概率全章复习
高中数学人教版必修三第3章 概率全章复习 课件(共17张PPT)
例题精讲之概率的性质 8.如图，在等腰直角△ABC中， （1）过直角顶点C在∠ACB内部随机地 作一条射线CM，与线段AB交于点M， 求AM<AC的概率； （2）若是直接在线段AB上随机找一点 C M，求AM<AC的概率。
答案：
2 （1）3/4；(2) 2
A
M
B
例题精讲之概率的性质
9、在圆x2+y2-2x-2y+1=0内随机投点， 求点与圆心距离小于1/3的概率。 解:圆化为标准形式为:(x-1)2+(y-1)2=1, 这是以点C(1，1)为圆心,半径为1的圆 设“点P与圆心的距离小于1/3”为事件A, 则A成立的对应的区域是以C为圆心，半 径为1/3的圆。 所以P(A)=1/9。
例题精讲之概率的性质 2．有一人在打靶中，连续射击2次， 事件“至少有1次中靶”的对立事 件是（ ） C A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
例题精讲之概率的性质
3、袋内分别有红、白、黑球各3、2、 1个，从中任取2个，则互斥而不对 D ）。 立的两个事件是（ A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.至少有一个白球；一个白球一个黑 球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个
必修3第3章 概率全章复习
一、基础知识归纳 设Ω有n个基本事件，随机事件A包含m 个基本事件，则事件A的概率P(A)=m/n. 对任何事件A：0≤P(A)≤1.
1、古典概率定义
事件A包含的基本事件数 P(A)= 基本事件总数 当且仅当所描述的基本事件的出 现是等可能性时才成立
2、简单概率事件关系
12.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的 概率是 ________
概率论与数理统计各章重点知识整理
概率论与数理统计各章重点知识整理 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121Y ΛY Y…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i iX X n S 12211 样本标准差S 样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P Y 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2)时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体 相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w (3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P Y的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列【重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
^这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）. （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ）()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论复习知识点总结
C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立 的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差 分布 0-1分布 二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0
(a b) 2
(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]
xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk
g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω
高中数学概率论复习(全)PPT
F() lim F(x) 0 x
F() lim F(x) 1 x
（3）右连续性：F(x) 是右连续的函数，即对任
意实数 x ，有 F(x 0) F(x) ． （4）对任意实数 x1, x2 (x1 x2 ) ，有 P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1}
F (x2 ) F (x1)
【注】满足单调性、有界性和右连续性这三个性质的 函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的概率分布满足以下两个基本性质：
（1）非负性： pi 0 ， i 1, 2, ；
（2）规范性： pi 1 ． i 1
【注】满足非负性和规范性的数组 pi (i 1, 2, ) ，一 定是某个离散型随机变量的概率分布．
pij
( xi , y j )G
(4)
P{X xi} pij , i 1, 2, j 1
P{Y y j} pij , j 1, 2, i 1
二维连续型随机变量
（1）非负性 p(x, y) 0 ；
（2）规范性 p(x, y)dxdy F (, ) 1.
【注】若二元函数 p(x, y) 具有非负性和规范性，则 p(x, y) 一定是某个二维连续型随机变量的联合概率 密度函数．
定理 设随机变量 X 具有数学期望
E( X ) μ,方差 D( X ) σ 2,则对于任
（3）右连续性 F( x, y ) 分别对 x ， y 右连续，即
F(x 0, y) lim F(x , y) F(x, y) 0
F(x, y 0) lim F(x, y ) F(x, y) 0
（4）非负性 对于任意的实数 x1 x2 ， y1 y2 ，有
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
非常全面的概率论与数理统计复习材料
为 21 的倍数的概率 p2;
解：p1=错误!=错误!, p2= 错误!= 错误!
前提是如果在某一区域任取一 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率;
点,而所取的点落在中任意两 解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S={x,y|0xa,0ya,0a-x-ya};
A、A=
B、AB= C、A错误!=
D、B=错误!
运 A1,A2,…,An 构成的一个完备事件组或分斥指 A1,A2,…,An 两两互不相容,且错误!Ai=
算
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运
结合律 A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C 算
分配律 A∪B∩C=AC∪BC A∩B∪C=A∪C∩B∪C 法
题 例 3 某物品成箱出售,每箱 20 件,假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为和,一顾客在购买时,他可以开箱,从箱中任取
三件检查,当这三件都是合格品时,顾客才买下该箱物品,否则退货;试求：1 顾客买下该箱的概率 ；
2 顾客买下该箱物品,问该箱确无次品的概率 ;
解:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品,事件 B—买下该箱;由已知 PA0=, PA1=,
必然事件---每次试验中必定发生的事件; 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件;
事 包含 AB 件 相等 A=B 之 对立事件,也称 A 的逆事件 间 互斥事件 AB=也称不相容事件 的 A,B 相互独立 PAB=PAPB 关
例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于 D A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、A∪B＝Ω D、A,B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 PA=0,B 为任一事件,则 C A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率统计公式大全(复习重点)
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
高中数学必修3第三章概率全章复习
⾼中数学必修3第三章概率全章复习概率全章复习⼀、基础知识梳理（⼀）随机事件的概率随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，⼀定会发⽣的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，⼀定不会发⽣的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发⽣也可能不发⽣的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某⼀事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的⽐例nn A f An)(为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发⽣的频率)(A f n 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发⽣的次数A n 与试验总次数n 的⽐值nn A，它具有⼀定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越⼩。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发⽣的可能性的⼤⼩。
频率在⼤量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率概率的基本性质 1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对⽴事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满⾜加法公式：P(A ∪B)=P(A)+P(B)；若事件A 与B 为对⽴事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质：(1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； (2）当事件A 与B 互斥时，满⾜加法公式：P(A ∪B)=P(A)+P(B)；(3）若事件A 与B 为对⽴事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)=P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； (4）互斥事件与对⽴事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在⼀次试验中不会同时发⽣，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发⽣且事件B 不发⽣；（2）事件A 不发⽣且事件B 发⽣；（3）事件A 与事件B 同时不发⽣，⽽对⽴事件是指事件A 与事件B 有且仅有⼀个发⽣，其包括两种情形；（1）事件A 发⽣B 不发⽣；（2）事件B 发⽣事件A 不发⽣，对⽴事件互斥事件的特殊情形。
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第一章一、填空题1、已知34.0)(=A P ,52.0)(=B P ,26.0)(=AB P ,则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
2、设事件A 、B 相互独立，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
3、设事件A 、B 互不相容，且()0.4P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，()P AB = 。
3、设,,A B C 表示随机事件，则事件“C B A 、、都不发生”表示为 ，“A B 、至少有一个发生”表示为 。
4、甲,乙两人进行射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.85,则（1）至少一人击中目标的概率是 ，（2）两人同时命中的概率是 。
5、甲乙丙三人独立地同时破译密码，若各人能译出密码的概率为1/5，1/4，1/3，则此密码能被他们同时译出的概率为 ，此秘密能被破译出的概率为 。
6、某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25%、35%、40%，这三台机器的不合格品率依次为5%、4%、2%，现从总产品中任取一件，求恰好抽到不合格品的概率是 .二、选择题：1、设A,B 为两事件，则ABAB 为（ ） ()()()()A B AC D A B ΦΩ⋃2、设A ,B 为两事件，则AB 表示事件( )（A ）B 发生且A 不发生 （B ）A 与B 恰有一个发生 （C ）A 发生且B 不发生 （D ）A 与B 不同时发生 3、若()()()P AB P A P B =，则（ ）. (A) A ，B 相互独立 (B)A ，B 构成样本空间的一个划分(C)AB φ= (D)()()P B A P A =4、设袋中有5个白球3个黑球，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到白球的概率是（ ）. (A) 514 (B) 2564 (C) 58 (D) 38第二章 一、填空题 1、设..(4,9)r v XN ，则{0}P X == , {10}P X <= , (31)E X --= ，(2)D X -= ，21Y X =+ 。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
三、最大似然估计法
1. 直观想法：在试验中，事件A的概率P(A)最大, 则A出现的可能性就大；如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.
2. 定义 设总体X的概率函数或密度函数为 （或 ），其中参数 未知，则X的样本 的联
(1) 设总体X的概率密度函数为f(x), 则样本的联合密度函数为
(2)设总体X的概率函数为 , 则样本的联合概率函数为
二、统计量
1. 定义
不含总体分布中任何未知参数的样本函数 称为统计量, 是 的观测值.
注：（1）统计量 是随机变量； （2）统计量 不含总体分布中任何未知参数；
（3）统计量的分布称为抽样分布.
3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体 ,称为总体X的容量为n的样本。
注：⑴ 样本 是一个n维的随机变量；⑵ 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：
① 代表性： 中每一个与总体X有相同的分布.② 独立性： 是相互独立的随机变量.
4.样本 的联合分布
设总体X的分布函数为F(x)，则样本 的联合分布函数为
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1)非负性： (2)规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件 ，有 .
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
① ②
③若 ，则
④
注：性质的逆命题不一定成立的.如若 则 。（×）若 ，则 。（×）
三、古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
认识概率全章复习
认识概率全章复习【要点梳理】要点一、确定事件与随机事件1.不可能事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．2.必然事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.3.随机事件在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.要点诠释：（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率1.概率随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.2.频率通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率mn会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.要点诠释：①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.。
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100 58 0.58 150 96 0.64 200 116 0.58 500 295 0.59 800 484 0.605 1000 601 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 球的概率是_________. 0.40.6 Nhomakorabea;
0.6 (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑
本章知识结构框图
用列举法求概率 随机事件 概率 用频率估计概率
考 试 说 明 要 求
基本要求： 1.了解不可能事件、必 然事件和随机事件的含 义； 2.了解概率的意义，知 道大量重复实验时，可 以用频率估计概率；
略高要求： 会运用列举法（包括列 表、画树状图）计算简 单事件发生的概率；
基本要求：1.了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义；
1.下列事件是必然事件的是（
D
）
A．随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．播下一颗种子，种子一定会发芽 C．买100张中奖率为1％的彩票一定会中奖 D．400名同学中，一定有两个人生日相同
基本要求：2.了解概率的意义，知道大量重复实验时，可以用频率估计概率；
2.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜 色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随 机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是 活动进行中的一组统计数据：
2.（10浙江温州）2010年上海世博会某展览馆展厅东面有两 个入口A，B，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图 所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一 个出口离开． (1)她从进入到离开共有多少种可能的结 果.例举出来. (2)她从入口A进入展厅并从北出口或西出 口离开的概率是多少?
略高要求：会运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率； 两步试验，结果较多，列表法或树状图
5.（10西城一模）某电脑公司现有A、B、C 三种型号的电脑和D、
E 两种型号的打印机．某校要从其中选购一台电脑和一台打印机 送给山区小学． (1) 写出所有选购方案； (2) 已知A、D是甲厂生产的产品，B、C、E是乙厂生产的产品．如 果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂生产的产 品被选中的概率是多少？
1 2
2
那么投掷n枚均匀硬币，出现n个正面朝上的概率是_______． n
4 1 8
；
规律探索与概率问题相结合！
课堂小结
通过本节课， 你对于解答概率题掌握了哪些方法？
哪些方面还需要特别注意？
总结一下，谈谈你的收获.
当堂检测
1.（09北京）某班共有41名学生，其中有2名同学习惯用左 手写字，其余同学都习惯用右手写字．老师随机请1名同学 解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（ ） 2 1 D． 1 C． 41 A．0 B． 41
的球都是白球的概率是______.
重视审题，注意细节，把握题意！
课堂练习
7.(2010广东中山)分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份 的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）.欢欢、乐乐 两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时， 若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域 的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需 重新转动转盘.
加(3)：如果还有M、N两种型号的复印机，则选购 电脑、打印机、复印机各一台的方案有哪些？如何表 示？
三步试验，只能用树状图法
难点、易错点释疑
两步或三步试验时，注意区别：无放回摸出与有放回摸出.
6.一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，
它们除颜色外均相同．从箱子中任意摸出一个球，
再将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，两次摸出 不将它放回箱子
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由.
课堂练习----提高题
8．（10朝阳二模）
我们知道，投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 1 ； 投掷两枚均匀的硬币，同时出现两个正面朝上的概率是 1 ； 投掷三枚均匀的硬币，同时出现三个正面朝上的概率是
略高要求：会运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率； 一步试验，结果较少，逐一列举
3.（10北京）从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这 十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概 率是（
B
1 5
）
A．
B．
3 10
C．
1 3
D．
1 2
略高要求：会运用列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率； 一步试验，结果较少，逐一列举 4.（08北京）如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片， 正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和 奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀 后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正 面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（ ） B 2 1 1 3 D． B． C． A． 5 5 2 5