离散数学(第1章习题课)讲解
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出现多次，则将其化成只出现一次。
（5）去掉析取范式中所有永假式的短语和合取范式中所有永真
式的子句，即去掉短语中含有形如P∧～P的子公式和子句中含有 形如P∨～P的子公式。
2019/6/13
计算机学院
12/24
（6）若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所规定的命题
变元，则可用公式：
（～Ｐ∨Ｐ）∧Q=Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的短语，
此时得到的短语将是标准的极小项；
（7）若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所规定的命题
变元，则可用公式：
（～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的子句，
此时得到的子句将是标准的极大项。
（8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，同时利用交换律
Ｅ8: G∧(H∧S) (G∧H)∧S
Ｅ9：G∨(G∧H) G
(吸收律)
Ｅ10：G∧(G∨H) G
Ｅ11：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S)
(分配律)
Ｅ12：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) Ｅ13：G∨F G
(同一律)
Ｅ14：G∧T G
2019/6/13
（7）联结词“∧”、“∨”、“”具有对称性，而联 结词“～”、“→”没有；
（8）联结词“∧”、“∨”、“～”同构成计算机的与 门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻辑是计 算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工具。
2019/6/13
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命题公式----
（1）命题变元（原子命题变元）本身是一个公式；
有限个句节的析取式称为子句；
有限个句节的合取式称为短语。
有限个短语的析取式称为析取范式；
有限个子句的合取式称为合取范式。
2019/6/13
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极小项----在n个变元的基本积（短语）中，若每一个 变元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅 出现一次，则称这种基本积为极小项。
（P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R）∨（R∧P∧Q）
∨ （R∧P∧～Q）∨（R∧～P∧Q）∨（R∧～P∧～Q） （主析取范式）
2019/6/13
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4、P25 14 解：根据给定的条件有下述命题公式：
的命题公式，在G中凡出现G1处都以H1替换后得到新的命题公式H， 若G1 H1，则G H。 对偶式---- 在给定的仅使用联结词～ 、∨、∧的命题公式A中，若 把∧和∨，F和T互换而得的公式A*，则称A*为A的对偶（公）式。 对偶原理----设A和B是两个命题公式，若A B，
则 A* B*
陈瑜
Email：chenyu.inbox@gmail.com
2019年6月13日星期四
第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否
2019/6/13
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2、 G=～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ，求主析取和主合取范式。 解：首先列出其真值表如下：
PQR
000 001 010 011 100 101 110 111
P→Q
1 1 1 1 0 0 1 1
～（P→Q） ～(P→Q)∨R
0
0
极大项
0
1
0
0
0
1
极小项
1
1
1
1
0
0
0
来自百度文库
1
公式转换法
（1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式中的→、用联 结词～、∧、∨来取代；
（2）利用德摩根定律将否定号～移到各个命题变元的前端； （3）利用结合律、分配律、吸收律、幂等律、交换律等将公式
化成其等价的析取范式和合取范式。
（4）在析取范式的短语和合取范式的子句中，如同一命题变元
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
2019/6/13
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进行顺序调整，由此可转换成标准的主析取范式和主合取范式。
真值表技术法
主合取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值0时的解释所
对应的全部极大项的合取式。
主析取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值1时的解释所
对应的全部极小项的析取式。
2019/6/13
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（1）求出公式的真值表 （2）求出使公式取值0时的解释所对应的全部极大项
2019/6/13
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命题逻辑的推理方法----
设G是由一组命题公式组成的集合，如果存在命题公式的有限序列：
H1，H2，……，Hn（=H）
其中，Hi或者是G中的某个公式，或者是前面的某些Hj（j<i）的有
效结论，并且Hn就是H，则称公式H是G的逻辑结果（有效结论），或者
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Ｅ15：G∨T T
(零律)
Ｅ16：G∧F F Ｅ17：G∨～G T
(矛盾律)
Ｅ18：G∧～G F
Ｅ19：～ (～G) G
(双重否定律)
Ｅ20：（G∧H)→S G→（H→S）
（输出律）√
Ｅ21：（GH）(～G∧H)∨(G∧～H)
(排中律)
称由G演绎出结论H来。
推理规则--- ① P规则（称为前提引用规则）：在推导的过程中，可随时引入前提集
合中的任意一个前提；
② Ｔ规则（逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，利用基本等价式
和蕴涵式，由证明过程中某些中间公式变换出新的公式，若依据的是等
价式，规则标明为TE，若依据的是蕴涵式，规则标明为TI 。
（5）双条件联结词“”是自然语言中的“充分必要条 件”、“当且仅当”等的逻辑抽象；
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（6）联结词连接的是两个命题真值之间的联结，而不是 命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于 构成他们的各原子命题的真值，而与它们的内容、含 义无关，与联结词所连接的两原子命题之间是否有关 系无关；
16/24
3、用公式转换法求上题中的主析取和主合取范式 ～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R （P∨R）∧（～Q∨R） （P∨R∨（～Q∧Q））∧（～Q∨R∨（～P∧P））
（P∨R∨～Q）∧（P∨R∨Q）∧（～Q∨R∨～P）∧（～Q∨R∨P）
（P∨R∨～Q）∧（P∨R∨Q）∧（～Q∨R∨～P） （主合取范式）
主析取范式----由有限个极小项组成的析取式。 极大项----在n个变元的基本和（子句）中，若每一个
变元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅 出现一次，则这种基本和称为极大项。 主合取范式----由有限个极大项组成的合取式。 命题公式的蕴涵----设A和B是两个合适公式，如果在 任何解释下，A取值1时B也取值1，则称公式A蕴涵公式 B，并记A B。
Ｅ22：P→Q ～Q→～P
（逆反律）√
Ｅ23：～ (G∨H) ～G∧～H
(De Morgan定律)
Ｅ24：～ (G∧H) ～G∨～H。
范式——全名叫规范型式normal form,又叫标准型式,正规型
式。把公式进行标准化，正规化，就叫对公式求范式。
命题变元或命题变元的否定称为句节。
③ ＣＰ规则（附加前提规则）：如果能从给定的前提集合G与公式P推
导出S，则能从此前提集合G推导出P→S。
即G1,G2,…,Gn P→S 当且仅当 G1,G2,…,Gn，P S
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二、基本方法 1、应用基本等价式及置换规则进行等价演算 2、求主析取（主合取）范式的方法
（2）如P，Q是公式，则(～P)、(P∧Q)、(P∨Q)、
(P→Q)、(PQ)也是公式； （3）命题公式仅由有限步使用规则1-2后产生的结果。
该公式常用符号G、H、…等表示。 公式的解释----设P1、P2、…、Pn是出现在公式G中的所
有命题变元，指定P1、P2、…、Pn的一组真值（如1， 0，1，…，0，1），则这组真值称为G的一个解释,常 记为Ｉ。
极大项取值0“当且仅当”：如果极大项中出现的是原子本 身，则原子赋值为0；如果出现的是原子的否定，则原子赋值为1。 （3）求出使公式取值1时的解释所对应的全部极小项
极小项取值1 “当且仅当”：如果极小项中出现的是原子 本身，则原子赋值为1；如果出现的是原子的否定，则原子赋值 为0。
3、推理的各种方法 （1）直接法 （2）利用CP规则 （3）反证法
定 c ）：
（1）联结词“～”是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻
辑抽象；
（2）联结词“∧”是自然语言中的“并且”、“既…又…”、“但”、 “和”等的逻辑抽象；
（3）联结词“∨”是自然语言中的“或”、“或者”等逻辑抽象；但
“或”有“可兼或∨”、“不可兼或”、“近似或”三种，前两
201种9/是6/联13结词，后一种是非联计结算词机；学院
2019/6/13
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永真式(重言式) 永假式(矛盾式，不可满足公式) 可满足的 命题公式的等价----设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下，G与H的
真值相同，则称公式G、H是等价的 ，记作GH。 替换定理----设G1是G的子公式(即 G1是公式G的一部分)，H1是任意
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基本等价式——命题定律
设G，H，S是任何的公式，则：
Ｅ1:(G H)(G→H)∧(H→G)
(等价)
Ｅ2：(G→H) (～G∨H)
(蕴涵)
Ｅ3：G∨G G
(幂等律)
Ｅ4：G∧G G Ｅ5：G∨H H∨G
(交换律)
Ｅ6：G∧H H∧G Ｅ7：G∨(H∨S) (G∨H)∨S (结合律)
～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R （P∧～Q∧（R∨～R））∨（R∧（P∨～P）∧（Q∨～Q）） （P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R））∨（R∧P）∨（R∧～P） （P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R））∨（R∧P∧（Q∨～Q）） ∨（R∧～P∧（Q∨～Q））
2019/6/13
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基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q） ～P
2/24
（4）联结词“→”是自然语言中的“如果…，则…”， “若…，才能…”、“除非…，否则…”等的逻辑抽象。 在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句 的意义，往往无法判断。但在数理逻辑中，当前件P为 假时，不管Q的真假如何，则P→Q都为真。此时称为 “善意推定”；这里要特别提醒一下“→”的含义， 在自然语言中，条件式中前提和结论间必含有某种因 果关系，但在数理逻辑中可以允许两者无必然因果关 系，也就是说并不要求前件和后件有什么联系；
2019/6/13
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三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
否定式假言推论（拒取式）
I5：～P∧（P∨Q） Q 析取三段论（选言三段论） I6：（P→Q）∧（Q→R） P→R 假言（前提条件）三段论 I7：（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R） R 二难推论 I8：（P→Q）∧（R→S）（P∧R）→（Q∧S） I9：（PQ）∧（QR） PR I10：（P∨Q）∧（～P∨R） Q∨R 归结原理
（5）去掉析取范式中所有永假式的短语和合取范式中所有永真
式的子句，即去掉短语中含有形如P∧～P的子公式和子句中含有 形如P∨～P的子公式。
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（6）若析取范式的某一个短语中缺少该命题公式中所规定的命题
变元，则可用公式：
（～Ｐ∨Ｐ）∧Q=Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的短语，
此时得到的短语将是标准的极小项；
（7）若合取范式的某一个子句中缺少该命题公式中所规定的命题
变元，则可用公式：
（～Ｐ∧Ｐ）∨Q=Q
将命题变元P补进去，并利用分配律展开，然后合并相同的子句，
此时得到的子句将是标准的极大项。
（8）利用幂等律将相同的极小项和极大项合并，同时利用交换律
Ｅ8: G∧(H∧S) (G∧H)∧S
Ｅ9：G∨(G∧H) G
(吸收律)
Ｅ10：G∧(G∨H) G
Ｅ11：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S)
(分配律)
Ｅ12：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) Ｅ13：G∨F G
(同一律)
Ｅ14：G∧T G
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（7）联结词“∧”、“∨”、“”具有对称性，而联 结词“～”、“→”没有；
（8）联结词“∧”、“∨”、“～”同构成计算机的与 门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻辑是计 算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工具。
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命题公式----
（1）命题变元（原子命题变元）本身是一个公式；
有限个句节的析取式称为子句；
有限个句节的合取式称为短语。
有限个短语的析取式称为析取范式；
有限个子句的合取式称为合取范式。
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极小项----在n个变元的基本积（短语）中，若每一个 变元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅 出现一次，则称这种基本积为极小项。
（P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R）∨（R∧P∧Q）
∨ （R∧P∧～Q）∨（R∧～P∧Q）∨（R∧～P∧～Q） （主析取范式）
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4、P25 14 解：根据给定的条件有下述命题公式：
的命题公式，在G中凡出现G1处都以H1替换后得到新的命题公式H， 若G1 H1，则G H。 对偶式---- 在给定的仅使用联结词～ 、∨、∧的命题公式A中，若 把∧和∨，F和T互换而得的公式A*，则称A*为A的对偶（公）式。 对偶原理----设A和B是两个命题公式，若A B，
则 A* B*
陈瑜
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第一章小结
一、基本概念
命题----具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一个“值”，
称为真值。
命题的解释----用一个具体的命题代入命题标识符P的过程,称为对
P的解释或赋值(指派)
原子命题、复合命题
逻辑联结词（～、∨、∧、、→、、与非↑、或非↓、条件否
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2、 G=～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ，求主析取和主合取范式。 解：首先列出其真值表如下：
PQR
000 001 010 011 100 101 110 111
P→Q
1 1 1 1 0 0 1 1
～（P→Q） ～(P→Q)∨R
0
0
极大项
0
1
0
0
0
1
极小项
1
1
1
1
0
0
0
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公式转换法
（1）利用等价公式中的等价式和蕴涵式将公式中的→、用联 结词～、∧、∨来取代；
（2）利用德摩根定律将否定号～移到各个命题变元的前端； （3）利用结合律、分配律、吸收律、幂等律、交换律等将公式
化成其等价的析取范式和合取范式。
（4）在析取范式的短语和合取范式的子句中，如同一命题变元
P∨Q∨R
～P∧～Q∧R
P∨～Q∨R
～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R
～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式=（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨
（P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R）
主合取范式=（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R）
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进行顺序调整，由此可转换成标准的主析取范式和主合取范式。
真值表技术法
主合取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值0时的解释所
对应的全部极大项的合取式。
主析取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值1时的解释所
对应的全部极小项的析取式。
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（1）求出公式的真值表 （2）求出使公式取值0时的解释所对应的全部极大项
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命题逻辑的推理方法----
设G是由一组命题公式组成的集合，如果存在命题公式的有限序列：
H1，H2，……，Hn（=H）
其中，Hi或者是G中的某个公式，或者是前面的某些Hj（j<i）的有
效结论，并且Hn就是H，则称公式H是G的逻辑结果（有效结论），或者
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Ｅ15：G∨T T
(零律)
Ｅ16：G∧F F Ｅ17：G∨～G T
(矛盾律)
Ｅ18：G∧～G F
Ｅ19：～ (～G) G
(双重否定律)
Ｅ20：（G∧H)→S G→（H→S）
（输出律）√
Ｅ21：（GH）(～G∧H)∨(G∧～H)
(排中律)
称由G演绎出结论H来。
推理规则--- ① P规则（称为前提引用规则）：在推导的过程中，可随时引入前提集
合中的任意一个前提；
② Ｔ规则（逻辑结果引用规则）：在推导的过程中，利用基本等价式
和蕴涵式，由证明过程中某些中间公式变换出新的公式，若依据的是等
价式，规则标明为TE，若依据的是蕴涵式，规则标明为TI 。
（5）双条件联结词“”是自然语言中的“充分必要条 件”、“当且仅当”等的逻辑抽象；
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（6）联结词连接的是两个命题真值之间的联结，而不是 命题内容之间的连接，因此复合命题的真值只取决于 构成他们的各原子命题的真值，而与它们的内容、含 义无关，与联结词所连接的两原子命题之间是否有关 系无关；
16/24
3、用公式转换法求上题中的主析取和主合取范式 ～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R （P∨R）∧（～Q∨R） （P∨R∨（～Q∧Q））∧（～Q∨R∨（～P∧P））
（P∨R∨～Q）∧（P∨R∨Q）∧（～Q∨R∨～P）∧（～Q∨R∨P）
（P∨R∨～Q）∧（P∨R∨Q）∧（～Q∨R∨～P） （主合取范式）
主析取范式----由有限个极小项组成的析取式。 极大项----在n个变元的基本和（子句）中，若每一个
变元与其否定并不同时存在，且二者之一必出现且仅 出现一次，则这种基本和称为极大项。 主合取范式----由有限个极大项组成的合取式。 命题公式的蕴涵----设A和B是两个合适公式，如果在 任何解释下，A取值1时B也取值1，则称公式A蕴涵公式 B，并记A B。
Ｅ22：P→Q ～Q→～P
（逆反律）√
Ｅ23：～ (G∨H) ～G∧～H
(De Morgan定律)
Ｅ24：～ (G∧H) ～G∨～H。
范式——全名叫规范型式normal form,又叫标准型式,正规型
式。把公式进行标准化，正规化，就叫对公式求范式。
命题变元或命题变元的否定称为句节。
③ ＣＰ规则（附加前提规则）：如果能从给定的前提集合G与公式P推
导出S，则能从此前提集合G推导出P→S。
即G1,G2,…,Gn P→S 当且仅当 G1,G2,…,Gn，P S
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二、基本方法 1、应用基本等价式及置换规则进行等价演算 2、求主析取（主合取）范式的方法
（2）如P，Q是公式，则(～P)、(P∧Q)、(P∨Q)、
(P→Q)、(PQ)也是公式； （3）命题公式仅由有限步使用规则1-2后产生的结果。
该公式常用符号G、H、…等表示。 公式的解释----设P1、P2、…、Pn是出现在公式G中的所
有命题变元，指定P1、P2、…、Pn的一组真值（如1， 0，1，…，0，1），则这组真值称为G的一个解释,常 记为Ｉ。
极大项取值0“当且仅当”：如果极大项中出现的是原子本 身，则原子赋值为0；如果出现的是原子的否定，则原子赋值为1。 （3）求出使公式取值1时的解释所对应的全部极小项
极小项取值1 “当且仅当”：如果极小项中出现的是原子 本身，则原子赋值为1；如果出现的是原子的否定，则原子赋值 为0。
3、推理的各种方法 （1）直接法 （2）利用CP规则 （3）反证法
定 c ）：
（1）联结词“～”是自然语言中的“非”、“不”和“没有”等的逻
辑抽象；
（2）联结词“∧”是自然语言中的“并且”、“既…又…”、“但”、 “和”等的逻辑抽象；
（3）联结词“∨”是自然语言中的“或”、“或者”等逻辑抽象；但
“或”有“可兼或∨”、“不可兼或”、“近似或”三种，前两
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永真式(重言式) 永假式(矛盾式，不可满足公式) 可满足的 命题公式的等价----设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下，G与H的
真值相同，则称公式G、H是等价的 ，记作GH。 替换定理----设G1是G的子公式(即 G1是公式G的一部分)，H1是任意
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基本等价式——命题定律
设G，H，S是任何的公式，则：
Ｅ1:(G H)(G→H)∧(H→G)
(等价)
Ｅ2：(G→H) (～G∨H)
(蕴涵)
Ｅ3：G∨G G
(幂等律)
Ｅ4：G∧G G Ｅ5：G∨H H∨G
(交换律)
Ｅ6：G∧H H∧G Ｅ7：G∨(H∨S) (G∨H)∨S (结合律)
～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R （P∧～Q∧（R∨～R））∨（R∧（P∨～P）∧（Q∨～Q）） （P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R））∨（R∧P）∨（R∧～P） （P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R））∨（R∧P∧（Q∨～Q）） ∨（R∧～P∧（Q∨～Q））
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基本蕴含（关系）式
I1：PP∨Q ， QP∨Q ～PP→Q ， QP→Q 扩充法则(析取引入律)
I2：P∧Q P ， P∧QQ ～（P→Q）P ，～（P→Q）～Q 化简法则(合取消去律)
I3：P∧（P→Q） Q 假言推论（分离规则） I4：～Q∧（P→Q） ～P
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（4）联结词“→”是自然语言中的“如果…，则…”， “若…，才能…”、“除非…，否则…”等的逻辑抽象。 在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句 的意义，往往无法判断。但在数理逻辑中，当前件P为 假时，不管Q的真假如何，则P→Q都为真。此时称为 “善意推定”；这里要特别提醒一下“→”的含义， 在自然语言中，条件式中前提和结论间必含有某种因 果关系，但在数理逻辑中可以允许两者无必然因果关 系，也就是说并不要求前件和后件有什么联系；
2019/6/13
计算机学院
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三、典型例题
1、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) ((P∨Q)～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) (Q∧～P)∨(P∧～Q) ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) ～((Q→P)∧～(P→Q)) ～(PQ)
否定式假言推论（拒取式）
I5：～P∧（P∨Q） Q 析取三段论（选言三段论） I6：（P→Q）∧（Q→R） P→R 假言（前提条件）三段论 I7：（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R） R 二难推论 I8：（P→Q）∧（R→S）（P∧R）→（Q∧S） I9：（PQ）∧（QR） PR I10：（P∨Q）∧（～P∨R） Q∨R 归结原理