广东省深圳高中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年广东省深圳高中高一（上）期中数学试卷一、选择题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的1．（5分）下列关系式中正确的是（）A．0⊆{0} B．0∈{0} C．0={0} D．0∉{0}2．（5分）已知集合M={a，0}，N={1，2}且M∩N={2}，那么M∪N=（）A．{a，0，1，2} B．{1，0，1，2} C．{2，0，1，2} D．{0，1，2}3．（5分）下列函数中与函数y=x﹣1表示的是同一函数的是（）A．y=B．y=x﹣x0C．y=D．y=x+log3 4．（5分）函数y=+3的定义域是（）A．﹣2≤x≤5 B．﹣5≤x≤2 C．{﹣2，5} D．{x|﹣2≤x≤5} 5．（5分）=（）A．1B．C．D．m6．（5分）函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣4，1]，的最小值为（）A．5B．﹣4 C．﹣5 D．17．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角8．（5分）已知α是第三象限角，则=（）A．B．C．2tanαD．﹣二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）tan（﹣300°）=．10．（5分）若集合{3，|x|，x}={﹣2，2，y}，则=．11．（5分）已知奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）的单调减区间为．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的零点是．13．（5分）若实数x满足不等式log2x＜x2＜2x，那么实数x的范围是．14．（5分）已知α∈（0，π），求tanα的值．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知集合A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}，B={x|a≤x＜b}，A∪B={x|x＞﹣2}，A∩B={x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．16．（12分）计算下列各式的值（1）；（2）2lg5+．17．（14分）已知扇形OAB的周长为4，弧长为AB．（1）当∠AOB=60°时，求此时弧的半径；（2）当扇形面积最大时，求此时圆心角的大小．18．（14分）已知tanα和cosα是关于x的方程5x2﹣mx+4=0的两根，且α在第二象限（1）求tanα及m的值；（2）求的值．19．（14分）若函数y=f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域．20．（14分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．2014-2015学年广东省深圳高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的1．（5分）下列关系式中正确的是（）A．0⊆{0} B．0∈{0} C．0={0} D．0∉{0}考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：0表示一个元素，{0}表示仅含一个元素0的集合，根据元素与集合关系的表示方法可得0∈{0}正确．解答：解：∵0表示一个元素，{0}表示仅含一个元素0的集合，故0∈{0}正确，故选：B．点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，集合与元素关系的表示，难度不大，属于基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={1，2}且M∩N={2}，那么M∪N=（）A．{a，0，1，2} B．{1，0，1，2} C．{2，0，1，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：根据M与N的交集，求出a的值，确定出M，求出两集合的并集即可．解答：解：∵M={a，0}，N={1，2}，且M∩N={2}，∴a=2，即M={2，0}，则M∪N={0，1，2}．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）下列函数中与函数y=x﹣1表示的是同一函数的是（）A．y=B．y=x﹣x0C．y=D．y=x+log3考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：判断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域．解答：解：选项A：定义域为{x|x≠﹣1}，故不同；选项B：定义域为{x|x≠0}，故不同；选项C：y=|x﹣1|，故不同；选项D：相同；故选D．点评：本题考查了函数相等的判断，只需对定义域与对应关系两者都判断即可．4．（5分）函数y=+3的定义域是（）A．﹣2≤x≤5 B．﹣5≤x≤2 C．{﹣2，5} D．{x|﹣2≤x≤5}考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即，即﹣2≤x≤5，故函数的定义域为{x|﹣2≤x≤5}，故选：D点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5．（5分）=（）A．1B．C．D．m考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将根式化为分数指数幂的形式，从而计算．解答：解：=••••==m0=1，故选A．点评：本题考查了分数指数幂的运算，属于基础题．6．（5分）函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈ [﹣4，1]，的最小值为（）A．5B．﹣4 C．﹣5 D．1考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分析二次函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣4，1]的图象及性质可得答案．解答：解：y=﹣x2﹣4x+1=﹣（x+2）2+5，其图象开口向上，对称轴为x=﹣2，则函数y=x2﹣4x+1在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，1]上单调递减，所以当x=1时，y=x2﹣4x+1取得最小值，y min=﹣1﹣4+1=﹣4．故选：B点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，分析出函数在指定区间上的单调性是解答的关键．7．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．第一或第二象限角考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：根据θ是锐角求出θ的范围，再求出2θ的范围，就可得出结论．解答：解：∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°∴0°＜2θ＜180°，∴2θ是小于180°的正角．故选C点评：本题主要考查角的范围的判断，学生做题时对于锐角，第一象限角这两个概念容易混淆．8．（5分）已知α是第三象限角，则=（）A．B．C．2tanαD．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用同角三角函数基本关系，即可得出结论．解答：解：∵α是第三象限角，∴==，故选A．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）tan（﹣300°）=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果．解答：解：tan（﹣300°）=tan（﹣360°+60°）=tan60°=，故答案为：．点评：本题主要考查由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，属于基础题．10．（5分）若集合{3，|x|，x}={﹣2，2，y}，则=12．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据集合相等得到x，y的值，然后代入计算．解答：解：因为集合{3，|x|，x}={﹣2，2，y}，所以3=y，并且x=﹣2，所以==12；故答案为：12．点评：本题考查了集合相等；如果两个集合相等，那么集合元素完全相同．11．（5分）已知奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）的单调减区间为（0，1）或（﹣1，0）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性与单调性即可得出．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0．∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，∴f（﹣x）=x2+2x﹣3，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x+3，又f（0）=0．∴f（x）=．当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴此时函数的单调递减区间为（0，1）．又函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，函数f（x）的单调递减区间为：（﹣1，0）．综上可得：函数f（x）的单调递减为：（0，1）或（﹣1，0）．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（x）的零点是0或﹣1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=0，结合x的范围，求出x的值，即为所求的f（x）的零点．解答：解：∵函数f（x）=，由解得x=0．由解得x=﹣1．综上可得f（x）的零点为﹣1和0．故答案为0或﹣1点评：本题主要考查函数的零点的定义和求法，求函数的值域，属于基础题．13．（5分）若实数x满足不等式log2x＜x2＜2x，那么实数x的范围是0＜x＜2或x＞4．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：作出三个函数的图象，根据图象关系即可得到结论．解答：解：设函数分别为y=log2x，y=x2，y=2x，在同一个坐标系作出三个函数的图象如图：（红色为y=x2）由图象可知，当0＜x＜2时，log2x＜x2＜2x成立，当2＜x＜4时，log2x＜2x＜x2成立，当x＞4时，log2x＜x2＜2x成立，故满足条件的x的取值范围是0＜x＜2，或x＞4；故答案为：0＜x＜2或x＞4点评：本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）已知α∈（0，π），求tanα的值﹣．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：首先将sinα+cosα平方得出sinαcosα的值，进而由α的范围可知sinα＞0，cosα＜0，sinα﹣cosα＞0，再由sinαcosα的值求出sinα﹣cosα=，即可解得sinα=cosα=﹣，最后由tanα=得出答案．解答：解：∵∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=∴sinαcosα=﹣又因为0＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0所以sinα﹣cosα＞0（sinα﹣cosα）2=1+=所以sinα﹣cosα=又因为解得sinα=cosα=﹣tanα=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了对同角的三角函数的关系tanα=的应用能力，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知集合A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}，B={x|a≤x＜b}，A∪B={x|x＞﹣2}，A∩B={x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由已知条件利用交集和交集的性质得到B={x|1≤x＜3}，由此能求出实数a，b的值．解答：解：∵集合A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}，B={x|a≤x＜b}，A∪B={x|x＞﹣2}，A∩B={x|1＜x＜3}，∴B={x|1≤x＜3}，∴a=﹣1，b=3．点评：本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，是基础题．16．（12分）计算下列各式的值（1）；（2）2lg5+．考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：（1）原式==4．（2）原式=2lg5+2lg2+lg5（lg2+1）+（lg2）2=2（lg5+lg2）+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=3．点评：本题考查了指数幂与对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．17．（14分）已知扇形OAB的周长为4，弧长为AB．（1）当∠AOB=60°时，求此时弧的半径；（2）当扇形面积最大时，求此时圆心角的大小．考点：弧长公式；扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）设扇形的半径为r，由周长公式和已知可得故可求得弧的半径；（2）设扇形的半径为x，则弧长=4﹣2x，从而可求扇形面积，即可求得当扇形面积最大时，求此时圆心角的大小．解答：解：（1）设扇形的半径为r，∠AOB=60°=，由已知，得，∴（2）设扇形的半径为x，则弧长=4﹣2x，∴扇形面积，∴当x=1时，S max=1，此时，∠AOB=2点评：本题主要考察了弧长公式，扇形面积公式的应用，属于基础题．18．（14分）已知tanα和cosα是关于x的方程5x2﹣mx+4=0的两根，且α在第二象限（1）求tanα及m的值；（2）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（1）由已知，得，可求得sinα=，又α在第二象限，于是可求得tanα及m的值；（2）由（1）得：tanα=﹣，将所求关系式中的“弦”化“切”即可得到答案．解答：解：（1）由已知，得，∴sinα=，又α在第二象限，∴tanα=﹣，m=﹣；（2）由（1）得：tanα=﹣，∴原式==．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，（2）中“弦”化“切”是关键，属于中档题．19．（14分）若函数y=f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域．考点：函数的值域；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）运用奇函数的定义，即可求出a；（2）由3x﹣1≠0，即x≠0，即可得到定义域；（3）由指数函数的值域，以及不等式的性质，即可得到值域．解答：解∵函数，（1）由奇函数的定义，可得f（﹣x）+f（x）=0，即，∴a=﹣；（2）∵，∴3x﹣1≠0，即x≠0．∴函数y=﹣﹣的定义域为{x|x≠0}；（3）∵x≠0，∴3x﹣1＞﹣1．∵3x﹣1≠0，∴0＞3x﹣1＞﹣1或3x﹣1＞0．∴﹣﹣＞或﹣﹣＜﹣．即函数的值域为{y|y＞或y＜﹣}．点评：本题考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的奇偶性和运用，考查运算能力，属于基础题．20．（14分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．考点：函数的值；抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n ﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．解答：解：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．（1分）又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）（2）显然g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）也满足条件②g（1）=1．（5分）若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则=，即满足条件③，（8分）故g（x）理想函数．（9分）（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．（11分）若x0＜f（x0），则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；（13分）若x0＞f（x0），则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．（15分）故x0=f（x0）．（16分）点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．。