第1.7节 事件的相互独立性
概率论
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且 Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ， 有
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
A1 A2 A3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P(B | A3 )
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
3 某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3 号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床 之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1） 没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要 照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。
练习2
发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ．” 和“ － ”，• 由于通信系统受到干扰，当发出信 号“ ．”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收 到信号 “ ．”和“ － ”，同样，当发报台发 出信号“ － ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ － ”和“ ．”．求 (1) 收报台收到信号“ ．”的概率． (2） 当收报台收到信号“ ．”时，发报台确系 发出信号“ ．”的概率．
x1 , x2 ,
即
, xn ,
，而取值 xk 的概率为
pk
PX xk pk
第一章 概率论的基本概念(第3讲)
第1.7节 事件的独立性
三、n个事件相互独立定义
n个事件 A1 , A2 , A3 ,..., An 相互独立的定义为：
P( Ai Aj ) = P( Ai )P( Aj ), i < j, i, j = 1,2,..., n P( Ai Aj Ak ) = P( Ai )P( Aj )P( Ak ), i < j < k, i, j, k = 1,2,..., n ... P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )P( A2 )...P( An )
解: (1)设A=甲中, B=乙中, C=目标被击中, 所求
P(A|C)=P(AC)/P(C) =P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
(C=A∪B)
=0.6/0.8=3/4
第1.7节 事件的独立性
二、三个事件相互独立定义
对于三个事件 A, B, C 的相互独立定义为： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) P ( AC ) = P ( A ) P (C ) P ( BC ) = P ( B ) P (C ) P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P (C )
C
k n
pk q n−k
(k
=
0,1,L, n)
P( A1 A2 ...Ak Ak+1 Ak+2 ...An ) = pkqn−k (前k次成功)
第1.8节 独立试验序列
二、考察概率
(2) 第 k 次试验首次“成功”的概率为
qk−1 p(k = 0,1,2,L)
第1.8节 独立试验序列
三、例题：Leabharlann 第1.9节 几何概率和概率的数学定义
萨班斯法案及基于风险管理的内部控制体系的构建与运行
1.背景与发展路径
1.1内部控制的概念产生很久了 1.2 1992年COSO委员会发布了COSO框架 1.3 2001年开始全世界爆发了会计丑闻 1.4 2002年美国颁布萨班斯法案 1.5 2004年COSO委员会发布了全面风险管理框架 1.6 2006年国资委发布中央企业全面风险管理指引 1.7 2008年财政部等五部委发布企业内部控制基本规范 1.8 2010年财政部等五部委发布了配套指引 1.9 2012年5月财政部与国资委联合发布68号文 1.10 风险管理的基本程序
不相容职责 分离
一般包括计划与审批、审批与执行、 执行与验收、执行与记录。
授权
要求企业根据常规授权和特别 授权的规定，明确各岗位办理 业务和事项的权限范围、审批 程序和相应责任。
给谁做分析？
运营分析
分析什么？ 运营分析控制
如何分析？ 如何报告？
预算控制
预算
会计系统 财产保护
会计的核算是规范的内部控制 的基础。
第22页Logo
2.2最低工作要求
2.2.8资产
1.资产投保； 2.规范存货管理流程，明确存货取得、验收入库、原料加工、仓储保 管、领用发出、盘点处置等环节的管理要求； 3.固定资产管理制度和目录，规范取得、验收、使用维护、修理、改 造、投保、抵押、清查、处置等； 4.无形资产管理制度，明确取得、验收、使用、权证、升级、抵押、 清查、处置等；
第8页Logo
1.9 2012年5月财政部与国资委联合发布68号文
关于加快构建中央企业内部控制体系有关事项的通知
1.中央企业要力争用两年时间，按照《企业内部控制基本规范》和配套指 引的要求，建立规范、完善的内部控制体系。 2.已在全集团范围内建立起内部控制体系的中央企业，应当重点抓好有效 执行和持续改进工作，着力提升内部控制的健全性和有效性； 3.主业资产实现整体上市或所属控股上市公司资产比重超过60%、尚未在 全集团范围内启动内部控制建设工作的中央企业，应当统筹规划、协同 推进全集团内部控制体系建设，着力抓好集团总部与各类子企业同步建 设与稳步实施工作，于2012年建立起覆盖全集团的内部控制体系； 3.其他中央企业应当抓紧启动内部控制体系建设工作，确保2013年全面完 成集团内部控制体系的建设与实施工作。 4.明确总体建设目标和分阶段任务，经董事会（或相应决策机构）批准后， 于2012年8月31日前报国资委备案。
1.5事件的独立性
定义1.6 对n个事件 A1 , A2 ,..., An ( n 2 ),如果对其 中任意k个事件 Ai , Ai ,..., Ai ( 2 k n ), 都有
1 2 k
P ( Ai1 Ai2 ... Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 )... P ( Aik ) 则称这 n 个事件 相互独立.
P ( A)
6
, P( B)
6
,
P ( AB )
6
,
2 1 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ), 所以A,B独立. 3 2 3
则 (2)A表示“点数小于 B表示“点数为奇数”, 4”, 3 , P( B) 3 , P ( A) P ( AB ) 2 ,
6 6 6
1 1 1 P ( A) P ( B ) P ( AB ), 所以A,B不独立. 2 2 4
例 从一副不含大小王的扑克牌中随意抽出一张,
B 则 记A为 “抽到 K ”, 为 “抽到的牌是黑色 的”, 4 26 1 , 2 , P ( A) , P( B) P ( AB )
4 4 1 P ( AC ) 1 P ( A) P (C ), P ( AB ) P ( A) P ( B), 4 4 1 A, B, C 两两独立. P ( BC ) P ( B ) P (C ), 4 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), A, B, C 不相互独立. 4 P (CAB ) 同样 P ( B A C ) P( B ) 此时,P (C AB ) 1 P(C ) P ( AB ) P ( A B C ) P( A)
解 设 A, B, C分别表示开关A、B、C有闭合. A 则指示灯亮的概率为
事件的独立性和伯努利试验
n
n
n
P C P( Ak Bk )
P(
Ak
)P(Bk
)
(
6 25
)n
Cnk
Cnk n
(
6 25
)n
Cn2n
.
k 0
k 0
k 0
谢谢聆听
定义 1.7 设 A, B,C 是三个事件,如果有 P(AB) P(A)P(B) , P(AC) P(A)P(C) , P(BC) P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 两两独立,若同时还有 P(ABC) P(A)P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 相互独立.
注：相互独立的事件一定是两两独立的,反之不成立.
定理 1.5 在 n 重伯努利试验中,设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p (0 p 1) , 则在 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的
概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0, 1, , n ．
证明 记 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生} , i 1, 2, , n .在 n
1 2
，
1 P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) 4 .
由于
P( A1A2
)
1 4
P( A1)P(
A2
)
,
P( A1A3)
1 4
P(
A1)P( A3)
,
P( A2
A3 )
1 4
P( A2
)P(
A3 )
,
因而 A1, A2 , A3 三个事件两两独立.
又知
P( A1A2
A3 )
一般地, 任意 n 个事件 A1, A2 , , An ,若对任意的 k (1 k n ) 个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n ,都有
初中数学公式大全 a4纸打印
初中数学公式大全 a4纸打印一、引言数学作为一门重要的学科，是我们学习生活中不可或缺的一部分。
而数学公式，则是数学知识的核心和精华所在，它们在数学题目中起着至关重要的作用。
为了方便学生的学习和复习，我们编排了初中数学公式大全，并提供了a4纸打印版，以便学生随时查阅和使用。
二、初中数学公式大全1. 代数部分1.1 一次函数的标准方程：y = kx + b1.2 一次函数的斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)1.3 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 01.4 一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a1.5 二次函数的顶点坐标公式：(h, k)1.6 四则运算法则：加法、减法、乘法、除法1.7 分式的乘除法：a/b × c/d = ac/bd , a/b ÷ c/d = ad/bc1.8 指数的运算法则：a^m × a^n = a^(m+n) , a^m ÷ a^n = a^(m-n)2. 几何部分2.1 直角三角形的勾股定理：a^2 + b^2 = c^22.2 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.3 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.4 同位角对顶角相等定理：∠A = ∠C , ∠B = ∠D2.5 三角形内角和公式：∠A + ∠B + ∠C = 180°2.6 平行线性质：对顶角相等、内错角相等、同旁内角相等3. 统计部分3.1 平均数的计算公式：平均数 = 总和 / 样本数3.2 中位数的计算公式：中位数 = (n+1)/2 的观测值3.3 众数的判断方法：出现频次最多的数3.4 方差的计算公式：方差 = (∑(x - x̄)^2) / n4. 概率部分4.1 事件的互斥与对立：P(A∪B) = P(A) + P(B)4.2 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4.3 事件的独立性判断：P(A∩B) = P(A) × P(B)三、a4纸打印版下载信息您可以点击以下信息下载初中数学公式大全a4纸打印版：四、结语初中数学公式大全为学生提供了一个方便、快捷的数学参考手册，希望广大学生能够充分利用这份资料，提高自己的数学学习成绩。
17事件的独立性与伯努利概型
例1.28 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标 各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目 标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?
解 设A=“甲射中目标”，B=“乙射中目标”，
“目标被击中”= A B ，问题归结于求 P A B ，
即求两个相互独立事件并的概率．
P A B 1 P A B 1 P AB 1 P A P B 1 0.2 0.3 0.94 .
事件中，若其中有一对事件相互独立，则其它三对事件 也分别相互独立．
证 假设 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P( A)P B ， 从而 P(AB) P(A) P AB P(A) P A P B P(A)[1 P B] P A P(B) ，
这证明了 A 与 B 相互独立. 同理可证，A 与 B ，A 与 B 也分别相互独立．
注3 A1, A2 ,L , An相互独立
A1, A2,L , An中任意部分事件(个数 2)亦相互独立.
20
思考题
设A,B,C相互独立，证明：A+B与C，AB与C, A-B与C也相互独立.
21
注4 设事件 A1, A2 ,L , An 相互独立，则
P( A1 A2 L
An )
n
1 (1 i1
P(A) P A B P( A) P A B .
(0 P(A) 1,0 P(B) 1)
7
P( A) 0 Ａ与任何事件Ｂ都相互独立；
2º
P( A) 1 Ａ与任何事件Ｂ都相互独立.
Æ和 都与任何事件相互独立． 证 关于第一个蕴涵式．由 P( A) 0 及概率的 单调性知 P( AB) 0 , 从而k21Fra bibliotek3 4
4
C41
多媒体技术基础第3版课后答案
(7)
cb
(8)
bab
(9)
baba
(10)
aa
(11)
aaa
(12)
aaa
…
…
输出码字
(1) (2) (4) (3) (5) (8) (1) (10) (11) …
2.7 LZ78 算法和LZ77 算法的差别在哪里？ (1) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长的匹配串(2.4.2 LZ77 算
3.3 什么叫做采样？什么叫做量化？什么叫做线性量化？什么叫做非线性量化？ (1) 采样：在某些特定的时刻对模拟信号进行测量的过程。 (2) 量化：幅值连续的模拟信号转化成为幅值离散的数字信号的过程。 (3) 线性量化：在量化时，信号幅度的划分是等间隔的量化。 (4) 非线性量化：在量化时，信号幅度的划分是非等间隔的量化。
2.8 LZSS算法和LZ77 算法的核心思想是什么？它们之间有什么差别？ (1) LZSS通过输出真实字符解决了在窗口中出现没有匹配串的问题，但这个解决方案包
含有冗余信息。(2.4.3 LZSS算法) (2) LZ77 编码算法的核心是查找从前向缓冲存储器开始的最长匹配串(2.4.2 LZ77 算法)
3.1 音频信号的频率范围大约多少？话音信号频率范围大约多少？ (1) Audio: 20~20000 Hz (2) Speech: 300~3400 Hz
3.2 什么叫做模拟信号？什么叫做数字信号？ (1) 模拟信号是幅度或频率发生连续变化的一种信号。 (2) 数字信号是以二进制代码形式表示有无或高低的一种信号。
1.2 超链接是什么？ 超链接(hyper link)是两个对象或元素之间的定向逻辑链接，是一个对象指向另一个对象
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
概率统计简明教程 第五章 大数定律与中心极限定理
168第五章 大数定律与中心极限定理我们知道，随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但在大量的重复试验中随机事件的发生却呈现出明显的规律性，例如人们通过大量的试验认识到随机事件的频率具有稳定性这一客观规律.实际上，大量随机现象的一般平均结果也具有稳定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在联系.客观世界中的许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合作用的结果，而其中每个随机因素在总的综合影响中所起作用相对微小.可以证明，这样的随机现象可以用正态分布近似描述，中心极限定理阐述了这一原理.§1 大 数 定 律首先我们介绍证明大数定律的重要工具—切比雪夫（Chebyshev ）不等式.1.1 切比雪夫不等式定理 1.1 设随机变量X 数学期望()E X 和方差()D X 都存在，则对任意给定的正数ε，成立{}2()()D X P X E X εε-≥≤. （1.1）证明 只对X 是连续型随机变量情形给予证明. 设X 的密度函数为()f x ，则有{}()P X E X ε-≥()()d x E X f x x ε-≥=⎰22()[()]()d x E X x E X f x x εε-≥-≤⎰221[()]()d x E X f x x ε+∞-∞≤-⎰1692()D X ε=.称（1.1）为切比雪夫不等式，它的等价形式为 {}2()|()|1.D X P X E X εε-<≥-（1.2）切比雪夫不等式直观的概率意义在于：随机变量X 与它的均值()E X 的距离大于等于e 的概率不超过21D X （）e.在随机变量X 分布未知的情况下，利用切比雪夫不等式可以给出随机事件{()}X E X ε-<的概率的一种估计.例如当ε={8|()|0.8889.9P X E X -<=≥也就是说，随机变量X 落在以()E X为中心，以为半径的邻域内的概率很大，而落在该邻域之外的概率很小.随机变量X 的取值集中在()E X 附近，而这正是方差这个数字特征的意义所在.例1.1 已知随机变量X 和Y 的数学期望、方差以及相关系数分别为()()2E X E Y ==,()1D X =,()4D Y =,,0.5X Y ρ=,用切比雪夫不等式估计概率{6}P X Y -≥.解 由于()()()0E X Y E X E Y -=-=,,(,)1X YCov X Y ρ==,()()()2(,)523D X Y D X D Y cov X Y -=+-=-=,170由切比雪夫不等式，有2(){6}{()()6}6D X Y P X Y P X YE X Y --≥=---≥≤310.08333612===.例 1.2 假设某电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,并且每一盏灯开、关时间彼此独立,试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开灯的盏数在6800至7200之间的概率.解 令X 表示夜晚同时开灯的盏数,则~(,)X B n p ，10000n =，0.7p =，所以()7000E X np ==, ()(1)2100.D X np p =-=由切比雪夫不等式，有{}{}68007200|7000|200X P X P <<=-<221001200≥-0.9475=.在例1.2中，如果用二项分布直接计算，这个概率近似为0.99999.可见切比雪夫不等式的估计精确度不高. 切比雪夫不等式的意义在于它的理论价值，它是证明大数定律的重要工具.1.2 依概率收敛在微积分中，收敛性及极限是一个基本而重要的概念，数列{}n a 收敛到a 是指对任意0e >，总存在正整数,N 对任意的n N >时，恒有||.n a a e -<在概率论中，我们研究的对象是随机变量，要考虑随机变量序列的收敛性.如果我们以定义数列的极限完全相同的方式来定义随机变量序列的收敛性，那么，随机变量序列{}1n X n （）³收敛到一个随机变量X 是指对任意0e >，总存在正整数,N 对任意的n N >时，恒有||n X X e -<.但171由于,n X X 均为随机变量，于是||n X X -也是随机变量，要求一个随机变量取值小于给定足够小的e 未免太苛刻了，而且对概率论中问题的进一步研究意义并不大.为此，我们需要对上述定义进行修正，以适合随机变量本身的特性.我们并不要求n N >时， ||n X X e -<恒成立，只要求n 足够大时，出现||n X X e ->的概率可以任意小.于是有下列的定义定义 1.1 设12,,,,n X X X 是一个随机变量序列，X 是一个随机变量，如果对于任意给定的正数ε，恒有{}lim 0,n n P X X ε→∞->= （1.3）则称随机变量序列12,,,,n X X X 依概率收敛于X ，记作nPX X −−→.1.3 大数定律在第一章，我们曾指出，如果一个事件A 的概率为p ，那么大量重复试验中事件A 发生的频率将逐渐稳定到p ，这只是一种直观的说法.下面的定理给出这一说法的严格数学表述.定理1.2 伯努利大数定律 设A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数， p (01)p <<是事件A 在一次试验中发生的概率，则对任意给定的正数ε，有{}lim 1.n A n Pp nε→∞-<= （1.4）证明 由于A n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，所以~(,)A n B n p ，进而172()A E n np =，()(1)A D n np p =-. ()()A A n E n E p n n==， 2()(1)()A A n D n p p D n nn-==.根据切比雪夫不等式，对任意给定的0ε>，有2(){()}1A A A n D n n nP E nnεε-<≥-，即2(1)1{}1A n p p P p n nεε--≤-<≤.令n →∞，则有 lim {}1A n n P p nε→∞-<=.由伯努利大数定律可以看出，当试验次数n 充分大时，事件A 发生的频率A n n与其概率p 能任意接近的可能性很大（概率趋近于1），这为实际应用中用频率近似代替概率提供了理论依据.定理1.3 切比雪夫大数定律 设,,,,12X X X n 是相互独立的随机变量序列,其数学期望与方差都存在，且方差一致有界,即存在正数M ,对任意k （1,2,k = ），有()k D X M ≤则对任意给定的正数ε,恒有1111lim () 1.nnk k n k k P X E X nnε→∞==-<=⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑∑ （1.5）证明 因为()1111()nnkkk k EXE Xnn===∑∑,()21111()nnkkk k DXD Xnn===∑∑,173由切比雪夫不等式,有{}12211()11()1nknnk k kk k D XPX E Xnnn εε===-<≥-∑∑∑.由于方差一致有界,因此1(),nkk D XnM =≤∑从而得{}211111()1nnkkk k M PXE Xn nnεε==-≤-<≤∑∑.令n →∞,则有{}1111lim ()1nnkkn k k PXE Xnnε→∞==-<=∑∑.推论1.1 设随机变量12,,,n X X X ，相互独立且服从相同的分布，具有数学期望()(1,2,)k E X k μ== 和方差2()k D X σ=（1,2,k = ），则对任意给定的正数ε，有{}11lim 1.nn k k PX nμε→∞=-<=∑ （1.6）切比雪夫大数定律是1866年俄国数学家切比雪夫提出并证明的,它是大数定律的一个相当普遍的结果，而伯努利大数定律可以看成是它的推论.事实上，在伯努利大数定律中，令1,k X ⎧=⎨⎩在第k 次试验中事件A 发生,在第k 次试验中事件A 不发生.0， (1,2,)k =，则(1,)(1,2,),k X B p k = 1nk k A X n ==∑,11nAkk n X nn ==∑，11()nkk E Xp n==∑，并且12,,,,n X X X 满足切比雪夫大数定律的条件， 于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数定律.174以上两个大数定律都是以切比雪夫不等式为基础来证明的,所以要求随机变量的方差存在.但是进一步的研究表明,方差存在这个条件并不是必要的.下面介绍的辛钦大数定律就表明了这一点.定理 1.4 辛钦(Khintchine)大数定律 设随机变量序列12,,,n X X X ，相互独立且服从相同的分布,具有数学期望()k E X μ=,1,2,k = ,则对任意给定的正数ε，有{}11lim 1nn k k PX nμε→∞=-<=∑ （1.7）证明略.使用依概率收敛的概念，伯努利大数定律表明：n 重伯努利试验中事件A 发生的频率依概率收敛于事件A 发生的概率，它以严格的数学形式阐述了频率具有稳定性的这一客观规律.辛钦大数定律表明：n 个独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于随机变量的数学期望，这为实际问题中算术平均值的应用提供了理论依据.例 1.3 已知12,,,,n X X X 相互独立且都服从参数为2的指数分布，求当n →∞时，211nn k k Y X n==∑依概率收敛的极限.解 显然 1()2k E X =，1()4k D X =，所以22111()()()442k k k E X E X D X =+=+= ，1,2,k = ，由辛钦大数定律，有 22111()2nP n k k k Y X E X n==−−→=∑.最后需要指出的是：不同的大数定律应满足的条件是不同的，切比雪夫大数定律中虽然只要求12,,,,n X X X 相互独立而不要求具有相同的分布，但对于方差的要求是一致有界的；伯努利大数定律则要求12,,,,n X X X 不仅独立同分布，而且要求同服从同参数的01-分布；175辛钦大数定律并不要求k X 的方差存在，但要求12,,,,n X X X 独立同分布.各大数定律都要求k X 的数学期望存在，如服从柯西（Cauchy ）分布,密度函数均为21()(1)f x x p =+的相互独立随机变量序列，由于数学期望不存在，因而不满足大数定律.§2 中心极限定理上节大数定律实际上告诉我们：当n 趋向于无穷时，独立同分布的随机变量序列的算术平均值11nk k X n=å依概率收敛于k X 的数学期望m ，即对任意给定的0e >，有11{||}0nk k P X nm e=-钞å.那么，对固定的0e >，n 充分大时，事件11{||}nk k X nm e =- å的概率究竟有多大，大数定律并没有给出答案，本节的中心极限定理将给出更加“精细”的结论.定理2.1 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量12,,,,n X X X 相互独立且服从相同的分布,具有数学期望()k E X μ=和方差2()0k D X σ=> (1,2,)k = ,则对任意实数x ，有221lim Φd ().nk n tx X n P x t x e→∞--∞-μ≤==⎧⎫⎪⎪⎬⎪⎩⎭∑⎰ （2.1）证明略.独立同分布的中心极限定理表明：只要相互独立的随机变量序列17612,,,,n X X X 服从相同的分布，数学期望和方差（非零）存在，则当n →∞时，随机变量nkn Xn Y -=∑μ总以标准正态分布为极限分布，或者说，随机变量1nk k X =∑以()2,N n n μσ为其极限分布.在实际应用中，只要n 足够大，便可以近似地把n 个独立同分布的随机变量之和当做正态随机变量来处理，即21(,)nk k X N n n =∑μσ 近似或.(0,1)nin Xn Y N μ-=∑近似（2.2）下面的定理是独立同分布的中心极限定理的一种特殊情况. 定理2.2 棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理设随机变量n Y 服从参数为,(01)n p p <<的二项分布，则对任意实数x ，恒有22lim Φ()1d n tx Y x x et npP →∞--∞≤==⎧⎫-⎬⎭⎰（2.3）证明 设随机变量12,,...,n X X X 相互独立，且都服从(1,)B p （01p <<），则由二项分布的可加性，知1nn k k Y X ==∑.由于()k E X p =，()(1)k D X p p =-，1,2,k = ，根据独立同分布的中心极限定理可知，对任意实数x，恒有22limΦ(),1dnkntxX npx xe tP→∞--∞-≤==⎧⎫⎪⎪⎬⎪⎭∑⎰亦即22limΦ().1dntxYxx e tnpP→∞--∞≤==⎧⎫-⎬⎭⎰当n充分大时，可以利用该定理近似计算二项分布的概率.例2.1某射击运动员在一次射击中所得的环数X具有如下的概率分布求在100次独立射击中所得环数不超过930的概率.解设iX表示第(1,2,,100)i i= 次射击的得分数，则12100,,,X X X相互独立并且都与X的分布相同，计算可知()9.15iE X=，() 1.2275,iD X=1,2,,100i= ，于是由独立同分布的中心极限定理，所求概率为{}1001930iiXp P=≤=∑1001009.159301009.15iXP⨯-⨯-=≤⎧⎫⎪⎪⎩⎭∑177178(1.35)0.9115Φ≈=.例 2.2 某车间有150台同类型的机器，每台出现故障的概率都是0.02，假设各台机器的工作状态相互独立，求机器出现故障的台数不少于2的概率.解 以X 表示机器出现故障的台数，依题意，(150,0.02)X B ，且()3E X =，() 2.94D X =，1.715=，由德莫弗—拉普拉斯中心极限定理，有{}{}211P X P X ≥=-≤ {}3131 1.7151.715X P--=-≤1Φ(0.5832)≈--0.879=.例 2.3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，平均每箱重50千克，标准差5千克.若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？解 设每辆车最多可装n 箱，记(1,2,,)i X i n = 为装运的第i 箱的重量（千克），则12,,,n X X X 相互独立且分布相同，且()50i E X =，()25,i D X = 1,2,,i n = ， 于是n 箱的总重量为12n n T X X X =+++ ，由独立同分布的中心极限定理，有50{5000}nin XnP T P -≤=≤∑Φ≈.由题意，令179Φ0.977Φ(2).>=有2>， 解得98.02n <，即每辆车最多可装98箱.第二章的泊松定理告诉我们： 在实际应用中，当n 较大p 相对较小而np 比较适中（10,100≤≥np n ）时，二项分布),(p n B 就可以用泊松分布()P λ（np =λ）来近似代替；而德莫弗—拉普拉斯中心极限定理告诉我们：只要n 充分大，二项分布),(p n B 就可以用正态分布近似计算，一般的计算方法是： （1）对0,1,,,k n =ΦΦ⎛⎫⎛⎫≈-⎝（2.4） （2）对非负整数1212;,0k k k k n ≤<≤ 12{}X k P k <≤≈ΦΦ⎛⎫⎛⎫- （2.5）*李雅普诺夫（Liapunov ）定理设12,,,,n X X X 相互独立，且具有数学期望()k k E X μ=和方差2()0k k D X σ=≠（1,2,k = ），记221nn kk B σ==∑，若存在正数δ，使得n →∞时，{}{0.50.5}P X k P k k k ==-<≤+1802211(||)0nkk k nE XB δδμ++=-→∑，则随机变量11()nnnnkkkkk k n nXE XXZ Bμ==--==∑∑∑∑的分布函数()n F x 对于任意实数x ，恒有11lim ()lim n nk kk k nn n nX F x P x Bμ==→∞→∞-=≤⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑∑221Φ()txedt x --∞==⎰.证明略.在李雅普诺夫定理的条件下，当n 充分大时，随机变量11nnk kk k n nX Z B μ==-=∑∑近似服从标准正态分布(0,1)N .因此，当n 充分大时,随机变量11nnkn n kk k XB Z μ===+∑∑近似服从正态分布21(,)nkn k N B μ=∑.这就是说,无论随机变量(1,2,)k X k = 服从什么分布,只要满足李雅普诺夫定理的条件,181当n 充分大时,这些随机变量的和1nk k X =∑就近似服从正态分布.在许多实际问题中,所考察的随机变量往往可以表示成很多个独立的随机变量的和.例如,一个试验中的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差合成的；一个城市的用水量是大量用户用水量的总和，等等，它们都近似服从正态分布．习 题 五1.已知()1E X =，()4D X =，利用切比雪夫不等式估计概率{}1 2.5P X -<.2. 设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，利用切比雪夫不等式估计{}||3P X μσ-≥.3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率.4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中.炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g ，标准差是10g .求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布.182（1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.8. 假设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，已知()ki k E X α=(1,2,3,4;1,2,,)k i n == .证明：当n 充分大时，随机变量211nn ii Z Xn==∑近似服从正态分布.9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理，求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.10 . 某厂生产的产品次品率为0.1p =，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理：（1）计算同时用电户数在9030户以上的概率？（2）若每户用电200瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以0.95的概率保证供电？【提供者：路磊】183。
课件1：2.2.2 事件的相互独立性
P( AB) P( A)P(B) 0.9 0.3 0.27
[变式2] 只有一队夺冠的概率有多大？ 只有一队夺冠的概率为： P( AB AB) P( AB) P( AB)
P( A)P(B) P( A)P(B) 0.34
略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
1 P( A B C) 1 0.5 0.55 0.6 0.835 0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
练习：
甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球； 从两个坛子中分别摸出1个球。问： （1）它们都是白球的概率是多少？ （2）它们都是黑球的概率是多少？ （3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
④ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考： （1）那么什么叫做事件A和B相互独立？
（3）若相互独立事件A和B同时发生，那如何求它们的概率P(AB)？
第二章 随机变量及其分布
§2.2.2 事件的相互独立性
高中数学选修2-3·同步课件
判断：下列事件哪些是相互独立的?
① 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：乙第一次闯关成功.
② 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：甲第二次闯关成功.
p1 p2
（2）事件A、B恰有一个发生的概率是 p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 )
（3）事件A、B至少有一个发生的概率是 1 (1 p1 )(1 p2 )
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
1-6事件的独立性与贝努里概型
【解题思路】 独立性，全概率公式
解 设事件 A 表示从甲箱中所取的球为白球，B 表示从乙箱 中所取的球为白球，由题意知， A 与 B 相互独立，且
AB, AB, AB, A B 构成完备组．
（续解） 利用古典概型计算得 P( A) 1 ， P(B) 3 ．因此
3
4
P(AB) P(A)P(B) 1 ， P(AB) P(A)P(B) 1 ，
4
12
P(AB) P(A)P(B) 1 ， P(A B) P(A)P(B) 1 。
2
6
这就是将要介绍的事件独立性。
定义 6.1 如果随机事件 A, B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，就称
事件 A 和 B 相互独立． 事件 A 和 B 相互独立的直观理解为事件 A 和 B 各自发
生与否没有任何关系．
注意：事件相互独立和事件互不相容是两个不同的概念．
如果事件 A 和 B 相互独立，且 P(A) 0, P(B) 0 ，则 A
1 (1 3
1)3 3
32 81
．
例 6.11 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标 的概率为 p (0 p 1) ，求此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目 标的概率．
例 6.8 设某系统 L 由三个 独立工作的闭合器组成
（如图 1.7），每为 p ，其中
闭合器② 闭合器③
0 p 1．求系统 L 为通路的概率． 图 1.7
解 设 Ai 为第 i 个闭合器闭合，i 1, 2,3 ．则由题意知，A1, A2 , A3
元件服从比例反失效率的温贮备系统性能指标
１２ … 存在分 布函数 Ｆ ｚ ， ，， ， （ ） 一１ ２ …， ，， ｍ， 这里 ， Ｆ是 它 们 共 同 的基 分 布 函数 ． 和 ｙ Ｘ Ｊ的
一
反失效率分别为 ｚ （） ＇ ￡和 ｒ ， ｉ ｒ （ 其中 ｒ 是 Ｆ的 ） （ ）
反 失效 率 ． 了测评 系统 的性 能 ， 为 主要 考 虑下 面两个
ｍ 口 ， １ （ ｒｔ）三 Ｐ（
ａｘ
注 意到 ，
（ 一∑ 墨， ｊ ｒ） ， （ ） ＜ｙ
ｊ １ ＝
（ ６ ）
式中：（ 表示事件 Ａ 的示性函数． ＩＡ） 当工作元件第 志 次失效发生时 ， 温贮备元件存活的总平均数为
Ｘｆ ＜ ）＝
１ ≤≤ ｌ
ＪＩ （ （＝ 。 ｚ ｏ Ｉ ） ）
】
（ ｌ／ ， ， ） ｉ ，ｚ … ｌ ｌ
】 一
一 刍
一 刍 一 ｍ
・
研究温贮备元件的比例反失效率向量和工作元件的 比例反失 效率 的差异 性是 怎样 影 响温贮备 元件 存活 到工作元件第 ｋ次失效时刻时的总数 目．随后 ， 在 随机序下 ， 证明温贮备元件的 比例反失效率一致性 和工作元件 的比例反失效率的一致性使得在工作元
３ ）称随机变量 关于参数 Ｏ Ｅ０随机递增（ 随 机递减）如果对任意 ∈＠ ∈＠ Ｚ ≥ ≤ ， ， ， ，岛 （ ）
使得 ≥ 成立． 定理 １ 假设 系统 由元 件 Ｘ Ｘｚ… ， 组 成 ， ， ，
一
Ｅ Ｍ （，） 一 ［ ｒ ］
’
∑ ∑ 口 ＋… ， ） （ （ ＋ ； …， ．５ ）
＞ ， 如果
Ｊ 。 （ｄｚ： ∑ ） 率 的那些贮备元件存活于某个工作元件失效后的概 ｚＦ ）彘 ）（ ： ＝ （ ２
第一章续7-8节随机事件的独立性
定理1 定理 乘积： 乘积：
二独立事件的交的概率等于这二事件的概率的
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
定理2 有限个独立事件的交的概率等于这些事件的概 定理 率的乘积： 率的乘积：
P( A1 A2 L An ) = P( A1 ) P( A2 )L P( An )
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例1 一批产品共有N个，其中有M个是次品.从这批产品 一批产品共有N 其中有M个是次品. 中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去， 中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去，如此连续 抽查n 这种抽样方式叫做放回抽样 重复抽样） 放回抽样或 抽查n次（这种抽样方式叫做放回抽样或重复抽样）.求n次 都取得合格品的概率. 都取得合格品的概率. 设事件Ai表示第 次抽样时取得合格品(i=1,2,…,n)， 表示第i次抽样时取得合格品 解 设事件 表示第 次抽样时取得合格品 ， 则事件A1,A2,…,An是独立的，并且 则事件 是独立的， N −M P ( Ai ) = (i = 1, 2, L , n ) N 所求的概率
P( A) = ∑P( Bi ) P( A Bi )
i =1
n
L P ( An A1 A2 L An −1 )
P(A) = P(B )P(A B ) + P(B2)P(A B2) + P(B3)P(A B3) 1 1 P(B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A)
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1.7节 续 第1.7节 全概率公式
若
P ( A B ) = P ( A) (事件A与B独立) 事件A 独立)
由
P ( A) = P ( B ) P ( A B ) + P ( B ) P ( A B ) P ( A) = P ( B ) P ( A) + P ( B ) P ( A B )
2024年版的商标许可使用合同的主要条件
专业合同封面COUNTRACT COVER20XXP ERSONAL甲方：XXX乙方：XXX2024年版的商标许可使用合同的主要条件本合同目录一览第一条定义与解释1.1 合同双方1.2 商标1.3 许可使用1.4 许可期间1.5 许可区域1.6 许可产品1.7 许可权限第二条许可条件2.1 商标权的有效性2.2 许可方的商标权益2.3 被许可方的使用限制2.4 商标使用的规范2.5 质量保证第三条许可费用3.1 费用金额3.2 费用支付方式3.3 费用支付时间表3.4 额外费用的承担第四条合同的有效期4.1 起始日期4.2 终止日期4.3 合同续约条款第五条权利与义务5.1 许可方的权利与义务5.2 被许可方的权利与义务5.3 第三方权利与义务第六条违约责任6.1 违约行为6.2 违约责任承担6.3 违约解决方式第七条争议解决7.1 争议解决方式7.2 仲裁地点与机构7.3 仲裁语言第八条合同的修改与终止8.1 合同修改条件8.2 合同终止条件8.3 合同终止后的权利与义务第九条通知与送达9.1 通知方式9.2 送达地址9.3 通知有效期限第十条法律适用10.1 合同适用的法律10.2 法律解释第十一条合同的完整性11.1 合同的独立性11.2 合同与附件的关系11.3 合同的修改与补充第十二条保密条款12.1 保密信息的定义12.2 保密义务12.3 保密信息的例外12.4 泄露后的处理第十三条不可抗力13.1 不可抗力的定义13.2 不可抗力事件的影响13.3 不可抗力事件的后果第十四条附则14.1 附件列表14.2 合同的生效条件14.3 合同的份数14.4 合同的语言版本第一部分：合同如下：第一条定义与解释1.1 合同双方（1）许可方：[许可方全称]（2）被许可方：[被许可方全称]1.2 商标（1）商标：指许可方拥有并有权许可使用的注册商标，商标名称为[商标名称]，商标注册号为[商标注册号]。
医用数理统计方法课件第一章
B
A
A={2,4} B={1,5,6}
（一）事件的关系和运算
7.互逆关系: 若事件A与事件B互斥，且在任何一次试验中二者必定有一个发生，即A∩ B =Ø且A+B=Ω，则称事件A与事件B互逆（或相互对立）。称事件A为事件的B的对立事件， 记为 或 A与B没有相同的样本点 A或B的样本点组成样本空间 推广:完备事件组
就一次试验而言，试验结果没有规律，但“大数次”地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律”
如掷硬币(下表) 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科
统计规律
05
04
02
03
01
试验者 试验次数 正面出现次数 频率
德摩根 2048 1039 0.5073
第三次数学危机
数学家罗素关于集合论的悖论： 设A是以一切自己不属于自己的那种集合为元素构成的集合，即若B B,则B ∈ A; 若B ∈B, 则B A。 问：A属于自己吗？ 若A ∈A，由定义A A 若A A，由定义A ∈ A
罗素悖论的出现引起集合论的矛盾 被称为数学上的第三次危机
第三次数学危机：集合论-悖论
1
某人：“我说的这句话是谎话。”
2
这句话是真话还是谎话？ 理发师：“我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。”
理发师能否给自己刮胡子？
4
解决方法
公理化
6
有一类特殊的试验，它具有下面两个特征： 试验中的所有可能结果（即基本事件）只有有限个，而且是两两互斥的； 每个试验结果出现的可能性相同。
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
初中道德与法治课程标准
第一部分前言道德是人自身发展的需要，也是人类文明进步的重要标志。
当今世界，科技进步日新月异，人类面临的共同问题不断增多，国际竞争日趋激烈，对人的思想观念、道德品质和综合素质提出了新的挑战和要求。
我国社会主义经济、政治、文化、社会建设都进入一个新的历史阶段。
初中学生处于身心迅速发展和学习参与社会公共生活的重要阶段，处于思想品德和价值观念形成的关键时期，迫切需要学校在思想品德的发展上给予正确引导和有效帮助。
为适应初中学生的成长需要，思想品德课程融合道德、心理健康、法律、国情等相关内容，旨在促进初中学生道德品质、健康心理、法律意识和公民意识的进一步发展，形成乐观向上的生活态度，逐步树立正确的世界观、人生观、价值观。
一课程性质思想品德课程是一门以初中学生生活为基础、以引导和促进初中学生思想品德发展为根本目的的综合性课程。
本课程的特性主要有以下几个方面。
思想性以社会主义核心价值体系为导向，深入贯彻落实科学发展观，根据学生身心发展特点，分阶段分层次对初中学生进行爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义的教育，为青少年健康成长奠定基础。
人文性尊重学生学习与发展规律，体现青少年文化特点，关怀学生精神成长需要，用初中学生喜闻乐见的方式组织课程内容、实施教学，用优秀的人类文化和民族精神陶冶学生心灵，提升学生的人文素养和社会责任感。
实践性从学生实际出发并将初中学生逐步扩展的生活作为课程建设与实施的基础；注重与社会实践的联系，引导学生自主参与丰富多样的活动，在认识、体验与践行中促进正确思想观念和良好道德品质的形成和发展。
综合性有机整合道德、心理健康、法律和国情等多方面的学习内容；与初中学生的家庭生活、学校生活和社会生活紧密联系；将情感态度价值观的培养、知识的学习、能力的提高与思想方法、思维方式的掌握融为一体。
二课程基本理念（一）帮助学生过积极健康的生活，做负责任的公民是课程的核心初中学生正处于身心发展的重要时期，自我意识和独立性逐步增强。
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1、设 A, B 是两个随机事件，若 是两个随机事件，
P( AB) = P( A) P( B) ，
相互独立。 则称 A, B 相互独立。 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 例、 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记
A={抽到 抽到K}, B={抽到的牌是黑色的 抽到的牌是黑色的} 抽到 抽到的牌是黑色的
问事件A、B是否独立？ 问事件 是否独立？ 是否独立
信息系 刘康泽
解：由于 P(A)=4/52=1/13,
P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 独立. 这说明事件A、B独立 显然, 相互独立。 【注 1】显然, A, B 相互独立 ⇔ B, A 相互独立。 互不相容， 【注 2】当 P( A)>0，P(B)>0 时，若 A，B 互不相容，则 A,B 一定不是相互独立的。或若 A,B 相互独立，则 A,B 一定不是相互独立的。 相互独立，
信息系 刘康泽
第1-7节 事件的相互独立性 - 节
先看一个例子： 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 将一颗均匀骰子连掷两次， A={第二次掷出 点}， 第二次掷出6点 ， 第二次掷出 设 B={第一次掷出6点}， ={第一次掷出 第一次掷出6点}，
P(A|B)=P(A) 显然 说明：事件B发生与否对 发生与否对A的 P( A) = P( A | B) 说明：事件 发生与否对 的发生没 有影响，这时称事件A 独立。 有影响，这时称事件 、B独立。 独立
由乘法公式知， 独立时， 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有: P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A) P(B)
信息系 刘康泽
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用： 刻划独立性 比用： 比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B) > 0或P(A) > 0的制约. 更好 它不受 的制约
信息系 刘康泽
独立, 例 1 设 A, B 独立,且 P( A) > 0 , P( A) > 0 ,则
P(B) = P(B | A) = P(B | A) . 证明： 独立， 也独立， 证明：因 A, B 独立，则 A, B 也独立，又 P( A) > 0 , P( A ) > 0 ,
则
P( B) = P( B | A) = P( B | A ) .
信息系 刘康泽
同理: 同理: 因 P( B) > 0 ，
A, B 独立 ⇔ P( AB) = P( A) P( B) P( AB) ⇔ P( A) = ⇔ P( A) = P( A | B) P( B)
【注 3】 P( A) = P( A | B) 说明：事件 B 发生与否对 A 的 说明： 发生没有影响，它说明了独立性的内在意义。 发生没有影响，它说明了独立性的内在意义。
信息系 刘康泽
③ ⇒ ④设 A, B 独立
P( AB) = P( A) − P( AB) = P( A) − P( A) P(B) = P( A)[1 − P( B)] = P( A) P( B) , 则 A, B 独立。 独立。
④ ⇒ ①设 A, B 独立
P( AB) = 1 − P( AB) = 1 − P( A + B ) = 1 − [ P( A) + P( B ) − P( AB )] = 1 − [ P( A) + P( B ) − P( A) P( B )] = [1 − P( A)][1 − P( B )] = P( A) P( B)
独立, 独立. (3) ∆ , B 独立,则 ∆ , B 独立.
独立, 独立. (4) 若 ∆ ， Γ 独立,则 ∆ 与 IΓ 独立. 也是一个事件组） （其中 Γ 也是一个事件组）
信息系 刘康泽
独立, (5) 若 ∆ , Γ 独立, P (I ∆ ) > 0 ,则有
P ( I Γ ) = P (I Γ | I ∆ ) .
如果仅有 如果仅有
P( AB) = P( A) P( B) P( AC ) = P( A) P(C ) P( BC ) = P( B) P 称 A, B, C 两两独立。
信息系 刘康泽
由此： 相互独立， 两两独立； 由此：若 A,B,C 相互独立，则 A,B,C 两两独立； 两两独立， 相互独立。 但 A,B,C 两两独立，却不一定有 A,B,C 相互独立。
信息系 刘康泽
二、多个事件的相互独立性 1、三个事件的独立性： 、三个事件的独立性：
［ 定义］ 设事件 A, B , C ， 如果 定义 ］ ① P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) , ② P ( AB ) = P ( A) P ( B ) , ③ P ( AC ) = P ( A) P (C ) ， ④ P ( BC ) = P ( B ) P (C ) 。
则称 A , B , C 相互独立。 一般推不出②③④ ②③④. 【注4】: 由①一般推不出②③④ 】
信息系 刘康泽
例如: 等可能的任取一数， 例如: 从 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 等可能的任取一数 ，令
A = {1,2,3,4} , B = {1,5,6,7} , C = {1,4,7,8} ，则有： 则有： 1 1 1 1 P ( ABC ) = P{1} = = × × = P ( A) P ( B ) P (C ) , 8 2 2 2 1 1 1 但是 P ( AB ) = P{1} = ≠ × = P ( A) P ( B ) 。 8 2 2
(8) n个独立事件和的概率公式 个独立事件和的概率公式: 个独立事件和的概率公式
P( A1 U A2 U L U An ) = 1 − ∏ [1 − P ( Ai )]
= 1 − [1 − P( A1 )][1 − P( A2 )]L[1 − P( An )]
i =1
n
信息系 刘康泽
n n n 证明： 证明： P U Ai = 1 − P U Ai = 1 − P I Ai i =1 i =1 i =1
(3)下列各组事件的独立性是等价的： (3)下列各组事件的独立性是等价的： 下列各组事件的独立性是等价的 ① A, B ；② A, B ；③ A, B ；④ A, B .
信息系 刘康泽
证明： 证明：① ⇒ ②、设 A, B 独立
P( AB) = P( A) − P( AB) = P( A) − P( A)P(B)
(6) ∆ 独立. 独立.
J
（其中 ∆ 表示 ∆ 中 ∆ J 全部换成相应的
J
对立事件后组成的事件组）. 对立事件后组成的事件组） (7)将 A1 , A2 , L , An 分成 r 组，每组经过事件运算后
相互独立. 为一事件 Bi (i = 1,2,L , r ) ,则 B1 , B 2 , L , Br 相互独立.
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
信息系 刘康泽
2、性质 相互独立. (1) 必然事件 Ω 、不可能事件 Φ 与任意事件 A 相互独立. 证明： 证明： P(ΩA) = P( A) = 1 P( A) = P(Ω) P( A)
P(ΦA) = P(Φ) = 0 = 0 P( A) = P(Φ) P( A) 是两个随机事件, (2) 设A、B是两个随机事件,则: A, B 独立 ⇔ P( B) = P( B | A) . （ P( A) > 0 ） A, B 独立 ⇔ P( A) = P( A | B) . （ P( B) > 0 ） 证明： 证明：因为 P( A) > 0 ， A, B 独立 ⇔ P( AB) = P( A)P(B) P( AB) ⇔ P(B) = ⇔ P(B) = P(B | A) P( A)
用 ∆ J 表示 ∆ 的任意一个子事件组 Ak1 , Ak 2 ,L, Ak s 相互独立， 是任意一个事件. 且设 ∆ 相互独立， B 是任意一个事件.
(1) Ω ， ∆ 相互独立； Φ ， ∆ 相互独立. 相互独立； 相互独立.
(2) ∆ , B 独立 ⇔
∆ J , B 均独立 ⇔
P[( I ∆ J ) B ] = ∏ P ( ∆ J ) P ( B ) 均成立. 均成立.
2、多个事件的独立性
［定义］设事件组 A1 , A2 ,L, An ；且 Ak1 , Ak 2 ,L, Ak s 是其中 定义］ 任意 s 个事件（ s = 1, 2,L , n ）,如果： 个事件（ 如果：
P( Ak1 Ak2 L Aks ) = P ( Ak1 ) P ( Ak2 ) L P ( Aks )
信息系 刘康泽
为互斥事件， 例1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 、 为互斥事件 下面四个结论中，正确的是： 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
为独立事件， 例2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 、 为独立事件 下面四个结论中，正确的是： 下面四个结论中，正确的是：
不可能互不相容。 不可能互不相容。 互不相容， 这是因为 A,B 互不相容，则 AB = Φ ，故 0 = P( AB) ≠ P( A) P( B) （ Q P( A)>0，P( B)>0 ） 不相互独立。 所以 A，B 不相互独立。
信息系 刘康泽
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事 在实际应用中 往往根据问题的实际意义去判断两事 件是否独立. 件是否独立 例如:甲 例如 甲、乙两人向同一目标 射击， 甲命中}, B={乙命 射击，记 A={甲命中 甲命中 乙命 是否独立？ 中}，A与B是否独立？ ， 与 是否独立 “甲命中”并不影响“乙命中” ，故认为 、B独立 . 甲命中”并不影响“乙命中” 故认为A 甲命中 独立 又如：一批产品共n件 从中抽取2件 又如：一批产品共 件，从中抽取 件，设 Ai={第i件 第件 是合格品} 若抽取是有放回的, 是合格品 (i=1,2). 若抽取是有放回的 则A1与A2独立 ( 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响 ) . 若抽取是无放回的， 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立 ( 因为第二次 抽取的结果受到 第一次抽取的影响 ).