数学选修4-1第二课时演练

选修4-1第2课时知能演练轻松闯关一、填空题1.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，则CD ＝__________.解析：根据射影定理得CB 2＝BD ×BA ，即(43)2＝BD (BD ＋2)，得BD ＝6，又CD 2＝AD ×BD ＝12，所以CD ＝12＝2 3. 答案：2 32．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析：连接BD (图略)，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案：125°3.(2011·高考广东卷)如图所示， 过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：根据圆的性质有∠PAB ＝∠ACB, 而∠BAC ＝∠APB ，故△PAB ∽△ACB ，故有AB PB ＝BC AB，将PB ＝7，BC ＝5代入解得AB ＝35.答案：35 4．(2010·高考广东卷)如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP ＝30°，则CP ＝________.解析：∵AP ＝PB ，∴OP ⊥AB .又∵∠OAP ＝30°，∴AP ＝32a .由相交弦定理得CP ·PD ＝AP 2.∴CP ＝AP 2PD ＝34a 2×32a ＝98a .答案：98a5.(2011·高考湖南卷)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33，∴AF ＝AD －DF ＝233.答案：2336.(2010·高考北京卷)如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析：由圆的割线定理知：AB ·AC ＝AD ·AE ，∴AE ＝8，∴DE ＝5.连接EB (图略)，∵∠EDB ＝90°， ∴EB 为直径，∴∠ECB ＝90°. 由勾股定理，得EB 2＝DB 2＋ED 2＝AB 2－AD 2＋ED 2＝16－9＋25＝32.在Rt △ECB 中，EB 2＝BC 2＋CE 2＝4＋CE 2，∴CE 2＝28，∴CE ＝27. 答案：5 27 二、解答题7.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD ＝2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．解：连接OD ，DB ，则OD ⊥DC .在Rt△OED 中，OE ＝12OB ＝12OD ，所以∠ODE ＝30°.在Rt△ODC 中，∠DCO ＝30°，由DC ＝2，则OD ＝DC tan 30°＝233，又∠CDB ＝12∠COD ＝30°，所以∠CDB ＝∠DCO ，所以BC ＝BD ＝OD ，所以BC ＝233. 8.(2011·高考江苏卷)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明：如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．9.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论．解：DE 是⊙O 的切线．如图，连接OD 、CD ，则OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°. ∴三角形CDB 为直角三角形．又E 为BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝CE ，∴∠ECD ＝∠EDC .又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°， 即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线．10.(2010·高考辽宁卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.11.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． 解：(1)证明：因为BE 切⊙O 于B ， 所以∠ABE ＝∠ACB . 由于AD ∥BC ，所以∠BAE ＝∠ABC . 所以△EAB ∽△ABC .所以AE AB ＝AB BC .故AB 2＝AE ·BC . (2)由(1)，知△EAB ∽△ABC ， 所以BE AC ＝AB BC. 又AE ∥BC ，所以EF AF ＝BEAC.所以AB BC ＝EF AF.因为AD ∥BC ，所以AB ＝CD .所以AB ＝CD .所以58＝EF6.所以EF ＝308＝154.12.如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .(1)求∠ADF 的度数；(2)若AB ＝AC ，求AC BC的值．解：(1)∵AC 为圆O 的切线，∴∠B ＝∠EAC ，又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ， ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD .又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ，∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AE BA.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ，由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°， ∴在Rt △ABE 中， AC BC ＝AE BA ＝tan B ＝tan 30°＝33. 13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC ，又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ， 故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PD PO.由割线定理知，PC ·PD ＝PA ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2. 14.(2011·高考课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．解：(1)证明：如图，连接DE ，在△ADE 和△ACB 中， AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ， 即AD AC ＝AE AB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.如图，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G 、F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH . 由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.。