1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词
学案1：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
1.4.1全称量词1.4.2存在量词【课时目标】1.了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义.2.会判定含有一个量词的命题的真假.1.短语“所有的”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.2.一般的，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么命题就是全称命题.用符号简记为∀x∈M，p(x) .3.短语“有一个”“有些”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.4.一般的，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么命题存在性命题，用符号简记为∃x∈M，p(x) .一、选择题1．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R，使x20>3B．有些x0∈R，使x20>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x0∈R，使x20>3答案C解析“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C.2．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－x0＋1≥0C．∀x∈N*，log2x>0D．∃x0∈R，cos x0<2x0－x20－3答案B解析当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B.3．下列命题是全称真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0答案 B解析 A ，B ，D 是全称命题，当x ＝0时，x 2＝0；当x ＝0，y ＝0时，x 2＋y 2＝0，因此A ，D 为假命题．故选B.4．下列语句不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高二(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个向量都有大小答案 C解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C.5．给出下列命题：①存在实数x 0，使x 20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．其中特称命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 ①③④是特称命题，②是全称命题．6．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t, t 为正且t <tB ．存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0 C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4答案 B解析 t ＝14时t ＝12，此时t >t ，所以A 错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故B 正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x ≤0，由x 2>4，得x <－2或x >2，所以D 错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)________a ，b ∈R ，使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1a 2x ＝2，有唯一解． 答案 (1)∀ (2)∃ (3)∃8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数，________.(2)实数的绝对值不小于0，________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，________.答案 (1)∀x ∈Z ，x ∈Q (2)∀x ∈R ，|x |≥0 (3)∃x 0∈R ，x 30＋1＝0三、解答题9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．(1)∃x 0，x 0－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．解 (1)特称命题，真命题；(2)全称命题，假命题；(3)全称命题，真命题；(4)特称命题，真命题．10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．解 所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.。
课时作业27：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
1.4.1全称量词~1.4.2存在量词基础巩固类一、选择题1．下列不是全称量词的是()A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多2．下列命题是特称命题的是()A．任何一个实数乘以0都是等于0B．每一个向量都有大小C．偶函数的图象关于y轴对称D．存在实数不小于33．下列命题：(1)今天有人请假；(2)中国所有的江河都流入太平洋；(3)中国公民都有受教育的权利；(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育；(5)有人既能写小说，也能搞发明创造；(6)任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．不少于4个4．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任意一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>35．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x2>3成立B．对有些x∈R，使得x2>3成立C．任意一个x∈R，使得x2>3成立D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立6．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是() A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数C ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数7．“对x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解”等价于( )A ．∃x 0∈R ，使f (x 0)>0成立B ．∃x 0∈R ，使f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，有f (x )>0成立D ．∀x ∈R ，有f (x )≤0成立8．命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10二、填空题9．对每一个x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1<x 2，都有x 21<x 22是全称命题，是________(“真”“假”)命题． 【解析】令x 1＝－1，x 2＝0.10．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x 2)>0”用“∃”写成特称命题为_____________.11．已知命题“∃x 0∈R,2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题12．判断下列命题的真假，并指出是全称命题还是特称命题？(1)有些一元二次方程无实根；(2)任意正弦值相等的两个角相等．13．用符号“∀”“∃”表示下列含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零；(2)存在一对整数，使2x ＋4y ＝3；(3)存在一个无理数，它的立方是有理数．能力提升类14．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x0≥2，使f(x0)＝m成立，求实数m的取值范围；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(1，3]．15．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．参考答案基础巩固类一、选择题1．【答案】D【解析】很明显A ，B ，C 中的量词均是全称量词，D 中的量词不是全称量词．2．【答案】D【解析】“存在”是存在量词．3．【答案】D【解析】(2)(3)(4)(6)都含有全称量词．4．【答案】C【解析】“∀”是任意符号．5．【答案】C【解析】C 是全称命题．6．【答案】D【解析】存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.7．【答案】A【解析】对任意x ∈R ，关于x 的不等式f (x )>0有解，即不等式f (x )>0在实数范围内有解，所以与命题“∃x 0∈R ，使f (x 0)>0成立”等价．8．【答案】C【解析】当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，其中x ∈[1,3]．又y ＝x 2在[1,3]上的最大值是9，所以a ≥9.因为a ≥9⇒a ≥10，a ≥10⇒a ≥9，故选C.二、填空题9．【答案】全称 假【解析】令x 1＝－1，x 2＝0.10．【答案】∃x ∈R ，x <0，(1＋x )(1－9x 2)>011．【答案】(－1,3)【解析】由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题． 令Δ＝(a －1)2－4<0，得－1<a <3.三、解答题12．解：(1)真命题，特称命题．(2)假命题，全称命题．13．解：(1)∀x ∈N ，x 2>0.(2)∃x ∈N ，y ∈Z,2x ＋4y ＝3.(3)∃x ∈R ，x ∈Q ，x 3∈Q .能力提升类14．解：(1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0≥2，使f (x 0)＝m 成立，则m ∈[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，故⎩⎨⎧a 2≤3a >1，解得a ∈(1，3]． 15．解：解法一：由题意知，x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0. 整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．解法二：綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解， 令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3.故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．。
高中数学第一章常用逻辑术语1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词a21
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[解] (1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形 的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．
(2)∃x0＝π4，T＝π2，使 sinπ4＋π2＝cosπ4＝sinπ4＝ 22，所以是真命题． (3)由于∀x∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2>0，即 x2＋2>0.所以命题 “∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． (4)当直线的倾斜角等于 90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假 命题．
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【跟踪训练 2】 判断下列命题的真假． (1)任意两向量 a，b，若 a·b>0，则 a，b 的夹角为锐角； (2)∃x0，y0 为正实数，使 x20＋y20＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P.
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探究 2 全称命题与特称命题的真假 例 2 判断下列命题的真假． (1)有些三角形的重心在某一边上； (2)∃x0，T≠2π，使 sin(x0＋T)＝sinx0； (3)∀x∈R，x2＋2>0； (4)所有的直线都有斜率．
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[条件探究] 若把例 3(1)中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实 数 m 的取值范围．
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学案7：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
1.4.1全称量词~1.4.2存在量词自主预习·探新知情景引入生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？新知导学1．全称量词与全称命题(1)短语“___________”“___________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“___________”表示，含有全称量词的命题，叫做___________.(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：________.(3)常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”，表示________的含义．2．存在量词与特称命题(1)短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____________”表示，含有存在量词的命题，叫做______________.(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，________.(3)存在量词：“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”，表示________________的含义．预习自测1．下列命题中含有全称量词的是()A．至少有一个自然数是2的倍数B．存在小于零的整数C．方程3x＝2有实数根D．无理数是小数2．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n0，使n0能被11整除C．x>7D．∀x∈M，p(x)成立3．选出与其他命题不同的命题()A．有一个平行四边形是菱形B．任何一个平行四边形是菱形C．某些平行四边形是菱形D．有的平行四边形是菱形4．下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－2>0B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x0∈R，lg x0≤2D．∃x0∈R，tan x0＝25．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向1全称命题与特称命题的判定典例1(1)下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称命题的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3规律总结1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．跟踪练习1判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)自然数的平方是正数．命题方向2全称命题与特称命题的真假判断典例2指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1、x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．规律总结1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．跟踪练习2有下列四个命题：①∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；②∃x0∈N，x20≤x0；③∃x0∈N*，x0为29的约数；④有的向量方向不定．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4学科核心素养 利用全称命题和特称命题的真假求参数范围典例3 命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m ，若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围．跟踪练习3若命题“∃x 0∈R 使得x 20＋mx 0＋2m ＋5<0”为假命题，则实数m 的取值范围是() A ．[－10,6] B ．(－6,2]C ．[－2,10]D ．(－2,10)易混易错警示典例4 指出下列命题是全称命题还是特称命题．(1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2)当x ∈(0,1)时，12<⎝⎛⎭⎫12x <1；(3)有的平面四边形两对角线互相垂直．[错解] (1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题．参考答案自主预习·探新知新知导学1．(1)所有的 任意一个 ∀ 全称命题(2) ∀x∈M，p(x)(3)整体或全部2．(1)存在一个至少有一个∃特称命题(2) ∃x0∈M，p(x0)(3)个别或一部分预习自测1．【答案】D【解析】选项D中“无理数”指的是所有的无理数．2．【答案】B【解析】选项A、C不是命题，选项B中有存在量间“存在”，故B项是特称命题．D是全称命题．3．【答案】B【解析】B选项为全称命题，其余的为特称命题．4．【答案】B【解析】特殊值验证x＝2时，(x－2)2＝0，∴∀x∈N*，(x－2)2>0是假命题，故选B．5．【答案】(－∞，3]【解析】a<x在x∈(3，＋∞)恒成立，令g(x)＝x，则a<g(x)min，∵g(x)min>g(3)＝3，∴a≤3.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向1全称命题与特称命题的判定典例1【答案】(1) B(2)D【解析】(1)中，只有②③含有全称量词，故选B．(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D．跟踪练习1解：因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为特称命题；(4)因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题．综上所述，(1)为特称命题，(2)(4)为全称命题，(3)不是命题．命题方向2全称命题与特称命题的真假判断典例2解：(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f (x )＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题． 跟踪练习2【答案】C学科核心素养 利用全称命题和特称命题的真假求参数范围典例3 解：m ≤sin x cos x ，∀x ∈R 恒成立，令f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x ， f (x )min ＝－12，∀x ∈R ， ∴m ≤－12， ∴实数m 的取值范围⎝⎛⎦⎤－∞，－12. 跟踪练习3【答案】C易混易错警示典例4 [正解] (1)指所有的末位数字是零的整数都可以被5整除，是全称命题．(2)是指对任意的x ∈(0,1)，都有12<⎝⎛⎭⎫12x <1，是全称命题． (3)是指存在这样的平面四边形，其两条对角线互相垂直，是特称命题．。
课时作业22：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
§1.4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词一、选择题1．下列说法正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋4≤0”是特称命题．A．0 B．1 C．2 D．3考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的辨析答案 C解析只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>2考点特称命题的真假判断题点特称命题的真假判断答案 B3．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p 或q ”是真命题；③q 是假命题；④“非p ”是真命题．A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D解析 由题意知p 假q 真．故②④正确．4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a <0”是真命题，则实数a 的取值范围为() A ．a <－16或a >0 B ．a ≤－16或a ≥0C ．－16<a <0D ．－16≤a ≤0考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 A解析 由题意知Δ＝a 2＋16a >0，即a <－16或a >0.5．下列命题是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 3≥xB ．∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0C ．∀xy >0，x －y ≥2xyD ．∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0＋y 0)＝sin x 0－sin y 0考点 含有一个量词的命题题点 含有一个量词的命题的真假判断答案 D6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32考点 全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 B7．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．4考点全称命题与特称命题的综合问题题点全称命题与特称命题的真假判断答案 C解析①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．8．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5考点全称命题题点由命题的真假求参数范围答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．又y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.二、填空题9．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为_____________．考点特称命题题点特称命题的符号书写答案∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>010．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________命题(填“全称”或“特称”)，它是________命题．(填“真”或“假”)考点特称命题题点特称命题的真假判断答案特称假11．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________． 考点 特称命题题点 由命题的真假求参数范围答案 ⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析 由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3， 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1. 而命题p 为真命题，所以a >－32. 三、解答题12．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |；(4)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.考点 全称命题与特称命题的综合问题题点 全称命题与特称命题的真假判断解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)中，∵a x >0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)中，当x 1＝0，x 2＝π时，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)中，y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个最小正周期，∴命题(3)是真命题．(4)中，对∀x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．考点 简单逻辑联结词的综合应用题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围解 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．14．有下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫120x <⎝⎛⎭⎫130x ；p 2：∃x 0∈(0,1)，12log x 0>13log x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中为真命题的是________．考点 全称命题与特称命题的综合应用题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 p 2，p 4解析 因为幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)在定义域上是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0<log x 12<log x 13，所以0<121log x <131log x ，即12log x >13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，所以有0<y <1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x <0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在⎝⎛⎭⎫0，13上单调递减，所以有0<y <1，而函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的函数值y >1，所以命题p 4是真命题． 15．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围． 考点 全称命题题点 由命题的真假求参数范围解 易知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对任意m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).。
1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词
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全称量词1．4.2
存在量词
π 5π 结合三角函数图象，得 2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 (k∈Z)，此即为所 求 x 的取值范围． π 5π 即 p： ∀x∈[2kπ＋4， 2kπ＋ 4 ](k∈Z)， 有 1－sin 2x＝sin x－cos x 是真命题.
高中数学· 选修1-1· 人教A版
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1．4 全称量词与存在量词
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全称量词1．4.2
存在量词
[学习目标] 1．通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含
义，熟悉常见的全称量词和存在量词．
围．
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全称量词1．4.2
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解
(1)令 y＝sin x＋cos x，x∈R，
π ∵y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)≥－ 2， 又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m 恒成立， ∴只要 m<－ 2即可． ∴所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2)．
真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．
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全称量词1．4.2
存在量词
[预习导引] 1．全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通
常叫做 全称量词 ，并用符号 “∀” 表示．
(2)全称命题：含有 全称量词 ∀x∈M，p(x) 的命题叫做全称命题．全称
第一章 1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
§1.4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解全称命题和特称命题的概念，能够用符号表示全称命题与特称命题.3.掌握判断全称命题与特称命题真假的方法．知识点一全称量词与全称命题定义符号表示全称量词在指定范围内，表示整体或全部的含义的短语，如“所有的”“任意一个”∀全称命题含有全称量词的命题∀x∈M，p(x)特别提醒(1)有些全称命题中的全称量词是省略的．(2)全称命题中的p(x)是对于指定的集合M内的任意x都具备的一个结论．知识点二存在量词与特称命题定义符号表示存在量词表示个别或一部分的含义的短语，如“存在一个”“至少有一个”∃特称命题含有存在量词的命题∃x0∈M，p(x0)特别提醒(1)有些特称命题中的存在量词是省略的．(2)特称命题的含义是指定集合M中存在元素x具备结论p(x)．思考下列语句是命题吗？如果是命题，是不是特称命题？(1)x能被2和5整除；(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．答案(1)不是命题；(2)是命题．是特称命题，因为有存在量词“至少有一个”．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(×)一、全称命题与特称命题的辨析例1判断下列命题是全称命题还是特称命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．解命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为特称命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1下列命题中，是全称命题的是________，是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．答案①②③④二、全称命题与特称命题的真假判断例2(1)有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，x20≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，这是全称命题，∵Δ＝9－32＝－23<0， ∴∀x ∈R ,2x 2－3x ＋4>0是真命题；对于②，这是全称命题，当x ＝－1时，2x ＋1<0，故该命题为假命题； 对于③，这是特称命题，当x 0＝0时，x 20≤x 0成立，该命题为真命题；对于④，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数，该命题为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，02x ＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p 为真命题，q 为假命题， ∴p ∧(綈q )是真命题，故选C. 反思感悟 (1)全称命题的真假判断要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． (2)特称命题的真假判断要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． 跟踪训练2 下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ,3－x ＋1>1 B ．∀x ∈[－1,2]，x 2－2x ≤3C ．∃x 0∈R ，x 20＋1x 20＋1≤1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 3 答案 D解析 对D 选项，sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤2，故不存在x 0∈R ，使得sin x 0－cos x 0＝3成立．三、由含量词的命题求参数的取值范围例3 已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥m ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 且q 为真命题，求实数m 的取值范围．解 由题意得，p 且q 为真命题，即p 真q 真， 所以∀x ∈R ，m ≤sin x ＋cos x 恒成立， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 所以m ≤－ 2.又∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 所以Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 故m 的取值范围为(－2，－2]． 延伸探究本例中，若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥m ”改为“∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≥m ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 由题意得，∃x 0∈R ，m ≤sin x 0＋cos x 0， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， 所以m ≤ 2.又∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 所以Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2， 故m 的取值范围是(－2，2]．反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (或a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )．跟踪训练3 已知命题p ：“∀x ∈[1，＋∞)，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A．(－∞，－2]∪{1} B．(－∞，－2]∪[1,2]C．[1，＋∞) D．[－2,1]答案 A解析由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为(－∞，－2]∪{1}．1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是()A．有一个x0∈R，使得x20>3B．对有些x0∈R，使得x20>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x0∈R，使得x20>3答案 C2．下列命题中，是正确的全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x0∈R，x20＝x0D．对数函数在定义域上是单调函数答案 D3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD．对任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β答案 A4．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈(0，＋∞)，lg x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析当x＝1时，(x－1)2＝0，所以命题“∀x∈N*，(x－1)2>0”为假命题．易知A，C，D中的命题均为真命题．故选B.5．若∀x∈(－∞，0)，(a2－1)x<1，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由∀x∈(－∞，0)，(a2－1)x<(a2－1)0，可知a2－1>1，即a<－2或a> 2.1．知识清单：(1)全称量词、存在量词．(2)全称命题、特称命题．2．方法归纳：定义．3．常见误区：全称命题、特称命题的真假．1．下列说法正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x0∈R，x20＋4x0＋4≤0”是特称命题．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析只有②③正确．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角B．至少有一个实数x0，使x20≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>2答案 B3．已知命题p：∀x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p或q”是真命题；③q是假命题；④“非p”是真命题．A．①④B．②③C．③④D．②④答案 D解析由题意知p假q真．故②④正确．4．已知命题“∃x0∈R，x20＋ax0－4a<0”是真命题，则实数a的取值范围为() A．(－∞，－16)∪(0，＋∞) B．(－∞，－16]∪[0，＋∞)C．(－16,0) D．[－16,0]答案 A解析由题意知Δ＝a2＋16a>0，即a<－16或a>0.5．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x3≥xB．∃x0∈R，x20＋1<2x0C．∀xy>0，x－y≥2xyD．∃x0，y0∈R，sin(x0＋y0)＝sin x0－sin y0答案 D6．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f (x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.答案 3解析①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．7．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是_______命题(填“全称”或“特称”)，它是____命题．(填“真”或“假”)答案特称假8．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为___________．答案∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>09．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2； (3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)中，∵a x >0(a >0，且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)中，当x 1＝0，x 2＝π时，x 1<x 2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)中，y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个最小正周期， ∴命题(3)是真命题．(4)中，对∀x ∈R ，x 2＋1>0，∴命题(4)是假命题．10．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题． 由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0， 知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4. 则实数a 的取值范围为[e,4]．11．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B12．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使f (x 1)＝g (x 0)，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，3 C ．[3，＋∞) D ．(0,3)答案 C解析 由于函数f (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 0)， 因此问题等价于函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集． 函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋2a ≥3，即a ≥3.13．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．－1<a <1 D ．－1<a ≤1答案 A解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R 满足条件， 使ax 20＋2x 0＋a <0； 当a >0时，Δ＝4－4a 2>0， 解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.14．若命题：“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，3]解析 由题意知当x >3时，有x >a 恒成立，则a ≤3.15．有下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<013x⎛⎫⎪⎝⎭；p 2：∃x 0∈(0,1)，102log x >103log x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中为真命题的是________． 答案 p 2，p 4解析 因为幂函数y ＝x α(α>0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x (0<a <1)在定义域上是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0<log x 12<log x 13，所以0<112log x<113log x，即12log x >13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上单调递减，所以有0<y <1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x <0，所以命题p 3是假命题；因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在⎝⎛⎭⎫0，13上单调递减，所以有0<y <1，而函数y ＝13log x在⎝⎛⎭⎫0，13上的函数值y >1，所以命题p 4是真命题． 16．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围． 解 易知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.由题意知，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则g (m )>0对任意m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x>2或x<－1.故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
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知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.
1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词(1用)
含有存在量词的命题叫做特称命题 （或存在命题）
特称命题“存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为
x0∈M, p(x0)
读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.
课 前 练 习：
假 假 真, a是向量真 Nhomakorabea假
1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说 法正确的是( ) A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0 C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0 解析： 这是一个全称命题，且x，y∈R，故 选A. 答案： A
②a.存在角α∈R，使sin α＝cos α成立； b．至少有一个角α，使sin α＝cos α成立； c．对于有些角α，满足sin α＝cos α.
判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x0∈R，|x0|≤0； (3)∀x∈N*，log2x>0； π (4)∃x0∈R，sin x0＝2.
(4)“ 圆内接四边形，其对角互补 ” 的实质是 “所有的圆内接四边形，其对角都互补”， 所以该命题是全称命题且为真命题． (5) 虽然不含逻辑联结词，其实 “ 指数函数都 是单调函数”中省略了“所有的”， 所以该命题是全称命题且为真命题．
1.判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线其斜率不存在． (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补． (5)有的指数函数不是单调函数．
第一章 全称量词与存在量词
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.1~1.4.2
语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量 x 进行 限定； 语句(4)在(2)的基础上， 用短语“对任意一个”对变量 x 进行
限定， 从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句， 因此语句(3)(4)
C.2
D.3
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；
命题③可以叙述为“一切能被 6 整除的数都能被 3 整除”， 是全称命题；
而命题④是全称命题.故有一个特称命题.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.4.1~1.4.2
2.下列命题中的假命题是 A.∃x∈R，lg x＝0
本 讲 栏 目 开 关
本 记为∃x0∈M， 0)， p(x 读作“存在 M 中的元素 x0， p(x0)成立”. 使 讲 栏 问题 2 怎样判断一个特称命题的真假？ 目 开 答案 要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在 关
集合 M 中找到一个元素 x0， p(x0)成立即可； 使 如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个特称命题是假命题.
例 1 判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数； (2)∀x∈R，x2＋1≥1； (3)对每一个无理数 x，x2 也是无理数. 解 (1)2 是素数，但 2 不是奇数.
本 讲 栏 目 开 关
1.4.1~1.4.2
所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R，总有 x2≥0，因而 x2＋1≥1. 所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题. (3) 2是无理数，但( 2)2＝2 是有理数.
课时作业3：1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
1.4.1～1.4.2 全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分 ②梯形有两边平行 ③存在一个菱形，它的四条边不相等A ．0B ．1C ．2D ．32．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33．下列4个命题p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13xp 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．下列语句是特称命题的是( )A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．∀x ∈M ，p (x )5．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数6．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是( ) A ．a ＋b >2abB ．(a －b )＋1a －b≥2C ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋caD ．|a －b |≤|a －c |＋|c －b |7．已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法： ①M 的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有P 的元素；④M 中元素不都是P 的元素．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．29．命题“末位是0的整数，可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”)10．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，用符号表示为________； (用符号表示)．11．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除 ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等 ④有的实数是无限不循环小数 ⑤有些三角形不是等腰三角形 ⑥所有的菱形都是正方形12．若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎡⎦⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围．答案1．[答案] C[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．[答案] D[解析] ①②③都是真命题．3．[答案] D[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.4．[答案] B5．[答案] D[解析] A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D.6．[答案] B[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B 项当a －b <0时有－(a －b )＋1－(a －b )≥2，所以(a －b )＋1a －b≤－2. 7．[答案] B[解析] 结合韦恩图可知②④正确．8．[答案] A[解析] (2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4，所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4(－2＋3)4＝(－1)4＝1.这是一个恒成立问题，属于全称命题，即当x ∈R 时，恒有原式成立，所以不妨采用赋值法解之．9． [答案] 是[解析] 所有末位为0的整数都可以被5整除．10． [答案] ∃x ，y ∈R ，x ＋y >1；[解析] 注意练习符号∃、∀、綈、∧、∨等，11．[答案] ①②③④⑤ ⑥12．[解析] 方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．即方程ax 2－2x ＋2＝4在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．即ax 2－2x －2＝0在⎣⎡⎦⎤12，2内有解．方程ax 2－2x －2＝0可化为a ＝2x ＋2x 2＝2x 2＋2x＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋122－12 令t ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋122－12，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，t ∈⎣⎡⎦⎤32，12. ∴要使原方程在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内有解，a ∈⎣⎡⎦⎤32，12.。
1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词13041003
知识回顾
逻辑联结词：“且”、“或”、“非” 简单命题： 不含逻辑联结词的命题. 常用小写拉丁字母 p，q，r，s，…表示. 复合命题: 由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 构成形式：p且q； p或q；非p . 分别记作：p∧q ； p∨q ； ¬p .
注意：简单命题与复合命题区别：是否有逻辑联结词．
（1） x0 R, x0 0; 真命题 真命题 （2）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数；
2 （3） x0 { x | x 是无理数}， x0 是无理数. 真命题
【例3】判断下列命题是否是全称命题或特称命题. （1）中国所有的江河都流入大海； （2）至少有一个数的平方不是正数； （3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个非零向量都有方向. （5）正方形都是矩形
真命题 假命题
x { x | x是无理数}，x2是无理数. 假命题 （ 3）
思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什 么关系？ ⑴2x+1=3； ⑵x 能被 2 和 3 整除； ⑶存在一个 x0∈R，使 2x0+1=3； ⑷至少有一个 x0∈Z，x0 能被 2 和 3 整除.
存在量词： 短语“存在一个” “至少有一个” ，这些词语都是 表示整体的一部分的词通常叫做存在量词。用符号 “ ”表示
读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.
【例 2】判断下列特称命题的真假： 2 （ 1）有一个实数 x0 ，使 x0 2 x0 3 0 ； （ 2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线； （ 3）有些整数只有两个正因数.
解:（1）由于 2 2 ( x 1) 22 R, x 2 x 3
“所有的”,“任意一个”,“一切”,“每 一个”,“任给”等.
1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词
例1.判断下列全称命题的真假.
(1) 所有的素数是奇数;
(2) x R, x2+1≥1
(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数
解:(1)∵2是素数,但不是奇数. ∴全称命题(1)是假命题
(2)∵ x R,x2≥0,从而x2+1≥1
∴全称命题(2)是真命题
＝(x＋1)2＋2≥2＞0 恒成立．所以 p 是假命题．
全称命题、特称命题的真假
[例 2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断 它们的真假．
(1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m，n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数 x,2x＋1 都是奇数， 所以该命题是真命题．
表示：用符号“∃”表示,
2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题.
表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 可用符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例如:命题（1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数
都是特称命题.
例2 判断下列特称命题的真假.
全称量词
一.全称命题
1. 全称量词及表示: 定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、
“对一切”、“对每一个”、“任给”、
“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
表示：用符号“ ”表示
2. 全称命题及表示:
定义：含有全称量词的命题，叫全称命题。
表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x
课件7：1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
解：(1)由(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0， 得(2x－3y＋1)a＋3x＋4y－7＝0， 令23xx－ ＋34yy＋ －17＝ ＝00， ， 解得yx＝ ＝11.， 故直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0 恒过定点(1,1)， 所以该命题为真命题．
(2)由于原点到直线 kx＋2y－1＝0 的距离 d＝ 41＋k2≤21<1， 故不存在实数 k 使原点到直线 kx＋2y－1＝0 的距离为 1， 即该命题为假命题．
解：(1)任意一个有理数都能写成分数形式． (2)所有的整数中 1 最小． (3)存在实数 x0，使 x20＋2x0＋8＝0 成立． (4)存在一个质数是偶数．
通法提炼 由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题
或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰 当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.
1.4.1 全称量词~1.4.2 存在量词
学习目标 1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念. 2.能准确地使用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的 数学内容． 学习重点：对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示 全称命题，用存在量词表示特称命题． 学习难点：全称命题与特称命题的真假判断．
【解析】①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是 真命题；③是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相 等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是 真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是 假命题，因为任意三角形内角和为 180°.
5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假． (1)实数的平方大于或等于 0； (2)存在一对实数(x，y)，使 2x－y＋1<0 成立； (3)勾股定理．
1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词 课件
[点拨] 解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应 尽量分离参数，若得到 g(a)＝f(x)成立，则只需求 f(x)的值域 B，进而确定使 g(a)∈B 的 a 的值即可．若 g(a)>f(x)，则只 需确定 g(a)>f(x)的最小值即可．类似地，对于全称命题(特别 是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解．
31
(2)不等式 m－f(x0)>0，可化为 m>f(x0)，若至少存在一 个实数 x0 使不等式 m>f(x0)成立，只需 m>f(x)min.
又 f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. 所以所求实数 m 的取值范围是(4，＋∞)．
32
解法二：(1)要使不等式 m＋f(x)>0 对∀x∈R 恒成立， 即 x2－2x＋5＋m>0 对∀x∈R 恒成立，
2.全称命题的形式：对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立， 可简记为_∀__x_∈__M__，__p__x______________．
3
3.短语“_存__在__一__个__”、“__至__少__有__一__个___”在逻辑中通常叫 做存在量词，用符号“__∃______”表示，含有存在量词的命题 叫做特__称__命__题__．
26
练 2 (2010·湖南高考)下列命题中的假命题是( ) A. ∀x∈R,2x－1>0 B. ∀x∈N*，(x－1)2>0 C. ∃x0∈R，lgx0<1 D. ∃x0∈R，tanx0＝2
27
[解析] A 中命题是全称命题，易知 2x－1>0 恒成立，故是真 命题；
B 中命题是全称命题，当 x＝1 时，(x－1)2＝0，故是假命题； C 中命题是特称命题，当 x＝1 时，lgx＝0，故是真命题； D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题． [答案] B
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
2018年（）月（）日班级姓名
1．4.1全称量词1．4.2存在量词
学习
目标
1．通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义．
2．会判断全称命题和特称命题的真假．
重点
难点
通过实例体会全称命题、特称命题的形式及含义，运用类比的思想学习两个概念，找出它们的异同，体会数学、文字语言与符号语言的统一，加深对命题与量词描述客观事实和数学问题的认识.
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x0满足x ＝3.
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
例2判断下列特称命题的真假：
(1)有一个实数x0，使x ＋2x0＋3＝0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数.
小结特称命题是含有存在量词的命题，判定一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可.
训练2判断下列命题的真假：
(1)∃x0∈Z，x <1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)有一个实数α，tanα无意义.
【探究点三】全称命题、特称命题的应用
问题不等式有解和不等式恒成立有何区别？
答案不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.
例3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
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1.4.2 存在量词
思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之 间有什么关系？ ⑴2x+1=3； ⑵x 能被 2 和 3 整除； ⑶存在一个 x0∈R，使 2x0+1=3； ⑷至少有一个 x0∈Z，x0 能被 2 和 3 整除.
存在量词： 短语“存在一个” “至少有一个” ，这些词 语都是表示整体的一部分的词通常叫做存在 量词。用符号“ ”表示 常用的存在量词还有： “存在一个” ， “有一个” ， “有些” ， “至少有一个” ， “ 至多有一个”, “某些” ， “有的”等.
探究（一）：全称量词的含义和表示
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有 什么关系? （ 1 ） x＞ 3 ； 对所有的x∈R，x＞3. （2）2x＋1是整数； 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数. （3）方程x2＋2x＋a＝0有实根； 任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
短语“对所有的””对任意一 短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 “ ”表示.含有全称 量词的命题,叫做全称命题. ,
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
例如： 1 ）有一个素数不是奇数。 2）有的平行四边形是菱形。
含有存在量词的命题叫做特称命题 （或存在命题）
特称命题“存在M中的一个x,使p(x) 成 立”可用符号简记为
x ∈ M, p(x ) 0 0
读做“存在一个x0,使p(x0)成立”.
例2 判断下列特称命题的真假
有一个实数x,使
x 2x 3 0;
特称命题“∃x∈A， 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)” p(x)” ①所有的x∈A，p(x)成 ①存在x∈A，使p(x)成 立 立 ②对一切x∈A，p(x)成 ②至少有一个x∈A， 立 使p(x)成立 表述 ③对每一个x∈A，p(x) ③对有些x∈A，p(x)成 立 方法 成立 ④任意一个x∈A，p(x) ④对某个x∈A，p(x)成 成立 立 ⑤凡x∈A，都有p(x)成 ⑤有一个x∈A，使p(x) 立 成立
常见的全称量词还有: “所有的”,“任意一个”,“对一 切”,“对每一个”,“任给”, “凡” 例如： 等.
1 ）对任意n , 2n 1是奇数。 2）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
符号
全称命题“对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为
x M , p( x)
读作”对任意x属于M,有p(x)成 立”.
思考5：下列命题是全称命题吗？其真假 如何？ 假 （1）所有的素数是奇数； （2 ） x∈R，x2＋1≥1； 真
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数； 假 （4）所有的正方形都是矩形. 真
如何判定一个全称命题的真假？
x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个 元素x，都有p(x)成立； x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一 个元素x0，使得p(x0)不成立.
2．下列全称命题中假命题的个数是( ) ①2x＋1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数 A．0 B．1 C．2 D ．3
1 3 解析： 对于①，当 x＝4时，2x＋1＝2不是整数，假命 题．对于②，当 x＝0 时，0<3，假命题．对于③，当 x∈Z 时，2x2 是偶数，进而 2x2＋1 是奇数，所以①②是假命题， 故选 C.
[解题过程]
题号
(1) (2) (3) (4) (5)
符号表示
∀x∈R，x2≥0 ∀x∈Z，x≥1 ∃x<0，有ax2＋2x＋1＝ 0(a<1) ∃x∈R，有2x＋1>0 若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α
真假判 断 真 假 真 真 真
[题后感悟] 同一个全称命题或特称命题，可 能有不同的表述方法，现列表总结如下，在 实际应用中可以灵活选择：
2
存在两个相交平面垂直于同一条直线;
有些整数只有两个正因数.
思考6：如何判定一个特称命题的真假？
x0∈M，p(x0)为真：能在集合M中找 出一个元素x0，使p(x0)成立； x0∈M，p(x0)为假：在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在. 对x0 M , P( x0 ) 都不成立.
1.判断下列语句是全称命题还是特称命题： (1)没有一个实数α，tan α无意义． (2)存在一条直线其斜率不存在． (3) 所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 吗？ (4)圆外切四边形，其对角互补． (5)有的指数函数不是单调函数．
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
答案： C
3 ．下列命题，是全称命题的是 ________ ；是 特称命题的是________． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析： ①③是全称命题，②④是特称命题． 答案： ①③ ②④
课 前 练 习：
假 假 真
, a是向量
真
假
1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说 法正确的是( ) A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0 C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0 解析： 这是一个全称命题，且x，y∈R，故 选A. 于命题p、q，命题p∧q，p∨q， ﹁p的含义分别如何？这些命题与p、q的 真假关系如何？
p∧q：用联结词“且”把命题p和命题q联结 起来得到的命题，当且仅当p、q都是真命题 时，p∧q为真命题. p∨q：用联结词“或”把命题p和命题q联结 起来得到的命题，当且仅当p、q都是假命题 时，p∨q为假命题. ﹁p：命题p的否定，p与﹁p的真假相反.