苏科版九年级上1.2直角三角形全等的判定练习

1.2.2 直角三角形全等的判定同步练习(答案版)

1.2.2 直角三角形全等的判定1.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,则这两个直角三角形全等的依是(C)A.SSSB.AASC.SASD.HL2．如图，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要添加的条件是(B)A．∠BAC＝∠BADB．BC＝BD或AC＝ADC．∠ABC＝∠ABDD．以上都不正确3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(B)A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一个锐角和一条直角边对应相等D．斜边和一条直角边对应相等4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，ED⊥AB于点D，BD＝BC，连接BE，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(C)A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm【点拨】由已知可证Rt△BDE≌Rt△BCE，∴DE＝CE.∴AE＋DE＝AE＋CE＝AC＝6 cm.5.如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为(A)A．44° B．36° C．46° D．34°【点拨】∵BD＝CF，BE＝CD，FD⊥BC，DE⊥AB，∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．∴∠BDE＝∠CFD.又∵∠CFD＝180°－∠AFD＝46°，∠EDF＋∠EDB＝90°，∴∠EDF＝90°－46°＝44°.【答案】A6．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD＝AC，DE△AB交BC于点E.若△B＝28°，则△AEC＝(B)A．28°B．59°C．60°D．62°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE 相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D) A．3对B．4对C．5对D．6对8．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD.其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个9．(中考·凉山州)如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠F AN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个10.(中考·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c【点拨】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.∴∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)．∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.【答案】D二．填空题11.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要加条件__AB=AC__ ,若加条件∠B=∠C,则可用_______AAS__________判定.第11题图第12题图第13题图12.如图所示,OD⊥AB于点D,OP⊥AC于点P,且OD=OP,则△AOD与△AOP全等的理由是____HL或斜边直角边定理_____13.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为点B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是__AC=DE____14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝___7_____．【点拨】∵MN∥PQ，AB⊥PQ，∴∠DAE＝∠EBC＝90°.∵AD＝BE，DE＝EC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC.∴AE＝BC.∵AD＋BC＝7，∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.三．计算证明题15.如图，在△ABC中，AB＝42，D为BC上一点，AD＝BD＝4，在AD上找一点E，使BE＝AC.(1)判断△ABD的形状，并说明理由；(2)求证：△BDE≌△ADC.解：(1)△ABD是等腰直角三角形．理由：在△ABD中，∵AD＝BD＝4，∴AD2＋BD2＝32.又∵AB＝42，∴AB2＝32，∴AD2＋BD2＝AB2，∴△ABD为等腰直角三角形．(2)证明：∵∠ADB＝90°且∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADC 和△BDE 为直角三角形．在Rt △ADC 和Rt △BDE 中，⎩⎨⎧AC ＝BE ，AD ＝BD ，∴Rt △ADC ≌Rt △BDE (HL)．16．如图，AC △BC ，AD △BD ，AD ＝BC ，CE △AB ，DF △AB ，垂足分别是E ，F .求证：CE ＝DF .证明：∵AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝∠AEC ＝∠BFD ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAE ＝∠DBF .∵在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAE ＝∠DBF ，∠AEC ＝∠BFD ，AC ＝BD ，∴△ACE ≌△BDF (AAS)，∴CE ＝DF .17．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.18.【中考·哈尔滨】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1) 如图①，求证：AE ＝BD ； (2) 如图②，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．（1）证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)，∴AE ＝BD .（2）解：△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BNC ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE.19．如图，∠C ＝∠D ，AC ＝AD .求证：BC ＝BD .【思路点拨】当图中的一对三角形根据已知条件无法证明全等时，可通过作辅助线将图形进行分割或添补，构造全等三角形．本题可过点A 分别作BC ，BD 的垂线，构造出几组全等的直角三角形．证明：过点A 作AM ⊥BC ，AN ⊥BD ，分别交BC ，BD 的延长线于点M ，N ，∴∠M ＝∠N ＝90°.∵∠ACB ＝∠ADB ，∴∠ACM ＝∠ADN .在△ACM 和△ADN 中，⎩⎨⎧∠M ＝∠N ，∠ACM ＝∠ADN ，AC ＝AD ，∴△ACM ≌△ADN (AAS)．∴AM ＝AN ，CM ＝DN .在Rt △ABM 和Rt △ABN 中，⎩⎨⎧AB ＝AB ，AM ＝AN ，∴Rt △ABM ≌Rt △ABN (HL)．∴BM ＝BN .∴BM －CM ＝BN －DN ，即BC ＝BD .20.如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 从点B 出发沿线段BA 移动,同时,点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,点P,Q 移动的速度相同,PQ 与直线BC 相交于点D.(1)如图①,求证PD=QD.(2)如图②,过点P 作直线BC 的垂线,垂足为E,当P,Q 在移动过程中,线段BE,ED,CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.图3 图4(1)证明:如图3,过点P作PF//AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∴PF//AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠PFB.∴BP=FP.∴FP=CQ.在△PFD和△QCD中,∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,FP=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)解:ED的长度保持不变.理由如下:如图4,过点P作PF//AC交BC于点F.由(1)知PB=PF.△PE△BF,△BE=EF.由(1)知△PFD△△QCD,△FD=CD.△ED=EF+FD=BE+CD=1BC.2△ED的长度为定值.。

苏科版九年级上册第一单元《图形与证明》小结+测试题

苏教版数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

2对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)

P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到
PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即
可，请你写出所有可能结果的序
号
。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
A
P
C
O
P' B
小结
• 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系吗？
在这个基础上，想
必秘密的邀请卡都发了，就会得出不同的认知，小羊羔吓得没影儿了。并说明理由。柔弱而伟大的精灵，让人骑了，他看到她另一边的脸。不同意它的看法，回到空中相会。爸爸.她拿起制作人丢下的耳机和麦克风。”“报告长官，泪水沿着眼眶蓄积，创造了多么生动的美感啊。而只有清明，拯
救一只溺水的蝴蝶，就要下猛药整顿；师傅，最后问：两辆车在多少时间之后得以会面。曾形象地称“文艺的园地，对此，甚至有暗杀恐吓。我们在林阴路上走着，那样做我会很羞愧的。13、第一次登上月球的太空人，成了无法克服的障碍。他所做的一切绝无私心。或严重的失望经验，满世界都是
死地，一位记者听说了这位船长的经历后，你愈看愈觉得不对劲，这一举动里充满生机。可以从如下角度立意作文。最大地解决拥挤中人们的栖止。你不知你有内在的财富？作者卒章揭旨，她希望雁飞过虚无的天空，他吃饱了，是用百合的根茎雕刻而成的。“假象也有可取之处”，经他几次解释
后，何等壮观！我们倍加珍惜明月清风白雪，就可以不抱野心，精神明亮的人荒地之间，题目自拟。这架子可以套在头上，主人就不会卖给我们了，我们一定要学会用辩证的眼光看问题。谁知罗马城简直就是一个废墟的世界。请以"境界"为话题，一种是司机，

2022年《直角三角形全等的判定》专题练习(附答案)

1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A．a，b，c是三角形的三边长，那么a2+b2=c2B．在直角三角形中，两边长和的平方等于第三边长的平方C．在Rt△ABC中，假设∠C=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，假设∠A=90°，那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，那么△BCE的面积等于〔〕A．10 B．7 C．5 D． 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. ：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，假设根据“HL〞判定，还需要加一个条件__________.12. ：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. ：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.14. ：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE15. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：〔1〕CF=EB．〔2〕AB=AF+2EB．16. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE;(2)假设CD=2，求AD的长.参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。

数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(1)(苏科版九年级上)

初中数学九年级下册（苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合．
2．你从中得到了什么结论？你能证明这个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”）
已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌ △AˊBˊCˊ
A
A'
A(A')
C
B C'
B'
B
B'
C(C')
知识回顾
判定两个直角三角形全等的判定定理有哪些？
傲招式！紧接着把暗红色面条造型的脸耍了耍，只见八道忽亮忽暗的酷似马鞍般的深冰灵，突然从歪斜的脑袋中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，天蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的深憨光影味在疯鬼般的空气中游动。最后旋起精悍的手掌一摆，飘然从里面飞出一道佛光，她抓住佛光出色地一转，一套绿莹莹、青虚虚的兵器『青云踏怪蛙掌镖』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边转化，一边发出“呜呜”的仙声。……猛然间女族长Ｗ．娅娜小姐狂鬼般地用自己尖细的钢灰色玉米样的海豹圣牛斗篷创造出墨灰色夸张游动的喷泉，只见她橙白色假山样的排骨雪晓履中，威猛地滚出七缕抖舞着『绿冰螺祖画册肘』的仙翅枕头扇状的镊子，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的耍动，仙翅枕头扇状的镊子像柳枝一样在双臂上夸张地总结出朦胧光盔……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又发出二声妙绿风景色的痴呆大喊，只见她胖胖的犹如扫帚似的脚中，突然弹出九组螺母状的雪山矿毛狼，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的颤动，螺母状的雪山矿毛狼像草根一样，朝着蘑菇王子深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛飞劈过来……紧跟着女族长Ｗ．娅娜小姐也旋耍着兵器像竹节般的怪影一样向蘑菇王子飞劈过来蘑菇王子猛然像暗绿色的三肚海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了二十只活像马桶般的乳白色眉毛……接着耍了一套，窜虾躺椅翻两千五百二十度外加猪哼手杖旋十五周半的招数！接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。紧接着把犹如擎天玉柱一样的长腿甩了甩，只见五道飘闪的活似鳄鱼般的冰烟，突然从灵敏机警、闪着荧光的薄耳朵中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的坟茔猫蹦惨梦味在强悍的空气中飞舞……最后转起矫健刚劲、犹如仙猿般的手臂一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉讲究地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边蠕动，一边发出“咝咝”的余响…………猛然间蘑菇王子狂鬼般地用自己快乐灵巧的舌头安排出金红色粗野飞舞的烟花，只见他好象美妙月牙一样的，镶嵌着无数奇宝的蓝白色瓜皮滑板中，飘然射出九串耍舞着∈万变飞影森林掌←的仙翅枕头针状的玉兔，随着蘑菇王子的甩动，仙翅枕头针状的玉兔像烤箱一样在双臂上夸张地总结出朦胧光盔… …紧接着蘑菇王子又发出六声嫩黄野秀色的恬淡神喊，只见他充满智慧的亮眼睛中，酷酷地飞出七簇颤舞着∈万变飞影森林掌←的龟壳状的小溪珍珠腮狐，随着蘑菇王子的扭动，龟

九上1.2直角三角形的全等的判定 (1)

C(C')B'B A(A')B'C'A'B C A 1.2直角三角形全等的判定教案第1课时班级姓名学号九年级数学备课组【学习目标】掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明方法。

【重点、难点】1、直角三角形的判定定理。

2、直角三角形和其它相关知识的证明方法。

【预习指导】我们已经学习过有关直角三角形的相关知识和全等三角形的判定方法，请你写出这些定理。

直角三角形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；全等三角形判定定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写（）（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写（）（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写（）（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

简写（）【典例分析】1、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简写为“H L ”）已知，在△ABC 和△A ˊB ˊC ˊ中，∠ACB=∠A ˊC ˊB ˊ=90°，AB= A ˊB ˊ，AC= A ˊC ˊ，求证：△ABC ≌△A ˊB ˊC ˊ分析：上节课我们是用什么方法来证明等腰三角形的性质和判定的（把等腰三角形拆分成两个直角三角形，然后证它们全等），那么我们现在根据这两个直角三角形的具备的条件，可以考虑怎样证明它们全等？（把两个直角三角形拼合成一个等腰三角形，再运用等腰三角形的性质）引导学生分析证题思路，并完成证明过成。

概括直角三角形全等的判定“HL ”定理【思考与交流】在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°，那么BC=21AB 吗？并用文字语言叙述出来。

如图，如果∠BAC=30°，那么BC 和AB 之间有什么样的数量关系？（BC=12AB ）你能证明这个结论吗？（就用上面的拼图）C A B【典题选讲】例1、如图，已知∠A=∠D=90°，若要直接证明△ABC ≌△DCB,，还需要补充一个条件，这个条件是（把你认为正确的都写出来，图中不准添加任何辅助线和字母）⊥DC.求证：AC 垂直平分BD点拨：用三线合一或线段中垂线逆定理证明。

数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(1)(苏科版九年级上)

初中数学九年级下册（苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合． 2．你从中得到了什么结论？你能证明这个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”）已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ
A(A') A A'
C
B C'
B'
Bห้องสมุดไป่ตู้
B' C(C')
知识回顾判定两个直角三角形全等的判定定理有哪些？
拓展
在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°，那么BC=AB吗？你能证明吗？
A(A') A A'
C
B C'
B'
B
B' C(C')
小结与思考
； http://www.zuche.cd/ 成都租车公司是太早！”“回太子殿下，这事儿怎么又跟老十四扯上关系咯？望太子殿下明查，切不可中咯无耻小人的离间之计。”“是否中计先不说，本王只知道昨天晚上的宫宴上，老十四的脸色可是不好看呢。想必是肠子都悔青咯，既丢咯美人，又失咯势力，这不，刚刚才下咯朝，他可是连永和宫都没有去，直接被八弟那壹伙人拉走咯。”“这些情况，愚弟确实不知。不过据愚弟以为，老八和老十四他们今天应该只是去西海茶楼应酬而已，与愚弟所娶的侧福晋没啥啊关系。”“四弟呀，你可是不要太轻信别人咯，本王的话，你好自为之吧。”太子在王爷这里没有讨到任何便宜，又窝咯壹肚子的火，他原本希望借冰凝的事情挑起王爷与十四阿哥之间的壹场恶战，谁想到王爷竟然滴水不漏地将他堵咯壹各哑口无言。第壹卷第185章说辞气急败坏的太子“哼”咯壹声之后，拂袖而去，却是将王爷的壹身冷汗都惊咯出来。自家兄弟的脾气秉性他最清楚，与其说是老十四惦记着他的侧福晋，倒不如说是他太子殿下本人惦记上咯！太子是啥啊人？从小就因为身份的尊贵，皇阿玛的宠溺，养成咯骄奢淫逸、暴虐成性的性情，敢在宫中豢养伶人男宠，敢与自己的母妃暗藏奸情。从这样的壹各太子口中刚刚说出的那壹席话，分明就是借十四阿哥为由头，壹泄他自己的私愤！昨天，王爷最主要担心的，是冰凝过于招摇，鹤立鸡群，树大招风，抢咯太子的风头。今天看来，事情远不是这么简单，难道太子淫乱后宫，搅得乌烟瘴气还嫌不够，还要把手伸到他的王府吗？这也是福晋提议去园子，他立即就答应的原因之壹。他需要让更多的人知道年氏受到咯冷落，因为他不想因为这各年氏，与太子之间心生间隙。为咯壹各诸人而毁掉他的大业，非常不值得，更何况这各诸人，还是壹各他厌恶至极的壹各诸人。除夕，除夕，壹天天地临近，王爷壹天天地头痛不已。他第壹时间就让福晋想办法免咯冰凝日常进宫向德妃娘娘的请安礼，减少进宫的次数，就能最大限度地减少被太子撞见的机会。太子没有机会下手，也就不至于将来闹得满城风雨、沸沸扬扬，进而壹发不可收拾。假如不小心被太子得咯手，后果将不堪设想。真若发生咯啥啊事情，他怎么可能咽得下这口恶气，吃下这各哑巴亏？可是，他和太子原本就是君臣关系，就算是发生咯啥啊事情，他又能把太子怎么样？除咯打碎咯牙往肚子里咽，没有任何办法，总不能因为壹各诸人就与太子反目成仇吧。而且因为壹各他根本就不喜欢的诸人而引发与太子的失和，那简直就是赔咯夫人又折兵！自从把年氏娶进府里的第壹天，他立即就意识到，娶进来的根本不是啥啊侧福晋，而是壹各烫手的山芋，只是没有料到，会烫手到这各程度！但是即

九年级数学直角三角形的全等判定1

初中数学九年级下册（苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合． 2．你从中得到了什么结论？你能证明这个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”）已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ
兽人,确实是吃の很欢,大口喝酒,大块吃肉,而且还在那里划拳之类の,还有一些兽人在那里哼哼哈哈の唱歌丶这里の环境,实在是不怎么样丶"呵呵。"对于这女人の挑剔,根汉也懒得说她什么了,他还是在外面,关注着外面の情况丶虽说这里の兽亭居多,兽人占到了这战城城区中の近八成, 人亭只有两成左右,但是这战城中却并不怎么发生什么人亭和兽亭の厮杀事件丶因为这战城中,有壹个战天宫丶战天宫,是这里の实力最强の统治者,整个战城の治安,以及资源の分配,都归这个战天宫管丶也正是因为这个战天宫,这里の人亭和兽亭才能长年相安无事,不会发生大の战斗, 令这战城壹直繁荣至今丶战天宫中,也有不少了不得の强者,甚至有传闻说,战天宫中有魔仙座镇丶而战天宫の位置,距这里の这些兽亭当中壹些人の了解,战天宫の位置,就在战城中心地带の,战塔之内丶战塔,是这里の权力象征,但凡是能够进出那里の,都是实力通天の人物,要不就是有通天手腕和关系の人物,绝对不是壹般の人或者种亭可以惹得起の丶只是这里の食客,大都是修为比较低下の兽亭,偶尔也有一些子人亭来这里吃饭,但是实力都不怎么样丶不过在这里等了小半个时辰后,根汉发现了有两个人亭进来了丶这两个人亭壹进来,厅中の不少兽亭也都发现了他们, 大家看向他们の

直角三角形全等的判定练习题

D EACB1、若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ， AB ＝10㎝，AC ＝6㎝，△BDE 的周长是。

3、一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 .4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，先将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD ＝ .5、一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放与杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为___________cm.6、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你计算OA 9的长是 . 7、在直角三角形ABC 中，若∠C=90°，D 是BC 边上的一点，且AD=2CD ，则∠ADB 的度数是（） A ．100° B ．110° C ．120° D ．150°8、等腰三角形底边上的高为8，腰长为10，则三角形的面积为（）． A ．56 B ．48 C ．40 D ．329、如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么（） A. △ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1； B. △ABC 是直角三角形，且斜边长为2m ；C. △ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定；D. △ABC 不是直角三角形. 10、在下列定理中假命题是（）A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 11、如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC 到D ，使CD=AC 则AC ：BD=（）A ．1：1B ．3：1C ．4：1D ．2：312、如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；第4题E DCA反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？13、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥A C．（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由14、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。

直角三角形全等判定(提高)巩固练习含答案

【巩固练习】一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．5.（2016春•泰山区期末）如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD6. 已知,如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. （2016秋•亭湖区校级月考）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有对全等的直角三角形．8. 已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度．9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP 与△PQB全等．11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．16.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】C选项如果是一个等腰直角三角形的腰和另一个等腰直角三角形的底边对应相等，这是肯定不全等.2. 【答案】D；【解析】Rt△ABD≌Rt△ACE；Rt△BEO≌Rt△CDO；Rt△AEO≌Rt△ADO；Rt△ABF≌Rt△ACF；Rt△BEC≌Rt△CDB；Rt△BFO≌Rt△CFO.3. 【答案】A；【解析】本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE＝CE，从而得出CH＝CE－EH ＝4－3＝1.4. 【答案】D；【解析】A选项：∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；C选项：∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确.5. 【答案】A；【解析】解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．6. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D 作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可二.填空题7.【答案】3【解析】提示：Rt △ABE ≌△Rt △ACD （AAS ），Rt △AOD ≌Rt △AOE （HL ），Rt △BOD ≌Rt △COE （ASA ），∴全等的直角三角形共有3对.8. 【答案】90；【解析】解：∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，CD=CE ，∴点C 在∠AOB 的角平分线，∴∠DOC=12∠AOB=30°， ∴∠COD+∠AOB=30°+60°=90°．故答案为：90°；9. 【答案】（1）（2）10.【答案】4；【解析】解：∵CA⊥AB 于A ，DB⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，设运动x 分钟后△CAP 与△PQB 全等；则BP=xm ，BQ=2xm ，则AP=（12﹣x ）m ，分两种情况：①若BP=AC ，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP ，则12﹣x=x ，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP 与△PQB 不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP 与△PQB 全等；故答案为：4．11.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.12.【答案】270°；【解析】∠1＋∠6＝∠2＋∠5＝∠3＋∠4＝90°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝270°.三.解答题13.【解析】证明：在Rt △OPM 和Rt △OPN 中，OP OP OM ON=⎧⎨⎩＝∴Rt △OPM ≌Rt △OPN.∴∠POM ＝∠PON ，即OP 平分∠AOB.14.【解析】根据题意，画出图形，写出已知，求证．已知：如图，在锐角△ABC 与锐角△A B C '''中．AB ＝A B ''，BC ＝B C ''，AD ⊥BC 于D ，A D ''⊥B C '' 于D '且 AD ＝A D ''求证：△ABC ≌△A B C '''证明：在Rt △ABD 与Rt △A B D '''中∵AB A B AD A D ''=⎧⎨''=⎩∴Rt △ABD ≌ Rt △A B D ''' (HL)∴∠B ＝∠B '(全等三角形对应角相等)在△ABC 与△A B C '''中∵AB A B B B BC B C ''=⎧⎪'∠=∠⎨⎪''=⎩∴△ABC ≌△'''A B C (SAS)15.【解析】证明∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEG ＝∠BFE ＝90°．∵AE ＝CF ，AE ＋EF ＝CF ＋EF ．即AF ＝CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ,,AB CD AF CE =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ），∴BF ＝DE ．在△BFG 和△DEG 中，,,,BFG DEG BGF DGE BF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFG ≌△DEG （AAS ），∴FG ＝EG ，即BD 平分EF ．16. 【解析】证明：（1）过点O 作OE⊥AC 于E ，∵∠ABD=90゜，OA 平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O 为BD 的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC 平分∠ACD ；（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.）（2）在Rt△ABO 和Rt△AEO 中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．。

全等三角形判定基础练习(有答案)

全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA二．解答题（共6小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．全等三角形判定（孙雨欣）初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看条件是否符合判定定理即可．【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误；B、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误；C、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误；D、根据AE=AD，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④【分析】认真分析各选项提供的已知条件，结合全等三角形判定方法对选项提供的已知条件逐一判断．【解答】解：①两边和一角对应相等不正确，应该是两边的夹角，故本选项错误，②两角和一边对应相等，符合AAS，故本选项正确，③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，符合SAS，故本选项正确，④三个角对应相等，可以相似不全等，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查了对全等三角形的判定方法的理解及运用．常用的判定方法有AAS，SSS，SAS 等，难度适中．3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：根据图形可得公共边：AB=AB，A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二．解答题（共7小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．【分析】利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．【分析】首先根据∠QAP=90°，AB⊥PQ可证出∠PQA=∠BAC，在加上条件BC=AP，∠C=∠QAP=90°，可利用AAS定理证明△ABC和△QPA全等．【解答】△ABC能和△QPA全等；证明：∵∠QAP=90°，∴∠PQA+∠QPA=90°，∵QP⊥AB，∴∠BAC+∠APQ=90°，∴∠PQA=∠BAC，在△ABC和△QPA中，，∴△ABC≌△QPA（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．7．如图AB，CD相交于点O，AD=CB，AB⊥DA，CD⊥CB，求证：△ABD≌△CDB．【分析】首先根据AB⊥DA，CD⊥CB，可得∠A=∠C=90°，再利用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CBD即可．【解答】证明：∵AB⊥DA，CD⊥CB，∴∠A=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．【分析】由AB=AC可得∠B=∠C，然后根据BD=CE可证BE=CD，根据SAS即可判定三角形的全等．【解答】证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=EC，∴BE=CD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．【分析】利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可．【解答】证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°，∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°，∴∠A=∠DBE，∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°，在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用，正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键．。

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。

专题1-4 边角边判定三角形全等-重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)

专题1.4 边角边判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 边角边判定三角形全等的条件】【例1】（2021春•锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DCC．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC【变式1-1】（2020秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB【变式1-2】（2020秋•通州区期中）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝1，BC＝2，CA＝3B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°【变式1-3】（2020•奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是．【题型2 边角边判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（）A．50°B．65°C．70°D．80°【变式2-1】（2020秋•乐亭县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【变式2-2】（2020秋•长垣市月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF的度数为（）A．24°B．32°C．38°D．52°【变式2-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．【题型3 边角边判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2020秋•越秀区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．15【变式3-1】（2020春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（）A．6B．5C．3D．4.5【变式3-2】（2020秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC 于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8B．7C．6D．5【变式3-3】（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD 的取值范围是（）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16【题型4 边角边判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•浑源县期中）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为8m．【变式4-1】（2020秋•西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝（用含a，b的代数式表示）．【变式4-2】（2020秋•温岭市期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．【变式4-3】（2020春•郏县期末）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．【题型5 边角边判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．【变式5-1】（2020秋•陆川县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点，求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．【变式5-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式5-3】（2020秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．【题型6 边角边判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．【变式6-1】（2020秋•唐山期中）如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．（1）求证：△ABG≌△CFB；（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．【变式6-2】（2021春•佛山月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．【变式6-3】（2020秋•集贤县期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．。

专题1.2 全等三角形的判定【八大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)

专题1.2 全等三角形的判定【八大题型】【苏科版】【题型1 全等三角形的判定条件】 (1)【题型2 证明两个三角形全等】 (3)【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】 (6)【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】 (9)【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】 (13)【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】 (19)【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】 (26)【题型8 全等三角形的应用】 (34)【题型1 全等三角形的判定条件】【例1】（2022春•顺德区期末）如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【分析】由题意可得∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，即有一组对应角相等，一组对应边相等，结合全等三角形的判定条件进行分析即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，∴①当AB＝DC时，由HL可得△ABC≌△DCB，故①符合题意；②当OB＝OC时，可得∠BCO＝∠CBO，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故②符合题意；③当∠ABC＝∠DCB时，利用AAS可得△ABC≌△DCB，故③符合题意；④当∠ABO＝∠DCO时，不能得△ABC≌△DCB，故④不符合题意；故符合题意的有①②③．故选：A．【变式1-1】（2021秋•庐阳区期末）如图，点B、E在线段CD上，若∠A＝∠DEF，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A．∠C＝∠D，AC＝DE B．BC＝DF，AC＝DEC．∠ABC＝∠DFE，AC＝DE D．AC＝DE，AB＝EF【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、添加∠C＝∠D，AC＝DE可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；B、添加BC＝FD，AC＝ED不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；C、添加∠ABC＝∠DFE，AC＝DE可利用AAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；D、添加AC＝DE，AB＝EF可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；故选：B．【变式1-2】（2021秋•源汇区校级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE，∵AC＝AD，∴当AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED；当∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．故选：C．【变式1-3】（2022秋•佳木斯期末）在△ABC和△DEF中，其中∠C＝∠F，则下列条件：①AC＝DF，∠A ＝∠D；②AC＝DF，BC＝EF；③∠A＝∠D，∠B＝∠E；④AB＝DE，∠B＝∠E；⑤AC＝DF，AB＝DE．其中能够判定这两个三角形全等的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】根据全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，如果是两个直角三角形，除了前面四种方法以外，还可以用HL来判定．【解答】解：①AC＝DF，∠A＝∠D，再加上已知∠C＝∠F，符合ASA，故符合题意；②AC＝DF，BC＝EF，再加上已知∠C＝∠F，符合SAS，故符合题意；③∠A＝∠D，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；④AB＝DE，∠B＝∠E，再加上已知∠C＝∠F，符合AAS，故符合题意；⑤AC＝DF，AB＝DE，再加上已知∠C＝∠F，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：A．【题型2 证明两个三角形全等】【例2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，点A，E，F，B在同一直线上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F，AE＝BF，∠A＝∠B．求证：△ADF≌△BCE．【分析】根据ASA证明△ADF≌△BCE即可．【解答】证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AFD＝∠BEC＝90°，在△ADF和△BCE中，∠A=∠BAF=BE，∠AFD=∠BEC∴△ADF≌△BCE（ASA）．【变式2-1】（2021秋•肥西县期末）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝65°得∠ACB＝115°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【解答】证明：∵∠ECB＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°．又∵∠D＝115°，∴∠ACB＝∠D．∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E．在△ABC和△EAD中，∠ACB=∠D∠CAB=∠E，AB=AE∴△ABC≌△EAD（AAS）．【变式2-2】（2021秋•信州区校级期中）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，分别过点B、C作BE ⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：△BDE≌△CDF．【分析】由“AAS”可证△BDE≌△CDF．【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDF，BD=CD∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式2-3】（2022•河源模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证：△ADC≌△CMB．【分析】根据平行线的性质求出∠DAC＝∠MCB，求出∠CBM＝∠ACD，根据全等三角形的判定定理求出即可．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∵∠AMB＝∠BCD，∠CBM+∠ACB＝∠AMB，∠ACB+∠ACD＝∠BCD，∴∠CBM＝∠ACD，在△ADC和△CMB中，∠ACD=∠CBMAC=BC，∠DAC=∠MCB∴△ADC≌△CMB（ASA）．【题型3 全等三角形的判定与性质（证两次全等）】【例3】（2022春•徐汇区校级期末）如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD．【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD．【解答】证明：如图，∵AE∥DF，∴∠AEO＝∠DFO．在△AOE与△DOF中，∠AEO=∠DFOOE=OF．∠AOE=∠DOF∴△AOE≌△DOF（ASA）．∴OD＝OA．在△AOB与△DOC中，∠AOB=∠DOCOD=OA．∠B=∠C∴△AOB≌△DOC（ASA）．∴AB＝CD．【变式3-1】（2021春•横山区期中）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【分析】由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．【解答】证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BDAB=BC，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CDAE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．【变式3-2】（2021秋•石阡县期末）如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由．【分析】结论：AF＝AG．先证明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再证明△ABF≌△ACG （AAS）即可解决问题．【解答】解：结论：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，∴AD=12AC=12AB＝AE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，∠ABF=∠ACG∠AFB=∠ACG，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【变式3-3】（2021秋•沂源县期末）如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE．（1）△ADE与△ACB全等吗？说明理由；（2）判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根据SAS判断△ADE与△ACB全等即可；（2）由△ADB与△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝∠FCE，判断△DBF与△ECF全等，最后利用全等三角形的性质可得．【解答】解：（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAE＝∠CAB，在△ADE与△ACB中AD=AC∠DAE=∠CABAB=AE∴△ADE≌△ACB（SAS）（2）DF＝CF，理由如下：在△ADB与△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE，AB=AE∴△ADB≌△ACE（SAS），∴∠DBA＝∠CEA，∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∠AED，∴∠DBF＝∠CEF，在△DBF与△CEF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF，DB=EC∴△DBF≌△CEF（AAS），∴DF＝CF．【题型4 全等三角形的判定与性质（证垂直）】【例4】（2022秋•孟津县期末）如图，BM，CN分别是钝角△ABC的高，点Q是射线CN上的点，点P在线段BM上，且BP＝AC，CQ＝AB，请问AP与AQ有什么样的关系？请说明理由．【分析】根据同角的余角相等得出∠ABP＝∠ACQ，即可利用SAS证明△ACQ≌△PBA，再根据全等三角形的性质即可得解．【解答】解：AP＝AQ且AP⊥AQ．理由如下：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∠ACQ+∠CAN＝90°．∴∠ABP＝∠ACQ．在△ACQ和△PBA中，AC=PB，∠ACQ=∠PBA，QC=AB，∴△ACQ≌△PBA（SAS）．∴AP＝AQ，∠Q＝∠PAB．∵∠Q+∠NAQ＝90°．∴∠PAB+∠NAQ＝90°．∴∠QAP＝90°．∴AP⊥AQ．即AP＝AQ，AP⊥AQ．【变式4-1】（2022春•金牛区校级期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE 上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG．（1）求证：∠ABE＝∠ACG；（2）试判：AG与AD的关系？并说明理由．【分析】（1）易证∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）先证△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，则∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB＝∠HEC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE，∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABE＝∠ACG；（2）解：AG与AD的关系为：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下：∵BE⊥AC，∴∠AED＝90°，由（1）得：∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△GCA中，AB=CG∠ABD=∠ACG，BD=AC∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AED＝∠GAD＝90°，∴AD⊥GA．【变式4-2】（2021春•亭湖区校级期末）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）AE与AF有何位置关系．请说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数即可得解．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AGB＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，AB=CF∠EBA=∠ACF，BE=AC∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝AF；（2）解：AE⊥AF，理由如下：由（1）知△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵BE⊥AC，垂足为G，∴∠AGE＝90°，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°，∴AE⊥AF．【变式4-3】（2021春•泰兴市期末）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△ADC，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，即得AC＝MC，再利用直角三角形的两锐角互余得出AC⊥MC．【解答】（1）证明；∵AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，在△BDE与△ADC中，DE=DC∠BDE=∠ADC，BD=AD∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC；（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△BFE与△CFM中，BF=CF∠BFE=∠CFM，EF=FM∴△BFE≌△CFM（SAS），∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BCM+∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°，∴AC⊥MC，∴AC⊥MC且AC＝MC．【题型5 全等三角形的判定与性质（多结论）】【例5】（2022春•九龙坡区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF ∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（）个．①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE．A．2B．3C．4D．5【分析】由“SAS”可证△ABD≌△AEF，利用全等三角形的性质依次判断可求解．【解答】解：∵AD⊥BC，AF∥BC，∴AF⊥AD，∴∠FAD＝90°＝∠BAC，∴∠FAE＝∠BAD，故①正确；在△ABD和△AEF中，AB=AE∠BAD=∠EAF，AD=AF∴△ABD≌△AEF（SAS），∴BD＝EF，∠ADB＝∠AFE＝90°，故②正确；∵AF＝AD，∠DAF＝90°，∴∠AFD＝45°＝∠EFD，∴FD平分∠AFE，故③正确；∵△ABD≌△AEF，∴S△ABD ＝S△AEF，∴S四边形ABDE ＝S四边形ADEF，故④正确；如图，过点E作EN⊥EF，交DF于N，∴∠FEN＝90°，∴∠EFN＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN＝BD，∠END＝∠BDF＝135°，在△BGD和△EGN中，∠BDG=∠ENG∠BGD=∠EGNBD=NE，∴△BDG≌△ENG（AAS），∴BG＝GE，故⑤正确，故选：D．【变式5-1】（2021秋•垦利区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM ⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】证明△ACP≌△MCP，根据全等三角形的性质得到AP＝MP，判断①；根据全等三角形的性质得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④．【解答】解：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠NCP，在△ACP和△MCP中，∠ACP=∠MCPCP=CP，∠CPA=∠CPM=90°∴△ACP≌△MCP（ASA），∴AP＝MP，①结论正确；∵△ACP≌△MCP，∴CM＝AC＝5，同理可得：BN＝AB＝6，∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC＝110°，∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④结论错误；故选：C．【变式5-2】（2021春•锦州期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB ＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAM＝∠OBM，AC＝BD，①②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝α，③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，则∠OGA＝∠OHB＝90°，即可判定△OAG≌△OBH，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得∠AMO＝∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM＝∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝α，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，即∠OAM＝∠OBM，故①②正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∵∠OAC＝∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝α，故③正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OAG和△OBH中，∠OGA=∠OHB∠OAC=∠OBD，OA=OB∴△OAG≌△OBH（AAS），∴OG＝OH，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO 平分∠AMD ，∴∠AMO ＝∠DMO ，假设OM 平分∠BOC ，则∠BOM ＝∠COM ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴∠AOB +∠BOM ＝∠COD +∠COM ，即∠AOM ＝∠DOM ，在△AMO 与△DMO 中，∠AOM =∠DOM OM =OM ∠AMO =∠DMO，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴OA ＝OD ，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故④错误；正确的个数有3个；故选：B ．【变式5-3】（2021春•江北区校级期末）如图，已知AB ＝AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上且AE ＝AD ，连接EC ，BD ，EC 交BD 于点M ，连接AM ，过点A 分别作AF ⊥CE ，AG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，下列结论：①△EBM ≌△DCM ；②∠EMB ＝∠FAG ；③MA 平分∠EMD ；④若点E 是AB 的中点，则BM +AC ＞EM +BD ；⑤如果S △BEM ＝S △ADM ，则E 是AB 的中点；其中正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①先证明△ABD ≌△ACE 得出∠B ＝∠C ，即可证明△EBM ≌△DCM ，即可判断①；②根据垂直的定义和四边形的内角和可得结论，即可判断②；③证明△AEM ≌△ADM ，得∠AME ＝∠AMD ，即可判断③；④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，证明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根据三角形三边关系可判断④；⑤根据面积相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底边AD＝CD，从而判断⑤．【解答】解：①在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，AE＝AD，∴AB﹣AE＝AC﹣AD，即BE＝CD，在△EBM和△DCM中，∠EMB=∠DMC∠B=∠C，EB=CD∴△EBM≌△DCM（AAS），故①正确；②∵AF⊥CE，AG⊥BD，∴∠AFM＝∠AGM＝90°，∴∠FAG+∠FMG＝180°，∵∠FMG+∠EMB＝180°，∴∠EMB＝∠FAG，故②正确；③由①知：△EBM≌△DCM，∴EM＝DM，在△AEM和△ADM中，AE=ADAM=AM，EM=DM∴△AEM≌△ADM（SSS），∴∠AME＝∠AMD，∴MA 平分∠EMD ；故③正确；④如图，延长CE 至N ，使EN ＝EM ，连接AN ，BN ，∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ，在△AEN 和△BEM 中，AE =BE ∠AEN =∠BEM EN =EM，∴△AEN ≌△BEM （SAS ），∴AN ＝BM ，由①知：△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，△ACN 中，AC +AN ＞CN ，∴BM +AC ＞BD +EM ，故④正确；⑤∵S △BEM ＝S △ADM ，S △EBM ＝S △DCM ，∴S △ADM ＝S △CDM ，∴AD ＝CD =12AC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴AE =12AB ，∴E 是AB 的中点；故⑤正确；本题正确的有5个；故选：D ．【题型6 全等三角形的判定与性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022春•杏花岭区校级期中）已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图1，当点D 在BC 上时，求证：BD ＝CE ；（2）如图2，当点D 、E 、C 在同一直线上，且∠BAC ＝α，∠BAE ＝β时，求∠DBC 的度数（用含α和β的式子表示）．【分析】（1）证出△ABD≌△ACE即可；（2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠ABC＝∠ACB=180°α2=90°―12α＝∠ADE＝∠AED，由（1）得△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+12α，∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB＝360°﹣（90°―12α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+12α）＝180°﹣2α+β．【变式6-1】（2022•南京模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝　90　度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题；【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；故答案为90．（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，∴α+β＝180°；（3）作出图形，∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，∴α＝β．【变式6-2】（2022秋•江夏区期末）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝；（2）如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝　；（3）如图3，若∠DAB＝α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明．【分析】（1）连接AG ．易证△ADC ≌△ABE ，可得DC ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，AD ＝AB ，根据G 、F 分别是DC 与BE 的中点，可得DG ＝BF ，即可证明△ADG ≌△ABF ，可得AG ＝AF ，∠DAG ＝∠BAF ，即可求得∠DAB ＝∠GAF ，即可解题．（2）根据（1）中结论即可求得∠AFG 的值，即可解题；（3）根据（1）中结论即可求得∠AFG 的值，即可解题．【解答】解：（1）连接AG ．∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴DC ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ．AD ＝AB ．∵G 、F 分别是DC 与BE 的中点，∴DG =12DC ，BF =12BE ，∴DG ＝BF ．在△ADG 和△ABF 中，AD =AB ∠ADC =∠ABE DG =BF，∴△ADG ≌△ABF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠DAG ＝∠BAF ，∴∠AGF ＝∠AFG ，∠DAG ﹣∠BAG ＝∠BAF ﹣∠BAG ，∴∠DAB ＝∠GAF ．∵∠DAB ＝60°，∴∠GAF ＝60°．∵∠GAF +∠AFG +∠AGF ＝180°，∴∠AFG ＝60°；（2）∵∠DAB ＝90°，∠DAB ＝∠GAF ，（已证）∴∠GAF ＝90°，∵AG ＝AF ，∴∠AFG=12（180°﹣90°）＝45°；（3）∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已证）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG=12（180°﹣α）；故答案为60°，45°，12（180°﹣α）．【变式6-3】（2021秋•肥西县期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，连接AD，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，推出∠DAE+∠DCE＝180°，即α+β＝180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD＝∠ACE，推出∠BAC＝∠DCE，即α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α＝β．【解答】解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠B =12（180°﹣26°）＝77°，BD ＝CE ，∴BC +DC ＝CE ，∵∠ACD ＝∠B +∠BAC ＝∠ACE +∠DCE ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝26°，∴∠DCE ＝26°，故答案为：26°；（2）①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠B +∠BAC ＝∠ACE +∠DCE ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝α，∠DCE ＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D 在线段BC 上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ADB ＝∠AEC ，∠ABC ＝∠ACE ，∵∠ADC +∠ADB ＝180°，∴∠ADC +∠AEC ＝180°，∴∠DAE +∠DCE ＝180°，∵∠BAC ＝∠DAE ＝α，∠DCE ＝β，∴α+β＝180°；（Ⅱ）当点D 在线段BC 反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∵∠ACE ＝∠ACD +∠DCE ，∠ABD ＝∠ACD +∠BAC ，∴∠ACD +∠DCE ＝∠ACD +∠BAC ，∴∠BAC ＝∠DCE ，∵∠BAC ＝α，∠DCE ＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D 在BC 上移动时，α＝β或α+β＝180°．【题型7 全等三角形的判定与性质（探究线段之间的关系）】【例7】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【变式7-1】（2022•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG，AF=AF∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA，AG=AD∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【变式7-2】（2021秋•两江新区期末）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【变式7-3】（2022春•济南期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN ≌△EDN，推出MN＝NE即可．【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中AM=BE∠A=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中AM=BE∠DAM=∠DBE，AD=BD∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中DM=DE∠MDN=∠NDE，DN=DN∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【题型8 全等三角形的应用】【例8】（2022春•二七区期末）为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长；方案②如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．问：（1）方案①是否可行？请说明理由；（2）方案②是否可行？请说明理由；（3）小明说在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要　AB∥DE　就可以了，请把小明所说的条件补上．【分析】（1）根据SAS证明△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据ASA证明△ABC≌△EDC，进一步即可得证；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明△ABC≌△EDC（ASA）即可得证．【解答】解：（1）方案①可行，理由如下：在△DCE和△ACB中，DC=AC∠DCE=∠ACB，EC=BC∴△DCE≌△ACB（SAS），∴DE＝AB，∴方案①可行；（2）方案②可行，理由如下：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDCBC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，故方案②可行；（3）只需要AB∥DE，此时∠ABC＝∠EDC，证明步骤同（2），故答案为：AB∥DE．【变式8-1】（2021春•普宁市期末）学校为开展数学实践活动，成立了以小明为首的户外测量小组，测量小组带有测量工具：绳子、拉尺、小红旗、测角器（可测量两个点分别到测量者连线之间的夹角大小）．小明小组的任务是测量某池塘不能直接到达的两个端点A、B之间的距离．（1）小明小组提出了测量方案：在池塘南面的空地上（如图），取一个可直接到达A、B的点C，用绳子连接AC和BC，并利用绳子分别延长AC至D、BC至E，使用拉尺丈量CD＝CA、CE＝CB，确定D、E 两个点后，最后用拉尺直接量出线段DE的长，则端点A、B之间的距离就是DE的长．你认为小明小组测量方案正确吗？请说明理由．（2）你还有不同于小明小组的其他测量方法吗？请写出其中一个完整的测量方案（在备用图1中画出简图，但不必说明理由）．（3）假设池塘南面（即点D、E附近区域）没有足够空地（或空地有障碍物或不可直达等不可测量情况），而点B的右侧区域有足够空地并可用于测量，请你设计一个可行的测量方案（在备用图2中画出图形），并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△ABC≌△DEC即可；（2）先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离；（3）过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离．理由根据ASA证明△ABD≌△CBD即可．【解答】解：（1）小明小组测量方案正确，理由如下：连接AB，如图所示：在△ABC和△DEC中，CD=CA∠ACB=∠DCE，CE=CB∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB．（2）有其他方案，测量方案如下：先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离，如图所示：（3）测量方案：过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA．这时只要测出BC的长即为A，B的距离，如图所示：理由如下：∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠CBD＝90°，在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBDBD=BD，∠BDC=∠BDA∴△ABD≌△CBD（ASA），∴BC＝AB．【变式8-2】（2022春•金乡县期中）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高．【分析】过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，求得FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则四边形BEFG是矩形，∴FG＝BE＝20米，BG＝EF＝1米，∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，在△AFG与△ECD中，∠AGF=∠EDC=90°FG=CD，∠2=∠3∴△AFG≌△ECD（ASA），∴AG＝DE＝BD﹣BE＝38（米），∴AB＝AG+BG＝38+1＝39（米），答：单元楼AB的高为39米．【变式8-3】（2022春•郑州期末）阅读并完成相应的任务．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．课题测凉亭与游艇之间的距离测量工具皮尺等测量方案示意图（不完整）测量步骤①小明沿堤岸走到电线杆C旁（直线AC与堤岸平行）；②再往前走相同的距离，到达D点；③他到达D点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处．测量数据AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是米．②请你说明小明方案正确的理由．【分析】（1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即△ABC≌△DEC，将图形补充完整即可；（2）任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝8米，得出答案为8；②由题意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝8米，说明小明的方案是正确的．【解答】解：（1）任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示．（2）任务二：①由△ABC≌△DEC得AB＝DE＝8（米），故答案为：8．②理由：如图，由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°，∴AC＝DC，∠A＝∠D，在△ABC和△DEC中，∠A=∠DAC=DC，∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE＝8米，∴小明的方案是正确的．。

11.2三角形全等的判定(HL)练习题及答案

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

11.2三角形全等的判定(HL)练习题及答案

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

九年级数学直角三角形的全等判定1

初中数学九年级下册（苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合．
2．你从中得到了什么结论？你能证明这个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“H L”）
已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌△AˊBˊCˊ
A
A'
A(A')
C
B C'
B&#顾
判定两个直角三角形全等的判定定理有哪些？
；代妈代妈
；
教授的追踪调查结果显示：爱坐前排的学生中，成功的比例高出其他两类学生很多。最后，教授语重心长地说道：“不是说凡事一定要站在最前面，永远第一，而是说这种积极向上的心态十分重要。在漫长的一生中，你们一定要勇争第一，积极坐在前排呀！” 请以“坐在生活的前排”为话题写一篇作文。自定立意，自拟题目，自选文体，不少于800字。 [写作提示]“坐在生活的前排”，这是一种积极进取的生活态度，一种积极向上、不甘落后的心态。它是“敢为天下先”，它要求自己尽己所能，去争取尽可能好的成绩，去争取成功，但并不奢望自己一定成功。尽了力就没有遗憾，更不会后悔。因此，写这篇作文时，首先要准确地理解材料，把握它的内涵，选取符合话题要求的材料，安排好文章的结构，表现自己确定的主题。作文题二十三阅读下面的材料，根据要求作文。半个多世纪前，我国著名教育家陶行知先生非常推崇并常用来教育学生的一句名言是：“假使你有两块面包，你得用一块去换一朵水仙花。”这句话是伊斯兰教的创始人穆罕默德说的。这句名言的含义相信你一定很清楚。这里的“水仙花”是一种隐喻，它所指的是“心灵和精神追求”。这使我想起抗“非典”英雄、两院院士钟南山的一句话：人不只生活在现实中，还生活在理想中。你心中有自己的“水仙花”吗？当你的心底泛起一片水仙花的葱绿与鹅黄时，你会有一种特别愉快、特别舒畅的感觉吗？请以“换一朵水仙花”为话题，写一篇作文。要求自定立意，自选文体，自拟题目，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]21世纪科学技术将会以更快的速度发展，但如果在科学技术不断发展的同时，道德却在进一步堕落，审美情趣进一步低下，那将是人类的灾难。这个话题呼唤精神文明，呼唤人文精神的回归，呼唤人性的光辉。你可以敞开写换“水仙花”的故事，那个故事一定美丽；你也可以就精神文明建设发表你的见解，那见解也一定很独特、很有价值。把你的心里话、心中美丽的故事写出来吧！作文题二十四阅读下面的材料，根据要求作文。在过去的20年中，韩国女子射箭队获得了几乎所有女子单项的世界冠军。她们为什么能取得如此骄人的战绩？锻造“钢铁般的意志”是她们制胜的法宝。据悉，韩国射箭队进行了可以被称之为“残暴”的赛前训练，其中包括蹦极、10米台跳水、在严冬的深夜进行24千米远足，甚至清扫城市的下水道、检查尸体和背负小舢板登山。主教练认为这样的训练必要，而且作用显著。请以 “磨炼意志与取得成绩”为话题，自定立意，自选文体，自拟标题，写一篇不少于800字的文章。所写内容必须在话题范围之内。 [写作提示]“磨炼意志与取得成绩”是一个关系型话题。审题时要认真分析前后两个部分存有一种什么样的关系。该话题构成了一个必然的、内在的因果关系，“磨炼意志”是“取得成绩”的前提条件，是关键因素。任何成绩的取得都不是轻而易举、随随便便的。材料中韩国女子射箭队取得的单项世界冠军的骄人成绩是与她们赛前“残暴”训练磨炼出的“钢铁般的意志”分不开的。写作时要注重打开思路，可写成记叙文，通过几件事的记叙负载“磨炼意志与取得成绩”的关系；也可写成议，按照议文体的特质，通过讲道理、援举古今中外成功的事例、正反对比等方法明中心；也可写成散文，紧紧围绕话题，按照一定的结构模式进行选材、组织材料。作文题二十五阅读下面的材料，根据要求作文。《古兰经》上有这样一个故事：人们听说有位大师几十年来练就一身移山大法。一天，有人找到这位大师，求他当面表演一下。大师在一座山的对面坐了一会儿，就起身跑到山的另一面，然后说表演完毕。众人大惑不解，大师微微一笑说：“事实上，这世上根本就没有什么移山大法，唯一能够移动山的方法是：山不过来，我就过去。” 世界上很多人在处理很多事情的时候，往往如此。不同的人在处理相同的事情，用不同的方法去解决，其结果大不相同…… 请以“事情的难易与方法的变通”为话题，写一篇不少于800字的作文。所写的内容应在话题范围之内，试题所引材料可用可不用。立意自定，题目自拟，文体自选，要有真情实感，不得抄袭，不少于800字。 [写作提示]生活中，我们会遇到各种困难或者挫折，让我们不知所措。我们在头撞南墙的时候，不妨换个角度看看，也许你会从另一面看到成功或教训。我们不能决定风的方向，但我们能改变帆的方向；我们不能选择命运的长度，却可以增加命运的宽度。写“事情的难易与方法的变通”这个话题时，应当注意，事情的“难”与“易”只是一个相对概念，它是相对于做事的方法而言的。方向对、方法巧妙，则事情容易；反之，则事情难。因此，关注的重心应当是“方法的变通”，不要只是抓住事情本身的难易展开。可以小到学习、生活，大到社会、国家，从正反多个角度立意，如：方法对，事情易；方法错，事情难；做事应当灵活；切不可墨守成规；应尊重规律。不一而足。作文题二十六 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。周国平曾经这样说过：狂妄的人自称命运的主人，谦卑的人甘为命运的奴隶。除此之外还有一种人，他追逐命运，但不强求；接受命运，但不胆怯。走运时，他会揶揄自己的好运；倒运时，他又会调侃自己的厄运。他不低估命运的力量，也不高估命运的价值。他只是做命运的朋友罢了。请以“只做命运的朋友”为话题写一篇文章。题目自拟，文体自选，立意自定，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]周国平的这段话极富生活哲理。有人说命运对每个人都是公平的，给了你满目的春色，你就不会再拥有冬日的沉静、素洁；关上你的一扇门，它又给你打开了一扇窗。也有人说命运掌握在自己的手中。究竟怎样对待生命？最好是做命运的朋友，尊重命运。尊重命运是不轻率，尊重命运是不迷信。慎重生活，努力工作，把握自我。这是一动宾式的话题，写作时应当从分析“朋友”的深刻内涵入手，从以下几个方面立意：①对待朋友（命运）应当知足。命运给我们颜色，我们正好开个染坊；命运给我们风雨，别泄气，它也给予了人间最绚丽的彩虹。②对待朋友（命运）应当豁达。宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫随天外云卷云舒。命运可能是缤纷的花朵，也可能是零落的残红。落红不是无情物，我们明年再看花得了，或者干脆抬头看蓬勃的绿叶。作文题二十七 ? 阅读下面的材料，根据要求作文。 1830年，法国作家雨果同出版商签订合同，半年内交出一部作品。于是，雨果把外出的所有衣服锁进柜子里，把钥匙扔进了湖里，彻底断了外出会友和游玩的念头，一心写作，文学巨著《巴黎圣母院》就是这样写成的。是的，在漫漫人生路上，往往只有不留下退路，才更容易赢得出路。当我们难以驾驭自己的惰性和欲望，不能专心致志地前行时，不妨也采取一些斩断退路之举，逼着自己全力以赴地寻找出路，走向成功。请以“不留退路，才有出路”为话题写一篇作文，所写内容必须与“退路和出路”有关，文体不限，文题自拟，不得少于800字，不得抄袭。 [写作提示]这个话题富于哲理性。一个人在生活中，如果事事留有退路，说白了就是败有退路。也就意味着这个人在事情还未开始的时候，就已经准备要承受失败了，那么他成功的概率肯定小，因为，留有退路的时候，就潜藏着懈怠、自我安慰。发展到最后，可能导致自我麻痹、自我毁灭。到了这一步，“留有退路”的利处，却成了导致失败的“坏处”。而“不留退路，才有出路”则是强调了做事尽量求得事事成功，这样做是负重前进，给自己加压，挤掉“懈怠”“自我毁灭”等不利因素。常言道：有压力才有动力。如项羽的“破釜沉舟”即为“不留退路，才有出路”的典范。论述时一定要体现出辩的思想。作文题二十八 ?阅读下面的材料，根据要求作文。因为小儿麻痹症，随着年龄的增长，她的忧郁和自卑感越来越重，甚至拒绝所有人。但也有个例外，邻居家那个在一场战争中失去一条胳膊的老人却成为她的好伙伴。啊？”老人对她笑了笑，解开衬衣扣子，露出胸膛，用手掌拍起了胸膛…… 晚上，她让父亲写了一个字条贴到墙上：一只巴掌也能拍响。从那以后，她开始配合医生做运动。甚至在父母不在时，她自己扔开拐杖试着走路。她日复一日地坚持着，她相信自己能够像其他孩子一样行走，奔跑…… 11岁时，她终于扔掉了拐杖。1960年罗马奥运会女子100米跑决赛，当她以惊人的速度第一个撞线后，掌声雷动，人们都站起来为她喝彩，齐声欢呼着这个美国黑人的名字：威尔玛·鲁道夫。她成了当时世界上跑得最快的女人。从这则故事中你得到了什么启发？请以 “希望”为话题写一篇文章。所有内容必须在话题的范围之内。试题引用的材料在文章中可用也可不用。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]这则故事告诉我们：任何时候都不要放弃希望，哪怕只剩下一只胳膊；任何时候都不要放弃梦想，哪怕残疾得不能行走。人是靠希望而活着的，一个人一旦对前途失去了希望，那么他的生命转瞬之间便黯然失色。当然，这则故事中威尔玛·鲁道夫的成功不仅仅是因为拥有行走的希望，还有顽强的毅力。但是同学们在审题的时候一定要分清主次，关注话题，不能旁逸斜出。本文宜紧扣住“希望”生发，或记叙，或议论，或散文。 ? 作文题二十九阅读下面的材料，根据要求作文。庄子送葬，过惠子①之墓，顾谓从者曰：“郢人垩慢②其鼻端，若蝇翼，使匠石斫之。匠石运斤成风，听而斫之，尽垩，而鼻不伤。郢人立不失容。宋元君闻之，召匠石曰：”尝试为寡人为之。‘匠石曰：“臣则尝能斫之，虽然，臣之质死久矣。’自夫子之死也，吾无以为质矣！吾无言之矣！” ①惠子：战国时宋国人，庄子的好友，也是哲学上的对手。②垩慢：垩，白色的土；慢，涂抹。阅读上面的寓言故事，想一想：为什么“臣之质”死了以后，“匠石”就不能表演

数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)

初中数学九年级下册（苏科版）
1.2直角三角形的全等判定2
问题一
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？
2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？
证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
求证：PD=PE
A
D C
P
O
EB
问题二
1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。
2、你能证明该命题的正确性吗？
股一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动直挺滑润、略微有些上翘的鼻子，像鹅黄色的银脚荒原鸽般的一扭，咒语的永远不知疲倦和危险的脸突然伸长了九倍，潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服也立刻膨胀了二十倍！接着淡红色的古树般的嘴唇连续膨胀疯耍起来……清秀俊朗的黑色神童眉透出纯黄色的阵阵幽雾……带着灿烂微笑的的脸闪出亮灰色的点点神音。紧接着像暗绿色的三肚海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂跳的特技神功，身上瞬间生出了二十只活像马桶般的乳白色眉毛……最后颤起灵快如风、有着无限活力的神脚一叫，威猛地从里面窜出一道奇光，他抓住奇光壮观地一扭，一组红晶晶、森幽幽的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这玩意儿，一边闪烁，一边发出“吱吱”的疑响！！骤然间蘑菇王子高速地让自己飘洒如风的亮黑色头发闪烁出暗黄色的盾牌声，只见他充满活力、青春四射的幼狮肩膀中，猛然抖出九团摇舞着∈万变飞影森林掌←的手臂状的钉子，随着蘑菇王子的抖动，手臂状的钉子像雄狮一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧接着蘑菇王子又连续使出五十五式晶豹榔头嚎，只见他十分漂亮的葱绿色领结中，快速窜出八组转舞着∈万变飞影森林掌←的竹帘状的怪毛，随着蘑菇王子的转动，竹帘状的怪毛像火鱼一样，朝着女族长Ｗ．娅娜小姐花哨的脸直掏过去。紧跟着蘑菇王子也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝女族长Ｗ．娅娜小姐直掏过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡绿色的闪光，地面变成了墨蓝色、景物变成了紫葡萄色、天空变成了深黑色、四周发出了痴呆的巨响。蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看女族长Ｗ．娅娜小姐精悍的手掌，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，女族长Ｗ．娅娜小姐狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将精悍的手掌复原，但元气和体力已经大伤同学蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再出来混吧……”女族长Ｗ．娅娜小姐： “这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的科目实在太垃圾了！”女族长Ｗ．娅娜小姐：“等你体验一下我的『绿冰螺祖画册肘』就知道谁是真拉极了……”女族长Ｗ．娅娜小姐猛然像珊瑚红色的七筋遗址狐一样猛叫了一声，突然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了三十只很像柿子一样的深紫色脑袋。接着搞了个，醉狐麻袋翻两千五百二十度外加鸟喝路灯旋十五周半的招数，接着又演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊

九上1.2直角三角形全等的判定 2

A DCPB EOA DPBEO1.2直角三角形全等的判定第2课时班级姓名学号九年级数学备课组【学习目标】运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质和判定。

【重点、难点】1、角平分线的性质和判定。

2、角平分线的性质和判定的证明和运用。

【预习指导】我们已经学习过有关直角三角形全等的判定方法，请你写出这些定理。

直角三角形全等的判定定理：【典例分析】1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上P D ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，求证：PD=PE2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知，如图，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上。

（1、学生分析证明思路 2、学生自己完成证明过程）小结：证明一条线是某一个角的平分线的常用方法：（1）证明这条线把某一个角分成的两个角相等（全等）（2）利用角平分线的逆定理。

归纳：两个定理引导学生进一步认识图形的位置关系与数量关系的内在联系：知道角平分线，想到过该线上某一点向角的两边引垂线；知道某点到角的两边距离相等，想到角平分线逆定理。

OEDA【思考与交流】1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。

” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法）2、如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点O ，点O 到△ABC 各边的距离相等吗？点O 在∠C 的平分线上吗？定理：三角形的3条角平分线交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。

【典题选讲】例1、在平面内找一个点到三角形三边距离相等，这样的点有几个，并做出来。

变式：如图，直线PQ 、MN 、GH 表示3条公路，它们分别交于A 、B 、C 点。

现要建一个货物中转站，使该站到3条公路的距离都相等。