数列的定义

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 99
10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2
)1(1n
-+； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴n a ＝n ＋2
)1(1n
-+； 1、 通项公式法
如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

例3 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩
写出这个数列的前五项。

解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：11
1-+=n n a a 解：据题意可知：3
211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a 例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 22222=⨯=a 323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即21
=-n n a a
∴ 11
2322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a a a a a a a a ∴ n n n a a 2211=⋅=-
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；
(2) 1a ＝1, 1+n a ＝2
2+n n a a (n ∈N)； (3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).
解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2;
(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a ＝1
2+n ; (3) 1a ＝3＝1+203⨯, 2a ＝7＝1+213⨯, 3a ＝19＝1+223⨯,
4a ＝55＝1+233⨯, 5a ＝163＝1+243⨯, ∴ n a ＝1＋2·31-n ;
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：
d a a =-12即：d a a +=12
d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=
d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。

解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））
])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数
∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。

3．有几种方法可以计算公差d
① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =m
n a a m n -- 问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=
反之，若2
b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2
b a b a A ⇔+=成等差数列 [补充例题]
例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列
∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2
∴ d=4a －3a =7－2=5
∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32
（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d
1．等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--
∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)(1n n a a n S += 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+
= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1
但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2
)1(1d n n na S n -+
= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较
由例3得与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ， 即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n
. 结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++
当2n ≥时1n n n a S S -=-=22
()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+ 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。

2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。