专题2.8 指数式与对数式(讲)-2017年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(解析版)

2017年高考数学讲练测（江苏版）（讲）
第二章函数
第八节指数式与对数式
【最新考纲解读】
义，
【考点深度剖析】
与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函
数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．
【课前检测训练】
[判一判]
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( )
解析错误.函数的零点是一个实数而不是点.
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
解析错误.如函数f(x)＝x2，在[－1,1]内有零点，但是f(1)·f(－1)＝1>0.
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
解析错误.只有零点左右两侧函数值的符号相反时，才能用二分法求解.
(5)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在
唯一的零点.( )
解析错误.存在零点，但不一定是唯一的.
[练一练]
1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
则函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________
解析 依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f (4)·f(5)<0，故函数y ＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个 答案 3
2．若函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx 2
－ax 的零点是( ) 解析 ∵2a ＋b ＝0，∴g(x)＝－2ax 2
－ax ＝－ax(2x ＋1).∴零点为0和－12.
答案 0，－1
2
3．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax ＋x －b 的零点所在的区间是( )
答案 (－1,0)
4．函数f(x)＝2sin xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2的零点个数为________.
解析 f(x)＝2sin xsin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x2＝2sin xcos x －x2＝sin 2x －x2. 如图所示，在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin 2x 与y ＝x2的图像，
当x≥0时，两图像有2个交点， 当x<0时，两图像无交点，
综上，两图像有2个交点，即函数的零点个数为2. 答案 2
5．用二分法求函数y ＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精度ε＝
0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋4
2＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x0∈
________.(填区间)
解析 由f(2)·f(3)<0可知. 学科网 答案 (2,3) 【经典例题精析】
考点1 根式与指数幂的运算 【1-1】给出下列命题:
①
n 都等于a (n ∈N *);②222a
b
ab
⋅=；③函数32x y =⋅与12x y +=都不是指
数函数；④若m n
a a <（01a a >≠且），则m n <．其中正确的是 . 【答案】③
【解析】①错误,当n 为偶数,0a <时不成立,②错误, 222
2a
b
a b
ab +⋅=≠,③正确,两个函
数均不符合指数函数的定义,④错误,当1a >时,m n <,而当01a <<时,m n >.
【1-2】
化简：16
0.2502164()8( 2.015)49
----
【答案】98 【解析】原式＝1111
663233
2
4
472
3
422123721984
⨯⨯⨯⋅-⨯-⋅-=⋅---=．
【1-3】33112
222
112
2
m m m m
4.m m
---
-+=-，求
【答案】15．
【基础知识】
1
．(*)((0)((0)n a n N a n a a a n a a ⎧=∈⎪
⎧⎪=≥⎧⎨
=⎨⎪⎪
-<⎩⎩⎩
为奇数）为偶数）
2. 有理数指数幂的运算性质: ①r
s
r s
a a a
+=(0,,)a r s Q >∈;
②()r s rs a a =(0,,)a r s Q >∈; ③()r r r ab a b =(0,0,)a b r Q >>∈. 【思想方法】 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 【温馨提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点2 对数式与对数式的运算
【2-1】若4log 3x =，则2
(22)x
x --= . 【答案】
43
. 【解析】由4log 3x =，得43x
=，
即2x
=
2
x
-=
所以2
(22)x x --
=243
=． 【2-2】设2a ＝5b
＝m ，且1a ＋1b
＝2，则m ＝
【2-3】已知log 147＝a ，14b
＝5，则log 3528等于________．(用a ，b 表示) 【答案】
2a
a b
-+． 【解析】因为14b
＝5，所以b ＝log 145，所以a ＋b ＝log 147＋log 145＝log 1435，1－a ＝1－log 147
＝log 142.由换底公式得，log 3528＝log 1428log 1435＝1＋log 142log 1435＝2－a
a ＋
b ．
【基础知识】
1.①log a 1＝0；②log a a ＝1；③log a N
a
N =；④log N a a N =.
2. ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a M N
＝log a M －log a N ， ③log a M n
＝n log a M (n ∈R ) 【思想方法】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化． 2．熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【温馨提醒】要时刻谨记对数本身的式子有意义，否则容易导致多解． 【易错问题大揭秘】
利用指数函数的性质求参数问题，一般是利用指数函数的单调性求最值，特别是指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分1a >和01a <<两种情况讨论．
如：若函数()x
f x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数
()(
14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则a = ．
【分析】函数()(14g x m =-[)0,+∞上是增函数，则140m ->，即1
4
m <．当1a >时，函数()f x 在[]1,2-上单调递增，最小值为
1
m a
=，最大值为24a =，解得2a =，12m =
，与14
m <矛盾；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2-上单调递减，最小值为2a m =，最大值为1
4a -=，解得14a =
，116m =．所以1
4
a =． 【易错点】本题容易忽视了对参数a 的讨论，以为1a >而致误．
【练一练】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)。