矩阵论 第一章 线性空间
合集下载
戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
矩阵论-线性代数引论
限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵理论课件 第一章 线性空间与线性变换
x x1 x2 x y1 y2
k1
xn
k2
kn
k1 t1
k2
A
t2kn tn t1 源自ynt2x1
x2
t1
xn
A
t2
tn
tn
不同基之间过渡矩阵的求法：
已知两组基 (I )x1, x2 , , xn ( II ) y1, y2 , , yn
基 (III )到基 (I ) 的过渡矩阵 C1 为：
1 1 1 1
C1
0 0
1 0
1 1
1 1
0 0 0 1
基 (III )到基 (II )的过渡矩阵 C2 为：
1 0 1 1
C2
0 1
1 1
1 1
1
0
1 1 0 1
则由基 (I ) 到基 (II ) 的过渡矩阵 C 为：
1 1 1 11 1 0 1 1
③求V1 的V基2 与维数。
分析： 设V的两个子空间为
求 x1, x2, , xm , y1, y2, , yn
的最大无关组： 的基。
V1
V2
V1 L( x1, x2 , , xm ) V2 L( y1, y2 , , yn )
解： ⑴先将 V表1 示成生成子空间 x1 x2 x3 x4 0 的基础解系为
k1x1 k2 x2 kn xn 构成的集合形成V 的一个子空间，称之为由该向量组生 成的子空间。记为 W L( x1, x2 , , xn )
定义3 （子空间的和）
设 W1,W2 是 V L(P) 的两个子空间，称集合
W W1 W2 x y x W1, y W2
为子空间 W1 和 W2 的和。
矩阵论第一章线性空间和线性变换
而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
矩阵论课件
6、基与维数的几何解释——直观解释
R
2
中，常用基
i
(1,0),
j
(0,1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
基与维数： 基——极大无关组
维数——秩 3、特殊向量空间 平凡子空间
V自身 零子空间
非平凡子空间——真子空间（部分向量组成）
4、向量在基下的坐标
标准正交基/规范正交基：特殊极大无关组（正交单位向量组）
设 1，2，r 为向量空间的一组基，设 V， 则 k11 k22 krr，称 （k1，k2，kr）为β在 基 1，2，r下的坐标。
①（，）（，）②（ ，）（，）（，）
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
2、 a b ab
k a ak
构成线性空间
a,b R
注：①线性空间必含有零向量（零元素），且唯一
②线性空间中任意元素的负元素唯一
③ 0 0 零向量 ；k·0=0;(-1)α =-α
数0
二、线性空间的维数和基
例：全体n阶方阵构成线性空间，且维数为n 2
工程硕士矩阵论第一章
n 例 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
定理1.2 设W是线性空间V的非空子集， 则W是V的子空间的充要条件是： W对V 中的线性运算封闭.
例 函数集合 f x C a, b f a 0是线性空间C[a,b] 的子空间.
例 函数集合 f x C a, b f a 1 不是线性空间 C[a,b]的子空间.
例
22 R 求
中
1 1 2 2 1 1 2 0 A1 0 1 , A2 0 2 , A3 1 0 , A4 1 1 ,
的秩和极大无关组.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若 W关于 V中的线性运算也 构成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
• 若ka=0，则k=0或a=0
第二节 基、坐标与维数
一.向量组的线性相关性 1．有关概念 定义 设V为数域P上的线性空间，对V 中的向 , 1 , 2 ,, m ， 如果存在一组数 量（元素） k1 , k 2 ,, k m P ，使得
则称 或 可由向量组 1 , 2 ,, m 线性表示. k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数（或表示系数）
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
矩阵论_01线性空间
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1． 线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k ,l,m 等表示。
如果V 满足[如下8条性质，分两类]（I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+；（6）分配律 ()k lx k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1]则称V 为数域K 上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
矩阵论学习-(线性空间与线性变换)
ka1 ,
kb1 +
k( k 2
1 ) a21
ka2 ,
kb2
+
k(
k2
1)
a22
=
ka1
+
ka2 ,
kb1
+
kb2
+
k( k 2
1) (
a21
+
a22 )
+
k2 (
a1 a2 )
.
4
矩 阵 论 学 习 辅 导 与 典型 题 解 析
故有 k⊙ ( α β) = ( k⊙α) ( k⊙β) , 即八条运算法则皆成立 , V 在实域 R 上构
第一章 线性空间与线性变换
线性空间是某一类事物从量方面的一个数学抽象, 线性变换则是反映线性空 间元素之间最基本的线性函数关系 , 它们是研究线性代数的理论基础 .理解本章的 主要概念 , 掌握基本定理、结论和方法 , 对学好矩阵论起着关键的作用 .
§1 .1 线性空间 , 基、维数及坐标
一、线性空间与子空间
mn
mn
mn
∑ ∑ ( aij + bij ) = ∑∑ aij + ∑ ∑ bij = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 A + B∈ W4 , 同样由于 kA = ( kaij ) m × n ,
mn
mn
∑∑ kaij = k∑∑ aij = k0 = 0
i = 1j = 1
i = 1j = 1
即有 kA∈ W4 .加法运算和数乘运算封闭 , 故 W4 是一个子空间 .
⑥ ( kl ) ⊙α=
矩阵论_第一章_线性空间和线性映射
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对 于任意的 V 都有
0
（4） 负元素 对于 V 中的任意元素 都存 在一个元素 使得
0
1
则称 是 的 负元素. （ 5） 数 1
（ 6）
（ 7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
[a1 , a2 , a3 , ] [b1, b2 , b3 , ] [a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] [ka1, ka2 , ka3 , ]
则
R
为实数域
R上的一个线性空间。
二 线性空间的基本概念及其性质
于是可得
1 2 0 1 1 0 3 4 x1 1 1 x2 1 1 1 1 1 1 x3 x4 0 1 1 0
解得
7 4 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 3 3 3 3
称 n 阶方阵
a1n a22 a2 n an 2 ann a12
a11 a12 a a22 21 P a n1 a n 2
a1n a2 n ann
是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成
1
x1 1 x 1 2 x3 1 x4 4
第三节 线性空间的子空间
定义 设
V 为数域 F 上的一个 n 维线性空间，
W 为 V 的一个非空子集合，如果对于任意的 , W 以及任意的 k , l F 都有
与向量组
1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
01_矩阵论_第一章
注记 3 线性空间的本质是线性运算。同一 个集合，若定义两种不同的线性运算，就构成 不同的线性空间；若定义的运算不是线性运算， 就不能构成线性空间。如前述的数学例子。
注记 4 抽象的线性空间的作用在于，由它 得出的一切结论对诸如上述线性空间的研究。
例 5 向量组 {e1 = (1, 0, 0, …, 0)T, e2 = (0, 1, 0, …, 0)T, …, en = (0, 0, …, 0, 1)T} 是 F n 的一组基， 则 dimF n = n。
例 6 求矩阵空间 R22 的维数与一组基。
解 任取矩阵 A，其中
a11 A a 21 a12 a22
a0 a 2 3 1 f x 1, x, x , x , a2 a 3
因为 所以 f(x) 在基 {1, x, x2, x3} 下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)T。
在线性空间和线性变换的讨论中，矩阵是 一个重要的工具。特别地，矩阵还是线性变换 的便利表达方法。
§ 1.1 线性空间
一、线性空间的概念
在线性代数课程中，我们把有序数组称为 向量，把 n 维向量的全体所构成的集合 Rn 称为 n 维向量空间。一般地，如果 V 为非空的 n 维向 量的集合，且集合 V 对于向量加法及数乘两种 运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间。
注记 1 有些教材中，向量空间与线性空间 表示的是同一个概念，但我们通常用向量空间 来表示某一数域上的以该数域中的 n 元有序数组 为元素构成的线性空间。
此外，从上述线性空间的例子中可以看到， 许多常见的研究对象都可以在线性空间中作为 向量来研究，只不过它们此时未必是有序数组 了。
注记 2 定义 1.1 中的加法和数乘运算分别 是V 中的一个二元运算以及数域 F 和 V 中元素 间的运算，它们已不再局限于数的加法、乘法 或者数值向量的加法、数乘概念。如上述的几 个例题。
矩阵理论第一章线性空间与线性变换精品PPT课件
对、、 V，k、l F 或F C, 成立
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
(A1) 加法交换律： ， (A2) 加法结合律：( ) ( )，
(A3) 具有加法单位元（零向量） V ，使得
(A4) 具有加法逆元（负向量） V
( )
，使得
(M1) 数乘的结合律：k(l ) (kl)
例3 闭区间 [a,b]上的所有实值连续函数按通常函
数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C[a, b]
例4 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项
式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P[ x]n
例5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，
构成线性空间
。l
例6 齐次线性方程组 Ax 的所有解的集合构成数 域 R 上的线性空间 N ( A) ，称为 Ax 的解空间，
或矩阵 的A核空间或零空间，即
N ( A) { x Rn | Ax , A Rmn}
Ker( A)
例7 所有矩阵向量积 Ax 的集合构成数域 R 上的
线性空间 R( A) ， 称为矩阵 A 的列空间或值域， 也称为矩阵 A 的像 ， 即
R( A) { y Rm | y Ax, x Rn, A Rmn}
(M2) 数乘的单位元：1 (D1) 分配律1: k( ) k k (D2) 分配律2:(k l) k l
注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而 且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘） 的具体形式。
例2 所有 m n 阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和
数乘，构成线性空间 Rmn (C mn ) 。
中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949 年诺贝尔物理奖获得者）。
几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数 学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。
第一章 矩阵论
例 设V为数域P上的线性空间， 1 , 2 ,, m 是V中的一组元素，则
Span 1 , 2 , , m k1 1 k 2 2 k m m k1 , k 2 , , k m P
是V 的子空间，称为 1 , 2 ,, m的生成子空 间， 1 , 2 ,, m称为该子空间的生成元. •
定义1.7 设 1 , 2 ,, n和 1 , 2 ,, n是n维线性空间 V 的两组基，显然它们可以互相线性表示，若
1 c11 1 c 21 2 c n1 n , 2 c12 1 c 22 2 c n 2 n , n c1n 1 c 2n 2 c nn n ,
1 x 3 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 3 x 3 2x 2 x 1 4 x 3 x 2 1
求由基 渡矩阵.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若W关于V中的线性运算也 构成数域P上的线性空间，则称W是V的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
二.线性空பைடு நூலகம்的定义与性质
1、线性空间的定义
定义
n 例2 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。
例3 全体 m n实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例4 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
矩阵论 第一章 线性空间
素x，都有集合B中的一个唯一确定的元 素y与之对应。用记号
σ :A→B
表示。
如果通过映射 σ ，与A中元素 x 对应的
B中元素是 y ，则记作
σ : x y 或 y = σ (x) 14
第一章 线性空间
Made By QQIR
y 叫做元素 x 在 σ 下的象，
x 叫做 y 在σ 下的原象。
A在σ 下的象的集合记作
10
第一章 线性空间
Made By QQIR
☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ．
注意：｛φ｝≠φ 2、集合间的关系
约定：空集是任 意集合的子集合.
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B ⊆ A ，（读作B包含于A）
B ⊆ A当且仅当 ∀x∈B ⇒ x∈ A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B .
Made By QQIR
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（既不单射， 也不是满射）
τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z （是满射，但不是单射） 3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
σ (A) = {σ (x) x ∈ A}
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
15
问题：
第一章 线性空间
Made By QQIR
1。映射与大学中的函数有什么区别联系？
映射
函数
σ :A→B xy
y = f (x)
2。对应于函数，象集是什么？
σ :A→B
表示。
如果通过映射 σ ，与A中元素 x 对应的
B中元素是 y ，则记作
σ : x y 或 y = σ (x) 14
第一章 线性空间
Made By QQIR
y 叫做元素 x 在 σ 下的象，
x 叫做 y 在σ 下的原象。
A在σ 下的象的集合记作
10
第一章 线性空间
Made By QQIR
☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ．
注意：｛φ｝≠φ 2、集合间的关系
约定：空集是任 意集合的子集合.
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B ⊆ A ，（读作B包含于A）
B ⊆ A当且仅当 ∀x∈B ⇒ x∈ A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B .
Made By QQIR
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（既不单射， 也不是满射）
τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z （是满射，但不是单射） 3）M＝ Pn×n ，M´＝P，（P为数域）
σ (A) = {σ (x) x ∈ A}
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
15
问题：
第一章 线性空间
Made By QQIR
1。映射与大学中的函数有什么区别联系？
映射
函数
σ :A→B xy
y = f (x)
2。对应于函数，象集是什么？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
30
第一章
线性空间
Made By QQIR
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[x]n
组成集合的这些事物称为集合的元素． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作：a A ；
a 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： A
8
Made By QQIR ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
16
第一章
线性空间
Made By QQIR
17
第一章
线性空间
Made By QQIR
例7
判断下列映射的性质
（既不单射， 也不是满射）
（双射）
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1
2）M=Z，M´＝Z＋，
. Q[ x]n 对运算不封闭
31
第一章
线性空间
Made By QQIR
A C mn , 例1.2.3 给定
记
n
R( A) y y Ax, x C ,
n
N ( A) x Ax 0, x C
按 C n 中的加法和数乘运算， ( A), N ( A) 都 R 是上的线性空间。
本章内容
§1.1 集合与映射 §1. 2 线性空间的定义与性质 §1.3 维数 ·基与坐标 §1.4 线性空间的子空间 §1.5 内积空间
6
第一章
线性空间
Made By QQIR
§1.1集合与映射
7
一、集合
1、定义
第一章
线性空间
Made By QQIR
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；
第一章
线性空间
Made By QQIR
矩
阵
邱启荣
论
华北电力大学数理系
QQIR@
1
第一章
线性空间
Made By QQIR
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵理论及其应用（第１版） 邱启荣 主编 中国电力出版社， 2010 任课教师： 邱启荣 考核方式：闭卷笔试 考核方式：由研究生院统一安排
23
第一章
线性空间
Made By QQIR
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题．
24
第一章
14
第一章
线性空间
Made By QQIR
问题：
1。映射与大学中的函数有什么区别联系？ 映射 函数
y f ( x)
: A B
x y
2。对应于函数，象集是什么？
15
第一章
线性空间
Made By QQIR
关于两个集合间的映射有以下几点需要注意： 1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的 集合； 2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一 确定的元素与之对应； 3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素 的象； 4）A中不同元素的象可能相同。
.
1
0.
同理可证：若 0 则有 0.
36
第一章
线性空间
Made By QQIR
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 性 空 间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算
34
第一章
线性空间
Made By QQIR
2. 0 0;
1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0, 1 .
01 01 02 02 01 02.
33
第一章
线性空间
Made By QQIR
假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有
0 ;
26
第一章
线性空间
Made By QQIR
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
2
第一章
线性空间
Made By QQIR
三、教学指导意见 背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB、Excel 教学参考书： 矩阵论学习指导 邱启荣 编 中国电力出版社， 2010年8月 不交作业，但应该重视练习环节。
3
第一章
线性空间
Made By QQIR
第一章
线性空间
线性空间是线性代数的中心内容，它是 几何空间的抽象和推广． 在线性代数中，定义了n维向量的加法和 数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关 于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论．
R
mn
是一个线性空间 .
29
第一章
线性空间
Made By QQIR
例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法数乘多项式的乘法构成 , 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[x]n . P[ x]n 对运算封闭
一个唯一确定的元素y与之对应。 用记号
:A B
x y
表示，简记为
y ( x)
13
第一章
线性空间
Made By QQIR
y
叫做元素
x在
下的象，
x 叫做 y 在 下的原象。
A在 下的象的集合记作
( A) ( x) x A
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
11
第一章
线性空间
Made By QQIR
设A，B是两个集合，集合
A B a, b a A, b B
称为A与B的积。
12
第一章
线性空间
Made By QQIR
二、映射 定义1.1.1 设A，B是两个非空集合，A到B的一
个映射 ,是指一个对应法则，通过这一法则，
对于集合A中的每一个元素x，都有集合B中的
列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝ 例1 M {( x, y) x 2 y 2 4, x, y R} 例2 N＝ {0,1,2,3,} ， 2Z＝ {0, 2, 4, 6,}
第一章
线性空间
例3 M {x x 2 1 0, x R} {1,1}
τ：τ(n)＝|n|＋1,
n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn
18 （是满射，但不是单射）
第一章
线性空间
Made By QQIR
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对
应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
9
Made By QQIR ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为υ．
注意：｛υ｝≠υ
约定：空集是任 意集合的子集合.
第一章
线性空间
2、集合间的关系
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A ，（读作B包含于A）
B A 当且仅当 x B x A
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
10
第一章
线性空间
Made By QQIR
3、集合间的运算
交： A B {x x A且x B} ； 并： A B {x x A或x B}
显然有，
A B A;
A A B
设A，B是两个数集，集合
A B a b a A, b B
称为A与B的和集。
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A
的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应；但
是对于无限集未必如此.
19
第一章
线性空间
Made By QQIR
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R, 且 a n 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[x]n
组成集合的这些事物称为集合的元素． ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作：a A ；
a 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作： A
8
Made By QQIR ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. M＝｛x | x具有性质P｝
16
第一章
线性空间
Made By QQIR
17
第一章
线性空间
Made By QQIR
例7
判断下列映射的性质
（既不单射， 也不是满射）
（双射）
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1
2）M=Z，M´＝Z＋，
. Q[ x]n 对运算不封闭
31
第一章
线性空间
Made By QQIR
A C mn , 例1.2.3 给定
记
n
R( A) y y Ax, x C ,
n
N ( A) x Ax 0, x C
按 C n 中的加法和数乘运算， ( A), N ( A) 都 R 是上的线性空间。
本章内容
§1.1 集合与映射 §1. 2 线性空间的定义与性质 §1.3 维数 ·基与坐标 §1.4 线性空间的子空间 §1.5 内积空间
6
第一章
线性空间
Made By QQIR
§1.1集合与映射
7
一、集合
1、定义
第一章
线性空间
Made By QQIR
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；
第一章
线性空间
Made By QQIR
矩
阵
邱启荣
论
华北电力大学数理系
QQIR@
1
第一章
线性空间
Made By QQIR
课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵理论及其应用（第１版） 邱启荣 主编 中国电力出版社， 2010 任课教师： 邱启荣 考核方式：闭卷笔试 考核方式：由研究生院统一安排
23
第一章
线性空间
Made By QQIR
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题．
24
第一章
14
第一章
线性空间
Made By QQIR
问题：
1。映射与大学中的函数有什么区别联系？ 映射 函数
y f ( x)
: A B
x y
2。对应于函数，象集是什么？
15
第一章
线性空间
Made By QQIR
关于两个集合间的映射有以下几点需要注意： 1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的 集合； 2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一 确定的元素与之对应； 3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素 的象； 4）A中不同元素的象可能相同。
.
1
0.
同理可证：若 0 则有 0.
36
第一章
线性空间
Made By QQIR
四、小结
线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 性 空 间 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算
34
第一章
线性空间
Made By QQIR
2. 0 0;
1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0, 1 .
01 01 02 02 01 02.
33
第一章
线性空间
Made By QQIR
假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有
0 ;
26
第一章
线性空间
Made By QQIR
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
2
第一章
线性空间
Made By QQIR
三、教学指导意见 背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB、Excel 教学参考书： 矩阵论学习指导 邱启荣 编 中国电力出版社， 2010年8月 不交作业，但应该重视练习环节。
3
第一章
线性空间
Made By QQIR
第一章
线性空间
线性空间是线性代数的中心内容，它是 几何空间的抽象和推广． 在线性代数中，定义了n维向量的加法和 数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关 于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论．
R
mn
是一个线性空间 .
29
第一章
线性空间
Made By QQIR
例2 次数不超过n的多项式的全体, 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n { p a n x n a 1 x a 0 a n , , a 1 , a 0 R}, 对于通常的多项式加法数乘多项式的乘法构成 , 向 量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． (a n x n a1 x a 0) (bn x n b1 x b0) (a n bn) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[x]n (a n x n a 1 x a 0 ) ( a n) x n ( a1) x ( a 0) P[x]n . P[ x]n 对运算封闭
一个唯一确定的元素y与之对应。 用记号
:A B
x y
表示，简记为
y ( x)
13
第一章
线性空间
Made By QQIR
y
叫做元素
x在
下的象，
x 叫做 y 在 下的原象。
A在 下的象的集合记作
( A) ( x) x A
某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。
11
第一章
线性空间
Made By QQIR
设A，B是两个集合，集合
A B a, b a A, b B
称为A与B的积。
12
第一章
线性空间
Made By QQIR
二、映射 定义1.1.1 设A，B是两个非空集合，A到B的一
个映射 ,是指一个对应法则，通过这一法则，
对于集合A中的每一个元素x，都有集合B中的
列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. M＝｛a1，a2，…，an｝ 例1 M {( x, y) x 2 y 2 4, x, y R} 例2 N＝ {0,1,2,3,} ， 2Z＝ {0, 2, 4, 6,}
第一章
线性空间
例3 M {x x 2 1 0, x R} {1,1}
τ：τ(n)＝|n|＋1,
n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn
18 （是满射，但不是单射）
第一章
线性空间
Made By QQIR
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对
应的充要条 件是它们所含元素的个数相同；
9
Made By QQIR ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为υ．
注意：｛υ｝≠υ
约定：空集是任 意集合的子集合.
第一章
线性空间
2、集合间的关系
☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 B A ，（读作B包含于A）
B A 当且仅当 x B x A
☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A
10
第一章
线性空间
Made By QQIR
3、集合间的运算
交： A B {x x A且x B} ； 并： A B {x x A或x B}
显然有，
A B A;
A A B
设A，B是两个数集，集合
A B a b a A, b B
称为A与B的和集。
② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A
的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应；但
是对于无限集未必如此.
19