随堂练习_三角函数的应用-优质公开课-北师大9下精品
数学随堂小练北师大版(2012)九年级下册：1.5三角函数的应用(有答案)
数学随堂小练北师大版（2012）九年级下册：1.5三角函数的应用一、单选题1.小明沿着坡比为600m ,则他升高了( )A.B.C. 300mD. 200m2.图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM 固定于平板电脑背面，与可活动的MB 、CB 部分组成支架。
平板电脑的下端N 保持在保护套CB 上。
不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②。
其中AN 表示平板电脑，M 为AN 上的定点，20cm AN CB ==，8cm AM MB MN ==，.我们把ANB ∠叫做倾斜角。
当倾斜角为45︒时，求CN 的长为( )A.(20-B.(20-C.(18-D.(20-3.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35︒，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65︒，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan65 2.1︒≈）（ ）A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米4.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB a =，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为（ ）A ．sin sin a a αβ+B ．cos cos a a αβ+C ．tan tan a a αβ+D ．tan tan a a αβ+5.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A ．30+B ．30+C ．10+D ．6.如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线B C 长，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到'AC 的位置，此时露在水面上的鱼线''B C 为，则鱼竿转过的角度是（ ）A.60°B.45°C.15°D.90°7.如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,5tan2α=,则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm8.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55︒方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是( )A.2海里A.2海里B.2sin55海里C.2cos55海里D.2cos55海里9.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A.12mB.13mC.16mD.17m二、填空题10.如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60︒，点C的仰角为45︒，点P到建筑物的距离为20PD=米，则BC=米.11.如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB （这段河流的两岸平行），他们在点C 测得30ACB ∠=︒，点D 处测得60ADB ∠=︒，80m CD =，则河宽AB 约为 m （结果1.73≈）.12.如图，灯塔A 在测绘船的正北方向，灯塔B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B 的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5︒的方向上，则灯塔A B ，间的距离为 海里（结果保留整数）．（参考数据sin 26.50.45︒≈，cos26.50.90︒≈，tan 26.50.50︒≈ 2.24≈）13.如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得30ACB ∠=︒，D 点测得∠60ADB =︒，又60m CD =，则河宽AB 为 m （结果保留根号）．三、解答题14.为了维护国家主权和海洋权利，我国海监部门对中国海域实现常态化管理．某日，我国海监船在某海岛附近的海域执行巡逻任务．如图，此时海监船位于海岛P 的北偏东30°方向，距离海岛100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P 的南偏东45°方向的B 处，求海监船航行了多少海里(结果保留根号)？参考答案1.答案：C试题分析:首先根据题意画出图形,由坡度为,可求得坡角30A ∠=︒,又由小明沿着坡度为山坡向上走了600m ,根据直角三角形中, 30所对的直角边是斜边的一半,即可求得答案解:过点B 作BE AC ⊥于点E ,∵坡度: i =3tan A ∴∠=, 301000A m ∴∠=︒=,()1300.2BE AB m ∴== ∴他升高了300m . 故选C点评:此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单,注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键,注意数形结合思想的应2.答案：A当45ANB ∠=︒时，,45MB MN B ANB =∴∠=∠=︒18090NMB ANB B ∴∠=︒-∠-∠=︒在Rt NMB △中,sin MN B BN∠=sin sin MN AN AM BN B B-∴===∠∠(20CN CB BN AN BN ∴=-=-=-,故选A.3.答案：C过点O 作OE AC ⊥于点F ，延长BD 交OE 于点F ，设DF x =，tan 65OF DF︒=，tan65OF x ∴=︒，3BD x ∴=+， tan 35OF BF︒=，(3)tan35OF x ∴=+︒， 2.10.7(3)x x ∴=+， 1.5x ∴=，1.52.13.15OF ∴=⨯=，3.15 1.54.65OE ∴=+=，故选：C ．4.答案：C在Rt ABD △和Rt ABC △中，tan ,tan BC BD AB a AB ABαβ===，， tan tan BC a BD a αβ∴==，，tan tan CD BC BD a a αβ∴=+=+；故选：C ．5.答案：B解：根据题意得，6520402060CAB ACB AB ∠=︒-︒∠=︒+︒=︒=，，过B 作BE AC ⊥于E ，∴90AEB CEB ∠=∠=︒，在Rt ABE △中，∵45ABE AB ∠=︒=，∴30km 2AE BE AB ===， 在Rt CBE △中，∵60ACB ∠=︒，∴3CE BE ==，∴30AC AE CE =+=+∴A ，C 两港之间的距离为(30+，故选：B ．6.答案：Csin 4562BC CAB CAB AC ︒∠===='''sin B C C AB AC ∠''=== 60604515C AB CAC ︒︒︒︒∴∠''=∴∠'=-=．鱼竿转过的角度是15︒．故选C7.答案：B如图,因为//EF BC ,AD BC ⊥,5tan 2α=,所以52AG AD GF DC ==,又因为AEF ∆是等腰三角形, AG EF ⊥,60EF cm =,所以75AG cm =,因为//EF BC ,所以AEG ∆ABD ∆,可得512AE AG AB AD ==,所以121805AD AG cm ==,故选B.考点:解直角三角形的应用.8.答案：C根据题意可得55PAB ∠=︒，90ABP ∠=.∵//AB NP ,∴55A NPA ∠=∠=.在Rt ABP ∆中,∵90ABP ∠=,55A ∠=︒,2AP =海里,∴cos 2cos55AB AP A =⋅=海里.故选C.考点：三角函数的应用.9.答案：D如图所示,作BC AE ⊥于点C ,则8BC DE ==,设AE x =,则AB x =,2AC x =-,在Rt ABC ∆中, 222AC BC AB +=,即()22228x x -+=,解得17x =.所以旗杆的高度为17m .10.答案：(20320)在Rt PBD △中，tan BD BPD PD∠= 则tan 203BD PD BPD =⋅∠=在Rt PBD △中,45CPD ∠=︒20CD PD ∴==20BC BD CD ∴=-=故答案为：20)11.答案：69在Rt ABC △中，3060ACB ADB ∠=︒∠=︒，，30DAC ∴∠=︒，80DA DC ∴==，在Rt ABD △中，sin sin 60AB ADB AD =∠=︒=，8069AB AD ∴===≈（米）， 故答案为69．12.答案：22.4由题意得，20MN =，63.545ANB BMN ∠=︒∠=︒，，90AMN BNM ∠=∠=︒， 20BN MN ∴==，如图，过A 作AE BN ⊥于E ，则四边形AMNE 是矩形，20AE MN EN AM ∴===，，tan26.5200.5010AM MN =⋅︒=⨯=，201010BE ∴=-=，22.4AB ∴==≈海里．故答案为：22.4．13.∵3060ACB ADB ∠=︒∠=︒，，∴30CAD ∠=︒，∴60m AD CD ==，在Rt ABD △中，14.答案：过点P 作PC AB ⊥于C 点，则线段PC 的长度即为海监船与灯塔P 的最近距离．由题意，得904545APC ∠=︒-︒=︒，30B ∠=︒，100AP =海里．在Rt APC △中，90ACP ∠=︒，45APC ∠=︒，PC AC AP ∴==海里．在Rt PCB △中，90BCP ∠=︒，30B ∠=︒，PC =BC ∴=5AB AC BC ∴=+=50=()501.414 2.449≈+193.2≈ (海里)， 答：轮船航行的距离AB 约为193.2海里．。
九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题 三角函数的应用
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。
【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0； （2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===； （2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =， 所以34BC AB =， 设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解 由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35， 设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。
1.5 三角函数的应用(教案)-北师大版数九年级下册
第5节三角函数的应用1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.导入一:课件出示:《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.导入二:课件出示:多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.【引入】如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难发生呢?[设计意图]通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.课件出示:如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是怎样想的?与同伴进行交流.师引导学生思考:问题1货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?【学生活动】学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10n mile内有暗礁,那么货轮继续向东航行,如果到A的最短距离大于10n mile,则无触礁的危险,如果小于10n mile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD 的长度,然后与10n mile比较.问题2如何利用已知条件求出AD的长度呢?【学生活动】先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD 和CD,即在Rt△ADB中,tan55°=,BD=AD tan55°.在Rt△ADC中,tan25°=,CD=AD tan25°.这样可以列出关于AD的一元一次方程,即AD tan55°-AD tan25°=20.【教师点评】在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生活动】学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规范学生的解题过程.解:过A作BC的垂线,交BC于点D.在Rt△ABD中,易知tan55°=,∴BD=AD tan55°.在Rt△ACD中,易知tan25°=,∴CD=AD tan25°.设AD=x,则BD=tan55°x,CD=tan25°x.∵BC=BD-CD,∴tan55°x-tan25°x=20,解得x=≈20.79,即AD≈20.79n mile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统一做法,代表板演:解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan25°=,∴AD=.在Rt△ABD中,tan55°=,∴BD=AD tan55°=·tan55°.∴x+20=·tan55°,∴x=≈9.70,∴AD=≈20.79(n mile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.[知识拓展]应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.二、利用仰角和俯角解决实际问题课件展示:【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)教师引导学生思考并回答:1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?【学生活动】1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.【教师活动】要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.【师生活动】学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.解:在Rt△ACD中,tan30°=,即AC=.在Rt△BCD中,tan60°=,即BC=.由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43m.[知识拓展]在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?【师生活动】引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6m.[设计意图]直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.三、利用倾斜角解决实际问题课件展示:【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)【教师活动】要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.【学生活动】先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.【师生活动】师生共同画出示意图:代表展示解题过程:解:如图所示,在Rt△ABC中,sin40°=,∵AC=4m,∴AB=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中,sin35°=,则AD==(m),楼梯占地长DB=m,∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).【教师点评】本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图]本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.[知识拓展]形如“双直角三角形”的图形的解题规律:设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.2.特殊角的组合(α和β组合):(1)30°与60°组合:AB=a.(2)30°与45°组合:AB=a.(3)45°与60°组合:AB=a.1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.6n mileB.8n mileC.2n mileD.4n mile解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan30°=12×=4(n mile).故选D.2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()A.10mB.10mC.20mD.m解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4·sin45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,∴PC=200×sin60°=200×=100.∵在Rt△PBC中,sin37°=,∴PB=≈≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.5三角函数的应用1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.一、教材作业【必做题】1.教材第20页随堂练习第1,2题.2.教材第21页习题1.6第1,2题.【选做题】教材第21页习题1.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB宽为m.4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4nmile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).【能力提升】5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()A.20n mileB.40n mileC.n mileD.n mile6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12m,则BC的高是m.7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5m,点D,B,C在同一水平地面上.(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01m)(2)若斜坡的正前方能有3m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140n mile处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;(2)若救助船A和救助船B分别以40n mile/h,30n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.【拓展探究】9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).(1)求该建筑物的高度(即AB的长);(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【答案与解析】1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.)2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2km.故选C.)3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=AB sin30°=1,BE=AB cos30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07m.(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE 为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60n mile.(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan60°=90(m),故建筑物的高度为90m.(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.随堂练习(教材第20页)1.约7.96m.2.(1)17°8'21″.(2)10182.34m3.习题1.6(教材第21页)1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).4.33.94n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BC sin75°-BC cos75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.某船以每小时36n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.〔解析〕(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,∴BD=x,CD=x.在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,∴tan∠CAD==,由题意可知AB=36×=18(n mile),∴=,解得x=18,∵18>16,∴点B在暗礁区域外.(2)有.理由如下:由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.。
北师大版九年级数学下册第一章训练题1.5 三角函数的应用
5. 三角函数的应用1．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km.从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 km B.()2＋2 km C ．2 2 km D.()4－2 km2. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___ _ (结果保留根号)3．如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)4．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港，某日在观测点A 处发现在其北偏西36.9°的C 处有一艘渔船正在作业，同时监测到在渔船的正西B 处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D 处进行躲避．已知避风港D 在观测点A 的正北方向，台风中心B 在观测点A 的北偏西67.5°的方向，渔船C 与观测点A 相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？(参考数据：sin 36.9°≈0.6，tan 36.9°≈0.75，sin 67.5°≈0.92，tan 67.5°≈2.4)5．如图，小明从点A 处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B ，sin α＝513，然后又沿着坡度为i ＝1∶4的斜坡向上走了1千米到点C.问小明从点A 到点C 上升的高度CD 是多少千米？(结果保留根号)参考答案【知识管理】 1．2.仰角 俯角 【归类探究】【例1】 从B 处到达C 岛需要1小时．【例2】 (1)两建筑物底部之间的水平距离BD 的长度为60 m ．(2)建筑物CD 的高度为(60－203) m .【当堂测评】 1．C 2.16 【分层作业】1．B 2.(9＋33) 3.渔船从B 点开始行驶3－34小时离观测点A 距离最近．4．解：由题意可知∠BAD ＝67.5°，∠CAD ＝36.9°，AC ＝350海里．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝36.9°，AC ＝350海里，∴CD ＝AC •sin ∠DAC ≈350×0.6＝210(海里)，AD ＝AC 2－CD 2≈280(海里)．∴渔船到达避风港D 处所用时间：210÷18＝1123(小时)．在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝67.5°，∴BD ＝AD •tan ∠BAD ≈280×2.4＝672(海里)，∴BC ＝BD －CD ≈672－210＝462(海里)．设强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间为x 小时．根据题意得(40－18)x ＝462－200，解得x ＝111011.∵1123＜111011，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．5．解：如答图所示，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E .由题意得AB ＝0.65千米，BC ＝1千米，∴sin α＝513＝BF AB ＝BF 0.65，∴BF ＝0.65×513＝0.25(千米)．∵斜坡BC 的坡度为1∶4，∴CE ∶BE ＝1∶4.设CE ＝x 千米，则BE ＝4x 千米．由勾股定理得x 2＋(4x )2＝12，解得x ＝1717，∴CD ＝CE ＋DE ＝CE ＋BF ＝14＋1717(千米)．即小明从点A 到点C 上升的高度CD 是⎝⎛⎭⎫14＋1717千米．。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》这一节主要介绍了三角函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，理解三角函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦函数、余弦函数和正切函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面可能存在一定的困难，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够提高运用三角函数解决问题的能力，培养学生的数学思维。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。
2.教学难点：学生如何将实际问题转化为三角函数问题，如何灵活运用三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解三角函数在实际问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，激发学生学习兴趣，引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。
2.新课讲解：通过案例分析，讲解正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，引导学生理解三角函数的实际意义。
3.实践操作：学生分组讨论，选取一个实际问题，运用三角函数进行解决，培养学生的实际操作能力。
4.总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm2．2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米B．（8﹣2）米C．（8﹣2）米D．（8﹣4）米3．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始终在同一平面内），AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩调整．如图2，∠BCD＝143°保持不变，转动BC，使得∠ABC＝150°，假如AD∥BC时为最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin53°≈0.80．cos53°≈0.60）（）A．8cm B．7.7cm C．7.5cm D．5.6cm4．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m5．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB ＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．6．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米7．3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）A．14.62千米B．14.64千米C．14.66千米D．14.68千米8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米9．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）A．1B．1.2C．0.8D．0.8510．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A．（a+b）米B．（a+b）米C．（a+b）米D．（a+b）米11．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm12．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（）A．8米B．4米C．6米D．3米13．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ 落在警示牌上的影子EN长为3米，则信号塔PQ的高约为（）（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．10.4B．11.9C．11.4D．13.415．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 16．解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的铅直高度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1：3，AB＝6m，则天桥高度CD为（）A．6m B．6m C．7m D．8m二．填空题17．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC ＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B 在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（16+16）厘米，则AB的长为厘米．20．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？；（填“是”或“否”）请简述你的理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三．解答题21．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）22．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）23．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE ＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）24．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB＝300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，FE⊥AB于点E．点D、F到地面的垂直距离均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm．求CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．25．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）参考答案一．选择题1．解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm），故选：B．2．解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．故选：D．3．解：作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，如图3，∵∠ABC＝150°，BC∥AD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝4.5（cm），∴CF＝BE＝4.5cm，∴CD＝CF÷cos∠DCF，∵CF⊥AD，AD∥BC，∴∠DCF＝143°﹣90°＝53°，∴CD＝4.5÷0.6≈7.5（cm），∴CD的长度为7.5cm．故选：C．4．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．5．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．故选：A．6．解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．7．解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，∴∠A＝22.5°，在△ABN中，AB＝4千米，∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN ＝67.5°,∴∠NBC＝90°,∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,∴四边形BNMC是矩形，∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，在△CDM中，DM＝≈＝2.72千米，∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，∴BC＝MN＝14.68千米．故选：D．8．解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．9．解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD＝＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD﹣CD＝BC，∴7AD﹣AD＝1.4，解得：AD＝1，即该大灯距地面的高度1米，故选：A．10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，∵∠EFG＝90°，∴∠MFG＝30°，∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），DQ＝QK•cos30°＝（米），∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），故选：A．11．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．12．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝AB sin45°＝4×＝4，∵坡度i＝1：，∴，则DC＝4，故AC＝＝8（m）．故选：A．13．解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∴tan∠E＝，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．14．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA＝3.9m，QG：AG＝1：2.4，∴设QG＝x，则AG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝3.92，解得：x＝1.5，则AG＝2.4x＝3.6，∴EF＝NG＝3.6+4.4＝8（m），故tan53°＝＝≈1.3，解得：PF＝10.4（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），∴信号塔PQ的高约为：PQ＝10.4+1.5＝11.9（m）．故选：B．15．解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x米，CE＝2x米．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10（米）．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．16．解：如图作CD⊥AB于D．∵＝，设CD＝xm，则BD＝2xm，AD＝（6+2x）m，∵＝，∴＝，∴x＝6，∴天桥高度CD为6m．故选：A．二．填空题17．解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，∵AF∥BE，∴∠ABP＝∠BAF，∴sin∠ABP＝0.8，cos∠ABP＝0.6，∴BP＝0.6AB，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，∵∠P AB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠P AB＝90°，∴∠D'AP＝∠ABP，B'H＝AB'sin∠D'AP＝AB sin∠P'AP＝0.8AB，∴28＝B'H+PB＝0.8AB+0.6AB＝1.4AB，∴AB＝20cm；设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+cm，CD'＝2CD＝2x，∵∠D'AC＝90°，∴AC2+AD'2＝CD'2，∴，解得x＝20，或x＝﹣20（舍），∴CD'＝2x＝40cm，故答案为：20，40．18．解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案为49．19．解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO＝∠ACB＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∴AC＝OC，设AC＝xcm，则OC＝xcm，BC＝（16+16﹣x）cm，∵∠ABC＝30°，∴＝，解得，x＝16，∴AB＝2AC＝32（cm），即AB的长为32cm．故答案是：32．20．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；三．解答题21．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．22．解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8（m），∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2（m）．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．23．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝（190+2x）cm，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝（95+x）cm，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝（95﹣x）cm，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．24．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，连接FD并延长，与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝，答：CD和EF的长度分别是45cm和cm．25．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．。
学练优九年级下册数学(北师大版)精品教学课件 1.5 三角函数的应用
交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°.
由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x
则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
在Rt△ABF中，
tan ABF AF BF
tan 30 3x 12 x
解得x=6
第一章 直角三角形的边 角关系
1.5 三角函数的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解方向角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、仰角和坡角的问题. (难点)
导入新课
观察与思考
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表 示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向 的射线.
讲授新课
一 与方向角有关的实际问题
典例精析
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上 的B处，这时，海轮所在的B处距离 灯塔P有多远（精确到0.01海里）？
65° A P
C 34°
B
解：如图 ，在Rt△APC中，
DE＝CF＝4（米），
12米
D
C
CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
4米
45°
A
E
30°
F
B
tan 45 DE 4 ， AE 4 4(米).
AE AE
tan 45
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
三角函数的应用-九年级数学下册课件(北师大版)
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高
50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
九下第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数在坡度坡角问题中的应用作业新版北师大版
×10＝5(m)，∴点 B 距水平地面
AE
的高度为 5 m
(2)符合要求，理由如下：过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，则四边形 BFEG 是矩形，
∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 3
＋21)m，∴在 Rt△BCG 中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 3 ＋21)tan 45°＝(5 3 ＋21)m.
如下的方法：先从与古树底端 D 在同一水平线上的点 A 出发，沿斜面坡度 i＝2∶ 3
的斜坡 AB 前进 20 7 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 C.在
点 C 处测得古树 DE 的顶端 E 的俯角为 37°，底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高
度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 ≈1.732，sin 37°≈3 ，cos 37°≈4 ，tan 37°≈3 ).
＝ tan
DH ∠DCH
＝ 40 ＝40 3 tan 60° 3
(m)，∴在 Rt△CEH 中，EH＝CH·tan ∠ECH＝
40 3 tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树 DE 的高度约 3
为 22.7 m
9．(24 分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，点 C，
12 ＝24＋9＝33(m)，∴在 Rt△ADE 中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，
∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物 AB 的高度约为 32.2 m
8．(20 分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，采用了
部编北师大版九年级数学下册优质课件 5 三角函数的应用
AC
Rt△BDCta中n6,0 = DC
BC
∴AB=AC－taBnxC30=
x tan 60
∴x= 1 ≈43(m) tan 30
50 －
1 tan 60
25
3
某商场准备改善原有楼梯的 安全性能,把倾角由原来的40°减 至35°,已知原楼梯的长度为4m,调 整后的楼梯会加长多少?楼梯多 占多长一段地面?(结果精确到 0.01m).
则∠FDC=135°－ 9∴0°A=E4=5D°F=FC=CDsi4n2 4∴5°B=E=BC－FC－EF=BC－FC－4 2 A∴Dta=n2∠4－ABACE= 4 2
BE 24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″
AD
B EF C 解:(2)S梯形ABCD=(6+4320)× 72 2÷2= (m2)V=100×S梯形ABCD=712020×
∴sin∠AB=C 1
AB 2
∴∠A=30 °
2. 水库大坝的截面是梯形ABCD,其中
AD∥BC,坝顶AD=6m,
坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需
多少土石料?
AD
(结果精确到0.01m3).
B
C
AD
B EF C 解:(1)如图,作AE⊥BC,DF⊥BC
A
BC
D
解:如图∠ACD=40°,∠ABD=35°,
ACR=4t△m.ACDsi中n4,0 = AD
AC
∴AD=4sin40°
Rt△ABDsi中n 35, ∴AB－
(含答案)九年级数学北师大版下册课时练第1章《三角函数的应用》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第1单元直角三角形的边角关系三角函数的应用一、选择题1.“儿童放学归来早,忙趁东风放纸鸢”,小明周末在龙潭公园草坪上放风筝,已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°(如图所示,假设拉线是直的,小明身高忽略不计),则风筝离地面的高度可以表示为()A.100sin65°米B.100cos65°米C.100tan65°米D.100sin65°米2.如图,在点F处看建筑物顶端D的仰角为32°,向前走了15米到达点E,即EF=15米,在点E处看点D的仰角为64°,则CD的长用三角函数表示为()A.15sin32°米B.15tan64°米C.15sin64°米D.15tan32°米3.如图为一节楼梯的示意图,BC⊥AC,∠BAC=α,AC=6米.现要在楼梯上铺一块地毯,楼梯宽度为1米,则地毯的面积至少需要()A.+6平方米B.(6tanα+6)平方米B.C.6cos 平方米 D.6sin 平方米4.如图所示,平地上一棵树高为5米,两次观察地面上的影子,第一次是当阳光与地面夹角为45°时,第二次是当阳光与地面夹角为30°时,第二次观察到的影子比第一次长()A.(53-5)米B.(5-3)米C.(5+53)米D.55.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°,荷塘另一端D 与C,B在同一直线上,已知楼房的高AC=32米,地面上CD=16米,则荷塘的宽BD 为(sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45.结果精确到0.1米)()A.55.1米B.30.4米C.51.2米D.19.2米6.我国北斗导航装备的不断更新,极大方便了人们的出行.某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动,到达A地时,发现C地恰好在A地的正北方向,导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地,再沿北偏西37°方向走才能到达C 地.如图所示,已知A,B两地相距6千米,则A,C两地的距离为参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°43()A.12千米B.(3+43)千米C.(3+53)千米D.(12-43)千米二、填空题7.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°,30°.若飞机离地面的高度CH为1200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为米(结果保留根号).8.如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=4km,从A观测站测得船C 在北偏东45°的方向,从B观测站测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为km.9.如图,在小山的东侧点A处有一个热气球,由于受西风的影响,以每分钟30米的速度沿与地面成75°的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为米.10.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米,背水坡面CD=123米,∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED,tan E CE为米.11.如图,无人机从A处测得某建筑物顶点P的俯角为22°,继续水平前行10米到达B处,测得点P的俯角为45°,已知无人机的飞行高度为45米,则这座建筑物的高度约为米.精确到0.1米,参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈三、解答题12.如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°,现有一架长为6m的梯子,当梯子底端离墙面2m 时,人能安全使用这架梯子吗?(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin75°≈0.97,cos75°≈0.26)13.如图,某海岸边有B,C两码头,C码头位于B码头的正东方向,距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发,甲船向位于A岛正北方向的B码头航行,乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行,当甲船到达距B码头30海里的E处时,乙船位于甲船北偏东60°方向的D处,求此时乙船与C码头之间的距离.(结果保留根号)答案一、选择题1.A2.C3.B4.A5.A6.B二、填空题7.(12003-1200)8.(4+22)9.750210.811.38.3三、解答题12.解在Rt△ABC中,cosα= 吠 吠,∴AC=AB·cosα,当α=50°时,AC=AB·cosα≈6×0.64=3.84(m);当α=75°时,AC=AB·cosα≈6×0.26=1.56(m).∴要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子底端与墙面的距离应该在1.56m~3.84m之间,故当梯子底端离墙面2m时,人能安全使用这架梯子.13.解如图,过D作DF⊥BE于F,∵∠ADE=∠DEB-∠A=60°-30°=30°,∴∠A=∠ADE,∴AE=DE,∵∠B=90°,∠A=30°,BC=40海里,∴AC=2BC=80海里,AB=3BC=403海里,∵BE=30海里,∴AE=(403-30)海里,∴DE=AE=(403-30)海里,在Rt△DEF中,∵∠DEF=60°,∠DFE=90°,∴DF=(60-153)海里,∵∠A=30°,∴AD=2DF=(120-303)海里,∴CD=AC-AD=80-120+303=(303-40)海里.答:此时乙船与C码头之间的距离为(303-40)海里.。
北师大版初中数学九年级下册《三角函数的应用》精品
(A) x x 18 (B) x 18x A
1.7
1.7
(C)1.7x1 8x (D)1.718x x
B
45 ° D 60 ° C
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如图：A、B是两座现代化城市，C是一个古城遗址， C城在A城的北偏东65°，在B城的北偏西42°方向，且B城与A 城相距120km，B城在A城的正东方向。现要在A、B两称之间修 建一条笔直的高速公路。（结果精确到0.1km） ⑴请你计算C城到公路AB的最近距离。 ⑵以C为圆心，50km为半径的圆形区域内有古迹和地下文物。 请你你分析这条公路没有没可能对文物古迹造成损毁？ （参考数据：sin42°≈0.67, tan42°≈0.9, sin65°≈0.91, tan65°≈2.1）
计算出古塔CD的高度。（参考数据：sin37°≈3/5,tan37°≈3/4,
sin21°≈9/25,tan21°≈3/8）
C
F
G
A
B
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E D
A组 新课堂：16页（5） B组 新课堂：23页（20）
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MO
C D EN
P
B
HQ
OC+50=BH+110
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M
C D EN
P
B
O HQ
65 ° A
C 42 °
D
B
编辑ppt
如图，河流的海岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔 50m的电线杆C、D、E....，某人在河岸PQ处测得∠CPQ=25°， 然后沿河岸走了110m到达B处，测得∠DBQ=44°， 求河流的宽度？（参考数据：tan25°≈0.5,tan44°≈1）
M
C D EN
（参考数值：tan31°≈ 3/5 ，sin31°≈1 / 2）
1.4.1+三角函数的应用+方位角、仰角和俯角问题+同步练2024学年北师大版九年级下册
方位角、仰角和俯角问题【知识要点导航】1.方位角方位角是以观测点为中心(方向角的顶点)以正北或正南方向为始边，以旋转到观测目标所在的方向为终边所成的锐角.2.仰角与俯角视线与水平线方向的夹角中,视线在水平线上方的角叫做____________，视线在水平线下方的角叫做____________.注:水平线与铅垂线是互相垂直的，这为构造直角三角形提供了条件.通常，用水平线与铅垂线上的线段作为直角边，视线上的线段作为斜边，通过解这个直角三角形，解决实际问题.典型例题精析题型1 方位角的应用例1.如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的点B处.若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)变式练习1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔35海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（）A.35海里B.35cos37°海里C.35tan37°海里D.35sin37°海里2.如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12n mile 到达点C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.则小岛A到航线BC的距离约是__________n mile.(参考数据:√3≈1.73，结果精确到0.1)3.人工海产养殖合作社安排甲乙两组人员分别前往海面A、B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米，如图.参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求养殖场B与灯塔C的距离；(结果精确到个位)(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/分，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处.题型2 仰角、俯角的应用例2(1)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度.如图，已知无人机的飞行高度为37米，当无机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°则旗杆的高度为（）A.15√3米B.(37−15√3)米C.(45−15√3)米D.22.5米(3)如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，在山下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC 方向前进60m到达山脚点B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°.求塔ED的高度.(结果保留根号)变式练习4.如图，某校教学楼AB与CD的水平间距BD=a m，在教学楼CD的顶部C测得教学楼AB的顶部A的仰角为α，测得教学楼AB的底部B的俯角为β，则教学楼AB的高度是（）A.(atanα+atanβ)mB.(atanα+atanβ)mC.(asinα+asinβ)mD.(acosα+acosβ)m5.如图，一座古塔座落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°，点A、B、C、0在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中点O处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距离(即BC)的长.(结果精确到1 米，参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73)基础过关精练1.如图，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile到达点C，在点C测得小岛A恰好在正北方向上此时渔船与小岛A的距离为（）A.10√33n mile B.20√33n mile C.10 n mile D.10√3n mile2.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A.140√3mB.160√3mC.180√3mD.200√3m3.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20m，DE的高度为10m，则树AB的高度为（）A.20√3mB.30 mC.30√3mD.40 m4.如图，一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至点C处时发生了侧翻沉船事故.一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，则海警船大约需要________小时达到事故船C处.（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）5.某数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°.已知AB=10m，AD=30m，则灯塔CF 的高约为_________m.（结果保留整数；参考数据:tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，√2≈1.41)6.如图为某体育公园的部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园.经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向.(1)求B、D两地的距离；(结果精确到0.1米)(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用(接头忽略不计).(参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)能力提升演练7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为（）A.(30+30√3)kmB.(30+10√3)kmC.(10+30√3)kmD.30√3km8.如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看点B的俯角为37°，飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D处时，地面目标此时运动到点E处，从点E看点D的仰角为47.4°，则地面目标运动的距离BE约为________米.（参考数据：tan37°≈34，tan47.4°≈109）9.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD(坡角∠DCE=45°)，在它们之间有一片水域.现要测量大楼AB的高度，小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°，当热气球探测器竖直上升到点F处时，测得楼顶点B处的仰角为30°.已知CD=30米，DF=60米，其中点A、C、E在同一直线上.(结果精确到0.1米；参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度.拓展探究训练10.如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道(步道可以骑行)，BD是仅能步行的跨湖小桥.经勘测，点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点区的正北方，∠C=90°，BC=800米，CD=600米.(参考数据:sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55)(1)求AE的长度；(结果精确到1米)(2)小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行，爸爸以150 米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行.两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由.。