第一章矩阵12节

第一炼油厂 第二炼油厂 第三炼油厂 燃料油 柴油 汽油 0.762 0.190 0.286 0.476 0.476 0.381 0.286 0.381 0.571
可以组成一个数表，并称之为 阶矩阵 阶矩阵： 可以组成一个数表，并称之为3阶矩阵：
0.762 0.190 0.286
(1)
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + (B + C)
(2) (3)
A+ 0 = 0 + A = A
例
设两矩阵
1 − 2 1 5 2 − 3 A= B = 0 2 3 4 − 2 1
+ 求 A+ B.
解:
1 + 5 2 − 2 − 3 + 1 A+ B = 4 + 2 − 2 + 3 1 + 0 0 − 2 6 = 1 6 1
问：最小的数域是什么？ 最小的数域是什么？
定义 1.2
由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为 m × n矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作 矩阵. 矩阵.
二、数与矩阵的乘法
定义1.5：设矩阵 是一个数，则数λ 定义1.5：设矩阵A=(aij) ，λ是一个数，则数λ与 1.5 矩阵A的乘积规定为： 矩阵 的乘积规定为：
λa11 λa12 λa λa22 21 λA = Aλ = L L λam1 λam2
L λa1n L λa2n L L L λamn
主对角线 a11
a 21 A= L a 副对角线 m 1
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
简记为
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 复矩阵
例如
1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵, 实矩阵 − 9 6 4 3
13 6 2i 复矩阵, 2 2 2 是一个 3 × 3 复矩阵 2 2 2
为同型矩阵. 同型矩阵.
2.两个矩阵 同型矩阵,并且 2.两个矩阵 A = (aij )与B = (bij ) 为同型矩阵 并且 对应元素相等,即 对应元素相等 即
aij = bij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ),
则称矩阵 与 相等,记作 则称矩阵 A与B相等 记作 A = B .
此表格可简记为
90 78 92 66 86 80 93 74 95 70 96 75
这样的一个矩形数表就称为一个4行 列或 这样的一个矩形数表就称为一个 行3列或 4×3的矩阵。 的矩阵。 × 的矩阵
设有三个炼油厂以原油为主要原料， 例2 设有三个炼油厂以原油为主要原料，利用 一吨原油生产的燃料油、 一吨原油生产的燃料油、柴油和汽油数量如表 1.2所示（单位：t）: 所示（ 所示 单位： ）
线
性 代 数
主 讲： 郭云莲
Email: guoyunlian@
学习目标： 学习目标：
一、学习、体会代数之美，掌握用代数解决 学习、体会代数之美， 问题的方法。 问题的方法。 二、取得好的成绩。 取得好的成绩。
学习要求： 学习要求：
一、坚持到课，认真听课，保持良好的课堂 坚持到课，认真听课， 秩序； 秩序； 每次课都布置作业，下次上课之前交。 二、每次课都布置作业，下次上课之前交。 作业用纸要求为大小一致的16开纸 开纸。 作业用纸要求为大小一致的 开纸。每人每次都 要交作业，批改三分之一。 要交作业，批改三分之一。
1 2 4
矩阵, 是一个 3 × 1 矩阵
× 矩阵 (2 3 5 9) 是一个 1× 4 矩阵,
（2） 是一个 × 1 矩阵 ） 是一个1 矩阵.
三、几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 (1)行数与列数都等于 方阵. 方阵.也可记作 An . 例如
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 L L O 0 a an2 L ann n1
的矩阵 如果n阶矩阵 如果 阶矩阵A=( aij )的元满足 a =aji 阶矩阵 的元满足 ij 则称A为 阶对称矩阵 例如： 阶对称矩阵; ，则称 为n阶对称矩阵 例如：
(i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n.)
设
0 2 3 − 1 2 3 A= , B = − 3 − 4 0 0 4 1
求3A-2B.
0 2 3 − 1 2 3 解：3A − 2B = 30 4 1 − 2− 3 − 4 0 0 4 9 − 3 6 6 = − − 6 − 8 0 0 12 3 3 − 3 2 = . 6 20 3
§ 1.2
一、矩阵的加法
矩阵的运算
定义1.4：设有两个 × 矩阵 矩阵A=(aij) 和B=(bij) ，则矩阵 则矩阵A 定义1.4：设有两个m×n矩阵 1.4 与B矩阵的和矩阵规定为 矩阵的和矩阵规定为
a11 + b11 a12 + b12 a +b 21 21 a22 + b22 A+ B = L L am1 + bm1 am2 + bm2 L a1n + b1n L a2n + b2n L L L amn + bmn
A − B = A + (−B) a11 − b11 a12 − b12 a −b a22 − b22 21 21 = L L am1 − bm1 am2 − bm2 L a1n − b1n L a2n − b2n L L L amn − bmn
矩阵的加法,满足下列运算律（ 矩阵的加法 满足下列运算律（设A,B,C都是 满足下列运算律 都是 m×n矩阵）： 矩阵）： × 矩阵
13 6 2i 2 2 2 2 2 2
是一个3 阶方阵 是一个 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 (2)只有一行的矩阵 A = (a1 , a2 ,L, an ), 称为行矩阵( 行向量) 称为行矩阵(或行向量). 行矩阵
只有一列的矩阵
a1 a2 B = , 称为列矩阵(或列向量). 列矩阵( 列向量). 称为列矩阵 M a n
A = diag(a, a,L, a)
称为数量矩阵． 称为数量矩阵．
(７) 上三角形与下三角形矩阵 ７ 形如
a11 a12 0 a22 M M 0 0
L a1n L a2n O M L ann
的矩阵称为上三角形矩阵． 的矩阵称为上三角形矩阵
形如
§1 矩 阵 的 概 念
一、引例
假设我们记录4名学生甲 名学生甲、 丁的3门 例1 假设我们记录 名学生甲、乙、丙、丁的 门 课程（数学、语文、英语）期末考试成绩。 课程（数学、语文、英语）期末考试成绩。若按满 分评定， 分100分评定，期末考试成绩如下表所示。 分评定 期末考试成绩如下表所示。
数学 甲 乙 丙 丁 90 78 92 66 语文 86 80 93 74 英语 95 70 96 75
(5) 方阵
1 0 0 1 E = En = L L O 0 0
L 0 O0 L L L L 1
全为1 全为
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
(６) 数量矩阵 ６ 当对角矩阵的主对角线上的元都相同时， 当对角矩阵的主对角线上的元都相同时，
0.476
0.286 0.476 0.381 0.381 0.571
二、矩阵的概念 定义1.1 设F是由一些数组成的集合，其中包 是由一些数组成的集合， 定义 是由一些数组成的集合 中的任意两个数的和、 含0和1。如果 中的任意两个数的和、差、积 和 。如果F中的任意两个数的和 商仍然是F中的数 中的数， 就称为一个数域。 、商仍然是 中的数，则F就称为一个数域。 就称为一个数域 有理数域Q，实数域 ，复数域C。 有理数域 ，实数域R，复数域 。若无特别 各章中涉及的数均为实数。 说明 ，各章中涉及的数均为实数。
0 2 0 − 2 0 −1 A= 0 1 0
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵 两个矩阵的行数相等 同型矩阵
例如
1 2 14 3 5 6 与 8 4 3 7 3 9
(i, j =1,2,Ln) ,
4 2 0 2 − 3 −1 A= 0 −1 0
如果n阶矩阵 如果 阶矩阵A=( ij )的元满足 a =− ji 阶矩阵 的元满足 ij a 则称A为 阶反称矩阵 例如： 阶反称矩阵。 则称 为n阶反称矩阵。例如：
a
(i, j =1,2,Ln) ,
零矩阵， （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， × n 零 ）元素全为零的矩阵称为零矩阵 m 矩阵记作 om×n 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 不同阶数的零矩阵是不相等的
例如
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 ≠ (0 0 0 0 ). 0 0 0 0 0 0