复数的概念与运算 理科
复数的基本概念与运算例题和知识点总结
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
复数的引入，不仅拓展了数学的范畴，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中关于复数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、复数的定义。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实数可以看作是虚部为0的复数，而虚数可以看作是实部为0的复数。
二、复数的运算。
1. 复数的加法和减法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁±z₂=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。
2. 复数的乘法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 复数的除法。
设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，且z₂≠0，则z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+(b₁a₂-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)i。
三、复数的表示形式。
1. 三角形式。
若z=a+bi，设z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
2. 指数形式。
若z=a+bi，设z=re^(iθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)。
四、复数的共轭和模。
1. 复数的共轭。
设z=a+bi，则z的共轭是a-bi，记作z。
2. 复数的模。
设z=a+bi，则|z|=√(a²+b²)。
五、复数方程的解法。
1. 一元二次方程。
对于形如az²+bz+c=0的一元二次方程，可以使用求根公式z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来求解。
2. 复数方程。
对于形如az²+bz+c=0的复数方程，同样可以使用求根公式来求解，只是此时可能会有两个共轭复数解。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
高考复习：复数的概念及运算
高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。
实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。
详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。
总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。
详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。
但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。
因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。
CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。
电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。
量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。
控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。
信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。
图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它在实际应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些实际应用。
一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，满足i²=-1。
实数部分a与虚数部分bi可以是任意实数。
二、复数的运算规则1. 复数的加法复数的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如：(2+3i) + (4+5i) = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如：(2+3i) - (4+5i) = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法规则为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如：(2+3i) * (4+5i) = -7 + 22i。
4. 复数的除法复数的除法规则为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
例如：(2+3i) / (4+5i) = 23/41 - 2/41i。
三、复数的实际应用复数在物理学、工程学、电路分析等领域中有着广泛的应用。
1. 复振幅在物理学中，复振幅描述了周期性运动的振幅和相位差，可以用复数表示。
通过复数的加法和乘法运算，可以方便地进行振幅和相位的计算。
2. 交流电路分析在电路分析中，交流电路中电流和电压是相位差90°的正弦函数，可以通过复数表示。
利用复数的乘法和除法运算，可以简化交流电路的分析过程。
3. 矢量运算在工程学中，矢量运算广泛应用于力学、电磁学等领域。
复数可以表示二维矢量，利用复数的加法和乘法运算，可以方便地进行矢量的计算。
高三数学复数的概念与运算
I15.1复数的概念与运算【知识点精讲】1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）.2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类：()⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),( N Z Q R C3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ⇔a=c,b=d ；a+bi=0⇔a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）；5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）.复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）ii 3232-+. 解：（1）i 5452+-；（2）i 56251+-. 例2 （05春季上海）已知z 是复数，z+2i 、iz -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.优化设计P222典例剖析例1，解答略。
[实用参考]复数的概念与运算-理科.doc
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第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念 （2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义 2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如a bi +（a b R ∈，）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 表示. (2).虚数单位为i ：①21i =-.②i 和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. (4).复数的几种形式：①.代数形式：z a bi =+（a b R ∈，），其中a 叫实部记作Re(z)，b 叫虚部记作Im(z)；②几何形式:将(,)a b 作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示,点称为复数的几何形式.即(,)z a b =③将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即z OZ = (5).复数的分类：①.实数⇔b=0,即z a = ②.虚数⇔0b ≠③.纯虚数⇔a =0且0b ≠,即z bi =(6).共轭复数:若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z 的共轭复数用z 表示,即z a bi =+（a b R ∈，）,则z a bi =-（a b R ∈，） (7).两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d=（其中a b c d R ∈，，，，）;特别地00a bi a b +=⇔== 2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±;()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++()()()()22()()a bi c di a bi ac bd bc ad ic di c di c di cd +-+++-==++-+ ②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算. (2).运算定律:①复数的加法满足交换律、结合律; 即123,,,z z z C ∀∈都有()()1221123123;z z z z z z Z z z z +=+++=++②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律; 即123,,,z z z C ∀∈()()()12211231231231323;;z z z z z z Z z z z z z Z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅(3)距离:①模:z =;②复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.3、复数的性质(1).共轭复数的性质：2121a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a +b i ）22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅ 2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ）n n z z )(= 特别地:z R z z ∈⇔=;非零复数z 是纯虚数⇔0z z +=注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质111212222;;(0);nn z z z z z z z z z z z z z =⋅=⋅=≠=;11;z z z =⇔⋅=特别地:2222z z z z z z ====⋅(3).复数的乘方：①)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn; ②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有nn n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.(4).绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：12233411n n n z z z z z z z z z z -++++=.4.复数常用的结论： (1).n i 周期为4;即4142434,1,,1n n n ni i i i i i+++==-=-=;)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++(2).211(1)2,,11i ii i i i i i+-±=±==--+ (3).若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）(2).在实数集成立的2||x x =.当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω三、高考真题在线 题型一、复数的概念例1．(20PP ·福建理13)复数2(1)i i +的实部是 . 【解析】2(1)1i i i +=--,所以实部是-1 【答案】-1例2．(20PP ·广东)．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b = A.2B.12C.-12D.-2【解析】(1)(2)2(12)bi i b b i ++=-++，而复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，那么由20b -= 且120b +≠得b=2，故选A 。
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算复数是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也是一项必须掌握的内容。
本文将对复数的概念以及复数的运算进行详细的归纳。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，通常记作a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。
在实数范围内，有些方程是无法求根的，例如x²+1=0。
为了解决这类方程无解的问题，人们引入了虚数单位i。
虚数单位i具有i²=-1的性质，所以x²+1=0可以写成x²=-1，根据i的性质，我们可以得到x=i和x=-i两个解，这就是复数的引入。
复数既包括实数，也包括虚数，可以表示在复平面上，实部表示复数在实轴上的投影，虚部表示复数在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的和为(a+c)+(b+d)i，差为(a-c)+(b-d)i。
复数的加法和减法运算就是分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法运算转化为实数之间的乘法运算，并根据i²=-1化简得到最终结果。
3. 复数的除法设有两个非零复数a+bi和c+di，它们的除法为：```(a+bi)(c-di)(a+bi) / (c+di) = ---------------(c+di)(c-di)```为了将除法转化为乘法，可以借助共轭复数的概念。
共轭复数是保持实部不变、虚部相反的复数，记作a-bi。
借助共轭复数的概念，我们可以将分子和分母都乘以共轭复数来进行除法运算。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，电流和电压往往是复数形式的。
复数可以表示电流或电压的幅度和相位，方便进行电路分析和计算。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。
复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。
下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。
-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。
-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。
3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。
二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。
2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。
3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结高中数学复数知识点总结（上）一、复数的概念在数学中，复数是由实数与虚数构成的数，具有普通实数所不具备的性质。
我们可以用“a+bi”的形式表示一般复数，其中a为实部，b为虚部，i表示虚数单位。
二、复数的运算1. 加减法那么，当两个复数a+bi和c+di相加时，其结果为（a+c）+（b+d）i，同样道理，当两个复数相减时，结果为（a-c）+（b-d）i。
2. 乘法两个复数的乘积等于它们的实部的乘积减去它们的虚部的乘积，再加上它们的实部和虚部相乘的积所得的数。
即(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 除法两个复数相除的时候，与普通的除法有点不同，需要进行有理化分母。
具体来说，将除数和被除数都乘上分母的共轭形式，即将分母的虚部取相反数，然后进行除法运算。
4. 共轭复数两个复数具有相反的虚部，即a-bi和a+bi互为共轭复数，可以用符号“*”表示共轭复数。
共轭复数在实际计算中有很重要的作用。
三、复数的模和辐角1. 模长一般复数z=a+bi的模长为|z|=√（a²+b²），表示复数到原点的距离，也称为模。
2. 辐角对于非零复数z=a+bi，根据正切值的定义，其辐角为arg(z)=tan^-1(b/a)，其中atan为反正切函数。
3. 三角形式已知复数的模和辐角，我们可以用三角形式表示它，即z=a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)，cosθ为实部的比值，sinθ为虚部的比值。
四、欧拉公式欧拉公式指出，在复平面上，长度为r，辐角为θ的向量可以表示为r(cosθ+isinθ)，再代入最著名的三角函数公式e^ix=cosx+isinx，就得到e^iθ=cosθ+isinθ，这就是欧拉公式的核心内容。
五、复数的平方根1. 一般情况下，不同的复数可能有多个平方根，例如2i 的平方根为±（1+i）√2。
因此，我们通常取其中模长为较小值的平方根。
2《数学物理方法》第二讲复数的运算&复变函数
相当于 x x 0 ， y y 0 因而，有关复数的极限可归结为
一对实数的极限，，因而，关于实数的和差积商的极限定理，关于实数
的极限存在的判据，全部都适用与复数。
二、复变函数
2、1 复变函数的定义： 若在复平面（或复数球）上存在一个点集E（复数的集合），对于E 的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值
实现方法：测地投影； 最后结果：（1）、有限远点和球面上的点一一对应（坐标原点与南极重合），
引入复数球（Riemman空间）
目的：使平面上的点与球面上的点一一对应；
（2）、无限远点和北极对应。
------《数学物理方法》第二讲------
1、5
复数与实数之间的联系： 由 z x iy 和 z 0 x 0 iy 0 可知：
(cos 隶莫弗公式： n i sin n ) cos i sin
------《数学物理方法》第二讲------
n
开方：n z 是个多值函数，共有n个不同的复根。
n
z
n
e
i
n
e
i
n
i
n
(co s
n
i sin
n
)
说明产生n个根的原因：
z e
数学物理方法第二讲
复数的运算&复变函数（2学时）
一、复数与运算
1、1 复数的概念：
定义：表达式 z x iy 叫做复数（或叫做复数的代数式）， 其中：i 叫做虚数单位。
性质： i 2 1
i
2 ( 2 k 1)
i i
3
i 1
复数知识点总结
复数知识点总结在数学的领域中，复数是一个非常重要的概念。
它不仅在理论上丰富了数学的体系，而且在实际应用中，如物理学、工程学等领域，都发挥着不可或缺的作用。
接下来，让我们一起深入了解复数的相关知识。
一、复数的定义复数是指形如\（a ＋ bi\）的数，其中\（a\）和\（b\）均为实数，＼（i\）是虚数单位，满足\（i^2 ＝－1\）。
＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
例如，＼（3 ＋ 2i\）就是一个复数，其中\（3\）是实部，＼（2\）是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们刚刚提到的\（a ＋ bi\），这是最常见也是最基本的表示形式。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，复数\（a ＋ bi\）可以用坐标\（（a, b)＼）来表示。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
3、三角形式复数\（z ＝ a ＋ bi\）可以表示为\（z ＝r(cosθ ＋isinθ)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（tanθ ＝＼frac{b}｛a}＼）。
4、指数形式根据欧拉公式\（e^｛iθ} ＝cosθ ＋isinθ\），复数还可以表示为\（z ＝ re^｛iθ}＼）。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ± z_2 ＝（a_1 ± a_2) ＋（b_1 ± b_2)i\）2、乘法＼（z_1 ＼times z_2 ＝（a_1 ＋ b_1i) ＼times （a_2 ＋ b_2i)＼）＼＼begin{align}＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼3、除法＼＼frac{z_1}｛z_2}＝＼frac{a_1 ＋ b_1i}｛a_2 ＋ b_2i}＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＼begin{align}＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2 ＋（a_2b_1 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼＼＆＝＼frac{a_1a_2 ＋ b_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2} ＋＼frac{a_2b_1 a_1b_2}｛a_2^2 ＋ b_2^2}i＼end{align}＼四、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
高中数学复数的基本概念与运算
高中数学复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
本文将对高中数学中复数的基本概念与运算进行详述，以帮助读者更好地理解和应用复数。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi ，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足基本性质 i² = -1。
实数部分和虚数部分的乘积形成了复数的乘法关系。
2. 复数的表示形式复数可以用代数形式表示，如 a + bi，也可以用极坐标形式表示，如r(cosθ + isinθ)。
极坐标形式涉及到复数的模和辐角，用于方便进行复数的乘法和除法运算。
3. 复数的运算复数的加法和减法运算与实数的运算相似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
复数的乘法运算可以通过展开运算来实现，使用分配律进行实部和虚部的运算。
复数的除法运算可以通过乘以共轭复数的方法进行。
复数的运算满足交换律和结合律，但不满足除法的交换律。
4. 复数的共轭一个复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数在复数的乘法和除法运算中起到重要的作用。
两个复数的乘积的虚部为各自虚部的乘积取相反数，除法的结果为被除数与除数的共轭的商。
5. 复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，用数学符号表示为 |z|，计算公式为|z| = √(a² + b²)，其中 a 和 b 分别为复数的实部和虚部。
复数的辐角表示复数与实轴正半轴之间的夹角，用数学符号表示为 arg(z)。
辐角的计算可以利用三角函数的关系进行，例如tanθ = b/a。
6. 复数的幂与根对于一个复数 z = a + bi，它的整数幂可以通过将复数展开为极坐标形式来计算，即zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + isin(nθ))，其中 r 和θ 分别为复数 z 的模和辐角。
复数的平方根可以通过解方程 z² = a + bi 来计算，解得的两个根分别为原根和共轭根。
复数的概念与运算
复数的概念与运算一:知识点详析1．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位,规定21i =-,形如a+bi 的数称为复数,其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算：⑴n i ()*n N ∈怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4 ()*,k N r N ∈∈） ⑵i i 2321232121--=+-=ωω、是1的两个虚立方根，并且：13231==ωω221ωω=122ωω=211ωω=121ωω=21ωω=12ωω=121-=+ωω⑶ 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷ 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n ∈+=+θθθθ ⑸ 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：)1210)(2sin2(cos-=+++=n k nk i nk r z nk ，，，， απαπ它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数的概念与运算理科
复数的概念与运算-理科第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如a bi+（a b R∈，）(2).虚数单位为i：①21i=-.②i和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数.(4).复数的几种形式：①.代数形式：z a bi，），其中a叫实部记作Re(z)，=+（a b R∈b叫虚部记作Im(z)；②几何形式: 将(,)a b作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示, 点称为复数的几何形式.即(,)z a b = ③将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即z OZ = (5).复数的分类： ①.实数⇔b = 0,即z a = ②.虚数⇔0b ≠③.纯虚数⇔a = 0且0b ≠,即z bi =(6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z 的共轭复数用z 表示,即z a bi =+（a b R ∈，）,则z a bi =-（a b R ∈，） (7).两个复数相等的定义：a bi c di a c+=+⇔=且b d=（其中a b c d R ∈，，，，）;特别地00a bi ab +=⇔==2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±; ()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++()()()()22()()a bi c di a bi ac bd bc ad ic di c di c di cd +-+++-==++-+②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算.(2).运算定律:①复数的加法满足交换律、结合律;即123,,,z z z C ∀∈都有()()1221123123;z zz z z z Z z z z +=+++=++②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律;即123,,,z z z C ∀∈()()()12211231231231323;;z z z z z z Z z z z z z Z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅(3)距离:①模:z =; ②复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.3、复数的性质(1). 共轭复数的性质：z z =2121z z z z +=+az z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121zz z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z） nnz z)(=特别地:z R z z ∈⇔=; 非零复数z 是纯虚数⇔0z z += 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质111212222;;(0);nn z z z z z z z z z z zz z =⋅=⋅=≠=; 11;z z z =⇔⋅=特别地:2222zz z z z z====⋅(3).复数的乘方：①)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn;②对任何z ，21,zz C∈及+∈N n m ,有nn n n m n m n m n mz z z z z z z z z2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i就会得到11=-的错误结论.(4).绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z+≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z∈=.注：12233411n n nz z z z z z z z z z -++++=.4.复数常用的结论：(1).ni 周期为4; 即4142434,1,,1n n n nii iii i+++==-=-= ;)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++(2).211(1)2,,11iii i i i ii+-±=±==--+(3).若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则1若021z z+，则21z z- .（×）[21,zz )(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω为复数，而不是实数]2若21z z，则021z z-.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）(2).在实数集成立的2||x x =.当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax时，应注意下述问题：①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况. ③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题在线 题型一、复数的概念例1． (2009·福建理13) 复数2(1)i i +的实部是 .【解析】2(1)1i i i +=--,所以实部是-1【答案】-1例2．(2007·广东) ．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b =A. 2B. 12C. -12 D. -2【解析】(1)(2)2(12)bi i b b i ++=-++，而复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，那么由20b -=且120b +≠得b=2，故选A 。
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第二节 复数的概念与运算一、课标考纲要求1.复数的概念（1）理解复数的基本概念 （2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示法及其几何意义 2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1．复数的基本概念(1).概念：形如a bi +（a b R ∈，）的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用C 表示. (2).虚数单位为i ：①21i =-.②i 和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面,x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. (4).复数的几种形式：①.代数形式：z a bi =+（a b R ∈，），其中a 叫实部记作Re(z)，b 叫虚部记作Im(z)；②几何形式: 将(,)a b 作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射;因此复数可以用点来表示, 点称为复数的几何形式.即(,)z ab = ③将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量,因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式.即z O Z =(5).复数的分类：①.实数⇔b = 0,即z a = ②.虚数⇔0b ≠③.纯虚数⇔a = 0且0b ≠,即z bi =(6).共轭复数: 若两个复数的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数叫做互为共轭复数,复数z 的共轭复数用z 表示,即z a bi =+（a b R ∈，）,则z a bi =-（a b R ∈，） (7).两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a bcd R ∈，，，，）;特别地00a bi a b +=⇔==2.复数的基本运算(1).复数的运算法则：①代数形式:运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意:复数的除法运算,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±; ()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++()()()()22()()a bi c di a bi ac bd bc ad ic di c di c di c d+-+++-==++-+ ②向量形式:加、减法满足平行四边形和三角形法则,若为坐标满足向量的坐标运算. (2).运算定律:①复数的加法满足交换律、结合律; 即123,,,z z z C ∀∈都有()()1221123123;z z z z z z Z z z z +=+++=++②复数的乘法满足交换律、结合律、分配律; 即123,,,z z z C ∀∈()()()12211231231231323;;z z z z z z Z z z z z z Z z z z z ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅(3)距离:①模:z =; ②复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.3、复数的性质(1). 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121zz z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 特别地:z R z z ∈⇔=; 非零复数z 是纯虚数⇔0z z +=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] (2).模运算的性质111212222;;(0);nn z z z z z z z z z z z z z =⋅=⋅=≠=; 11;z z z =⇔⋅=特别地:2222z z z z z z ====⋅ (3).复数的乘方：①)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn; ②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有nn n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.(4).绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=.注：12233411n n n z z z z z z z z z z -++++= .4.复数常用的结论： (1).ni 周期为4; 即4142434,1,,1n n n nii iii i+++==-=-= ; )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++(2).211(1)2,,11iii i i i i i+-±=±==--+ (3).若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 5.易错点(1).两个复数不能比较大小;当且仅当两个复数全为实数时,才能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）(2).在实数集成立的2||x x =.当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根abx 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题在线 题型一、复数的概念例1． (2009·福建理13) 复数2(1)i i +的实部是 . 【解析】2(1)1i i i +=--,所以实部是-1 【答案】-1例2．(2007·广东) ．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b = A. 2 B. 12 C. -12D. -2【解析】(1)(2)2(12)bi i b b i ++=-++，而复数(1)(2)bi i ++是纯虚数，那么由20b -= 且120b +≠得b=2，故选A 。
【答案】A方法总结：求解复数概念方面的题目，关键在于将复数化为代数形式后，利用相关概念，找到充要条件进行求解. 过关测试)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωω1. （2006年福建卷）设,,,a b c d R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是A. 0ad bc -=B. 0ac bd -=C. 0ac bd +=D. 0ad bc += 2.（2005年北京卷）若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 题型二、复数相等例3.（2012高考江苏3）设a b ∈R ，，11712ia bi i-+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 【解析】由11712ia bi i-+=-得()117(12)1171515i 5312(12)(1+2)5i i i i a b i i i i -+-++====+--所以5,3,8a b a b ==+=【答案】8例4（2010辽宁理数）(2)设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则 A ．31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D.1,3a b ==【解析】由121i i a bi +=++得12()()i a b a b i +=-++所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得31,22a b ==，故选A 【答案】A方法总结：复数相等问题关键抓住定义，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，建立方程求得相关参数.复数不能比较大小，当且仅当复数为实数的时候，才能比较大小. 过关测试3.（2010江西理数）1.已知()(1)x i i y +-=，则实数,x y 分别为A.1,1x y =-=B. 1,2x y =-=C. 1,1x y ==D. 1,2x y == 4.（2006年浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 A.12i + B. 12i - C. 2i + D. 2i - 题型三、复数的几何意义例5(2011年高考山东卷理科2)复数22iz i-=+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】22(2)343425555---====-+i i i z i i 故坐标为34(,)55-，第四象限. 【答案】D例6（2010北京理数）在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 .【解析】2(1)11ii i i i=+=-+-故坐标为（-1,1） 【答案】（-1,1）方法总结：复数的三种形式间的转化，代数形式z a bi =+⇔复平面内的点(,)Z a b ⇔复平面内的向量(,)OZ a b =过关测试5.（2006年北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6. （2010·北京文数）在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A B 若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是A.48i +B.82i +C.24i +D.4i + 题型四、复数的模例7(2011年高考辽宁卷理科1) a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =A ．【解析】|1|2+=-==a iai i,0a >，故a =【答案】： B例8（2010江苏卷）设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为_________. 【解析】考查复数运算、模的性质；法1：先求64223iz i i+==-，故2z =法2:由复数模的性质由(23)2(32)z i i -=+, 23i -与32i +的模相等，得2z =.【答案】：2方法总结：复数的模，常伴随着复数的运算，即常规方法是先求出所求复数的代数形式，然后利用复数模计算公式求解.也可以利用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解. 过关测试7．（2008·广东）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是A ．(15)，B ．(13)，C ．D ．8.（2010山东质检）设复数z 满足关系式2z z i +=+，则z 等于A.34i -+ B. 34i - C. 34i + D. 34i -- 题型五、复数的运算例9（2012高考真题四川理2）复数2(1)2i i-= A ．1 B.1- C.i D.i -【解析】直接化简为代数形式：22(1)1221222i i i ii i i--+-===-. 【答案】B例10（2012高考真题山东理1）若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为A.35i +B.35i -C.35i -+D.35i -- 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 【答案】A例11(2011年高考湖北卷理科1)i 为虚数单位，则20111()1i i+-= A.-i B.1- C.i D.1【解析】因为+=-11i i i ,法1：利用21i =-，即()20115052011211i iii i i +⎛⎫==⋅=- ⎪-⎝⎭；法2：利用ni 是以4为周期的，则有2011201145023311i i i i i i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭所以选A.【答案】A方法总结: 复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.③乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次数较高时常常隐含着周期，利用周期进行转化.如：ni 的周期为4.运算结果都必须为复数的代数形式，因此，一些复数问题只需设z a b i =+（,ab R ∈）代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决. 过关测试9.(2012高考真题安徽理1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =A.22i --B.22i -+C.i 2-2D.i 2+2 10.（2010天津理数）i 是虚数单位，复数1312ii-+=+A.1i +B.55i +C.55i --D.1i -- 11.(2009·广东理2) 设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ， ()a i =A ．8B ．6C ．4 D.2 题型六：共轭复数例12(2011浙江卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z += A.3i - B.3i + C.13i + D.3 【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A 【答案】 A例13（2008山东）设z 的共轭复数是z ，且z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于 A ．1 B.i - C.1± D i ± 【解析】本题考查共轭复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式，由z +z =4则2,2z bi z bi =+=-，由8z z ⋅=得248b +=，则2b =±，22(22)88z z i i z ±===±【答案】D方法总结：法1：利用共轭复数的定义，常先计算出z a b i =+的形式，再用定义得到z a b i =-，最后直接计算相关问题，法2：共轭复数的性质解题 过关测试12.(2011年高考全国新课标卷理科1)复数ii212-+的共轭复数是 A.i 53-B.i 53C.i -D.i13.(2011年高考江西卷理科1)若iz i1+2=，则复数z =A. i -2-B. i -2+C. i 2-D. i 2+ 题型七、复数与其它知识的综合例14(2012高考真题新课标理3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A.23,p pB.12,p pC.,p p 24D.,p p 34【解析】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以z =，22(1)2z i i =--=，共轭复数为1,z i =-+z 的虚部为1-，所以证明题为24,p p ，故选C.【答案】C例15(2012高考真题陕西理3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】00=⇔=a ab 或0=b ，而复数bi a i b a -=+是纯虚数00≠=⇔b a 且，iba ab +⇐=∴0是纯虚数，故选B. 【答案】B方法总结：复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景，利用其它章节的知识来来解决.关键在于知识的综合性和关联性. 过关测试14.(2007年山东)若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是A.6π B. 4π C. 3π D. 2π15.(2009湖北理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数()()m ni n mi +-为实数的概率为 A.13 B.14 C.16 D.112四、重庆9年高考1.（2012重庆理11）若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；2.（2011重庆理1）复数2341++=-i i i iA ．1122i -- B. 1122i -+ C.1122i - D. 1122i + 3.（2010重庆理数11）已知复数1z i =+，则2z z-=____________.4.（2009重庆理数2）已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz=A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+5.（2008重庆理数1） 复数1+32i=A.12i +B.12i -C.1-D.3 6.（2007重庆理数11）复数322ii+的虚部为________. 7. (2006重庆11)复数3123ii++的值是___________. 8.(2005重庆卷1)=-+2005)11(iiA ．iB ．－iC ．20052D.－200529.(2004重庆卷)设复数1Z =, 则22Z Z -= ( )A.3-B.3C.3i -D.3i五、2014权威预测复数的重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点；复数的概念，要搞清楚实部与虚部，21i =-，共轭复数等概念，及复数的运算.从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以选择、填空题出现，分值为5分，在高考试卷中属于必考题，应引起注意.六、挑战高考满分1．（2008辽宁理）复数11212i i+-+-的虚部是 A ．15iB ．15C ．15i - D ．15-2．（2006全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1- C3．（2012四川理）复数2(1)2i i-= A.1 B.1- C.i D.i - 4．（2011安徽理）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 A ． 2 B. -2 C. -12 D. 125．（2010山东理）已知),(2R b a i b iia ∈+=+，则=+b a A.1- B.1 C.2 D.36．（2012海南文）复数32iz i-+=+的共轭复数是A.2i +B.2i -C.1i -+D.1i --7.（2005浙江卷）在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 8.（2012北京理3）设,a b R ∈,“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.（2010浙江理数）对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是A.2z z y -=B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+10．(2006上海卷)若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ． 11.（2010江苏卷）设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为___________.12.（2009年上海卷理）若复数z 满足(1)1z i i +=- (i 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .13.（2006年湖北）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________________.。