁区域,它的圆心位于射线PB上,距离灯塔150海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为60海里,进入这个区域,就有触礁的危险.①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险?并说明理由.②如果海伦从B处继续向正北方向航行,是否有触礁的危险?直接写出结论,不用说明理由.(参考数据:≈1.414,≈1.732)参考答案一.选择题(共6小题,满分30分)1.解:∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,又∠B+∠BAD=90°,∴∠CAD=∠B,∴tan∠B=,tan∠CAD=,∴=,即AD2=BD•CD=3×2=6.∴AD=.故tan∠B==.故选:D.2.解:作CD⊥AB交AB的延长线于点D,当B2C=2时,∵∠A=30°,∠ADC=90°,AC=2,∴CD=,∴AD==3,B2D==1,∴AB2=3﹣1=2,同理可得,AB1=3+1=4,即AB的长为2或4,故选:D.3.解:∵CD是AB边上的中线,∴CD=AD,∴∠A=∠ACD,∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,∴tan∠A=,∴tan∠ACD的值.故选:D.4.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∴tan A===,∴BC=2.故选:A.5.解:连接格点MN、DM,如图所示:则四边形MNCE是平行四边形,△DAM和△MBN都是等腰直角三角形,∴EC∥MN,∠DMA=∠NMB=45°,DM=AD=2,MN=BM=,∴∠CPN=∠DNM,∴tan∠CPN=tan∠DNM,∵∠DMN=180°﹣∠DMA﹣∠NMB=180°﹣45°﹣45°=90°,∴tan∠CPN=tan∠DNM===2,故选:B.6.解:如图所示,∵ED:AE=1:,∴∠A=30°.∵CF:BF=1:1,∴∠B=45°.∴∠A+∠B=30°+45°=75°.故选:C.二.填空题(共10小题,满分50分)7.解:作如图所示的辅助线,则BD⊥AC,∵BC=,BD=,∴sin∠ACB=,故答案为.8.解:如图作AH⊥BC于H,DE⊥AB于E,设AC=CD=5k,BC=7k,∵∠B=45°,∠AHB=90°,∴AH=BH,设AH=BH=x,在Rt△ACH中,∵AH2+HC2=AC2,∴x2+(7k﹣x)2=(5k)2,解得x=3k或4k(舍弃与钝角三角形矛盾),当x=3k时,∴BH=AH=3k,DH=k,AD=k,DE=BE=k,AE=2k,∴cos∠BAD===,故答案为.9.解:作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,①如图1,当AB、AC位于AD异侧时,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=AB sin B=5,BD=AB cos B=5,在Rt△ACD中,∵AC=2,∴CD===,则BC=BD+CD=6,∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15;②如图2,当AB、AC在AD的同侧时,由①知,BD=5,CD=,则BC=BD﹣CD=4,∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10.综上,△ABC的面积是15或10,故答案为15或10.10.解:在Rt△ABC中,tan∠BAC==,在Rt△ADE中,可表示tan∠DAE===1,∵tan∠BAC<tan∠DAE,∴∠BAC<∠DAE,故答案为:<.11.解:∵∠B=90°,sin∠ACB=,∴=,∵AB=2,∴AC=6,∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴AD===10,∴cos∠ADC==.故答案为:.12.解:延长AD和BC交于点E.∵在直角△ABE中,tan A==,AB=3,∴BE=4,∴EC=BE﹣BC=4﹣2=2,∵△ABE和△CDE中,∠B=∠EDC=90°,∠E=∠E,∴∠DCE=∠A,∴直角△CDE中,tan∠DCE=tan A==,∴设DE=4x,则DC=3x,在直角△CDE中,EC2=DE2+DC2,∴4=16x2+9x2,解得:x=,则CD=.故答案是:.13.解:由题意可得:∵∠ABO=70°,AB=10m,∴sin70°=,解得:AO=9.4(m),∵∠CDO=50°,DC=10m,∴sin50°=≈0.77,解得:CO=7.7(m),则AC=9.4﹣7.7=1.70(m),答:AC的长度约为1.70米.故答案为:1.70.14.解:过点A作AE⊥BD于点E,过点B作BG⊥CF于点G,在Rt△ABE中,∵sinα=,∴AE=AB×sin20°≈68米,在Rt△BCG中,∵sinβ=,∴BG=BC×sin45°≈142米,∴他下降的高度为:AE+BG=210米,故答案为:21015.解:过B作BF⊥AC,由题可知BF=30cm,AF=30cm.∵tan∠BCA==,∴CF=270cm,∴AC=CF﹣AF=270﹣30=240(cm).故答案为:240.16.解:如图,过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,∵山坡AP的坡度为i=1:=tanα==,AP=6米,∴α=30°,∵PE⊥OB,∴PE=AP=3(米),AE=PE=3(米),∵PF⊥OC,∠CPF=45°,∴△PCF是等腰直角三角形,∴CF=PF,设CF=PF=m米,则OC=(m+3)米,OA=(m﹣3)米.在Rt△AOC中,∠OAC=60°,∴∠ACO=30°,∴OC=OA,即m+3=(m﹣3),解得:m=6+6,∴OC=6+6+3=(6+9)米,即该居民楼的高度为(6+9)米,故答案为:(6+9)米.三.解答题(共5小题,满分40分)17.解:∵∠C=90°,∠A=60°.∴∠B=30°.又CD⊥AB于D.∴BC=2CD=2.,∴BD===3.在直角三角形ACD中,∠A=60°,CD=∴AD===1,AC=2AD=2,∴AB=BD+AD=4.18.解:过C点作CD⊥AB于D,如图,在Rt△ACD中,∵sin A=,cos A=,即sin30°=,cos30°=,∴CD=×2=,AD=×2=3,在Rt△BCD中,∵tan B=,∴BD==2,∴AB=AD+BD=3+2=5.19.解:(1)在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=6,cos A=,∴AD==10,∴==8.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC,∴CD=DE=8;(2)由(1)AD=10,DC=8,∴AC=AD+DC=18,在△ADE与△ABC中,∵∠A=∠A,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴,即=,∴BC=24,∴.20.解:(1)补全的图形,如图所示,可得出∠AOB=90°,理由如下:证明:由题意可知BC=AB,DC=AB,∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°;(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=,∴OB=AB•cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.21.解:(1)过点P作PD⊥AB于点D.依题意可知,P A=100海里,∠APD=90°﹣30°=60°,∠BPD=45°.∴∠A=90°﹣60°=30°.∴PD=P A=50(海里),在Rt△PBD中,∠BPD=45°,∴△PBD是等腰直角三角形,∴PB=PD=50(海里)≈70.7(海里).答:B处距离灯塔P约70.7海里.(2)①海轮到达B处没有触礁的危险,理由如下:依题意知:OP=150海里,PB=50海里,∴OB=OP﹣PB=(150﹣50)海里≈79.3海里>60海里,∴海轮到达B处没有触礁的危险.②过点O作OE⊥AB与E,交AB延长线于点E,则∠OEB=90°,∵∠OBE=∠PBD=45°,∴OE=OB sin∠OBE=(150﹣50)×=75﹣50≈56.07<60,∴海轮从B处继续向正北方向航行,有触礁的危险.。
(完整版)初中几何直角三角形的边角关系期末复习题(有答案)第一章_直角三角形的边角关系综合检测题(含
初中几何直角三角形的边角关系期末复习题(有答案)a =-,那么sin a 的值是()536.如图 2,在矩形 ABCD 中, DE I AC 于 E,设/ ADE=x ,且 cos a =— , AB=4,贝U AD 的长为5()4 53.等腰三角形的底边长为5 12 A . —B.12 1313A . 25 B10cm 3 .5周长为 c® 134. 以下不能构成三角形三边长的数组是(A . ( 1, .3 , 2)B .( .3,、: 4 , 、、.36cm ,那么底角的余弦等于()D .2 12))B . sinA=cosBC . tanA=tanBD . cosA=cosB16 3c.Q3D.dA . 1 B一、选择题(每小题 3分,共30分) 1如图1所示,已知正方形 ABCD 勺边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在 CB 的延长线上的 D'处,那么tan / BAD 等于()cos2.如果a 是锐角,且 C . —2 D . 2 . 2中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮至少要()A . 450a 元B . 225a 元C . 150a 元D . 300a 元&已知a为锐角,tan(〔90° - a)= '、3,则a的度数为(A . 30° B.45° C . 60°D75°9.在厶ABC中,/ C=90°,BC=5> AB=13,则sinA的值是()A 5 c 12 c 512A .— B.C.- D —1313125 7.如图3,某市在“旧城改造”]10. 如图4,如果/ A是等边三角形的一个内角,那么COSA的值等于()A. - B . —2 C . D . 12 2 211. 图1表示甲、乙两山坡情况,其中tan a ________ t an 3 , ____ 坡更陡.(前一空填">“<”或“=”,后一空填“甲”“乙”)图1图212. 在厶ABC 中,/ C=90°, BC=3 AB=4•则/ B 的正弦值是 ________ .313. 小明要在坡度为 3的山坡上植树,要想保证水平株距为 5 m,则相邻两株树植树地点的5高度差应为 _____ m.14. 在厶 ABC 中,/ C=90°, AC=BC 贝U sinA= ____ , tanA= ____ 15. 在厶 ABC 中,AB=AC=10 BC=16,贝U sinB= ___ .二、填空题(每小题 4分,共20 分)1.在△ ABC 中,若/ A=30° 42 nt ,AC= ,贝V BC= _2的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离 AC 为2m,那么相邻,/ B=45° 3.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为a,如果测角仪高为 旗杆的高为 米(用含a 的三角函数表示).4•校园内有两棵树,相距 12米,一棵树高13米,另一棵树高 8米•一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 ___________________ 米.1.5米,那么2.如图5,沿倾斜角为30°5.如图6,某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形,D 是AB 的中点,中柱CD=1米,?/A=30°则跨度AB 的长为 ____________26. 已知在 Rt △ ABC 中,/ C=90° .若 sinA=,贝U sinB 等于()28. 如图2,两条宽度均为40 m 的公路相交成a 角,那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是()A 16002A.(m 2) sin 二11.李红同学遇到了这样一道题:..3 tan ( a+20° )=1,你猜想锐角a 的度数应是()■212. 在厶ABC 中,若tanA=1 , sinB= ,你认为最确切的判断是2B.C.D.1A 、/B 所对的两条直角边, aD.cosB=7. 在厶ABC 中,/ C=90°, a 、b 分别是/A . A cm m bA.si nA=B.cosB= —C.ta nA=c 是斜边,则有() b1600 / 2 2 2\ B.(m 2) C.1600sin a (m 2) D.1600cos a (m 2)cos :1C=90°, sinA= ,贝U BC : AC : AB 等于(29.在 Rt △ ABC 中,/A.1 : 2 : 5B.13 : _-、5D.1: 2 : 310.小刚在距某电信塔则塔高()10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上 ),测得塔顶的仰角 60°,A.10 , 3 mB.5C.10D.20 mA.40 °B.30C.20 °D.10A. △ ABC是等腰三角形C. △ ABC是直角三角B. △ ABC是等腰直角三角形D. △ ABC是一般锐角三角形三、解答题1.计算16〜18每题10分,19题20分,共50分)—cos 45 ° );(1)(sin60 ° +cos 45 ° )(sin 60(2)6ta n2 30 ° - . 3 sin 60 ° - 2sin 452. 已知:如图,在△ ABC 中,/ ACB=90 , CD L AB,垂足为D,若/ B=30°, CD=6 ?求AB的长. 3•如图,某公路的路基横断面为等腰梯形,按工程设计要求路面宽度为10米,坡角为45路基高度为5.8米,求路基下底宽.5.8ui答案:1. B解析:本题主要突破两点:一是直角三角形中,表示/ BAD的正切值;二是弄清BD =BD这一点.2. C 解析:考查三角函数的概念.3. A 4 . D5. B解析:考查锐角三角函数的定义.6. B 解析:本题主要是转化,先在Rt△ DCE中求出DE 再在Rt△ ADE中求AD.7. C 8 . A 9 . A10. A 解析:过C作垂线CD构造直角三角形ACD111. 解析:主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.212. 2.3 13 . 1.5+20tan a14. 13解析:本题关键是从实际问题中构建出数学模型,转化为数学知识.15. 3.93 米16. 8 3 解析:分别解两个直角三角形,求出AD与BD的长,相加.17. 18.1米解析:分别过D C作底AB的垂线,构造两个直角三角形,用直角三角形的边角关系解决.18. / A=22° 1'Ab=37.8 米解析:注意关于梯形中辅助线的作法,?分清什么时候作高,什么时候平移一腰,什么时候平移对角线,什么时候延长两腰,应当分清.19. ( 1)如图所示:(2)方案如下:①测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角/ MCE a ;②测点B处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角/ MDE节;③量出测点A到测点B的水平距离AB=m④量出测倾器的高度AC=h根据上述测量数据可以求出小山MN的高度.。
北师大新版数学九年级下册第1章 直角三角形的边角关系(练习题)
第1章直角三角形的边角关系(练习题)北师大新版数学九年级下册一.选择题1.如图中的每个小正方形的边长均相等,则sin∠BAC的值为()A.1B.C.D.2.如图,∠ACB=45°,∠PRQ=125°,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有()A.h1=h2B.h1<h2C.h1>h2D.以上都有可能3.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sin B的值是()A.B.C.D.4.在高为60m的小山上,测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°,则这个建筑物的高度是()A.20m B.30m C.40m D.50m5.如图,山顶有一座电视塔BC,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α=60°,在塔底C 处测得A点俯角β=45°,已知塔高BC为60m,则山高CD等于()A.m B.m C.30m D.m 6.北京2022年冬奥会计划于2月4日开幕,2月20闭幕.如图,AB表示一条跳台滑雪赛道,在点A处测得起点B的仰角为40°,底端点C与顶端点B的距离为50米.则赛道AB 的长度为()A.50sin40°米B.50cos40°米C.米D.米7.在△ABC中,AB=4,BC=5,sin B=,则△ABC的面积等于()A.15B.C.6D.8.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于cos B 的是()A.B.C.D.9.如图,小东在教学楼距地面8米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.5米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端,则国旗匀速上升的速度为()米/秒.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)A.0.3B.0.2C.0.25D.0.3510.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,连接AB,AC,则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.二.填空题11.如图,在Rt△ABD中,AB=6,tan∠ADB=,点C为斜边BD的中点,P为AD上任一点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF=.12.如果一个斜坡的坡度i=1:,那么该斜坡的坡角为度.13.2cos45°﹣(π+1)0=.14.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AB=.15.某滑雪运动员沿着坡比为1:的斜坡向下滑行了100米,则运动员下降的垂直高度为米.三.解答题16.学好数学,就是为能更好解决生活中遇到的问题,如图所示,为了测量山的高度AC,在水平面E处测得山顶A的仰角为30°,AC⊥EC,自E沿着EC方向向前走100m,到达D处,又测得山顶A的仰角为45°,求山高.(结果保留根号)17.如图,在离铁塔20m的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为53°,测倾仪高AD为1.52m.求铁塔高BC(参考数据sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33).18.如图,在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔,小明为测得铁塔的高度,先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°,后沿坡度i=1:2的山坡向上行走10米到达点D处,在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°,求铁塔AB的高度.19.如图,九年级数学兴趣小组要测量嵌在某大楼前面的电子屏高度CD.在该大楼正前方的A处测得电子屏CD顶端C的仰角为45°,底端D的仰角为30°.从A处沿水平地面向正前方走18米到达B处,测得顶端C的仰角为68.2°.求电子屏的高度CD.(结果保留整数)参考数据:sin68.2°≈0.93,≈1.41,cos68.2°≈0.37,≈1.73,tan68.2°≈2.5020.如图,小兵同学利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB,在观测点C 处测得大桥主架顶端A的仰角为30°,测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°,观测点与大桥主架的水平距离CM为120米,且AB垂直于桥面.(点A,B,C,M在同一平面内)(1)求大桥主架在桥面以上的高度AM;(结果保留根号)(2)求大桥主架在水面以上的高度AB.(结果精确到1米)(参考数据sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,≈1.73)。
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分;在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =2BC ,那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D .1 2.在△ABC 中,∠C ,∠B 为锐角,且满足⎪⎪⎪⎪sin C -22+(32-cos B )2=0,则∠A 的度数为( )A .100°B .105°C .90°D .60°3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =20,cos A =14,则AC 等于( )A .45B .5 C.15 D.1454.在Rt △ABC 中,如果边长都扩大为原来的5倍,那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A .都没有变化B .都扩大为原来的5倍C .都缩小为原来的15D .不能确定5.如图1-Z -1,过点C (-2,5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0,2),B 两点,则tan ∠OAB 的值为( )图1-Z -1A.25B.23C.52D.326.如图1-Z -2①为折叠椅,图②是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB 和CD 的长度相等,O 是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ,∠DOB =100°,那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ,参考数据:sin50°=cos40°≈0.77,sin40°=cos50°≈0.64,tan40°≈0.84,tan50°≈1.19)( )图1-Z -2A .38.1 cmB .49.8 cmC .41.6 cmD .45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 7.在△ABC 中,∠C =90°,sin A =14,则tan B =________.8.如图1-Z -3,将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan ∠AOB =________.图1-Z -39.如图1-Z -4,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB ,垂足是E ,DE =6,sin A =35,则菱形ABCD 的周长是________.图1-Z -410.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度,如图1-Z -5,在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB 的高度为________米.图1-Z -511.已知△ABC 中,tan B =23,BC =6,过点A 作BC 边上的高,垂足为D ,且满足BD ∶CD =2∶1,则△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共5小题,共56分) 12.(8分)计算:24sin45°+cos 230°-12tan60°+2sin60°.13.(10分)如图1-Z -6,在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,AB =22,CD =8,tan A =43.求:(1)BD 的长; (2)sin B 的值.图1-Z -614.(12分)某大坝修建有以下方案:大坝的横断面为等腰梯形,如图1-Z -7,AD ∥BC ,坝高10米,迎水坡面AB 的坡度i =53,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面AB 的坡度进行修改,修改后的迎水坡面AE 的坡度i =56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号);(2)如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米,求坝底将会沿AD 方向加宽多少米.图1-Z -715.(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直,展开小桌板使桌面保持水平,其示意图如图1-Z -8所示.连接OA ,此时OA =75 cm ,CB ⊥AO ,∠AOB =∠ACB =37°,且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度.求支架BC 的长度(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75).图1-Z -816.(14分)我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can).如图1-Z -9①,在△ABC 中,AB =AC ,底角∠B 的邻对记作can B ,这时can B =底边腰=BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解下列问题:(1)can30°=________;(2)如图②,已知在△ABC 中,AB =AC ,can B =85,S △ABC =24,求△ABC 的周长.图1-Z -9详解详析1.[解析] A ∵∠C =90°,AB =2BC ,∴sin A =BC AB =12.故选A.2.[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C -22+(32-cos B )2=0,∴sin C -22=0,32-cos B =0,则sin C =22,cos B =32,故∠C =45°,∠B =30°,∴∠A =180°-45°-30°=105°.故选B. 3.[答案] B4.[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关,当角度一定时,其三角函数值不变. 5.[解析] B 方法1:设直线AB 的表达式是y =kx +b .根据题意,得⎩⎨⎧-2k +b =5,b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-32,b =2,则直线AB 的表达式是y =-32x +2.在y =-32x +2中令y =0,解得x =43.则点B 的坐标是(43,0),即OB =43.则tan ∠OAB =OB OA =432=23.故选B.方法2:过点C 作CD ⊥y 轴于点D ,∵C (-2,5), ∴CD =2,OD =5.∵A (0,2),∴OA =2, ∴AD =OD -OA =3.在Rt △ACD 中,tan ∠OAB =tan ∠CAD =CD AD =23.故选B.6.[解析] C 连接BD ,由题意得OA =OB =OC =OD .∵∠DOB =100°,∴∠DAO =∠ADO =50°,∠OBD =∠ODB =40°,∴∠ADB =90°.又∵BD =32 cm ,∴AB =BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm).故选C. 7.[答案] 158.[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ,垂足为D ,如图,在Rt △AOD 中,AD =1,OD =2,则tan ∠AOB =AD OD =12. 9.[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ,垂足是E ,∴△AED 为直角三角形,则sin A =DE AD ,即35=6AD ,∴AD =10,∴菱形ABCD 的周长为10×4=40.10.[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E ,由题意可知,四边形ACDE 为矩形,则AE =CD =6米,AC =DE .设BE =x 米.在Rt △BDE 中,∵∠BED =90°,∠BDE =30°,∴DE =3BE =3x 米,∴AC =DE =3x 米. 在Rt △ABC 中, ∵∠BAC =90°,∠ACB =60°, ∴AB =3AC =3×3x =3x (米). ∵AB -BE =AE ,∴3x -x =6, ∴x =3,∴AB =3×3=9(米), 即旗杆AB 的高度为9米. 11.[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况:(1)如图①所示,∵BC =6,BD ∶CD =2∶1,∴BD =4.∵AD ⊥BC ,tan B =23,∴AD BD =23,∴AD=23BD =83,∴S △ABC =12BC ·AD =12×6×83=8;(2)如图②所示,∵BC =6,BD ∶CD =2∶1,∴BD =12.∵AD ⊥BC ,tan B =23,∴AD BD =23,∴AD =23BD =8,∴S △ABC =12BC ·AD =12×6×8=24.综上所述,△ABC 的面积为8或24.12.解:原式=24×22+(32)2-12×3+2×32 =14+34-36+ 3 =1+5 36.13.[解析] (1)根据在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,AB =22,CD =8,tan A =43,可以求得AD 的长,从而可以求得BD 的长;(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长,从而可以求得sin B 的值.解:(1)∵在△ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,CD =8,tan A =43,∴tan A =CD AD =43,解得AD =6,∴BD =AB -AD =22-6=16.(2)由(1)知BD =16,∵CD ⊥AB ,CD =8, ∴BC =CD 2+BD 2=82+162=8 5,∴sin B =CD BC =88 5=55.14.[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ,在直角三角形ABF 中求得AF ,AB 的长; (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ,延长EC 至点M ,延长AD 至点N ,连接MN . 由S △ABE =S 梯形CMND 从而求得DN 的长.解:(1)如图,过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中,∵i =BF AF =53,且BF =10米,∴AF =6米,∴AB =102+62=2 34(米).答:原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米. (2)如图,过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中,∵i =EG AG =56,且EG =BF =10米,易得AG =12米,BE =GF =AG -AF =6米. 延长EC 至点M ,延长AD 至点N ,连接MN .∵方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变, ∴S △ABE =S 梯形CMND , ∴12·BE ·EG =12(MC +ND )·EG , 即BE =MC +ND ,∴ND =BE -MC =6-2.7=3.3(米). 答:坝底将会沿AD 方向加宽3.3米.15.解:延长CB 交AO 于点D ,∴CD ⊥OA . 设BC =x cm ,则OB =(75-x )cm. 在Rt △OBD 中,∵∠DOB =37°, ∴OD =OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75-x )=(60-0.8x )cm ,BD =OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75-x )=(45-0.6x )cm ,∴DC =BD +BC ≈(0.4+45x )cm.在Rt △ACD 中,∵∠ACD =37°,∴AD =DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x +45)=(0.3x +33.75)cm. ∵OA =AD +OD =75 cm ,∴0.3x +33.75+60-0.8x =75, 解得x ≈37.5, ∴BC ≈37.5 cm ,故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16.解:(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ,∵can B =85,可设BC =8x ,AB =5x ,则BE =12BC =4x ,∴AE =AB 2-BE 2=3x .∵S △ABC =24, ∴12BC ·AE =12x 2=24, 解得x =2(负值已舍去),故AB =AC =5 2,BC =8 2, ∴△ABC 的周长为AB +AC +BC =5 2+5 2+8 2=18 2.。
2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析
2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1.如图,在ABC ∆中,AC =3,BC =4,AB =5,则tan B 的值是()A .34B .43C .35D .452.定义:圆心在原点,半径为1的圆称为单位圆.如图,已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上,则sin POA ∠等于()A .x B .yC .x y D .y x 3()A .3B .1C .2D .124.在Rt △ABC 中,∠C =90°,如果∠A =α,AB =3,那么AC 等于()A .3sinαB .3cosαC .3sin αD .3cos α5.tan60°的值等于()A .1BC .D .26.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=α,BC=m ,则AB 的长为()A .m sinαB .C .m cosαD .7.如图,网格中的每个小正方形的顶点称为格点,边长均为1,ABC 的顶点均在格点上,则∠ABC 的正弦值为()A .12B .5C .35D .108.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6,sinA=35,则AB=()A .8B .9C .10D .129.如图,冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道,滑雪道的长AC 为100米,则BC 的长为()米.A .100cos 20︒B .100cos 20︒C .100sin 20︒D .100sin 20︒10.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P (1,2),点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α(0°<α<90°),那么tanα的值是()A .2B .12C .2D 二、填空题11.计算:012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12.cos30°+sin45°=13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ,AD=95,BD=165,则sinB=.14.如图,已知斜坡AC 的坡度i =1:2,小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ,在这个过程中小明升高m.三、计算题15.计算:0(3)4sin601π-+--16.计算:0(3)22cos30π---︒.四、解答题17.今年五、六月份,我省各地、市普遭暴雨袭击,水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告:有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处,情况危急!救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上(如图所示),队伍决定分成两组:第一组马上下水游向A 处救人,同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处,再从C 处下水游向A 处救人,已知A 在C 的北偏东30 的方向上,且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒,试问哪组救援队先到A 处?请说明理由.(参1.732=)18.如图,升国旗时,某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼(即BE=20m ),当国旗升至旗杆顶端A 时,该同学视线的仰角∠ADC=42°,已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m .求旗杆AB 的高度(结果精确到0.01m ).参考数据:sin42°≈0.6691,cos42°≈0.7431,tan42°≈0.9004.19.如图,小明站在A 处,准备测量教学楼CD 的高度.此时他看向教学楼CD 顶部的点D ,发现仰角为45°.他向前走30m 到达A '处,测得点D 的仰角为67.5°.若小明的身高AB 为1.8m (眼睛与头顶的距离忽略不计),则教学楼CD 的高度为多少?(计算结果精确到0.1m ,参考数据:67.50.924sin ︒≈,67.50.383cos ︒≈,67.5 2.414tan ︒≈,1.414≈)20.先化简,再求代数式262393a a a a -÷+--的值,其中a =tan60°﹣6sin30°.21.先化简,再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值,其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22.五一期间,数学兴趣小组的几位同学到公园游玩,看到公园内宝塔耸立,几人想用所学知识测量宝塔的高度.为此,他们在距离宝塔中心18m 处(AC =18m )的一个斜坡CD 上进行测量.如图,已知斜坡CD 的坡度为i =1斜坡CD 长12m ,在点D 处竖直放置测角仪DE ,测得宝塔顶部B 的仰角为37°,量得测角仪DE 的高为1.5m ,点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内.(1)求点D 距地面的高度;(2)求宝塔AB 的高度.(结果精确到0.1,参考数据;sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73)23.如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图,量得托板长120mm AB =,支撑板长80mm CD =,底座长90mm DE =,托板AB 固定在支撑板顶端点C 处,且40mm CB =,托板AB 可绕点C 转动,支撑板CD 可绕点D 转动.(结果保留小数点后一位)(参考数据:40400.766sin ︒︒≈≈,,400.839tan ︒≈,26.60.448sin ≈ ,26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈,3 1.732≈)(1)若80DCB ︒∠=,60CDE ︒∠=,求点A 到直线DE 的距离;(2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB 绕点C 逆时针旋转10 后,再将CD 绕点D 顺时针旋转,使点B 落在直线DE 上即可,求CD 旋转的角度.答案解析部分1.【答案】A【解析】【解答】解:在△ABC 中,∵AC=3,BC=4,AB=5,又因32+42=52,即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形,且∠C=90°,∴tanB=34AC BC =.故答案为:A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形,再根据正切函数的定义即可得出答案.2.【答案】B【解析】【解答】解:过P 作PE OA ⊥于E ,则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===,故答案为:B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形,利用正弦的定义可得答案.3.【答案】C 【解析】【解答】解:∵sin45°=2.故答案为:C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4.【答案】B 【解析】【解答】解:如图,∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为:B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5.【答案】C 【解析】【解答】C 。
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1.如图2-ZT-1,一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近,同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好遇见渔船,那么救援船航行的速度为( )图2-ZT-1A.10 3海里/时B.30海里/时C.20 3海里/时D.30 3海里/时2.2017·台州如图2-ZT-2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB 为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)图2-ZT-2►模型二“背靠背”型3.如图2-ZT-3,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高度为( )图2-ZT-3A.160 3 m B.120 3 mC.300 m D.160 2 m4.如图2-ZT-4,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部有一点A,某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4千米到达点C处,再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A,B,C在同一平面上).求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离.图2-ZT-4►模型三“母抱子”型5.如图2-ZT-5,某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在点C 处仰望建筑物顶端A处,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达点D处,测得建筑物顶端A的仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:sin48°≈710,tan48°≈1110,sin64°≈910,tan64°≈2)图2-ZT-56.2017·内江如图2-ZT-6,某人为了测量小山顶上的塔ED的高,他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°,再沿AC方向前进60 m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°,塔底点E的仰角为30°,求塔ED的高度.(结果保留根号)图2-ZT-6►模型四“拥抱”型7.如图2-ZT-7,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上,当梯子位于AB位置时,它与地面所成的角∠ABO=60°;当梯子底端向右滑动1 m(即BD=1 m)到达CD位置时,它与地面所成的角∠CDO=51°18′,求梯子的长.(参考数据:sin51°18′≈0.780,cos51°18′≈0.625,tan51°18′≈1.248)图2-ZT-7►模型五梯形类8.如图2-ZT-8,梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图,图中i=1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比,∠B=60°,AB=6,AD=4,求拦水坝的横断面ABCD的面积.(结果精确到0.1.参考数据:3≈►模型六“斜截”型9.“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景,然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处,“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m.如图2-ZT-9,DE∥BC,BD=1700 m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin80°≈0.9848,sin29°≈0.4848)详解详析1.[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC =30°,同理得∠ABC =60°,∴∠ACB =90°.∵AB =20海里,∴BC =10海里,AC =10 3海里,再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时.故选D.2.解:车门不会碰到墙.理由如下:如图,过点A 作AC ⊥OB ,垂足为C .在Rt △ACO 中,∵∠AOC =40°,AO ∴AC =AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64=0.768(米).∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米,0.8>0.768, ∴车门不会碰到墙.3.[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则∠BAD =30°,∠CAD =60°,AD =120 m. 在Rt △ABD 中,BD =AD ·tan30°=120×33=40 3(m). 在Rt △ACD 中,CD =AD ·tan60°=120×3=120 3(m), ∴BC =BD +CD =40 3+120 3=160 3(m).4.解:过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离.在Rt △ACD 中,∠ACD =45°,设AD =x 千米,则CD =AD =x 千米. 在Rt △ABD 中,∠ABD =60°, 因为tan ∠ABD =AD BD ,即tan60°=x BD,所以BD =x tan60°=33x 千米.又因为BC =4千米, 所以BD +CD =4千米,即33x +x =4, 解得x =6-2 3,所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6-2 3)千米. 5.解:根据题意,得∠ADB =64°,∠ACB =48°. 在Rt △ADB 中,tan64°=AB BD ,则BD =AB tan64°≈12AB ,在Rt △ACB 中,tan48°=AB CB,则CB =ABtan48°≈1011AB ,∴CD =CB -BD ,即6=1011AB -12AB ,解得AB =1329≈14.7(米),∴建筑物的高度约为14.7米.6.[解析] 先求出∠DBE =30°,∠BDE =30°,得出BE =DE ,设EC =x ,则BE =2x ,DE =2x ,DC =3x ,BC =3x ,再根据∠DAC =45°,可得AC =DC ,列出方程求出x 的值,即可求出塔DE 的高度.解:由题意知,∠DBC =60°,∠EBC =30°, ∴∠DBE =∠DBC -∠EBC =60°-30°=30°. 又∵∠BCD =90°,∴∠BDC =90°-∠DBC =90°-60°=30°, ∴∠DBE =∠BDE ,∴BE =DE .设EC =x m ,则DE =BE =2EC =2x m ,DC =EC +DE =3x m , BC =BE 2-EC 2=3x m.由题意可知,∠DAC =45°,∠DCA =90°,AB =60 m , ∴△ACD 为等腰直角三角形,∴AC =DC , ∴3x +60=3x . 解得x =30+10 3.答:塔ED 的高度为(30+10 3)m. 7.解:设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中,cos ∠ABO =OBAB,∴OB =AB ·cos∠ABO =x ·cos60°=12x m.在Rt △CDO 中,cos ∠CDO =OD CD, ∴OD =CD ·cos∠CDO =x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD =OD -OB ,∴0.625x -12x =1,解得x =8.答:梯子的长约为8 m.8.解:过点A 作AF ⊥BC ,垂足为F . 在Rt △ABF 中,∠B =60°,AB =6, ∴AF =AB sin B =6sin60°=3 3, BF =AB cos B =6cos60°=3. ∵AD ∥BC ,AF ⊥BC ,DE ⊥BC , ∴四边形AFED 是矩形,∴DE =AF =3 3,FE =AD =4.在Rt △CDE 中,i =DE CE =13,∴CE =3DE =3×3 3=9,∴BC =BF +FE +CE =3+4+9=16, ∴S 梯形ABCD =12(AD +BC )·DE=12×(4+16)×3 3 ≈52.0.答:拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9.解:过点D 作DF ⊥BC 于点F ,延长DE 交AC 于点M ,由题意,得EM ⊥AC , ∴四边形DMCF 为矩形, ∴DF =MC .在Rt △DFB 中,sin80°=DF BD ,则DF =BD ·sin80°=1700×sin80°(m), ∴AM =AC -MC =AC -DF =(1790-1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中,sin29°=AM AE, 则AE =AMsin29°=1790-1700×sin80°sin29°≈238.9(m).答:斜坡AE 的长度约为238.9 m.。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图,一座钢结构桥梁的框架是△ABC,水平横梁BC长18米,中柱AD高6米,其中D 是BC的中点,且AD⊥BC.(1)求sin B的值;(2)现需要加装支架DE,EF,其中点E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足为点F.求支架DE的长.3、如图,拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽BC为6 m,坝高为3.2 m,为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比).求加高后的坝底HD的长为多少.4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶),图∶是晒衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O ,B ,D 两点立于地面,经测量:AB =CD =136 cm ,OA =OC =51 cm ,OE =OF =34 cm ,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF 成一条线段,且EF =32 cm (参考数据:sin 61.9°≈0.882,cos 61.9°≈0.471,tan 28.1°≈0.534).(1)求证:AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°).(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由.5、如图,在电线杆上的C 处引拉线CE ,CF 固定电线杆,拉线CE 和地面成60°角,在离电线杆6米的点B 处安置测角仪,在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米,求拉线CE 的长(结果保留根号).6、如图,两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ,AOC ∠为36°,指挥中心M 设在OA 路段上,与O 地的距离为18千米.一次行动中,王警官带队从O 地出发,沿OC 方向行进,王警官与指挥中心均配有对讲机,两部对讲机只能在10千米之内进行通话,通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据:sin360.59cos360.81tan360.73===°,°,°.】7、在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积,如图1—136(1)所示,虚线为楼梯的斜度线,斜度线与地板的夹角为锐角θ,一般情况下,锐角θ愈小,楼梯的安全程度愈高,但占地面积较多,如图l—136(2)所示,为提高安全程度,把倾角由θ1减至θ2,这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2,已知d1=4 m,θ1=40°,θ2=36°,求楼梯占用地板的长度增加了多少.(精确到0.01 m,参考数据:sin36°≈0.5878,cos36°≈0.8090,tan 36°≈0.7265,sin 40°≈0.6428,cos 40°≈0.7660,tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中,要拆除一烟囱AB,如图1—137所示,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形区域为危险区,现在从与B地水平距离相距(BD=21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°,B点的俯角为30°,现在离B点25米远的地方有一受保护的文物,则该文物是否在危险区内?试说明理由.,精确到0.01米)9、通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1,在∶ABC中,AB =AC ,顶角A 的正对记作sadA ,这时sadA =底边腰=BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题:(1)sad 60°=____________;(2)对于0°<∶A <180°,∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________;(3)如图2,已知sinA =35,其中∶A 为锐角,试求sadA 的值. 10、根据道路管理规定,在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆,限速60千米/时.已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示).现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶,测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒,∠AMN =60°,∠BMN =45°.(1)计算AB 的长;(2)通过计算判断此车是否超速.11、如图所示,港口B 位于港口O 正西方向120 km 处,小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向.一艘游船从港口O 出发,沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ,同时一艘快艇从港口B 出发,沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ,在小岛C 用1 h 加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间?(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ,求v 的值及相遇处与港口O 的距离.12、如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道,为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上,设想过C 点作直线AB 的垂线l ,过点B 作一直线(在山的旁边经过),与l 相交于D 点,经测量∶ABD =135°,BD =800米,求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖?(2≈1.414,结果精确到1米)13、已知:如图,在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°,沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处(即 ∠,CD =400米),测得A 的仰角为,求山的高度AB .14、如图,在南北方向的海岸线MN 上,有A ,B 两艘巡逻船,现均收到故障船C 的求救信号.已知A ,B 两船相距1003+1)海里,船C 在船A 的北偏东60°方向上,船C 在船B 的东南方向上,MN 上有一观测点D ,测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上.(1)分别求出A 与C ,A 与D 间的距离AC 和AD (如果运算结果有根号,请保留根号).(2)已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁,若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ,在23≈1.73)6015、如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比i=1∶,且AB=30 m,李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°,已知地面BC宽30 m,求高压电线杆CD的高度.(结果保留三位有效数字,≈1.732)16、如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1∶的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).17、如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).(参考数据:≈1.7,≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示).建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97 m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测).无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度;(2)若两观察点P,D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长度.(长度均精确到1 m,参考数据:3≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)。
精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,则 tan B 的值为( )A B .1 C D .22、在Rt ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则下列式子一定成立的是( )A .sin a cB =⋅ B .cos a c B =⋅C .tan a c B =D .sin c a A =⋅3、如图要测量小河两岸相对的两点P ,A 的距离,点P 位于点A 正北方向,点C 位于点A 的北偏西46°,若测得PC =50米,则小河宽PA 为( )A .50sin44°米B .50cos44°C .50tan44°米D .50tan46°米4、tan 45︒的值为( )A .1B .2CD .5、某人沿坡度1:2i =的斜坡向上前进了10米,则他上升的高度为( )A .5米B .C .D .6、如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90ABC ∠=︒,O 为对角线BD 的中点,2OA =,5BC =,3CD =,则tan DCB ∠等于( )A .43B .34C .45 D .357、如图,某建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡BC 上,建筑物底部点B 到山脚点C 的距离BC =20米,在距山脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是42°,在另一坡度为i =1:2.4的山坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°,点E 到山脚点D 的距离DE =26米,若建筑物AB 和山坡BC 、DE 的剖面在同一平面内,则建筑物AB 的高度约为( )(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45,sin 42°≈0.67.cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)A .36.7米B .26.3 米C .15.4米D .25.6 米8、如图,E 是正方形ABCD 边AB 的中点,连接CE ,过点B 作BH ⊥CE 于F ,交AC 于G ,交AD 于H ,下列说法:①AH HG AB BG =; ②点F 是GB 的中点;③AG AB =;④S △AHG =16S △ABC .其中正确的结论的序号是( )A .①②③B .①③C .②④D .①③④ 9、在△ABC 中,∠C =90°,BC =2,sin A =23,则边AC 的长是( )A B .3 C .43 D 10、如图,在平面直角坐标系xoy 中,直线14y k x =+与y 轴交于点C ,与反比例函数2k y x =在第一象限内的图象交于点B ,连接BO ,若2OBC S ∆=,1tan 5BOC ∠=,则2k 的值是( )A .-20B .20C .-5D .5第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、等腰ABC ,底角是30ABC 的周长是_____________2、如图,矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E ,∠ADE =α,cosα=35,AB =4,AD 长为_____.3、cos30°的相反数是 _____.4、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15°时,如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =30°,延长CB 至D ,使BD =AB ,连接AD ,得∠D =15°,所以tan15°AC CD ====2tan22.5°的值为 _____.5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线 AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDEABC SS 的值为______.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,平地上两栋建筑物AB 和CD 相距30m ,在建筑物AB 的顶部测得建筑物CD 底部的俯角为26.6°,测得建筑物CD顶部的仰角为45°.求建筑物CD 的高度.(参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)2、如图,等腰Rt△ABC 中,AB =AC ,D 为线段BC 上的一个动点,E 为线段AB 上的一个动点,使得CD=.连接DE ,以D 点为中心,将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ,连接线段EF ,过点D 作射线DR ⊥BC 交射线BA 于点R ,连接DR ,RF .(1)依题意补全图形;(2)求证:△BDE ≌△RDF ;(3)若AB =AC =2,P 为射线BA 上一点,连接PF ,请写出一个BP 的值,使得对于任意的点D ,总有∠BPF 为定值,并证明.3、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩,在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上,5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上.已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米,求小明的徒步速度.(精确到个位,sin370.6︒≈,cos370.8︒≈,sin530.8︒≈,cos530.6︒≈,tan370.75︒≈,tan53 1.3︒≈)4、如图, 在 ABC 中,90,3C AC BC ∠===, 点 D E 、 分别在 AC 边和 AB 边上,沿着直线 DE 翻折 ADE ,点 A 落在 BC 边上,记为点 F ,如果 1CF =,则 BE =_______.5、计算:(1)22390x x +-=;(21016sin 453)2-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒.-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒,根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°,∠A =60°,∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余,求特殊角的三角函数值,理解特殊角的三角函数值是解题的关键.2、B【分析】根据题意,画出直角三角形,再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可.【详解】解:由题意可得,如下图:sinaAc=,则sina c A=⋅,A选项错误,不符合题意;cosaBc=,则cosa c B=⋅,B选项正确,符合题意;tanbBa=,则tanacB≠,C选项错误,不符合题意;sinaAc=,则sinacA=,D选项错误,不符合题意;故选B,【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义,解题的关键是画出图形,根据锐角三角函数的定义进行求解.3、C【分析】先根据AP⊥PC,可求∠PCA=90°-46°=44°,在Rt△PCA中,利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可.【详解】解:∵AP⊥PC,∴∠PCA+∠A=90°,∵∠A=46°,∴∠PCA=90°-46°=44°,在Rt△PCA中,tan∠PCA=APCP,PC=50米,∴AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米.故选C.【点睛】本题考查测量问题,掌握测量问题经常利用三角函数求边,熟悉锐角三角函数定义是解题关键.4、A【分析】直接求解即可.【详解】解:tan45︒=1,故选:A.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,熟记特殊角的三角函数值是解答的关键.5、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边.根据题意可得BC:AC=1:2,AB=10m,可解出直角边BC,即得到位置升高的高度.【详解】解:由题意得,BC:AC=1:2.∴设BC=x,则AC=2x.∵AB=10,BC2+ AC2=AB2,∴x2+ (2x)2=102,解得:x=.故选:B.【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用,注意画出示意图会使问题具体化.6、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ,再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°,由正切定义求解即可.【详解】解:∵AD ∥BC ,∠ABC =90°,∴∠BAD =90°,∵O 为对角线BD 的中点,OA =2,∴BD =2OA =4,∵BC =5,CD =3,∴BD 2+CD 2=BC 2,∴∠BDC =90°,∴tan∠DCB =BD CD =43, 故选:A .【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切,熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键.7、D【分析】如图所示,过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ,标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H 由坡度为i =1:0.75,BC =20可得BG =16,GC =12,由坡度为 i =1:2.4,DE =26可得DF =24,EF =10,分别在在AGB 中满足tan 42AG GD =︒,在AEH △中满足tan 24AH HE =︒化简联立得AB =25.6.【详解】如图所示,过E 点做CD 平行线交AB 线段为点H ,标AB 线段和CD 线段相交点为G 和H∵在BGC 中BC =20,坡度为i =1:0.75,∴222BG GC BC +=, ∴2223()4BG BG BC +=, ∴222916BG BG BC +=, ∴22252016BG =, ∴22540016BG =, ∴21640025BG =⨯, ∴2256BG =,∴16BG =, ∴3124CG BG ==. 在BGC 中DE =26,坡度为 i =1:2.4,∴222DF EF DE +=, ∴22212()5EF EF DE +=, ∴22214425EF EF DE +=, ∴221692625EF =, ∴225676169EF =⨯,∴2100EF =,∴10EF =, ∴12245DF EF ==, ∴在AGB 中满足tan 42AG GD =︒,在AEH △中满足tan 24AH HE =︒, 即0.9AB BG GC CD +=+,0.45AB BH GC CD DF+=++ 其中BG =16、BG =12、BH =BG -EF =6、DF =24,代入化简得160.9(12)60.45(36)AB CD AB CD +=+⎧⎨+=+⎩①②, 令2②-①有2261620.45360.91220.450.9AB AB CD CD -+⨯-=⨯⨯-⨯+⋅⋅-∴421.6AB -=,∴AB =25.6.故选:D .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度,再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组,正确的列方程求解是解题的关键.8、D 【分析】①先证明△ABH≌△BCE,得AH=BE,则1122AH AD BC==,即12AHAB=,再根据平行线分线段成比例定理得:12HGBG=即可判断;②设BF=x,CF=2x,则BC,计算FG=23x即可判断;③根据等腰直角三角形得:AC,根据①中得:13AGAC=即可判断;④根据11,22HG AGBG CG==,可得同高三角形面积的比,然后判断即可.【详解】解:①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠HAB=∠ABC=90°,∵CE⊥BH,∴∠BFC=∠BCF+∠CBF=∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BCF=∠ABH,∴△ABH≌△BCE,∴AH=BE,∵E是正方形ABCD边AB的中点,∴BE=12AB,∴1122AH AD BC==,即12AHAB=∵AH//BC,∴12 AH HG BC BG==∴AH HGAB BG=,故①正确;②1 tan tan2AH BF ABH BCFAB CF ∠=∠===设BF=x,CF=2x,则BC,∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠,故②不正确;③∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴AC,∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==,故③正确;④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=,故④正确.故选D.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点,灵活应用相关知识点成为解答本题的关键.9、A【分析】先根据BC=2,sin A=23求出AB的长度,再利用勾股定理即可求解.【详解】解:∵sin A=BCAB =23,BC=2,∴AB=3,∴AC故选:A.【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识,是重要考点,难度较小,掌握相关知识是解题关键.10、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标,然后根据△BOC的面积求得BD的长,然后利用正切函数的定义求得OD的长,从而求得点B的坐标,利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论.【详解】解:∵直线y=k1x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,4),∴OC=4,过B作BD⊥y轴于D,∵S △OBC =2, ∴114222OC BD BD ⋅=⨯⋅=, ∴BD =1,∵tan∠BOC =15, ∴15BD OD =, ∴OD =5,∴点B 的坐标为(1,5), ∵反比例函数2k y x=在第一象限内的图象交于点B , ∴k 2=1×5=5.故选:D .【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标,锐角三角函数,三角形面积,待定系数法求分别列函数解析式,解题的关键是作辅助线构造直角三角形.二、填空题140 【分析】设腰长为x ,则等腰三角形的高为2x ,三角形的面积为122x ⨯=x 的值,进而求出周长2x +的值.【详解】解:设等腰三角形的腰长为x ,高为sin 302x x ︒=,底边长为2cos30x ︒=122x S ∴=⨯=解得x =∴周长为240x =40+. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值,等腰三角形.解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来. 2、163【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中,得到∠ADE =∠DCE =α,求出AC 的值,再由勾股定理计算即可.【详解】∵∠ADC =∠AED =90°,∠DAE +∠ADE =∠ADE +∠CDE =90°∴∠DAE =∠CDE又∵∠DCE +∠CDE =90°∴∠ADE =∠DCE =α∴cosα=35=CD AC又∵矩形ABCD中AB=CD=4∴AC=20 3在ADC中满足勾股定理有163AD=故答案为:163.【点睛】本题考查了已知余弦长求边长,将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键.3、【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解,再求出其相反数.【详解】所以其相反数为故答案为:【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念.41##【分析】在等腰直角△ABC 中,∠C =90°,延长CB 至点D ,使得AB =BD ,则∠BAD =∠D .设AC =1,求出CD ,可得结论.【详解】解:如图,在等腰直角△ABC 中,∠C =90°,延长CB 至点D ,使得AB =BD ,则∠BAD =∠D .∵∠ABC =45°,∴45°=∠BAD +∠D =2∠D ,∴∠D =22.5°,设AC =1,则BC =1,AB =∴1CD CB BD CB AB =+=+=∴tan 22.5tan 1AC D CD ︒====.1.【点睛】本题考查解直角三角形,分母有理化,特殊直角三角形的性质,三角函数等知识,解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题.5、1336【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌,则AED CED S S =,进而证明DAE BCA ∽,据3tan 2BAC ∠=求得相似比,根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解:CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线, 12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠ 90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒ EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒ 又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴= 设3CB k =,则2AC k =AB ∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭故答案为:1336【点睛】 本题考查了解直角三角形,三角形全等的性质与判定,相似三角形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,垂直平分线的性质与判定,正切的定义,证明AED CED SS =是解题的关键. 三、解答题1、建筑物CD 的高度约为45m .【分析】如图所示,过点A 作AE ⊥CD 于E ,先证明AE =CE ,然后证明四边形ABDE 是矩形,则AE =BD =30m ,CE =AE =30m ,tan =30tan26.615m DE AE EAD =⋅︒≈∠,由此即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点A作AE⊥CD于E,∴∠AEC=∠AED=90°,∵∠CAE=45°,∴∠C=45°,∴∠C=∠CAE,∴AE=CE,∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABD=∠BDE=90°,∴四边形ABDE是矩形,∴AE=BD=30m,∴CE=AE=30m,tan=30tan26.615m∠,=⋅︒≈DE AE EAD∴CD=CE+DE=45m,答:建筑物CD的高度约为45m.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定,解直角三角形,解题的关键在于能够正确作出辅助线求解.2、(1)见解析;(2)见解析;(3)当4BP=,使得对于任意的点D,总有∠BPF为定值,证明见解析【分析】(1)根据题意作出图形连接,DR RF ;(2)根据BDR EDF ∠=∠可得BDE RDF ∠=∠,证明BRD 是等腰直角三角,可得BD DR =,根据旋转的性质可得ED DR =,进而根据边角边即可证明△BDE ≌△RDF ;(3)当24PB AB ==时,设DE a =,则CD =,分别求得,FR RP ,根据1tan 22RF a BPF RP a ∠===即可求解【详解】(1)如图,(2)DR ⊥BC90RDB ∴∠=︒将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ,90,EDF ED FD ∴∠=︒=BDR EDF ∴∠=∠即BDE EDR EDR RDF ∠+∠=∠+∠BDE RDF ∴∠=∠ ABC 是等腰直角三角形45B ∴∠=︒90BDR ∠=︒45BRD ∴∠=︒BRD∴是等腰直角三角形∴=BD DR∴△BDE≌△RDF;(2)如图,当24==时,使得对于任意的点D,总有∠BPF为定值,证明如下,PB ABAB AC==ABC是等腰直角三角形,2∴=BCDC==,则CD,设DE a△BDE≌△RDF,==DR BD∴==,FR BR aABC是等腰直角三角形,∴∠=︒45EBD⊥DR BC∴∠=︒BRD45∴是等腰直角三角形,BDR∴==-BR a42()∴=-=--=4422PR BP BR a a△BDE ≌△RDF ,45FRD EBD ∴∠=∠=︒90BRF BRD DRF ∴∠=∠+∠=︒即FR AB ⊥1tan 22RF a BPF RP a ∴∠=== BPF ∴∠为定值【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质,正切的定义,旋转的性质,掌握以上知识是解题的关键.3、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ,则300CD =米,由解直角三角形求出AD 和BD 的长度,则求出AB 的长度,即可求出小明的速度.【详解】解:过C 作CD AB ⊥于D ,则300CD =米,∴903753CAD ∠=︒-︒=︒, ∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈, ∴231AD ≈,同理:400BD ≈631AB AD BD =+=速度:631÷5≈126(米/分钟).【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,以及解直角三角形,解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度.4【分析】过点F 作FG AB ⊥于点G ,设BE x =,则AE x =,EG BE BG x =-=EGF △即可求得x ,即BE 的值【详解】解:如图,过点F 作FG AB ⊥于点G在 ABC 中,90,3C AC BC ∠===,AB ∴=tan 1AC B BC ==45A B ∠FGB ∴是等腰直角三角形BG FG ∴==sin FB B ⋅=设BE x =,则AE x =,EG BE BG x =-=沿着直线DE 翻折ADE ,点A 落在BC 边上,记为点F ,EA EF ∴=x在Rt EFG 中,222EF EG FG =+即()(222x x =+解得x =【点睛】本题考查了勾股定理,轴对称的性质,解直角三角形,根据题意构造直角三角形是解题的关键.5、(1)123,32x x ==-;(2)1 【分析】(1)用公式法求解即可;(2)根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质计算即可.【详解】(1)∵2a =,3b =,9c =-24972810b ac -=+=>,∴x ==∴123,32x x ==-.(2)原式621=-01=+1=. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程,特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂、二次根式的性质等知识,熟练掌握并灵活运用这些知识是关键.。
第一章《直角三角形的边角关系》检测(含答案)-
第一章《直角三角形的边角关系》检测一、填空题(每题2分,共24分)1.计算:sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°=_______.2.已知角α为锐角,且53sin =α,则αcos = . 3.在△ABC 中,若AC,BC,AB =3,则cos A = . 4.已知A 是锐角,且sin A =13,则cos (90°-A )=___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C =90°,已知sin A =35,则cos B =_______. 6.用科学计算器或数学用表求:如图1,有甲、乙两楼,甲楼高AD 是23米,现在想测量乙楼CB 的高度.某人在甲楼的楼底A 和楼顶D ,分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′和45°,处用这些数据可求得乙楼的高度为 米(结果精确到0.01米). 注:用数学用表求解时,可参照下面正切..表的相关部分.7.已知36α∠=︒,若β∠是α∠的余角,则β∠= 度,sin β=____(结果保留四个有效数字).8.如图2青岛位于北纬36°4′,通过计算可以求得:在冬至日正午时分的太阳入射角为A D CB图145° 65°13′(甲楼) (乙楼)图230°30′.因此,在规划建设楼高为20米的小区时,两楼间的距离最小为_____米,才能保证不挡光(sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890,结果保留四个有效数字). 9.如图3,河对岸有古塔AB ,小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α,向塔s 米到达D ,在D 处测得塔顶A 的仰角为β,则塔高是__________米.10.在△ABC 中,∠A =90°,设∠B =θ,AC =b ,则AB =________________(用b 和θ的三角比表示).11.某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米.12.如图4,沿倾斜角为30︒的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).二、选择题(每题2分,共24分) 13.2sin450的值等于( )A.1D.2, 14.在△ABC 中,∠C =90°,若∠B =2∠A ,则con B 等于()B.3 C.23 D.2115.在△ABC 中,∠C =90°,BC =5,AB =13,则sin A 的值是( )A .135 B .1312 C .125 D .51216.已知α为锐角,tan (90°-α),则α的度数为( )图3图4A .30°B .45°C .60°D .75°17.如图5,小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为9.0m ,眼睛与地面的距离为1.6m ,那么这棵树的高度大约为( ) A .5.2 m B .6.8 m C .9.4 m D .17.2 m18.如图6,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的延长线上的D ′处,那么tan ∠BAD ′等于( ) A.1 B.2 C.22D.22 19.在ΔABC 中,∠C =90°,sin A =35,则cos A 的值是( ) A .45 B .35 C .34 D .4320.如图7,为了测量河两岸A 、B 两点的距离,在与AB 垂直的方向上取点C ,测得AC =a ,∠ACB =α,那么AB 等于( ).A .a ·sinαB .a ·cosαC .a ·tanαD .a ·cotα21.在Rt △ABC 中,∠C =90°,若sin A=2,则的值为( )A ..12D.122.如图8,△ABC 中,∠C =90°,AB =5,BC =3,CA =4,那么sin A 等于( )ACB图8图5图7 a B AC图6A.34 B.43 C.35 D.4523.如图9在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E ,设∠ADE=α,且53cos =α,AB = 4, 则AD的长为( ) A.3 B.316 C.320 D.51624.某市在“旧城改造”中计划在一块如图10所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ) A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题(第25题2分,其余每题5分,共52分)25.计算:︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2.26.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =12,tan B,AB =10,求△ABC 的面积.A BCDE图9︒15020米30米图1027.如图11,从一块矩形薄板ABCD 上裁下一个工件GEHCPD (阴影部分). 图中EF //BC ,GH //AB ,∠AEG =11°18′,∠PCF =33°42′,AG =2cm ,FC =6cm. 求工件GEHCPD 的面积.(参考数据:322433tan ,518111tan ≈'︒≈'︒)28.如图12将一副三角尺如图摆放在一起,连结AD ,试求ADB ∠的余切值.CABD图12DBAC图11FH29.如图13,沿AC 的方向修建高速公路,为了加快工程进度,要在小山的两边同时施工.在AC 上取一点B ,在AC 外另取一点D ,使∠ABD =130°,BD =480 m ,∠BDE =40°,问开挖点E 离D 多远,才能使A 、C 、E 在一条直线上(sin50°=0.7660,cos50°=0.6428,精确到0.1m ).30.如图14,某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ,坝顶宽CD =5米,斜坡AD =16米,坝高 6米,斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A (精确到1分)和坝底宽AB (精确到0.1米).图14D CBA图1331.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案(如图15-①所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度(如图15-②)的方案:(1)在图15-②中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当字母);(2)写出你设计的方案.①NM②图1532.如图16,在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin B =35,点D 在BC 边上,且∠ADC =45°,DC =6,求∠BAD 正切值.33.如图17,一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ,已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处,在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?ABCD 图16图17图1834.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼(如图18),该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.(1)问超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么? (2)若要使超市采光不受影响,两楼应相距多少米? (结果保留整数,参考数据:53106sin 32,cos32,tan 321001258≈≈≈鞍?35.为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB ,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处,从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°.问:距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?参考答案一、1.0;2.54; 4.31;5.35;6.42.73;7.54、0.8090;8.33.96或33.95;9.βαcot cot -s;10.b ·cot θ;11.10;12.2.3.二、13,B ;14,C ;15,C ;16,C ,17,A ;18,B ;19,A ;20,C ;21,B ;22,C ;23,B ;24,C . 三、25,4621-;26,3225;27,48; 28,过点A 作DB 的延长线的垂线AE ,垂足为E .cot 1)1DE ADB EA ∠===+ 29, 367.7m;30,∠A =22°1′ AB =37.8米; 31,(1)图略;(2)①在测点A 处安置测倾器,测得此时M 的仰角,∠MCE =α;②在测点A 与小山之间的B 出安置测倾器(A 、B 与N 在同一条直线上),测得此时山顶M 的仰角∠MDE =β;③量出测倾器的高度AC =BD =h ,以及测点A 、B 之间的距离AB =m .根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.;32,过D 点作,交AB 于E 点,所以tan=∠BAD =6515427DE AE =⨯=; 33,过点B 作BM ⊥AH 于M ,∴BM ∥AF .∴∠ABM =∠BAF =30°.在△BAM 中,AM =12,AB =5,BM 过点C 作CN ⊥AH 于N ,交BD 于K .,在Rt △BCK 中,∠CBK =90°-60°=30°,设CK =x ,11 则BKx , Rt △ACN ∠CAN =90°-45°=45°,AN =NC .∴AM +MN =CK +KN .又NM =BK ,BM =KN .即xx .解得x =5.∵5海里>4.8海里,∴渔船没有进入养殖场的危险;34,(1)如图设CE=x 米,则AF =(20-x )米,tan 32,AF EF?即20-x =15tan 32,11x ≈° ∵11>6, ∴居民住房的采光有影响.(2)如图:sin 32,ABBF ?820325BF =⨯=,两楼应相距32米;35,可求出AB = 43米,因为8>43,所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内.。
第一章 直角三角形的边角关系
第一章 直角三角形的边角关系 单元综合检测学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________基础达标卷一、选择题1.(2021·兰州市九年级期末)计算2cos 30°的值为 ( )A .1B C D .122.如图,ABC V 中,37,cos 5BC B C ===,则ABC V 的面积是( )A .212B .12C .14D .213.(2021·陕西西安市九年级模拟预测)锐角△ABC 中,∠B =45°,BC ,则AC 的长是( )A .1BC D第2题图 第3题图 第4题图 第5题图4.如图,在正方形网格中有△ABC ,则sin ∠ABC 的值等于( )A B C .13D 5.(2021·陕西西安市九年级模拟预测)如图,正方形ABCD 的边长为6,AC 为对角线,取AB 中点E ,DE 与AC 交于点F .则sin ∠DFC =( )A B C D 6.(2021·重庆八中九年级月考)如图,某大楼AB 正前方有一栋小楼ED ,小明从大楼顶端A 测得小楼顶端E 的俯角为45度,从大楼底端B 测得小楼顶端E 的仰角为24度,小楼底端D 到大楼前梯坎BC 的底端C 有90米,梯坎BC 长65米,梯坎BC 的坡度1:2.4i =,则大楼AB 的高度为( )(结果精确到1米,参考数据:sin 240.41°»,cos 240.91°»,tan 240.45°»)A .217B .218C .242D .243第6题图 第7题图7.(2021·湖南芙蓉九年级期中)在平面直角从标系中,30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合,双曲线11k y x=(x >0),经过点B ,双曲线22ky x =(x <0),经过点C ,则12k k =( )A .﹣3B .3C.D8.(2021·山东青岛市中考真题)如图,在四边形纸片ABCD 中,//AD BC ,10AB =,60B Ð=°.将纸片折叠,使点B 落在AD 边上的点G 处,折痕为EF .若45BFE Ð=°,则BF 的长为( )A .5B.C.D第8题图 第9题图 第10题图9.(2021·贵阳市第十九中学九年级月考)如图,ABC V 中,CD AB ^,BE AC ^,sin A 的值为35,则DEBC =( )ABC .35D .4510.(2021·甘肃兰州市中考真题)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,点E 在BD 上,连接AE ,CE ,60ABC Ð=°,15BCE Ð=°,2ED =+AD =()A .4B .3C.D .211.(2021·江苏灌云九年级期中)在ABC V 中,若A Ð,B Ð满足1cos sin 2A B -+,则C Ð的度数是_______.12.(2021·福建省福州屏东中学九年级二模)如图,点()2,A m 在第一象限,OA 与x 轴所夹的锐角为a ,5tan 4a =,则m =_____.第12题图 第14题图13.在Rt ABC V 中,90C Ð=°,且cos A B =Ð平分线的长为26,则a =______,b =______,=c ___.14.(2021·哈尔滨市九年级月考)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠CAB ,AB =15,AD =7,则AC =_____.15.(2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考)如图所示,CD 、EF 表示高度不同的两座建筑物,已知CD 高15米,小明站在A 处,视线越过CD ,能看到它后面的建筑物的顶端E ,此时小明的视角∠FAE =45°,为了能看到建筑物EF 上点M 的位置,小明沿直线FA 由点A 移动到点N 的位置,此时小明的视角∠FNM =30°,则小明由点A 移动到点N 的距离是___米.第15题图 第17题图16.(2021·山东南区九年级期末)在△ABC 中,AB =5,BC =8,AD 是BC 边上的高,AD =4,则tanC =___.17.(2021·宜兴市实验中学九年级二模)如图,点B 在x 的正半轴上,且BA OB ^于点B ,将线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB ¢的位置,且点B ¢的坐标为()1,1.若反比例函数ky x=()0x >的图象经过A 点,则k =三、计算题18.(2021·济宁市第十五中学九年级月考)求下列各式的值:(1)222sin 303sin 604tan 45°+°-°;(2)()11tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø.19.(2021·济宁市九年级月考)计算:(1)22sin 456cos303tan 454sin 60-++o o o o (2)011tan 60(4)2cos30()4p ---++o o四、解答题20.在Rt ABC V 中,90BCA Ð=°,CD 是AB 边上的中线,8,5BC CD ==,求sin ,cos ACD ACD ÐÐ和tan ACD Ð.21.(2021·山东济宁九年级月考)如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为A ,B ,C ,测得∠CAB =30°,∠ABC =45°,AC =8千米,求A ,B 两点间的距离.(结果保留根号)22.(2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试)如图,在矩形 ABCD 中,AD =10,tan ÐAEB =34,点E 为BC 上的一点,ED 平分ÐAEC ,(1)求BE 的值;(2)求sin ÐEDC .23.(2021·杭州市九年级开学考试)如图,//AB CD ,90ACB BDC Ð=Ð=°,CE AB ^于点E ,DF CB ^于点F .(1)求证:ABC BCD △∽△;(2)已知tan 2ABC Ð=,求DFCE的值.24.(2021·辽宁盘锦中考真题)如图,小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ,无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°,小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°,两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上,已知树的高度为6米,且12FN FB =,楼AB ,MN ,树EF 均垂直于地面,问:无人机飞行的距离AM 约是多少米?(结果保留整数.参考数据:cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60, cos 37°≈0.80, tan 37°≈0.75)25.(2021·四川仁寿九年级期末)如图,矩形ABCD 中,M 为BC 上一点,EM ⊥AM 交AD 的延长线于点E .①求证:△ABM ∽△EMA .②若AB =4,BM =3,求sinE 的值.26.(2021·四川内江市中考真题)在一次课外活动中,某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示,测得斜坡BE 的坡度1:4i =,坡底AE 的长为8米,在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°,在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°,求树高CD .(结果保留根号)27.(2021·厦门市九年级二模)如图,在Rt ABC △中,∠BAC =90°,将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △,当点D 在边BC 上时,连接CE .(1)若旋转角为60°,求∠ACB 的度数;(2)若AB =3,AC =4,求sin ∠DAC 的值.28.(2021·珠海市九年级期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM为△ABC的角平分线,将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处,此时作ND⊥BC于点D.(1)求证:∠ABN=90°;(2)求证:CM=BD;(3)若32BD DM=,AB=10,求线段BN的长.。
九下第一章直角三角形的边角关系230°45°60°角的三角函数值作业新版北师大版
D
【点拨】A.sin 45°+cos 45°= ,故错误; B.因为2tan 30°= ,tan 60°= , 所以2tan 30°≠tan 60°,故错误; C.因为2sin 60°= ,tan 45°=1, 所以2sin 60°≠tan 45°,故错误; D.因为sin230°= , cos 60°= , 所以sin230°= cos 60°,故正确.故选D.
5.计算: (1)4cos 30°-cos 45°tan 60°+2sin 245°;
6.
30°
60°
30°
45°
45°
45°
60°
30°
60°
7. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A= ,则∠B的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.75°
A
8.已知α是锐角,3tan (90°-α)- =0,则α=( ) A.30° B.40° C.45° D.60°
C
14.【新考向】定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,sin(60°-45°)= = ,则sin 75°的值为____________.
15.已知α为锐角,sin (α+15°)= ,计算 -4cos α+tan α+ 的值.
16.【学科素养·应用意识】为保证车辆行驶安全,现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速.如图,检测点A到公路的距离是24 m,在公路上取两点B,C,使得∠ACB=30°,∠ABC=120°. (1)求BC的长(结果保留根号);
1.
α
sin α
cos α
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数:正切:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA ,即b A atan =; 正弦..:.在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即ca sin =A ; 余弦:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cA bcos =; 余切:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即cA b cot =; 注:(1)sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). (2)sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号; (3)sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. (4)sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. (5)角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
sinA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,sinA 的值越大。
cosA 的值越小,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 (1)互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角,则①)90cos(sin A A ∠-︒=;)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=;)90tan(cot A A ∠-︒=(2)同角的三角函数的关系 1)平方关系:sinA 2+cosA 2=1 2)倒数关系:tanA ·cotA =13)商的关系:tanA =A o A s c sin ,cotA =A Asin cos二、解直角三角形:※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
直角三角形的边角关系(练习题)
第一章.第二章一、选择题1.已知锐角A满足关系式2sin²A-7sinA+3=0,则sinA的值为()A.1/2B.-1/3C.1/3D.1/2或32.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D。
若AC=√5,BC=2,则sin∠ACD的值为()CDA. √5B. 2√5C. √5D. 23 5 2 33.在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA=b/a.则下列关系式中不成立的是()A. tanA•cot=1B. sinA=tanA•cosAC. cocA=cotA•cosAD.tan²A + cot²A =14.一段公路的坡度为1:3,某人沿这段公路路面前进100m,那么他上升最大高度是()A. 3mB.10mC.3√10mD.10√10m5.如图,等腰三角形的一腰长为6cm,底边长为6m,则底角为()A.120°B.90°C.60°D.30°AB D C6.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度比是1: √3,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB的长度是()A.100mB.100√3mC.150mD.50√3mC7.已知在△ABC中,∠=90°且△ABC不是等腰直角三角形,设sinB=n,当∠B 是最小的内角时,n的取值范围是()A 0<n<√2/2 B.0<n<1/2C.0<n<√3/3D.0<n<√3/28.若二次函数y=x² + 1/2 与y= -x² + k的图像的顶点重合,则下列结论不正确的是()A.这两个函数图像有相同的对称轴B.这两个函数图像的开口方向相反C.方程-x² + k的最大值为1/2D.二次函数y = -x²+K的最大值为1/29.已知二次函数y =2(x-3)²+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图像的对称轴为直线x =-3;③其图像顶点坐标为(3,1);④当x<3时,y随x的增大而减小。
第一章 直角三角形的边角关系(单元测试)(解析版)
第一章 直角三角形的边角关系单元测试参考答案与试题解析一、单选题1.(2020·哈尔滨德强学校)在△ABC 中,若, )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形【答案】A【解析】试题解析:∵cos A tan B ,∴∠A =45°,∠B =60°.∴∠C =180°-45°-60°=75°.∴△ABC 为锐角三角形.故选A .2.(2019·福建三明市·九年级月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =2,BC =3,那么下列各式中,正确的是( )A .sinB =23B .cos B =23C .tan B =23D .tan B =32【答案】C【解析】∵∠C =90°,AC =2,BC =3,∴,∴sinB=AC AB ==,cosB=BC AB ==,tanB=AC 2BC 3=,故选C.3.(2020·济南历下区明德中学九年级期中)如图所示,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE AB ^,垂足为E ,35DE AD =,则下列结论正确的有( )①3DE cm =;②1BE cm =;③菱形的面积为215cm ;④BD =.A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析,从而得到答案.【详解】解:Q 菱形ABCD 的周长为20cm ,5cm AD \=,35DE AD =Q ,3cm(DE \=①正确),4cm AE \==,5cm AB =Q ,541cm(BE \=-=②正确),\菱形的面积25315cm (AB DE =´=´=③正确),3cm DE =Q ,1cm BE =,BD \==④不正确),故选:C .【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等内容,掌握菱形的性质是解题的关键.4.(2019·辽宁抚顺市·九年级月考)在△ABC 中(2cosA-)2+|1-tanB|=0,则△ABC 一定是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零,可得每个非负数同时为零,根据特殊角三角函数值,可得∠A 、∠B 的度数,根据直角三角形的判定,可得答案.【详解】解:由()2+|1-tanB|=0,得,1-tanB=0.解得∠A=45°,∠B=45°,则△ABC 一定是等腰直角三角形,故选:D .【点睛】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.5.(2020·山东枣庄市·九年级期末)若α为锐角,且()sin10a °-=,则α等于( )A .80°B .70°C .60°D .50°【答案】B【解析】【分析】根据sin 60°=得出α的值.【详解】解:∵sin 60°=∴α-10°=60°,即α=70°.故选:B .【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现,题型以选择题、填空题为主.6.(2019·全国九年级单元测试)已知∠A 为锐角,且tan A ,则∠A 的取值范围是( )A .0°<∠A <30°B .30°<∠A <45°C .45°<∠A <60°D .60°<∠A <90°【答案】C【解析】【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律,再通过具体数值确定其大致范围.【详解】解:tan30°,tan45°=1,tan60°,则可知正切值随角增大而增大,由145°<∠A <60°.故选择C .【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.7的值是( )A .1-B -1C -1D .1【答案】A【解析】11=-=故本题应选A.点睛:00a a a a a ³ì=í-<î,, .8.(2019·全国九年级单元测试)=( )A .B .C .D .1【答案】D【解析】【分析】由于tan30°=,故1-tan30°>0,再对根号里的各项利用完全平方公式变形,从而可以计算出答案.【详解】解:∵tan30°=,∴ 1-tan30°>0,原式=+tan30°=|1-tan30°|+tan30°=1-tan30°+tan30°=1.故选:D .【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、完全平方公式.以及二次根式的性质与化简,本题的关键有两步:第一步判断tan30°-1的正负;第二步熟练运用=|a|进行化简,同时也要掌握绝对值的代数意义.9.(2019·福建三明市·九年级月考)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠ABC等于()A B C D.2 3【答案】C【解析】试题解析:设正方形网格每个小正方形边长为1,则BC边上的高为2,则AB===,sin ABCÐ== .故本题应选C.10.(2020·福建莆田市·九年级一模)小明沿着坡角为30°的山坡向上走,他走了1000m,则他升高了( )A.B.500m C.D.1000m【答案】B【解析】【分析】根据坡角的概念,直角三角形中30°所对直角边等于斜边一半的性质计算即可.【详解】解:设他升高了xm,∵山坡的坡角为30°,∴x=12×1000=500(m),故选:B.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用:坡度坡角问题,属于简单题,掌握坡角的概念是解题的关键.二、填空题11.(2020·四川攀枝花市·九年级期末)△ABC中,∠C=90°,tan A=43,则sin A+cos A=_____.【答案】7 5【解析】∵在△ABC 中,∠C=90°,4tan 3A =,∴可设BC=4k ,AC=3k ,∴由勾股定理可得AB=5k ,∴sinA=4455BC k AB k ==,cosA=3355AC k AB k ==,∴sinA+cosA=437555+=.故答案为75.12.(2020·全国九年级单元测试)如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B ,C 在同一水平上),某工程师乘坐热气球从B 地出发,垂直上升100m 到达A 处,在A 处观测C 地的俯角为30°,则B 、C 两地之间的距离为__________m.【答案】【分析】利用题意得到∠C=30°,AB=100,然后根据30°的正切可计算出BC .【详解】根据题意得∠C=30°,AB=100,∵tanC=A B B C,∴BC=0100tan 30=0100tan 30(m ).故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角:仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向下看的视线与水平线的夹角.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形.13.(2020·阜康市第三中学九年级其他模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,若BC=6,AC=8,则tan∠ACD的值为_____.【答案】3 4【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD,再根据等边对等角可得∠A=∠ACD,然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解.【详解】解:∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD,∴tan∠ACD=tan∠A=BCAC=68=34.故答案为:34.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,锐角三角函数的定义,熟记性质并求出∠A=∠ACD是解题的关键.14.(2020·江苏淮安市·淮安六中八年级期中)有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢,则小鸟至少飞行_________________米【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.【详解】解:如图,设大树高为12AB m =,小树高为6CD m =,过C 点作CE AB ^于E ,则四边形EBDC 是矩形,连接AC ,6EB m \=,8EC m =,1266()AE AB EB m =-=-=,在Rt AEC D 中,10()AC m ==.故小鸟至少飞行10m .故答案为:10.【点睛】本题考查了勾股定理的应用,根据实际得出直角三角形,培养学生解决实际问题的能力.15.如图,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°,测得大树AB 的底部B 的俯角为30°,已知平台CD 的高度为5 m ,则大树的高度为_______m(结果保留根号).【答案】5+【分析】作CE ⊥AB 于点E ,则△BCE 和△BCD 都是直角三角形,即可求得CE ,BE 的长,然后在Rt △ACE 中利用三角函数求得AE 的长,进而求得AB 的长,即为大树的高度.【详解】如图,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,在Rt △BCE 中,BE =CD =5m ,CE =tan 30BE o=(m ),在Rt △ACE 中,AE =CE·tan 45°=(m ),AB =BE +AE =5+m ).【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.16.(2019·全国九年级单元测试)小明乘滑草车沿坡比为1:2.4的斜坡下滑130米,则他下降的高度为________ 米.【答案】50【分析】根据斜坡的坡比为1:2.4,可得BC :AC=1:2.4,设BC=x ,AC=2.4x ,根据勾股定理求出AB ,然后根据题意可知AB=130米,求出x 的值,继而可求得BC 的值.【详解】解:如图所示:∵坡比为1:2.4,∴BC :AC=1:2.4,设BC=x ,AC=2.4x ,则,∵AB=130米,∴x=50,则BC=x=50(米).故答案为50.【点睛】此题主要考查了坡度的定义和勾股定理,根据勾股定理把AB 用x 表示出来并求出是解题的关键.三、解答题17.计算:(1)(-1)2-2cos 30°+(-2017)0;(2)3tan 302tan 60cos 60°-°°+4sin 60°.【答案】(1) 2;(2) 0.【解析】试题分析:(1)先求出式子每一项的值,然后相加即可.(2)先计算每一个特殊角的三角函数值,然后代入式子求值即可.试题解析:(1) 原式=1-1=11=2;(2)+=-=0.18.(2019·福建三明市·九年级月考)如图,在△ABC 中,BD ⊥AC ,AB =6,AC =,∠A =30°.(1)求BD 和AD 的长;(2)求tan C 的值.【答案】(1) BD =3,AD =;(2) tan C.【解析】(1)∵BD ⊥AC ,∴∠ADB =∠BDC =90°.在Rt △ADB 中,AB =6,∠A =30°,∴BD =AB·sin30°=3,∴·cos30AD AB =°=.(2)CD AC AD =-=-=,在Rt △BDC 中,tan BD C CD Ð===19.(2020·辽宁盘锦市·)如图,埃航MS804客机失事后,国家主席亲自发电进行慰问,埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救,其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出,继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点,在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C 点距离海面的深度(结果保留根号).【答案】米【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ,交海面于点E ,设BD=x ,利用锐角三角函数的定义用x 表示出BD 及CD 的长,由CE=CD+DE 即可得出结论.【详解】解:过C 作CD ⊥AB 于D ,交海面于点E ,设BD=x , ∵∠CBD=60°,∴tan ∠CBD=CD BD∴. ∵AB=2000, ∴AD=x+2000,∵∠CAD=45° ∴tan ∠CAD=CD AD=1,x=x+2000,解得, ∴+1000)∴.答:黑匣子C 点距离海面的深度为米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.20.如图,AB 是长为5m ,倾斜角为37°的自动扶梯,平台BD 与大楼CE 垂直,且与扶梯AB 的长度相等,在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°,求大楼CE 的高度(结果保留整数).(参考数据:3sin 375°»,3tan 374°»,9sin 6510°»,15tan 657°»)【答案】大楼CE 的高度约为14m .【分析】如图(见解析),先在Rt ABF V 中,利用正弦三角函数可求出BF 的长,再在Rt CDB V 中,利用正切三角函数可求出CD 的长,然后根据线段的和差即可得.【详解】如图,作BF AE ^于点F ,则BF DE=由题意得:5,BD AB m BD CE ==^,37,65BAF CBD Ð=°Ð=°在Rt ABF V 中,sin BF BAF AB Ð=则3sin 3753()5BF AB m =×°»´=在Rt CDB V 中,tan CD CBD BDÐ=则15tan 65511()7C mD BD °»»=×´则31114()CE DE CD BF CD m =+=+»+=答:大楼CE 的高度约为14m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,通过作辅助线,构造直角三角形是解题关键.21.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD ,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°.沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°,已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米,AE=15米.(i=1坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比)(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ;(2)求广告牌CD 的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1»1.414,1.732)【答案】(1)点B 距水平面AE 的高度BH 为5米.(2)宣传牌CD 高约2.7米.【分析】(1)过B 作DE 的垂线,设垂足为G .分别在Rt △ABH 中,通过解直角三角形求出BH 、AH.(2)在△ADE 解直角三角形求出DE 的长,进而可求出EH 即BG 的长,在Rt △CBG 中,∠CBG=45°,则CG=BG ,由此可求出CG 的长然后根据CD=CG+GE ﹣DE 即可求出宣传牌的高度.。
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷(含答案)
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷(全卷满分100分 限时90分钟)一、选择题:(每小题3分 共36分) 1.0)30(tan o 的值是( )A B .0 C .1 D 2.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为m ,∠A =35°,则直角边BC 的长是( ) A .sin35m ︒ B .cos35m ︒ C .sin 35m ︒ D .cos35m︒(第2题) (第3题) (第4题)3.如图,△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan ∠A 的值是( )A .65 B . 56C D4.一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距( )A .30海里B .40海里C .50海里D .60海里 5.小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,那么他下降( )A .1米B 米C .米D .3米 6.在Rt ABC ∆中,已知90C ∠=︒,40A ∠=︒,3BC =,则AC =( ) A .3sin 40︒ B .3sin50︒ C .3tan 40︒ D .3tan50︒ 7.sin 30°+tan 45°-cos 60°的值等于( )A B .0 C .1 D8.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为A .米B .米C .D . 24米(第8题) (第10题) (第11题)9在∆ABC 中,若∣sin A -12∣+(cos B 2=0则∠C =( )A. 300B. 600 C . 900 D. 120010.轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C 处,在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上,则C 处与灯塔A 的距离是( )海里.A .B .C .50D .2511.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆A B .已知观测点C 到旗杆的距离CE =8m ,测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA =30°,旗杆底部B 的俯角∠ECB =45°,那么,旗杆AB 的高度是( )A .m ;B .(m ;C .()m ;D .(m 12.如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠CAB =30°, △ABD 是等边三角形,E 是AB 的中点,连结CE 并延长交AD 于F ,如图2,现将四边形ACBD 折叠,使D 与C 重合,HK 为折痕,则sin ∠ACH 的值为( )AB .71C .61D二.填空题:(每小题3分共12分) 13.若sinα=12,α是锐角,则α= 度. 14.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点E ,点E 为BD 的中点,∠BAC +∠BDC =180°,若AB =CD =5,tan ∠ACB =21,则AD =_________.(第14题) (第15题)15.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,对角线AC 、BD 交于点P ,且AB =BD ,AP =4PC =4,则cos ∠ACB 的值是 .16.已知点P 是△ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则P 点叫△ABC的费马点(Fermat point ),已经证明:在三个内角均小于120°的△ABC 中,当∠APB =∠APC =∠BPC =120°时,P 就是△ABC 的费马点,若P 就是△ABC的费马点,若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点,则PD +PE +PF = . 三.解答题:(共52分)17.(6分)计算:sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+18.(8分)如图,205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌C D.习老师目高MA为1.60米,他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进14米、站在点B处,测得广告牌顶端点C的仰角为45°.(计算结果保留根号)(1)求这幢大楼的高DH;(2)求这块广告牌CD的高度.19.(7分)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P 在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险?20.(7分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD,测得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,试求电线杆的高度(结果保留根号)21.(7分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=40海里,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向.求该船航行的速度.22.(8分)南海是我国的南大门,如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航,在A处测得北偏东30°方向上,距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行,便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查,经过一段时间后,在C处成功拦截不明船只,问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据:cos75°=0.2588,sin75°=0.9659,tan75°=3.732=1.732=1.414)23.(9分)在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B 在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A 位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?解析与答案1.C 【解析】试题分析:任何非零实数的零次幂都为1. 2.A. 【解析】试题分析:根据锐角三角函数定义可得sinA =mBCAB BC =,所以BC =sin35m ︒,故选A. 3.A 【解析】试题分析:利用三角函数的定义可知tan ∠A =65. 故选A .4.B. 【解析】试题解析:由题意得∠ABC =60°,AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC =AB =40海里. 故选B . 5.A 【解析】试题分析:首先画出符合题意的直角△ABC ,再根据坡角的定义可知∠A =30°,然后利用正弦函数的定义即可求解.解:如图,∵直角△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =2米, ∴他下降的高度BC =AB •sin 30°=1米.6.D . 【解析】试题分析:如图所示:∵40A ∠=︒,∴50B ∠=︒,根据三角函数的定义可知tan ACB BC=,tan503AC︒=,所以AC =3tan50︒.故选D . 7.C . 【解析】 试题解析:原式=12+1-12=1. 故选C . 8.B . 【解析】试题解析:在Rt △ABC 中, ∵i =12BC AC =,AC =12米, ∴BC =6米, 根据勾股定理得:AB =故选B . 9.D 【解析】试题分析:根据非负数的性质可知:sinA -12=0,cosB =0,然后根据特殊角的三角函数值计算可得:∠A =30°,∠B =30°,再根据三角形的内角和可求得∠C =180°-30°-30°=120°. 故选:D 10.D.试题分析:根据题意,∠1=∠2=30°,∵∠ACD =60°,∴∠ACB =30°+60°=90°,∴∠CBA =75°﹣30°=45°,∴∠A =45°,∴AB =AC.∵BC =50×0.5=25,∴AC =BC =25(海里).故选D .11.D 【解析】试题分析:利用∠ECA 的正切值可求得AE ;利用∠ECB 的正切值可求得BE ,有AB =AE +BE . 解:在△EBC 中,有BE =EC ×tan 45°=8,在△AEC 中,有AE =EC ×tan 30°∴AB (米). 故选D . 12.B . 【解析】试题分析:∵∠BAD =60°,∠CAB =30°,∴∠CAH =90°,在Rt △ABC 中,∠CAB =30°,设BC =a ,∴AB =2BC =2a ,∴AD =AB =2a ,设AH =x ,则HC =HD =AD ﹣AH =2a ﹣x ,在Rt △ABC中,2222(2)3AC a a a =-=,在Rt △ACH 中,222AH AC HC +=,即2223(2)x a a x +=-,解得14x a =,即AH =14a ,∴HC =2a ﹣x =2a ﹣14a =74a ,∴sin ∠ACH =17AH HC =,故选B .二.填空题:(每小题3分共12分) 13.30° 【解析】试题分析:根据特殊角的三角函数值解答. 解:∵sinα=12,α是锐角, ∴α=30°. 14.210. 【解析】试题分析: 过点B 作BM ⊥CA ,过点D 作DN ⊥CA ,证△AMB ≌△CDN ,,得∠BAM =∠DCN ,而∠BAC +∠BDC =180°,得到CE =DE ,再根据点E 为BD 的中点,得BE =CE =DE , △BCD 是直角三角形.依据∠EBC =∠ECB , tan ∠ACB =21,DC =5得BC =10,在△BCM 中,根据tan ∠ACB =21得BM =,DN =,CM =,在△AMB 中,AM =,所以CN AN =△AND 是等腰直角三角形,根据勾股定理求得斜边AD =.15.33. 【解析】试题分析:如图:作BE ⊥AD 于E ,交AC 于O ,则BE ∥CD ,由AB =BD 得E 是AD 的中点,因此OE 是△ACD 的一条中位线,从而O 是AC 的中点,以O 为圆心,OA 为半径作圆,则由∠ABC =∠ADC =90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点,易知 AP =4,PC =1,AC =AP +PC =5,因此,OA =OC =2.5.OP =OC ﹣PC =1.5,由BE ∥CD 得,BP :PD =OP :PC =1.5,因此BP =1.5PD ,从而 AB =BD =BP +PD =2.5PD ,由相交弦定理得 BP •PD =AP •PC =4,即 1.5PD 2=4,因此 PD 2=83,从而 AB 2=(2.5PD )2=6.25PD 2=503,由勾股定理得BC 2=AC 2﹣AB 2=52﹣503=253,因此 BC =3,∴cos ∠ACB =BC :AC =3.161.【解析】试题分析:如图:等腰Rt △DEF 中,DE =DF ,过点D 作DM ⊥EF 于点M ,过E 、F分别作∠MEP =∠MFP =30°,则EM =DM =1,故cos 30°=EMEP ,解得:PE =PF 3,则PM 故DP =1则PD +PE +PF +11.1.三.解答题:(共52分)17 1.- 【解析】试题分析:根据特殊角的三角函数值,和绝对值的性质可直接代入求值.试题解析:sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+112=-1.=- 18.(1)153+1.6(2)31﹣153 【解析】试题分析:根据题意构造直角三角形Rt △DME 与Rt △CNE ;应利用ME -NE =AB =14构造方程关系式,进而可解即可求出答案.试题解析:(1)在Rt △DME 中,ME =AH =45米;由tan 30DEME=,得DE =45×3又因为EH =MA =1.6米,因而大楼DH =DE +EH =(153+1.6)米;(2)又在Rt △CNE 中,NE =45﹣14=31米, 由tan 45CENE=,得CE =NE =31米; 因而广告牌CD =CE ﹣DE =(31﹣153)米;答:楼高DH 为(153+1.6)米,广告牌CD 的高度为(31﹣153)米. 19.无触礁危险 【解析】试题分析:过P 作AB 的垂线PD ,在直角△BPD 中可以求的∠P AD 的度数是30度,即可证明△APB 是等腰三角形,即可求得BP 的长,进而在直角△BPD 中,利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半,从而求得PD 的长,即可确定继续向东航行是否有触礁的危险,确定是否能一直向东航行.试题解析:过点P 作PC ⊥AB 于点C ,∠P AB =15°,∠APB =15°, ∴BA =BP =2×20=40海里。
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练一 、锐角三角函数的定义1.在Rt △ABC 中,∠C=900,直角三角形边角之间的关系: (1)三边关系:_________________(即_______定理)(2)三角关系:_____________________(即_______________定理)____________________(性质:直角三角形两锐角______)(3)边角关系(即tanA ,sinA,cosA 与边的关系)锐角∠A 的正弦: ∠A 的( )边 ( ) ( )sinA= = =( )边 ( ) ( )锐角∠A 的余弦: ∠A 的( )边 ( ) ( )cosA= = =( )边 ( ) ( )锐角∠A 的正切: ∠A 的( )边 ( ) ( )tanA= = =∠A 的( )边 ( ) ( )注:① 锐角A 的______、______、______都是∠A 的三角函数....。
② 三角函数值是一个比值,没有.............单位....2.练习:1. 在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=3,BC=4,求tanA 、sinA 和cosA 的值。
2. 在Rt △ABC 中,∠C=900, cosA=1312,AC=10, 求AB 、BC 的值。
3. 在Rt △ABC 中,∠C=900, cosA=0.6,BC=8, 求AB 、BC 的值。
4. 在Rt △ABC 中,∠C=900,sinA=43,求tanA 和cosA 的值。
5.如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC=5,BC=8,求tanB 、sinB 和cosB 。
AB C6. 在Rt △ABC 中,∠BCA=900,CD 是AB 边上的中线,BC=6,CD=5, 求sin ∠ACD,cos ∠ACD, tan ∠ACD ;BDA C7:坡度(坡比)与坡角:⑴坡面与水平面的夹角叫做________,⑵坡面的____________与____________的比称为坡度(或______)(用字母....i .表示)... ⑶坡度与坡角有什么关系?⑷正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的_______、堤坝的_______.例:如图,有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度是:( ) ( ) i=_______α= =( ) ( ) 60米二、特殊角的锐角三角函数值 100米1.⑴在Rt △ABC 中,∠C=900, 若∠A=300,设BC=a,则AB=______ AC=________ ⑵在Rt △DEF 中,∠F=900, 若∠D=450,设DF=a,则EF=______ DE=________ B EA C D F 2.利用上图,可求出下列特殊角的锐角三角函数值.3.锐角三角函数的大小比较(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ,随角度的减小而____ _. (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ,随角度的减小而____ _。
第一章《直角三角形的边角关系》(拓展)《巡逻艇怎样才能在最短的时间内追上走私船》(北师大版初三下)
O a C D A B 图1-24第一章《直角三角形的边角关系》(拓展)《巡逻艇怎样才能在最短的时间内追上走私船》(北师大版初三下) 【实践与探究】 巡逻艇如何样才能在最短的时刻内追上走私船在A 处待命的我海防巡逻艇发觉在东北方向距其9海里的B 处有一不明国籍的走私船,我海防人员赶忙发出警告. 然而走私船不仅不停车,反而调转船头以每小时20海里的速度沿南偏东75°方向向公海逃跑,我艇赶忙以每小时28海里的速度前往拦截. 咨询:我艇应沿什么方向才能在最短的时刻内追上走私船? 这是一道解斜三角形的咨询题. 这类咨询题我们通常将其转化为解直角三角形来解决,然而,有些咨询题却无法转化或转化后解答十分繁琐. 而借助正弦定理和余弦定理却能轻松获得解决.为此,我们先来了解一下互为补角的两角正弦、余弦函数之间的关系.如图1-23,设以x 轴正方向为始边的角的终边上一点 P 的坐标为〔x ,y 〕,记∠POx =α. 点P ’是点P 关于y 轴的对称点,那么∠P ’Ox = 180°-α,OP ’ = OP = r y x =+22. 因此sin α= ry ,cos α= r x .及sin (180°-α) = r y ,cos (180°-α) = rx . 由于点P 在第一象限,因此x > 0,y > 0. 故sin α= r y > 0, cos α= rx > 0. 由于点P ’在第二象限,因此x > 0,y < 0. 故sin(180°-α)= r y > 0, cos(180°-α)= rx < 0. 据此可知,互补两角的正弦、余弦函数有以下关系:sin (180°-α) = sin α, cos (180°-α)= - cos α.下面我们来证明正弦定理.△ABC 内接于⊙O ,假设∠A 为锐角,如图1-24,作⊙O 的直径CD ,连接BD ,那么∠D =∠A ,∠DBC = 90°,设CD = 2R . 在Rt △CBD 中,∵ sin D = BC CD = a 2R, ∴ sin A = a 2R . 那么R Aa 2sin =. 假设∠A 为钝角,如图1-25,那么∠A +∠D = 180°,∠CBD = 90°. 在Rt △CBD 中,∵ sin D = BC CD = a 2R ,∠D = 180°-∠A ∴ sin A = sin (180°- A ) = sin D = a 2R . 那么R Aa 2sin =. 假设∠A 为直角,那么a = 2R ,明显有R Aa 2sin =. 综上所述,不论∠A 是锐角、钝角依旧直角,总有R Aa 2sin =成立. 图1-25B AD C a O 图1-26BA DC a类似地,亦总有R B b 2sin =,R Cc 2sin =成立. ∴ R Cc B b A a 2sin sin sin ===. 这确实是正弦定理. 我们再来证明余弦定理.在△ABC 中,假设∠A 为锐角,如图1-26,过C 作CD ⊥AB 于D ,那么由勾股定75︒45︒图1-28B A C 理,得 BC 2 = BD 2 + CD 2 = (AB – AD )2 + CD 2 = AB 2 – 2AB ·AD + AD 2 + CD 2. ∵ AD 2 + CD 2 = AC 2,AD = AC ·cos A , ∴ BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ·AC ·cos A .即 a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ·cos A .在△ABC 中,假设∠A 为钝角,如图1-27,类似地,由勾股定理,得 BC 2 = BD 2 + CD 2 = (AB + AD )2 + CD 2 = AB 2 + 2AB ·AD + AD 2 + CD 2.= AB 2 + AC 2 + 2AB ·AD.∵ AD = AC ·cos ∠CAD = AC ·cos (180°-∠BAC )= - AC ·cos ∠BAC ,∴ BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB ·AC ·cos ∠BAC . 即 a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ·cos A . 假设∠A 为直角,那么cos A = cos90°= 0.由勾股定理,得a 2 =b 2 +c 2 – 2bc ·cos A .综上所述,不论∠A 是锐角、钝角依旧直角,总有a 2 = b 2 + c 2 – 2bc ·cos A成立.同理可证: b 2 = a 2 + c 2 – 2ac ·cos B , c 2 = a 2 + b 2 – 2ab ·cos C.这确实是余弦定理.有了这些知识以后,我们再来解决开头提出的咨询题.如图1-28,设巡逻艇只用x 小时就在C 处截住了走私船,那么BC = 20x 海里,AC = 28x 海里. 又由题意知AB = 9海里,∠ABC = 120°. 在△ABC 中,由余弦定理,得 AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2AB ·AC ·cos ∠ABC . 即 (28x )2 = 92 + (20x )2 - 2×9×20x ·cos120°.解那个方程,得x 1 = 43,x 2 = 329-〔不合题意,舍去〕. ∴ AC = 21〔海里〕,BC = 15〔海里〕.又在△ABC 中,由正弦定理,得 ABC AC BAC BC ∠=∠sin sin , ∴ sin ∠BAC = 6186.021866.0152160sin 1521120sin 15≈⨯=︒⋅=︒⋅ ∴ ∠BAC ≈ 38°12′. 38°12′+ 45°= 83°12′.因此,巡逻艇沿北偏东83°12′的方向追赶,可只用45分钟截住走私船.【阅读与观赏】同角三角函数的差不多关系除了我们学习过的三个三角函数之外,还有三个三角函数,它们分不是我们学习过的三个三角函数的倒数,即sec α= 1cos α 〔正割〕, csc α= 1sin α 〔余割〕, cot α= 1tan α〔余切〕. 这六个三角函数之间有如下关系〔如图1-29〕:〔1〕倒数关系 对角线两端两函数的乘积为1; sin α·csc α= 1,cos α·sec α= 1,tan α·cotα= 1.〔2〕乘积关系 周界上任一函数等于它相邻两函数之积;如sin α= tan α·cos α,tan α= sin α·sec αcsc α= cot α·sec α,… 〔3〕平方关系 在有阴影的三角形中,两上角顶上的函数的平方和等于下角顶上函数的平方.图1-27B A D C a 图1-291cos sin 22=+αα,αα22sec 1tan =+, αα22csc 1cot =+.。
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50 3
D. 150
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c 在 △ 中 ° , , 分别是∠ , 的对边, 分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列关 , 的对边 ( 系式中错误的是 A. b = c·cosB B. b = a·tanB C. a = c·sinA
b D. = . a tan B
墙 地 面
(1)5.2m (2)可以安全使用 可以安全使用 可以
C
A
5. (09山东日照 如图,斜坡 的坡度 山东日照)如图 山东日照 如图,斜坡AC的坡度 (坡比 为1: 3 , AC=10米. 坡顶有一旗杆 坡比)为 米 坡比 BC, 旗杆顶端 点与 点有一条彩带 旗杆顶端B点与 点有一条彩带AB 点与A点有一条彩带 相连, 的高度. 相连 AB=14米. 试求旗杆 的高度 米 试求旗杆BC的高度 B C 6m D A
c a A b C
A )
B
7.如图 是一束平行的阳光从教室窗户 射入 如图,是一束平行的阳光从教室窗户 如图 是一束平行的阳光从教室窗户AB射入 的平面示意图,光线与地面所成的角 光线与地面所成的角∠ 的平面示意图 光线与地面所成的角∠AMC = 30°,窗户在教室地面的影子 窗户在教室地面的影子MN = 2 3 米 . ° 窗户在教室地面的影子 若窗户的下檐到教室地面的距离BC = 1米, 若窗户的下檐到教室地面的距离 米 则窗户的上檐到教室地面的距离AC = ( D ) 则窗户的上檐到教室地面的距离 A. 3米 B. 3.2米 米 米 C. 2 3 米
3
则sinB的值为( sinB的值为( 的值为
B
)
2 A. 5 3
5 B. 3
5 C. 5
2 5 D. 5
2.△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且 △ 都是锐角, 中 、 都是锐角
1 2 2 | sin A − | + (cos B − ) =0 2 2
则△ABC的三个角的大小关系是 D ) 的三个角的大小关系是( 的三个角的大小关系是
1 , 6.△ABC中,∠A=30°,tanB= △ 中 ° 3
BC= 10 ,则AB=
3+ 3 .
7.在△ABC中,∠C = 900, 在 中 (1)若a=8, c=10, 则b= 若 , cosA= , b= . . (2)若∠A =300, c=10, 则a= 若
二、选择题 1.已知在△ABC中,∠C=90° 1.已知在△ABC中,∠C=90°,cosB= 2 , 已知在
(54+114 3)a元
3.(09四川眉山市)海船以5海里 小时的 四川眉山市)海船以 海里 海里/小时的 四川眉山市 速度向正东方向行驶, 处看见灯塔B 速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔 处看见灯塔 在海船的北偏东60°方向, 小时后船行 在海船的北偏东 °方向,2小时后船行 驶到C处 发现此时灯塔B在海船的北偏 驶到 处,发现此时灯塔 在海船的北偏 方向,求此时灯塔B到 处的距离 处的距离。 西45o方向,求此时灯塔 到C处的距离。
-2
5.已知△ABC中,∠C=Rt∠,AC=m, 已知△ 已知 中 ∠ , ∠BAC=α,如图所示,求△ABC的面 ,如图所示, 的面 积及斜边上的高(用 的三角函数及 的三角函数及m表 积及斜边上的高 用α的三角函数及 表 示).
S∆ABC = m tanα, CD = msin α.
1 2 2
3 3 D. 米 2
M N
A
B C
8.化简 化简
(1 − sin 50 ) − (1 − tan 50 ) 的
0 2 0 2
结果为( 结果为 C ) A. tan500-sin500 C. 2-sin500-tan500
B. sin500-tan500 D. -sin500-tan500
三、解答题 1. (09天津市 )在一次课外实践活动中 在一次课外实践活动中, 天津市 在一次课外实践活动中 同学们要测量某公园人工湖两侧两个凉 之间的距离.现测得 亭A, B之间的距离 现测得 之间的距离 现测得AC=30m, BC=70m, ∠CAB=120o, 请计算两个凉 之间的距离. 亭A、B之间的距离. 、 之间的距离
6.甲、乙两楼相距50米,从乙楼底望甲 甲 乙两楼相距 米 楼顶仰角为60° 楼顶仰角为 °,从甲楼顶望乙楼顶俯 角为30° 求两楼的高度, 角为 °,求两楼的高度,要求画出正 确图形。 确图形。
100 3 m 3
4.Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BA于D,若 △ 中∠ ° ⊥ 于 若 BC=a,∠B=α,那么 等于 ∠ 那么AD等于 那么 等于( A. asin 2α C. asinαcosα B. acos2α D. asinαtanα D)
5.在Rt△ABC中, ∠C=90°, tan A=3, 在 △ 中 ° AC=10, 则△ABC的面积等于 D ) 的面积等于( 的面积等于 A. 3 C. B. 300
A.∠C>∠A>∠B ∠ > > C.∠A>∠B>∠C ∠ > > B.∠B>∠C>∠A ∠ > > D.∠C>∠B>∠A ∠ > >
3.若∠A为锐角,sin A= 3 ,那么 C ) 若 为锐角, 那么( 为锐角 4 A. 00<∠A<300 B. 300<∠A<450 < < C. 450<∠A<600 < D. 600<∠A<900 <
A.
3 5
4C中, 中
∠C=900,
那么sin 的值等于 的值等于( 那么 B的值等于 B )
5 如果tanA= , 如果 12
5 A. 13
4.计算 4.计算
12 A. 13
5 A. 12
12 A. 5
1 0 0 0 2 + 4 cos 60 ⋅ sin 45 − (tan 60 − 2) 2− 3
5( 6 − 2) 海里
4. (09呼和浩特 要想使人安全地攀上斜靠在 呼和浩特)(要想使人安全地攀上斜靠在 呼和浩特 墙上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α 墙上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 一般满足50º≤α ≤75º.如图,现有一个 长 一般满足 .如图,现有一个6m长 的梯子,梯子底端与墙角的距离围3m. 的梯子,梯子底端与墙角的距离围 . (1)求梯子顶端 距墙角 的距离 精确到 求梯子顶端B距墙角 的距离(精确到 求梯子顶端 距墙角C的距离 精确到0.1m); (2)计算此时梯子与地面所成的角,并判断人 计算此时梯子与地面所成的角, 计算此时梯子与地面所成的角 能否安全使用这个梯子. 能否安全使用这个梯子. B (参考数据:≈1.414,≈1.732) 参考数据: 参考数据 ,
一、填空题
1.Rt△ABC中,a=2,c=5,则 △ 中 , , cosA= .
21 5 或 5 29
2.如果直角三角形的两直角边长分 2.如果直角三角形的两直角边长分 别是方程x 7x+12=0的两根 的两根, 别是方程x2-7x+12=0的两根,则较小 锐角的正弦值为( 锐角的正弦值为( A )
C
50m
A
B
2.(09四川资阳市 )某市在举行“5.12汶川大 四川资阳市 某市在举行 某市在举行“ 汶川大 地震”周年纪念活动时, 地震”周年纪念活动时 根据地形搭建了一 个台面为梯形(如图所示 的舞台, 如图所示)的舞台 个台面为梯形 如图所示 的舞台 且台面铺 设每平方米售价为a元的木板 已知AB=12米, 元的木板.已知 设每平方米售价为 元的木板 已知 米 AD=16米, ∠B=60°, ∠C=45°, 计算购买铺 米 ° ° 设台面的木板所用资金是多少元.(不计铺设 设台面的木板所用资金是多少元 不计铺设 损耗, 结果不取近似值) 损耗 结果不取近似值