3力矩和平面力偶系 ppt教学课件 大学工程力学,大学理论力学专用教材
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
力矩与平面力偶系
∑ Ｍi=０
思考题：３－１：约束力ＦＡ，ＦＢ的大小与力 偶矩Ｍe作用的位置无关．
思考题：３－２：合力为零，但合力偶矩不为 零，物体有转动效应，物体不平衡。
思考题：３－３：两个力偶的力偶矩大小相同， 力偶的转向相同，但作用面不同，固此两个力 偶不等效。
力偶矩用符号M（F，F’）或M表示；即 M（F，F’）=±Fd
规定：逆时针转动时，力偶矩取正号； 顺时针转动时，力偶矩取负号。
力偶矩单位与力矩单位相同。
力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和 力偶的作用面。
二. 同一平面内力偶的等效定理
作用在刚体上同一平面的两个力偶相互
等效的条件是两力偶的力偶矩的代数值
- 3 Fa 4
F1y与F2y组成一个力偶，力偶臂为
1 a ，力偶矩为 -
2
3 Fa 4
合力偶矩 M - 3 Fa
2
作业：习题3-1, 3-3, 3-3, 3-4, 3-5*,3-9*
FＲy ＝∑Fy
y Ｆ2
ＦR Ｆ1
xＡ
Ｆ3
q
y
Ｏ
x
d
Mo (FＲ)=x FＲy-yFＲx= x∑Fy-y∑Fx= ∑Mo(Fi)
Mo (FＲ)=∑Mo(Fi)
即平面汇交力系的合力对作用面内任一 点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代 数和——平面汇交力系的合力矩定理。
§3-2力偶的概念
一.力偶与力偶矩 1．力偶
号Ｍo (F)表示。即：
Ｍo (F)=±Ｆd
Ｏ点称为力矩中心，简称矩心；
Ｏ点到力Ｆ作用线的垂直距离h称为力臂。
力矩与平面力偶系 ppt课件
Ａ
Ｏ
d
即力对Ｏ点的矩的大小
等于△OAB面积的２倍。
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7
力对任一已知点的矩，不会因该力沿作 用线移动而改变。
力的作用线如通过矩心，则力矩为零； 反之，如一个大小不为零的力对一点之 矩为零，则此力的作用线必通过该点。
互成平衡的二力对同一点的力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点的 作用引出。实际上，作用于物体上的力 可以对任意点取矩，即矩心可是空间中 的任意点。
第三章: 力矩与平面力偶系
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1
本章研究力矩和力偶的概念、力偶的 性质、平面力偶系的合成与平衡。本 章与第二章的理论是研究平面一般力 系的基础。
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2
§3-1 力矩的概念和计算
一般情况下，力对物体作用时可以产 生移动和转动两种外效应。力的移动 效应取决于力的大小和方向。为了度 量力的转动效应，需要引入力矩的概 念。
力偶对物体产生转动的效应怎样度 量？
力对物体转动的效应用力矩来度量， 因此力偶对物体转动的效应可用力偶 中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
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设物体上作用有一 力偶臂为d的力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
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3
一. 力对点之矩
用扳手拧一螺母，
扳手连同螺母绕一
定点Ｏ转动。由经
验可知，力越大， 螺母拧得越紧；力
F d
的作用线离螺母中
心愈远，拧紧螺母
O
愈省力。
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4
第三章力矩平面力偶系a20页PPT文档
E
RE
m
C
m
C D
B
RB
D
RDBiblioteka R DR ER C15N6
D
例题 如图所示的结构中，杆件AB为1/4圆弧，其半径为r，构件BDC为直角构件， BD垂直于CD，其上作用一个力偶 M。已知：l =2r。试求 A, C两处的约束力。
解：（1）选取AB杆为研究对象。再
取BDC杆为研究对象。
（2）分别画出各自受力图。
问题：力偶等效及其推论能否适用于变形效应？
A F1
F
’ 1
B
A
F
’ 1
B
F1
§3-4 平面力偶系的合成与平衡条件
一、平面力偶系的合成
d
d
m1 F1d1 m2 F2d2
P1d m1 P2d m2
RAP1P2' RBP1' P2
M R A d ( P 1 P 2 ) d P 1 d P 2 d m 1 m 2
平面力偶系合成的结果为作用于同一平面内的 合力偶，合力偶矩等于诸力偶矩的代数和。
Mmi
二、平面力偶系的平衡条件
力偶系中诸力偶矩的代数和等于零。
M mi 0
例题3-5 如图所示框架CD上作用一力偶，其力 偶矩 m = 40 N ·m，转向如图。A为固定铰链， C, D 和E均为中间铰链，B为光滑面。不计各 杆件质量。试求系统平衡时，A, B, C, D 和 E 处的约束反力。
力偶对物体的作用效应
力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线相互平行，因 此在任意坐标轴上的投影之和等于零。根据合力投影定理可 知，它的合力等于零，这就是说，力偶对物体不产生移动效 应，只有转动效应。
力偶对物体转动效应的度量
第3章 力矩和平面力偶系
F
F d m O (F )
B A
d F'
由于O点是任取的
x
O
m F d
+
—
性质3：力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替
代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、 力偶臂的大小、力偶的转向。 故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如图所求， 其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小 m表 示。
即:
mi 0
i 1
n
例：三铰拱 AC 的部分上作用有力偶，其力偶矩为 M 。已知 两个半拱的直角边成正比，即 a : b = c : a ，不计三铰拱自重，求 A、B 两点的约束力。
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程
M
解得：
FA
0:
M FA
+
-
说明：
①
M O ( F )是代数量。
② 影响转动的独立因素。 M 当F=0或d=0时， O ( F ) =0。
④单位Nm。 ⑤
M O (F )
=2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此可以视为代数值。
通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反 之为负（与力矩符号的规定相同）。在国际单位制中，力矩 的单位是牛顿•米（N•m）或千牛•米（kN•m）。
说明：
①力偶矩m是代数量，有+、-；
②F、 d 都不独立，只有力偶矩
③m的值：m=±2⊿ABC ； ④单位：N• m
m F d 是独立量；
平面力偶系ppt课件
l
mO (F ) F d F sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F)Fx lFy lctg
mo 质
一、力偶的定义 1、定义：两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的 力系称为力偶。记作（F，F′）。
二、平面力对点的矩
如图所示，平面上一作用力F，在同 一平面内任取一点O，点O称为矩心； 点O到力F的作用线的垂直距离h称为 力臂。
3
平面力对点的矩的定义为： 平面力对 点的矩是一代数量，其绝对值等于力 的大小与力臂的乘积。
MO(F)= ± F·d MO(F)= ± 2 OAB
其正负号规定为： 力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为
M1=F1d1 M2=-F2d2
13
保持力偶不变的情况下同时改变力的大小和力偶臂的长短，使
两个力偶的力偶臂均为d，如图3-8（b）所示。
根据力偶性质可得：
F3
M1 d
,
F4
M2 d
F3和F4、F′3和F′4组成两个共点力系，分别将其合成得到合力F 和F′（设F3＞F4），如图3-8（c）所示。
五、常见的力偶表示符号
12
§3-3 平面力偶系的合成和平衡条件
一、平面力偶系的概念 由作用在同一平面内的多个力偶组成的力偶的集合，称为平面 力偶系。 二、平面力偶系的合成 首先以两个力偶组成的力偶系为例。
如图在同一平面内作用两个力偶 （F1，F′1）和（F2，F′2），其力偶 臂分别为d1、d2，两个力偶的矩分别 为M1、M2。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
工程力学03-力矩 平面力偶系
力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0
力矩与平面力偶系 PPT课件
F′ F
F2 F O F1
o 图 3-2 (b)
图 3-2 (c)
2. 合力矩定理 表达式： M O ( FR ) M O ( F ) 证明：由图得 y
M O ( F ) F d F r sin( ) F r (sin cos sin cos ) F r sin cos
图 3-4
图3-5
(2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平 衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
F d F′ 力偶作用面 力偶臂
图3-6
而
O x r Fy F
A
y Fx x
F r sin cos
F cos Fx , F sin Fy r cos x A , r sin y A
d
M
图 3-3
则
MO (F) xA Fy yA Fx
(a)
MO (F) xA Fy yA Fx
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能
撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，
因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
力矩和平面力偶理论课件
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
作业：P49~P53 3－5、3－10、3－11
FA
A
O
M1
FO
C
M2
A
FA
FB
B
解：先取圆轮为研究对象，因为力偶只
能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一 力偶，故FA= –FO。
M 0, M1 FAr sin 0
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象。
M 0,
M2
FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M 2 4M1 8 kN m
M 0, M FA l cos 45 0
解得
FA
FB
M l cos 45
2M l
例3-7 ：
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和 M2间的关系。
Aα
M1
O
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶 矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: MO F .
所以求得
M2
1 2
M1
例3-8 ：
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。圆轮 上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽 内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图示位 置时OA与OB垂直，角α=30o , 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束反力。
02-4.3 平面力对点的矩和平面力偶(课件)
• O到力的作用线的垂直距 离 h称为力臂
•力F 使物体绕O点的转动效果，完全 由两个要素决定： a. 大小：力F与力臂h的乘积 F·h b. 转向：使物体绕O点转动方向
用数学式子来表示：
MO (F ) F h
F
O
h
平面力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位N.m或kN.m
3平面力对点的矩和平面力偶平面汇交力系和平面力偶系3力偶由两个大小相等等值方向相反反向不共线的平行力组成的力系称为力偶记作力偶和力一样是力学中的一个基本要素
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（1）平面力对点的矩
3、平面力对点的矩和平面力偶
• O称为矩心 • O与力矢量的首尾确定的平
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面汇交力系和平面力偶系
（2）合力矩定理与力矩的解析表达式
MO(FR ) MO (Fi )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点 的矩的代数和。
该结论适用于任何存在合力的力系!
y
力矩的解析表达式：
MO(F) MO(Fy ) MO(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
M F d 2 AABC
两个要素 a. 大小：力与力偶臂乘积
b. 转向：作用面内的转动方向
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（5）同平面内力偶的等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。 推论(1)：力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。力偶对 刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 推论(2)：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
理论力学课件-力矩力偶与平面力偶系
（３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。 3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积
（2）方向：转动方向
注意：说明力矩时，要指明是哪个力对哪个点的 力矩
4
例 3-1 如图所示，F ， 2 1 ， A B 6m。 0 0k N 1 50kN F 试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
M 0 ,F l M 0
i A
M1 0 0 F F k N2 0 k N B A l 5
12
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
例 3-4 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力 偶的矩分别为 M 、 M 2 0 Nm ；固定 M 1 0 N m 3 1 2 螺柱 A 和 B 的距离 l 。若不计摩擦，试求两个 2 0 0 m m 固定螺柱所受到的力。 A 解：（1）选工件为研究对象
17
（2）画受力图
15
（3）列平衡方程
曲柄 OA ：
M0 ,
M F O A s i n 3 0 0 1 A
摆杆O1B ：
M0 ,
MF O A 0 2 A 1
OA 注意到， 、 FA FA sin 30 ， O1 A
解得:
M2 4M 1
16
推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
M
9
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
M M F F O O Fx ( d ) F x F d M
大学本科理论力学课程第3章力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
O2
第三章 力矩与平面力偶理论
A D
FB B
O1
E
F
H
FC AC
C
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第A三章 力矩与平面力偶理论
O
O1
FD 沿O1DO2
F
E
D
H
FE AC
O2 A
FA 沿AO2， AC
FD 沿O2DO1 D
D
FB B
A
FA 沿AO2， AC
O2
FB
B
E
F
D
FD
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第三章 力矩与平面力偶理论
思考题 不计自重的三杆组成系统，判断固定铰支座B和C处约 束反力方向（即画整体受力图）
A
a D
a B
E
F
H
C
a
a
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第三章 力矩与平面力偶理论
A O1
D
E
F
H
O2
FB B
C
（1）分析整体，FC的作用点为C，故无论其方向如何FC与F二者的 力的作用线必交于C点，利用三力平衡汇交原理判断固定铰支座对 DB处提供的约束反力合力的方位（沿BC）指向待定，FC的方向待 定。
H
FC AC
C
O1
E FE AC FC A
C
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第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
§3－1力矩的概念与计算 §3－2力偶及平面力偶系
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第三章 力矩与平面力偶理论
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向； 为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
静力学第3章_力矩_平面力偶系
§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
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m1 = F 1 m 0.25 m 2 = F 2 d 2 = 400 × = 200 N ⋅ m sin 30° m3 = − m = −150 N ⋅ m
M = ∑ mi = m1 + m 2 + m3 = 200 + 200 − 150 = 250 N ⋅ m
第3章 力矩和平面力偶系 章
§ 3.1 力矩 § 3.2 力偶与力偶矩 § 3.3 力偶的性质 § 3.4 平面力偶系的合成与平衡
§3.1 平面力对点之矩的概念和计算
运动效应： 运动效应：移动 转动 力矢 力矩
一、力对点之矩的概念 以乘积Fd作为度量力 使物体绕 以乘积 作为度量力F使物体绕 点转动效 作为度量力 使物体绕O点 的物理量。 应的物理量。
力 偶 的 表 示
=
=
=
=
§ 3.3 力偶的性质
1．力偶没有合力，不能用一个力来代替。（投影） ．力偶没有合力，不能用一个力来代替。（投影） 。（投影 2．力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关 ．力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩， 3．力偶的等效性：同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大 ． 同一平面内的两个力偶， 小相等、转向相同，则这两个力偶等效。 小相等、转向相同，则这两个力偶等效。
A
M1
M2
B
l
力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力应构 成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。 即A点的水平分力为零，可以不画。
例4：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上 个 ：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个 螺栓A、 、 、 的孔心均匀地分布在同一圆周上 此圆的直径d 的孔心均匀地分布在同一圆周上， 螺栓 、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径 ＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩 ＝2.5 kN•m，试求每个 ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M＝ ， 螺栓所受的力为多少？ 螺栓所受的力为多少？
即合力偶矩的大小等于
250N ⋅ m
转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。 转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。
60N 40N 40N 60mm 40mm 60N M=2.4Nm
§ 3.4 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。 作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
已知：M , M2 ,⋯Mn; 1
任选一段距离d.
M 1 =F 1 d M2 =F 2 d
MO(FR ) = MO(F1) + MO(F2) + ⋯+ MO(Fn) = ∑ MO(Fi )
若力臂不易求，可正交分解为两个易确定力臂的分力。 若力臂不易求，可正交分解为两个易确定力臂的分力。
§ 3.2 力偶与力偶矩
一、力偶的概念 一对等值、反向而不共线的平行力组成的特殊力系。 一对等值、反向而不共线的平行力组成的特殊力系。 用符号（ ， ）表示。 用符号（F，F′）表示。
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分 尺寸如图。 例1 简支刚架如图所示，荷载 ， 尺寸如图 Fα 别计算F对 、 两点之矩 两点之矩。 别计算 对A、B两点之矩。 A 4m 三、合力矩的定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力 对该点之矩的代数和。 对该点之矩的代数和。 o B 1m 1m
M1 = F d 1
M2 = F d 2
Mn =F n d
Mn = −Fnd
=
= =
FR = F + F2 +⋯− Fn 1
′ ′ ′ FR = F′+ F2 +⋯− Fn 1
=
=
=
结论：平面力偶系的合成结果为一个合力偶， 结论：平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于各 已知力偶矩的代数和。 已知力偶矩的代数和。
2.5 M F= = = 8.33kN 2d 2 × 0.15
例5：如图所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设 ：如图所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用， 求其合成的结果。 F 1 = 200 N, F 2 = 400 N, m = 150 N ⋅ m ，求其合成的结果。 解：三个共面力偶合成的结果是 一个合力偶， 一个合力偶，各分力偶矩为
MO ( F ) = ± F ⋅ d
二、力矩的性质
1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。 ）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。 2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 ）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 ）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。 ）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。
力偶作用面
大小可用力矩计算
力偶臂
力偶只能使物体产生转动效应 力偶只能使物体产生转动效应
二、力偶矩的概念 力偶对物体的转动效应的度量， 表示。 力偶对物体的转动效应的度量，用M 或 MO( F , F ′) 表示。
MO ( F , F ′) = ± Fd
力偶三要素： 力偶三要素：
1）力偶矩大小 ） 2）力偶的转向 ） 3）力偶的作用面 ）
M = M1+M2+···+Mn = ΣMi
二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是： 平面力偶系平衡的必要和充分条件是： 力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 力偶系中各力偶矩的代数和等于零。 即：
∑M
i
=0
力偶只能与力偶平衡
思 考
图中梁AB处于平衡，如何确定支座 、 处反力的方向 处反力的方向？ 图中梁 处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？ 处于平衡
1）在力偶作用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。 ）在力偶作用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。 任意移转 2）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶 ）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下， 的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。 的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。
解： 取联轴器为研究对象， 取联轴器为研究对象，作用于联轴 器上的力有电动机传给联轴器的力偶， 器上的力有电动机传给联轴器的力偶， 每个螺栓的反力，受力图如图所示。 每个螺栓的反力，受力图如图所示。 设4个螺栓的受力均匀 个螺栓的受力均匀. 个螺栓的受力均匀 即F1＝F2＝F3＝F4＝F ＝ ＝ ＝ ＝ 则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的 力偶平衡 ΣM＝0， 由 ＝ ， M－F×AC－F×d＝0 － ＝ 解得