矩阵论 第一章 线性空间

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第一章
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问题：
1。映射与大学中的函数有什么区别联系？ 映射 函数
y f ( x)
: A B
x y
2。对应于函数，象集是什么？
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关于两个集合间的映射有以下几点需要注意： 1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的 集合； 2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一 确定的元素与之对应； 3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素 的象； 4）A中不同元素的象可能相同。

.

1
0.
同理可证：若 0 则有 0.
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四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 性 空 间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算
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矩
阵
邱启荣
论
华北电力大学数理系
QQIR@ncepu.edu.cn
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课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵理论及其应用（第１版） 邱启荣 主编 中国电力出版社， 2010 任课教师： 邱启荣 考核方式：闭卷笔试 考核方式：由研究生院统一安排
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3、集合间的运算
交： A B {x x A且x B} ； 并： A B {x x A或x B}
显然有，
A B A;
A A B
设A，B是两个数集，集合
A B a b a A, b B
称为A与B的和集。
τ：τ(n)＝|n|＋1,
n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn
18 （是满射，但不是单射）
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注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对
应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有
0 ;
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
. Q[ x]n 对运算不封闭
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A C mn , 例1.2.3 给定
记
n
R( A) y y Ax, x C ,
n
N ( A) x Ax 0, x C
按 C n 中的加法和数乘运算， ( A), N ( A) 都 R 是上的线性空间。
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例7
判断下列映射的性质
（既不单射， 也不是满射）
（双射）
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1
2）M=Z，M´＝Z＋，
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一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题．
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第一章
本章内容
§1.1 集合与映射 §1. 2 线性空间的定义与性质 §1.3 维数 ·基与坐标 §1.4 线性空间的子空间 §1.5 内积空间
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§1.1集合与映射
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一、集合
1、定义
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把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；
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二、线性空间的性质
定理1.2.1 零元素是唯一的．负元素是唯一的．
证明 假设 01 ,02 是线性空间V中的两个零元 有 素， 则对任何 V ，
01 , 02 .
由于 01 ,02 V ,
所以 02 01 02 ,01 02 01.
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设A，B是两个集合，集合
A B a, b a A, b B
称为A与B的积。
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二、映射 定义1.1.1 设A，B是两个非空集合，A到B的一
个映射 ,是指一个对应法则，通过这一法则，
对于集合A中的每一个元素x，都有集合B中的
一个唯一确定的元素y与之对应。 用记号
:A B
x y
表示，简记为
y ( x)
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y
叫做元素
x在
下的象，
x 叫做 y 在 下的原象。
A在 下的象的集合记作
( A) ( x) x A
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
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现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数 量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来， 就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将 使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相 当广泛的领域内得到应用．
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2. 0 0;
1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0, 1 .
k与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
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如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 P 上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , P
(1) ;
01 01 02 02 01 02.
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假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0

0 .
向量 的负元素记为 .
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三、教学指导意见 背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB、Excel 教学参考书： 矩阵论学习指导 邱启荣 编 中国电力出版社， 2010年8月 不交作业，但应该重视练习环节。
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线性空间是线性代数的中心内容，它是 几何空间的抽象和推广． 在线性代数中，定义了n维向量的加法和 数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关 于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论．
R
mn
是一个线性空间 .
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例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法数乘多项式的乘法构成 , 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[x]n . P[ x]n 对运算封闭
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说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运 算，称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对 于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不 满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成 线性空间．
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注意：｛υ｝≠υ
约定：空集是任 意集合的子集合.
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2、集合间的关系
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A ，（读作B包含于A）
B A 当且仅当 x B x A
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
组成集合的这些事物称为集合的元素． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作：a A ；
a 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： A
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Made By QQIR ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
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例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[x]n
线性空间
一.线性空间的定义
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设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中 定义了一种代数运算，叫做加法: 即对 , V , 在V 中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A
的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应；但
是对于无限集未必如此.
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第二节 线性空间的定义与性质
0 1
0
0.
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3．如果 0，则 0 或 0 . 证明 又
1
假设 0 , 那么
1

0 0.

1
列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝ 例1 M {( x, y) x 2 y 2 4, x, y R} 例2 N＝ {0,1,2,3,} ， 2Z＝ {0, 2, 4, 6,}
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例3 M {x x 2 1 0, x R} {1,1}
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线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作R mn ．
Amn Bmn Cmn ,
Amn Dmn ,