高中数学：空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)

2.1.1平面

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系

知识导图

学法指导

1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．

2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．

3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．

4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．

5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．

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1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，

需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．

2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．

3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．

第1课时平面

知识点一平面

概念

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出

来的，是无限延展的

画法

常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成

45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被

遮挡部分用虚线画出来

表示

方法

(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；

(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两

个顶点；

(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点

1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；

2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

1.直线在平面内的概念

如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表

示

文字语言表达图形语言表达

A∈l 点A在直线l上

A∉l 点A在直线l外

A∈α点A在平面α内

A∉α点A在平面α外

l⊂α直线l在平面α内l⊄α直线l在平面α外

l∩m＝A 直线l，m相交于点

A

α∩β＝l 平面α，β相交于直

线l

知识点二平面的基本性质

公理内容图形符号

公理1

如果一条直线上的

两点在一个平面内，

那么这条直线在此

平面内

A∈l，B∈l且A∈α，

B∈α⇒l⊂α

公理2

过不在同一条直线

上的三点，有且只有

一个平面

A，B，C三点不共线

⇒存在唯一的平面α

使A，B，C∈α

公理3

如果两个不重合的

平面有一个公共点，

那么它们有且只有

一条过该点的公共

直线

P∈α且P∈β⇒α∩β

＝l且P∈l

1.公理1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的说理中)．

2．公理2的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题.

公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空间不同三点确定一个平面．()

(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．()

(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．()

☆答案☆：(1)×(2)×(3)√

2．经过空间任意三点作的平面()

A．只有一个B．只有两个

C．有无数个D．只有一个或有无数个

解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能作一个平面．

☆答案☆：D

3．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()

A．l⊂αB．l∉α

C．l∩α＝A D．l∩α＝B

解析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l ⊂α.

☆答案☆：A

4．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是() A．A、B、C、D四点中必有三点共线

B．A、B、C、D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

解析：A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．☆答案☆：B

类型一平面,

例1下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平面图形都可以表示平面；③平面ABCD的面积为10 cm2；④空间图形中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平