放缩法与数列不等式的证明
放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式数列不等式是指对于数列${a_n}$，能够证明其满足其中一种特定的不等关系。
放缩法是一种常用的证明数列不等式的方法，其核心思想是通过数学推导和合适的放缩操作，将需要证明的不等式转化为已知的不等式或者已有的数学结论。
下面我将详细阐述放缩法的步骤，并通过一个具体的例子来演示放缩法如何证明数列不等式。
步骤一：首先，我们要明确需要证明的不等式形式。
通常，数列不等式可以分为两种情况：单调性不等式和两边夹逼不等式。
单调性不等式需要证明数列${a_n}$的单调性（如$a_{n+1}>a_n$），而两边夹逼不等式需要证明数列${a_n}$的极限（如$\lim_{n\to\infty}a_n=a$）。
在这里，我们以两边夹逼不等式为例来进行讲解。
步骤二：建立需要用到的不等式。
通常，需要利用已知的数学不等式或结论来辅助证明原不等式。
常见的不等式包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反证法等。
在这里，我们以柯西-施瓦茨不等式为例进行讲解。
步骤三：利用放缩操作将原不等式转化为已知的不等式或数学结论。
放缩操作的核心是通过合适的代换或变形，对不等式进行放大或缩小，使得我们能够应用已知的不等式或数学结论。
在这里，我们以一个具体的例子来演示放缩操作的过程。
假设我们要证明数列${a_n}$满足以下不等式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}<2$。
我们可以采用放缩法来证明这个不等式。
首先，我们知道对于任意的实数$x$，都有$x^2\geq 0$。
这是由平方数的非负性质可得，也可以通过推导得出。
根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(a_n\cdot 1-a_{n+1}\cdot 1)^2\geq 0$，即$a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n\cdot a_{n+1}\geq 0$。
然后，利用放缩操作，我们可以将上述不等式改写为$a_n^2+a_{n+1}^2\geq 2a_n\cdot a_{n+1}$。
求解数列不等式证明问题的方法
解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
放缩法证明数列不等式的策略探究
2021年第2期(上)中学数学研究41放缩法证明数列不等式的策略探究甘肃省兰州市第六中学(730060)焦永垚数列不等式的证明是高中数学中的重点和难点,是历年 高中各类考试中的热门考点，这类问题通常难度较大，具有很高的综合性与灵活性.本文以2019年全国高中数学联赛 贵州省预赛试题(B)卷第16题为例，从不同角度探寻放缩法 证明数列不等式的策略与方法,重点阐述如何选择合理地放缩思路，如何准确把握放缩的“尺度”，以期能帮助同学们从根本上认识放缩法的规律，从而优化解题方法，提升解题能 力，提高解题效率.一、试题分析题目 设数列｛a ”｝的前n 项和S ”满足：S ” = k • q ”-k , 其中k, q 为非零常数，且a i = 3, a 4 = 81.(1)求数列｛a ”｝的通项公式;1 1 1 9b i 十瓦十•••十瓦 < 歪.⑵设b ” = a ” ——,证明: a ”分析 第(1)问考查数列的基础知识,易求得a ” = 3”.第(2)问是数列不等式的证明，数学归纳法是解决这类问题的优选方案.1 3 9当n = 1时，—=- < —,不等式成立.b 1 8 16假设当n = k (k e N *)时结论成立，即士 + 士 +b 1 b 219• • • +匸< 16,那么当n = k 十1时，因为b ” — 3b ”-1 =81莎 > 0,所以 b ” > 3b ”-i ,即—<1 1 1 1 1 1 ( 1 亠 | b i 十b 2十 十b k 十b k+i b i 十3 I b i 十b 2十 十b k 丿3 1 9 93 + 1 x 爲=爲，即当n = k + 1时不等式也成立.8 3 16 161 1 1 9综上，对于一切正整数n ,不等式十+十十…+厂< 土b 1 b 2 b ” 16都成立.莎・(n 2 2),则3b ”-i1; b 2 b k 可以看到,上述方法中我们需要克服以下三个难点：(1) 如何利用归纳假设？要证明当n = k + 1时结论也成立，如何利用归纳假设, 是解决问题的的关键，为了利用假设,我们需要找岀1与b ”1 1 1亠(n 2 2)的关系，要找岀二与亠的等量关系难度 b ”-1 b ” b ”-1太大,所以考虑它们的不等关系,也就是放缩.(2) 怎样放缩？因为b ” =3” -补,容易发现｛b ”｝为递增数列,3”所以1 < 占(n 2 2),因此我们会首先做这样的尝b ” b ”-1试：当n = k 十1时，岂+岂+ • ••十！1 + <b i b 2 b k b k+i1 1 1 1 3 9 15 9b i +(b 十厉十.…十瓦)< l + 注，但歪> 16，放缩过度了.(3) 如何调整放缩度？因为PA 2PE PF , 所 以 PE = 1, AE =VPA 2 - PE 2 = 73.故 AC = 2AE = 273.在 Rt AABCAB中，选取ZBAC 为自变量，记ZBAC = 0,则cos 0 = -&,所以 AB = 273 cos 0,又 sin 0 = B D , cos 0 = AD ,故AB ABBD = ^/3 sin 0 cos 0, AD = ^/3 cos 0 cos 0,所以S a abd = 2 AD • BD = 6 sin 0 cos 3 0.令sin 2 0 = x(0 < x < 1),则三棱锥P - ABD 的体积 为 V = 1 • S a abd • PE = 2 Jx(1 — x)3(0 < x < 1),令 f (x) = x(1 - x)3(0 < x < 1),通过求导可解得 V max =算1,8即三棱锥P - ABD 的体积的最大值为呼.8究竟怎样选取自变量角解题？通过以上几例的解答，我们可以发现，要先找岀题设中的变量,然后确定变量中的角 为自变量，再从多个变量角中选取一个变量角为自变量，结合正弦定理、余弦定理、三角公式、三角形的面积公式、三角函数等相关知识点，建立所求取值范围(最值)的变量与所选取自变量角的关系式，由此把问题转化为求所选取自变量角 的三角函数的值域(最值)问题,同时要注意所选取自变量角的取值范围.参考文献[1] 武增明•一道2015年高考题的评析与推广[J].数理化学习：高中版,2016(10) : 25-26.[2] 钱鹏•你若探究 花自盛开——一道河南模考解析几何题的探究[J].中学数学教学,2019(3) : 53-54.[3] 赵建勋.设角为自变量求图形的最值[J].中学生数学：高中版,2012(6) : 15-16.42中学数学研究2021年第2期(上)经历(2)的尝试，发现放缩过度了，需要调整放缩的度: 如果忽略b ” 一 3” - 3”中的1,则有b ” — 3b ”—i (n 2 2),于是我们猜想b ” > 3b ”—i ,是否成立呢？因为b ” - 3b ” —i — 3” > 0,所以 b ” > 3b ”_i ,可得右 < (n 2 2),再进行计算发现刚刚好. ""1从以上过程可以看到，放缩法是证明数列不等式的重点 和难点，因此我们有必要进一步探究放缩法证明数列不等式的思路与策略.二、思路探究1 1 1 9综上，对于一切n e N *,都有 + +…+ < —.b i b 2 b ” 16点评此证法中如果只保留第一项，从第二项开始放大, 则寺+占+ ••• +丄< 1 +1 — 5 > 9,放缩过度了;b i b 2 b ” 8 4 8 16如果保留前两项,从第三项放大，则+寺+…+岂<b i b 2 b ”3 9 1 137 98 + 80 + 12 = 240 > 16，依然太大了，只有保留前三项, 从第四项开始放大，才能得到符合的结果.因此，当岀现放缩 过度的情况时，就要适时进行“局部调整”，保持前若干项不 变,从后面的项开始放缩，反复尝试，直至成功.数列.思路1放缩成一个等比数列为了便于求和，我们尝试将数列｛右｝放缩成一个等比策略1利用不等式一a ” -b ”中a > b > 0.因为3” -丄3”3”—iI 3”_____1_____放缩苴a”- (a - b)放缩，苴 (3 - 3 • 32”—r) 21 3 1匸工4 8 •尹，3n393 < ,不等式成立；当n 2 2时，8 16思路2向裂项相消放缩除了将数列｛右｝放缩为一个等比数列，我们还 可以尝试将其放缩"为可以“裂项相消”的形式，结合1 3”-=(3”一 1)(3” + 1)的结构，有以下两种策略.3”—i-i ，所以b ”于是,当n =1时,b i1亠 亠 亠” 1 3/1 1b i + - + ••• + 瓦 4b i + 8(3 + 羽 + •••+3 3 9< —+ ———8 16 ,11b i b 2 (3 3 1 (—+ — • — ( 18 8 2 \b ”1 1 1 9综上，对于一切n e N *,都有r +厂+…+厂 < 毎.b i b 2 b ” 16点评 在证明数列不等式的问题中，对于形 如 一「(a>b> 0)的数列，通常可以利用不等式a ” -b ”4 —二_応将其放缩为一个等比数列.a ” -b ” a ”—i (a - b)策略2利用不等式3” 2 2 • 3”-】+ 1放缩.因为3” - 2 • 3"—i — 3"—i 2 1,所以，对任意 e N *,都有3” 2 2 • 3"—i + 1 成立.所以，1 —b ”4 13” - 1、2 • 3"—i '3 < 2;当n — 2时,丄+丄8 16' n bl b 2鶴；当n =3时,b i ++右 4095 9< 7280 =花；当 n 2 4 时，1 1 1b i + 瓦 + •••+ -<丄+丄+丄+1 <b i + — — 2n 3”3”(3” - 1) • 3”1忘=4580 =3819------<--------7280 7280(3” 一 1) (3” + 1) <于是，当n — 1时,3 9 39—+ ——— <8 80 803 9 27—+ — +-----—8 80 7283 9 27 18 + 80 + 728 + 233 + 34 + •••+ 善「-黠3)3 9 27 1< I + I0 + 7lI + 361 - 1336191 36855 9 --------< ---------—65520 65520 16’策略1放缩成入(3”, 一丄-莎一万)的形式,入为 常数.当n 2 2时，1---—-----------------------< -----------------b ” (3- - 1) (3- + 1) (3- - 3) (3- - 1)—________里二_______ — 1(_________」)(3”—】-1)(3” - 1) 2 ,3”—】-1 3” - 1)1 3 9 1 1所以，当n — 1时，b- — 8 < —；当n — 2时，汗+ —b i 8 16 b i b 23 9 39 45 9 业、° 冶8 80 80 80 16， " '1 1 1-+ 厉 + •••+ -111/1 1 1 b i b 2 2 \32 - 1 33 - 1 33 - 1+_________)3”—i - 1 3” - 1_3 9 1 (1 1 )=8 + 80 + 2(8 - 3”—!丿3 9 1 44 45< —+ -- + -- -- < --8 80 16 80 803”3”1----------------34 — 1 +916综上，对于一切正整数n ,都有寺+寺+ •b i b 21策略2放缩成入(莎—亍一莎百3”119••+ - < 16.的形式,入为常数.因为右—(3”一 1)(3” + 1)，为了便于用裂项相消法求和，所以我们联想能否把｛右｝中的全部或者部分的形式.我们先逆向进行探3” + 11 2 3”—i 1项放大成3-^1 -1索，因为L!- 要使 b ” < 3”-1 + 1 - 莎+!2• 3”—】 口需^ <(3"—i + 1)(3” + 1)'只需 3” - 1 < 3 < 2 • 3” - 2,即 3” > 5,显然当 n n 2 2 时,有 1 < 1 1b ”3” + 1 _ (3”-+ 1)(3” + 1)，所以1 □需_______二________ <，只需(3” - 1)(3” + 1)2 口需 3” +3”—i + 1，只需3十2 2时成立，所以，当, 于是当 n — 1 时,3”—】+ 1 一 3” + 13”2021年第2期(上)中学数学研究433 9 1一 < —；当 n = 2 时，----+8 16’ b i 9 1 116 ；当 n = 3 时，^- + 厂 +16 b 1 b 24095 9< 7280 =歪；当 n 24 时，13 9 39—+ —=— <8 80 803 9 27—+ — +-----=8 80 728b 211+ 1b 21b =4580 —3819 < 7280-----72801 1 1b 十厉十•••十瓦1 1 1 1bib 2b 3 33 + 1 34 + 1 丁 34 + 111十...---------------------------3”-1 + 1 3” + 11 1 1 1 1 =-------------------------------------------------------------b i b2 b3 33 十1 3n + 13 9 27 1 4079 4095 9< —+ — +----+ — ------- < ------ —8 80 728 28 7280 7280 16综上，对于一切正整数n ,都有当+当+…十右 b 1 b 2 b ”思路3利用“糖水不等式”放缩135 + 119< 16b ”3”33”我们都熟悉这一不等式模型：设n > m > 0, c > 0, 则m < m+^jjj .由于它体现了 “糖水加糖变甜了”n n+c的生活实际，因此通常将其称为“糖水不等式”.因为””瓦=莎二r ，且0 <莎二r < 1，所以由“糖水不等” 1 3” 3” + 1 1 1式”可得b ” = E <掳厂=3”十9”，所以，当139n = 1时，—=- < —,不等式成立；当n 2 2时，b 1 8 161 1 1 b 十厉十•••十石<b i 十(32十33十…•十=3 + 1 (1-丄)+ 丄(1-丄)8 6 I 3”-i 丿十 72 I 9”-i 丿3 1 1 5 9< —+ — + —=— < —8 6 72 9 161+------------+-------十93十 十9”91”〕综上,对于一切正整数n ,都有1十1十…十右思路4利用分项比较法放缩9< 16需证b i 十十…十策略1执果索因，逆推探源.不等式的左边是数列 的前n 项和，右边为一个常数，结合1 = -3— b ” b ” 32” - 19的结构，我们联想，把右边常数-9缩小成某个等比数列16｛c ”｝的前n 项和，然后只需证明1 < c k 就可以了，其 中k = 1,2,...n .那么｛c ”｝究竟等于什么呢？我们可1 1 1 9以逆推回去：要证右+右+…+右 < 爲成立，只 b 1 b2 ( b ” ) 16/ <16(1-3”)成立,设数列=箱(1-3”)，则当n 2 2时,3—,当n = 1时,c i = T i =—,符合上 8・3”‘ '丄 i 8’9 1 3k 9式,故=厂莎.于是，由b 一c k =站二！ 一 E =｛c ”｝的前n 项和几9T n - T ”—i9=Ti 3k 9 32k 18.3k (32k - 1) < 0 可得瓦 < %，其中 k =】,2,_n ，所以右十右十…十右< T ” = 1H 1-3”)< 16，即1 1 1 9.b i 十厉十•••十石 < 歪.9策略2逆用累加法.同思路4,先把常数為缩小为161H 1-3”)，即要证右十右十…十b ” < 16,只需证b 十瓦十•• •十瓦 < 花(1-莎丿，而三、小结反思数学归纳法和放缩法都是证明数列不等式的常用方法,而放缩法通常学生感觉无从下手，不知所措,主要表现在以 下几个方面：(1)用什么方法放缩？首先要搞清楚到底是放大还是缩小,再考虑采用哪种放缩方法.常见的方法有利用均值不等式、“糖水”不等式、放大(或缩小)分子(或分母)、一些常用的不等式等等.(2) 向什么方向放缩？对于像母题中与数列前n 项和有关的不等式，放缩的原则是经过放缩后能够求和，比如放缩成一个等比数列、向裂项相消放缩等等.(3) 如何把握放缩的度？我们经常会遇到放得“太大”或“太小”的问题,这就要求调整放缩的尺度,例如在本文中，当我们发现放缩得“太大”时，就要采取补救措施，即保留前若干项不变,对后面的项进行放缩，逐一尝试，直至成功.另外,本文中的这道竞赛题是一道典型而设置巧妙的考 题,它之所以能引起我们强烈的共鸣与反响，不仅仅是因为其独特的解题思路与技巧，更是因为问题中所蕴含的丰富的 数学知识思维和思想方法.这样的题目有利于学生模式化解题的总结,不仅仅教会了学生怎样解题，而且还有效地培养 了学生思维的广阔性和灵活性，提高了解题效率.参考文献[1]曹莹，李鸿昌.利用糖水不等式证明一类数列不等式[J].数学通讯(上半月),2019(11):2-3.。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
巧用放缩法证明数列不等式
证明数列不等式问题一般较为复杂.解答这类问题的常用方法是放缩法，通常要灵活运用数列的定义、性质、通项公式、前n 项公式对不等式进行变形、化简，再运用不等式的性质对数列不等式进行适当的放缩.而证明数列不等式的关键是对不等式进合理的放缩，下面重点谈一谈运用放缩法证明数列不等式的几个技巧.一、通过裂项进行放缩有些数列不等式中的各项为分式，通过变形可裂为两项之差的形式，此时可利用裂项求和法来求得数列的和，再对其进行放缩，从而证明不等式.有时数列的通项公式不能直接裂项，可先将其进行适当的放缩，再进行求和.例1.求证：∑k =1n1k2≤53.证明：因为1k 2=44k 2<44k 2-1=2æèöø12k -1-12k +1，所以∑k =1n 1k 2=1+∑k =2n 1k 2<1+∑k =2n2æèöø12k -1-12k +1=1+2æèöø13-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1=1+2æèöø13-12n +1<1+23=53.该数列的通项公式为分式，可根据不等式的可加性和传递性，将其放缩44k 2-1，再将其裂项为2æèöø12k -1-12k +1，这样便可运用裂项相加法求得数列的和，运用放缩法快速证明不等式.二、利用基本不等式进行放缩若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式可快速将两式的和或积放大或缩小.在运用基本不等式进行放缩时，要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”.需根据已知的关系式或目标式，合理配凑出两式的和或积，并使其一为定值.在证明数列不等式时，有时要用到基本不等式的变形式，如a +b +c ≥3abc 3、a 21+a 22+⋯+a 2nn≥a 1a 2⋯a n n 等，对所要证明的不等式进行放缩.例2.设S n =1×2+2×3+⋯+n ()n +1，求证：n ()n +12<S n <()n +122.证明：设a k =k ()k +1(k =1,2,⋯,n )，因为k <k ()k +1<k +k +12=k +12，所以∑k =1n k <∑k =1n k ()k +1<∑k =1n(k +12)，即n ()n +12<S n <n ()n +12+n 2<()n +122.该数列中含有根式,很难快速求得数列的和，于是将其通项看作两式的积，构造出两式的和式，便可利用基本不等式将数列中的每一项进行放缩，再根据等差数列的前n 项和公式进行求解，即可证明不等式.三、根据数列的单调性进行放缩数列具有单调性，所以在证明数列不等式时，可根据不等式的特点找出其中的通项公式，通过作差或作商来判断数列的单调性.若a n ≥a n +1，则该数列单调递增，若a n ≤a n +1，则该数列单调递减，即可利用数列的单调性来放缩不等式.例3.求证：12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710(n ∈N *).证明：令S n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n ，则S n +1-S n =æèöø1n +2+1n +3+⋯+1n +n +1n +n +1-æèöø1n +1+1n +2+⋯+1n +n =14æèöøn +12()n +1>0.可知数列{}S n 单调递增，因此S n ≥S 1=12.又因为S n +1-S n =14æèöøn +12()n +1<14æèöøn +14æèöøn +54=14×æèççççöø÷÷÷÷1n +14-1n +54=14n +1-14n +5,即S n +14n +1>S n +1+14n +5，可知数列{}S n +14n +1单调递减，所以S n +14n +1≤S 1+14+1=710.综上可得12≤S n <710，即12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710.总之，运用放缩法证明数列不等式，关键是对数列的通项公式、和式进行合理的放缩.同学们可根据目标不等式的结构特点，对通项公式进行裂项，也可利用基本不等式，还可以根据数列的单调性来进行放缩.（作者单位：江西省临川第二中学）解题宝典41。
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
例析赋值放缩法证明与函数有关的数列不等式
０ 。 ， … ② ・ ① 式 减 去 ② 式 并 （ ÷ ） ＋ ２ ・ （ ÷ ） ＋ ３ ・ （ ÷ ） ＋ … ＋ ｎ ・ （ ÷ ） ． 移项整理 ， 利 用 ０ ＜Ｘ ＇ ｎ ＋ ｐ＜ ≤１ ， 得 一Ｘ ｎ ＋ ｐ 用错位相减 法求得 ＝ ３ （ ÷ ） ， 则 ＝ ÷ 一
增． 由于 厂 ｎ （ １ ） ： １＋ １＋
１
＋
…
＞１ ｎ （ ｎ＋１ ）＋
＞０ ， 故， ｎ （ １ ）≥ ０ ．
（ ｎ 解
．
＼
（ １ ） ｂ＝口一１ ， ｃ＝１—２ ａ ．
（ 一 ＋ ＋ 塞
≤ 一 ÷＋
（ ２ ）由（ １ ） 知
） ：。 ＋
‘ ｎ
（ Ｉ ） 用。 表示 ６ ， ｃ ； （ ２ ） 若， （ ）≥ ｌ 眦在［ １ ，＋∞）上恒成立 ， 求 。的 取值范 围；
（ ３ ） 证明： １＋ １ ＋了 １＋… ＋
证 明 （Ｉ ）对每个 ｎ∈Ｎ＋ ， 当 ＞０时 （ ） ＝
；・
１ ＋ ÷＋ …＋ ＞ ０ ， 故 （ ） 在（ ０ ， ＋ 。 。 ） 内 单调递
＝ ・
一
解 ① 用 赋 值 法 求 得 ， （ ｎ ） ＝ （ ． ② 由 条 件 得
＋
（ ＜ ３ 臆
２ 利用 函数的单调性放缩后求和 。 证明不等式 例２ （ ２ ０ １ ３年安徽 理科 ２ ０ 题） 设 函数 （ ） ＝ 一１
＋ ＋ ＋ ＋‘ ＋… 一＋ ＋－ ７（ ∈ ∈Ｒ， ， ｎ∈Ｎ＋ ∈ Ｎ＋ ） ）， ， 证明 证 明： ： （Ｉ） ）
ｐ ｇ ） 且 １ ） ＝ 了 １
．
① 当 ｎ ∈ Ｎ＋时 ， 求 ｎ ）的表 达 式 ； ②设 ａ ＝
放缩法在证明数列型不等式中的应用
挖掘不等式 的结构特征 ，把 欲证不等式 变 形构 造 ，然后 利 用 重 要 的 不 等式 和 常用 结 论 进行 放 缩 证 明 （如 均 值 不 等 式 、柯 西 不 等 式 、贝努 利 不等式 、绝 对值 不等 式等 ）．
例 １ 设 整数 ｎ≥３，正 实数 口 ，ａ３，… ，口 满 足 ａ，２ｎ３…０ ＝１．证 明 ：
例 ５ 证 明 ：不等 式
ｌ＜
一
＿ｌｎ ｎ≤ １（
，２，…）．｝
（２００９，全 国高 中数 学联合 竞赛 ） 证 明 首 先证 明 ：
＜ｌｎ（１＋ ）＜ （ ＞ｏ）·
①
事实 上 ，令 ｈ（ｘ）＝ —ｌｎ（１＋ ），
ｇ（ ）：ｌｎ（１＋ ）一 ·
ａ２，… ，ａ 满足 ａ ≤１（ｋ＝１，２，… ，ｎ）．记
又 ，ｌ＞ｍ ＞０。则
证明：由 ａ ＋ｌ＝ａ：一３口：＋３ａ
ｇ（ｎ）＜ｇ（ｍ）
。
＝争口 ＋１—１＝（口 一１）３．
！望（！± ＜ 里
令 ｂ ＝口 一１，有
１１，
＋ ≥了 ； （２）令 口 ＝口。．则
二Ｔ
３
（ｚｏｏ８，全 国高 中数学联 赛 四川省 预赛 ）
证 明 （１）对 于一切 的正整 数 ｉ有
＋
６ ≥
＝
·
（２）由柯西 不等式 知
志 ≥ 高２
≥ ｎ ２ 而 ２
一
一
一
—
一
当 口ｌ＝０２＝… ：口 ＝２时 ，等号成立． 例 ３ 证 明 ：
Ｉ Ａｎ－ ＝ ｌ￣－ｄａｉ＂ （ 一 ）蜜 ＋
＜ｍ ａｘ｛ ｎ ｎ ，（ １一 ｎ＼Ｊ ｉ＝ｌ ０
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
几种常见的放缩法证明不等式的方法
几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥*111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：22n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n∴=≤+++-+-++--712104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-（1）用a 表示出,b c（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,21≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x xx x f a 有 且当.ln )1(21,1x xx x >->时 令)],111()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),111(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得,)1(21)13121(21)1ln(++++++<+n n n 整理得 .)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
放缩法在证明不等式中的应用
放缩法在证明不等式中的应用放缩法（also known as阿贝尔不等式法）是证明不等式的一种常见方法。
它利用不等式两边的关系进行比较，然后不断地缩小这种差距，最终得到原问题的解。
该方法非常简便，灵活性也很大，适用于各种形式的不等式问题。
在本文中，我们将具体介绍如何使用放缩法来解决不等式问题。
1.南辕北辙法南辕北辙法也是一个基于放缩法的思想。
这种方法的基本思路是从等式入手，然后在等式两边加上（或减去）相同的数量，无限逼近目标值。
以证明a+b≥ 2√ab为例。
首先我们注意到这是一个“大于等于”符号。
正确的方向是将不等式转化为等式，然后再使用缩放法逼近所求答案的根。
因此，我们可以构造新的表达式：(√a−√b)²≥0。
展开这个式子得：a+b−2√ab≥0。
原不等式成立。
2.杨桃不等式杨桃不等式本质上也是一种变形方式，它比南辕北辙法更易于使用。
在证明a²+b²+1≥ 2a+2b时，我们可以考虑如下表达式：a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥0。
此时，我们发现前三项中有两个可以化为1，于是得到了a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥(a−1)²+(b−1)²。
此时我们已经利用了放缩法，因为这个式子的右边显然大于等于0。
于是我们只需要证明左侧大于等于0即可。
而这个结论可以由a−1和b−1是正数、其平方和大于0来证明。
3.洛谷P5470 (PAM)与以上两种方法不同，这个例子更多地关注了算法实现的问题。
题目可以形式化表示为：设x[i]为正整数数组，设S1=Σx[i]，S2=∑i<j|x[i]−x[j]|，则S1≥S2。
我们可以将绝对值分成两部分来讨论，最后在放缩过程中应用这一点。
设P=∑i<x[i]，Q=∑i>x[i]，则可推导出|P−Q|=P−Q。
又因为P+Q=S1，所以我们有S1=2P(S1−P)≥2∑|xi−xj|。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
放缩法引领下数列不等式的证明
３ 一 ２ ３ ‘ ＋ ３ × ２ ＋… ＋３ ｘ ２ ． － ％２ ￣ －
≤ ３ ＋＿ ｊ ×２ ５×３ 。
！
： 一（ ｎ ≥ ２ ）
．
战性 ．下面针 对２ ０ １ ２ 年广 东高考 （ 理） １ ９ 题 的分 析 ， 介 绍 几种 常见 的数列 不等式的证 明方法．
能力 的培养．
参考文献 ：
多种 不 同形 式 的不等 式 ． 另外 ， 增加 原不 等 式左 侧 式子
个数 ， 在 结构 形式上 等 多方 面还 可 以推广 ， 留给读 者 去
探究．
对该不等式 的深入探究 ，不仅 给问题赋予 了新 的活 力 和生机 ， 让 问题 变得更加 充实 、 丰满 ， 而且 极大地 开 阔
２ ０ １ ３ 引领 下数 列不等式 的证 明
⑧ 湖 南 师 范 大 学 附属 中学 陈 淼 君
数 列不等式 的证 明集 知识 、 方法 、 能力于 一体 ， 能综
合反 映学 生分析问题和解决 问题 的能力 ，能全 面考查学
生 的数学 意识 ， 因而是高考 的一个重要考点 ， 也 是一大难
式的证 明等价于
≤
的证 明
１ ≤—— 一 ＋ —— 一 ≤三
、 ／ 干
歹 出．
，
限于 篇幅 ， 不一 一
探究 问题 的能力．
、 ／
４
数学探究是高 中数学新课程 的重要 内容之一 ，它包
含 了新课程所倡导 的先进 的教育 、 教学理念 ， 在建立 和发 展数学认知结构 ， 形成和增进数学思维能力 ， 培养和造就 创造性精 神等方面起着重要 的作用 ． 数学探究 活动 的展 开， 能激发教师 的教育智慧 ， 解放思想 、 更新观念 、 提 高思 维 品质． 教师在 日常的教学 中应注意挖掘 身边的素材 ， 积
例谈证明不等式的四种常用措施
=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
֍
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略
放缩法证明数列型不等式的注意问题以及解题策略纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。
处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。
3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）根式的放缩：<<（2）在分式中放大或缩小分子或分母：2111(2)(1)(1)k k k k k k <<≥+-；真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，11n n n n -<+； 假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221n nn n +>-； （3）应用基本不等式放缩：222n n n n ++>+； （4）二项式定理放缩：如2121(3)nn n -≥+≥；（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。
4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。
这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
放缩法在数列不等式证明中的应用
分母变小，则分式变大．与狀１２ 有关的放缩关系主要有 如下几种：
１ ① 狀２
＜
１ 狀２ －１
＝
１ （狀－１）（狀＋１） ＝
１ ２
·
（ ） １
１
狀－１－狀＋１
；
１ ②狀２
１ ＝狀·狀
１
１
＜狀（狀－１）＝狀－１－
１ 狀
；
１ ③狀２
１ ＝狀·狀
１
１
＞狀（狀＋１）＝狀
－狀１＋１；
（ ） １ ４
４
１
１
④狀２ ＝４狀２ ＜４狀２ －１＝２２狀－１－２狀＋１ ．
１ ２
１ ＋２２
＋
…
１ ＋２狀－１
１－２狀 ＝狀＋ １
１－ ２
１ ＝狀＋２－２狀－１ ＜狀＋２．
说明：本题利用了无穷递减等比数列的放缩公式
进行放缩，即当公比０＜狇
＜１时，犛狀
犪１（１－狇狀 ＝ １－狇
） ＝
１犪－１狇－１犪－１狇狇狀 ＜１犪－１狇．注意，若从第一项就开始放 缩，则 会 出 现 过 度 放 大 的 问 题，而 从 ｝满足犪２ ＝９，犪狀＋１ ＝８犪狀 －７，狀 ∈
犖 ．
（１）求｛犪狀｝通项公式；
（２）设犮狀
３
＝槡犪狀＋１
－１，将犮狀
的底数与指数互
换得
｛ ｝ 到犱狀，设数列
１ 犱狀
的前项和为犜狀，求证：犜狀 ＜３ ２３ ０．
解析：（１）犪狀 ＝８狀－１ ＋１．
（２）由（１）可得犪狀
１－ ２
２狀１－１，狀 ∈ 犖 ． 当狀 ≥２时，２狀 －１－２狀－１ ＝２狀－１ －１＞０，即２狀 －
１＞２狀－１
＞０，２狀１－１
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
浅析用放缩法证明数列不等式的策略引言在证明数列不等式时，我们经常会运用放缩法，即通过将式子中的某些项进行放大或缩小，使得不等式成立更为明显。
当然，在使用该方法时，我们还需结合数列的性质，进行适当的变形和分析，才能达到较好的证明效果。
下面，我们具体介绍几种常见的放缩法策略：策略一：拉格朗日中值定理对于一个函数f(x)，如果它在[a,b]上满足连续，在(a,b)上满足可导，那么必有f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a,b)我们利用此定理，可以将数列的两个相邻项联系起来，以达到证明的目的。
具体步骤如下：考虑一个数列{an}，我们可以将其中的某两项相减，得到：an - an-1接下来，我们可以将这个式子转化成函数的形式，即 a(n) = an - an-1，f(x) = x，则在[a(n-1), a(n)]上，我们可以应用拉格朗日中值定理得到：这样我们就将{an}中的两项连了起来，从而达到证明需要的形式。
举例来说，考虑等比数列{a1, a2, a3, ...}，其中a1=1,an=2n，我们要证明a1/a2 + a2/a3 + ... + an-1/an >= (n-1)/n + 1/2n我们可以将左边每一项都化为一个通项公式，即根据拉格朗日中值定理，我们将a(n-1)/a1拉到[1,2^(n-2)]上，将a1/an拉到[2^(n-2),2^(n-1)]上，由于等比数列的性质，可以得到：展开后化简就能得到所需的不等式。
策略二：柯西不等式对于一个数列{an}和{bn}，我们可以运用柯西不等式将它们联系起来，得到一个新的不等式关系。
对于两个n维向量a=(a1,a2,...an)和b=(b1,b2,...,bn)，有：|a·b| <= ||a|| ||b|| （其中a·b表示向量的内积，||a||表示向量的模长）|a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * sqrt(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)化简一下，就有：举例来说，考虑证明数列{an}的下列不等式：根据柯西不等式，我们可以将{an}和{bn}构造为：将其代入柯西不等式，展开后可以得到所需的不等式。
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2017高三复习灵中黄老师的专题
放缩法证明数列不等式 编号：001
引子：放缩法证明数列不等式历来是高中数学的难点，在高考数列试题中经常扮演压轴的角色。
由于放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点太大，缩小一点点太小”。
为了揭开放缩法的神秘面纱，黄老师特开设这一专题，带领大家走近“放缩法”。
一．放缩法证明不等式的理论依据： １．不等式的传递性：
２．同向不等式的可加性：
３．同向的正数不等式的可乘性：
二．常见的数列求和的方法及公式特点： １．等差数列的和;___________==n n s a )(*∈N n ２．等比数列的和：)1(1,1
n n n n q q
a s q k a --=•=（1≠q ）)(*∈N n ３．错位相减法：等差×等比
４．裂项相消法：若为常数）d d a a n n (1=--在)1
1(1111n
n n n a a d a a -=•--)(*∈N n
三.常见题型分析：
１．放缩目标模型：可求和 １．１等差模型
例１.（１９８５全国卷）求证：
2
)
2()1(...32212)1(++++•+•+n n n n n n )(*∈N n
变式：
2
)
3()1(...32212)1(++++•+•+n n n n n n )(*∈N n
１.２等比模型
例２.求证：12
1
....21212132<++++n )(*∈N n
变式.求证：11
21......12112112132<++++++++n )(*∈N n 例
３.（２０１４全国卷Ⅱ１７题）已知数列
{}{}2
3
1.......112a .21a 1,
13,121n 11<
+++⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
++==+n n n n n a a a a a a a ）证明：（的通項公式并求是等比数列
）证明：（满足
变式：求证：
3
5121......12112112132<-++-+-+-n )(*∈N n
例４.（２００２全国卷理２２题第２问）已知数列
{}2
111 (111122)
1(,13.......3,2,1,121121<
+++++++≥∈≥≥=+-=*+n n n n n n a a a n a N n n a n na a a a ）证明：（）时，证明对所有的当满足
１.３错位相减模型
例５.求证：22.......32322212132<++++++++n
n
n )(*∈N n
１.４裂项相消模型
201319)11111
()
133557
(21)(21)2
n n n *+++
+
<∈⨯⨯⨯-+N (广东文第(3)问求证：例2
例６.证明：n n n
n 1
2221
......31211121-<+++<+-)
(*
∈N n
变式１.证明：21
......31211222<++++n
)(*∈N n
变式２.证明： 4
71......31211222<++++n )(*∈N n
变式３.证明： 4
51......31211222<++++n )(*∈N n
变式４.证明：n n
21......31211<++++)(*∈N n
变式５.证明：23
)12(1 (513112)
22<-++++n
变式６.证明：45
)12(1 (513112)
22<-++++n
常见的放缩技巧总结：。