1.1 探究勾股定理(第1课时)
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
探索勾股定理(第1课时)课件
知
探
索
新
知
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得E = M + N ，
而M = A + B ，N = C + D ，
∴ E = A + B + C + D
= 122 + 162 + 92 + 122 = 625.
知
二 利用勾股定理进行计算
例1：分别以直角三角形三边为边长的正方形的面积如下
图，问另外一个正方形的面积.
81
∟
625
A
∟
400
144
B
225
225
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边长的正方形面积。
探
索
新
例2：如图，图中所有的三角形都是直
角三角形，四边形都是正方形.已知正方
形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，
你是如何得到呢？
探
索
新
知
思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直
a
b
c
角边的平方和.
c2=a2+b2
你能说一形有上述性质，其他的直角三角形也有这
个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，
请分别算出图中正方形A，B，C，
A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13,
∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52,
∵CD=5.BC=14,
修改版：1.1探索勾股定理(1)雒萍
换个角度来看呢？
A B
C
你 发 现 了 什 么 ？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
SA+SB=SC C
B B 图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
A
图乙
A
C C
？
图甲 c
Aa
C
A a
A B C B C
A
“割”
分割为四个直角三角 形和一个小正方形
“补”
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积
两个图的启示
a
c
b
C C
C
你可以用边长分别为a、b、c的四个直 角三角形纸片和一个边长为c的正方形纸片 拼接成上面图案吗？并且表示它的面积。
？
验证a、b、c 之间的关系？
启示1
a2 +b2 =c2
用拼图法证明1： a2+b2=c2 ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a
b
a b c
b c
a
a
1 =4〃 ab+c2 2
=c2+2ab
c b
2 2 2+2ab 2 2 a +b +2ab c ∴ =c2+2ab
2 ∴a
2 +b
如图,折叠长方形的一边，使点D落 在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D
北师大版八年级上册数学 1.1 第1课时 认识勾股定理优质教案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？弦股勾（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．?225100x1517意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动． 效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．教学设计反思 （一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．a bcabc。
第1节 探索勾股定理 (第1课时) 导学案
CB A D EFCABD子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日年 级科 目课 题主 备 人 备 课 方 式负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 §第1节 探索勾股定理 第1课时乔智一、【学习目标】1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
二、【学习过程】 （一）、学习准备1、直角三角形两锐角的关系：直角三角形的两锐角 。
2、三角形任意两边之和 第三边，三角形任意两边之差 第三边。
3、阅读教材：第1节 探索勾股定理（前半部分） （二）、教材精读4、（1）观察右面两幅图：（2）填表：A 的面积 （单位面积）B 的面积 （单位面积）C 的面积（单位面积） 左图 右图(3) 你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？(4)你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？归纳小结：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么有a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的 等于斜边的 ．(古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦) 实践练习：(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°，① 如果a=3，b=4，则c=________；② 如果a=5，b=12，则c=_______。
(2)下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2；B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2；C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A=90°，则a 2+b 2=c 2； D.若a 、、是Rt △ABC 的三边，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. 三、教材拓展5、例1 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=13cm ， BC=5cm ，求斜边AB 上的CD 的长。
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
北师大版八上数学第一章：第1节 探索勾股定理第一课时（课件ppt）
探激索趣新知导 入
（1）. 图1中正方 形A的面积是_9__, 正方形B的面积是 __9_,你能否计算 出正方形C的面 积？C ABC
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
方法1：分割成若 干个直角边为整数 的三角形.
S正方形C
北师大版八年级上册第一章《勾股定理》
第一节：探索勾股定理（1）
情激境趣导入导 入 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
事实上，在直角三角形中任意两边确定了， 那么第三边也就确定了，让我们一起来探索吧！
探激索趣新知导 入 1.画一个直角三角形，使直角边长分别为3 cm 和4cm，测量一下斜边长是多少？
解析：由勾股定理可知： S1+S2=S3，则可得 S1=S3-S2=2.
3.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视 机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘 米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你 能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸 或74厘米的电视机，是指 其荧屏对角线的长度
解:∵ 582 462 5480
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
742 5476
解答情境导入问题：
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
解：钢索长度的平方 = 62 +82 =102
∴钢索的长度等于10m.
拓激展趣提高导 入
SA = 4 SB = 4 SC =8
北师大版初中数学八年级上册《1 探索勾股定理 探索勾股定理》 公开课教案_1
第一章勾股定理
1．探索勾股定理（第一课时）
一、教学目标
知识目标：用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
能力目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
情感目标：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．
二、教学重难点
重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。
难点：探索勾股定理。
三、教法学法
教学方法：引导—探究—发现法．
学习方法：自主探究与合作交流相结合．
四、教学准备
多媒体课件和几何画板等
五、教学过程
第一环节：创设情境，引入新课
1.观看视频：勾股定理的历史
2.预备知识
（1）直角三角形的两个锐角有什么关系？怎样求直角三角形的面积?
（2）正方形的面积公式是什么？
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一：
内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
学生分小组动手操作实践并验证
∵c2= 4× a2
∴c2=2a2
2．探究活动二：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？。