函数符号

函数，对于任意的[],x a b ∈，1

()

n n f x ∞

=∑

收敛于().S x 求证()S x 在[],a b 上a.e. 可导

且''

1

()

()..n n S x f x a e ∞

==

∑

于[],a b .

证明 显然()S x 是[],a b 上单调增的有限是函数。由本节的勒贝格定理，

()

S x 和每个()n f x 都在[],a b 上

a.e.可导且导数a.e. 非负.再由逐项积分定理（第

五章

§3定理5）得，

[

]

[

]

'

,,1

1

(()()

n n a b a b n n f x d x f x ∞

∞

===

∑∑⎰⎰‘

1

(()())()()+n

n n d x f

b f a S b S a ∞

=≤

-=-<∞∑.所以1

n ∞

=∑

'

()

n f x 在E 上a.e.收敛.

令()n S x =1

()

n

k k f x =∑

，则对于任意的自然数 n ，()n S x 作为x 的函数在[],a b 上单

调增，对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时()()

n S x S x →

且对于a.e.的x ∈[],a b ，

'

()n S x 关于单调增且n →∞

时'

()n S x →1

n ∞

=∑

'

()n f x .

令1

()(()())

n k k k n g x f x f a ∞

=+=-∑

，则对于任意的自然数n,()n g x 作为x 的函数在[]

,a b 上非负单调增，且对于任意的x ∈[],a b ，当n →∞时，()n g x →0.这样存在严格单调增的自然数列{}1j j n ∞

=，使得x ∈[],a b 时10

()().2

j

j

n n j

g x g b ≤≤≤

于是1

()

j n j g x ∞

=∑在[],a b 上一致收敛，因而处处收敛由上面所证，'1

()j

n j g

x ∞

=∑

在[],a b 上a.e.收敛.所

以J →∞时'()j

n

g x →

0a.e.于[],a b .而

()

S x =1()()j

j

j

n

n k

k n S x g x f a ∞

=+++

∑

（）. 故'

()

S

x ='()

j

n S

x +'()

j

n g

x a.e.于[],a b .所以'

()

S

x =lim

j →∞

'

()j

n S x =

'

1

()

n n f x ∞

=∑

a.e.于

[],a b .