关于_数学分析_中数列极限的一些探讨
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨
《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨作者：张彩霞来源：《科技创新导报》2011年第12期摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。
教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。
关键词:数学分析极限概念教学中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。
学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。
本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。
在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。
并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。
1 正常极限概念1.1 数列极限概念数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。
首先观察数列::特征:当无限增大时,无限接近于此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。
“无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。
所以我们要定量地描述该数列的特征。
例如:(1)对于要使只需即数列从第项开始,以后所有项都满足这一要求。
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法【摘要】本文旨在探讨数学分析中极限问题的存在性及其求解方法。
在我们将介绍研究背景、研究意义和研究目的。
在我们将详细讨论极限问题的定义与性质，极限存在性的证明方法，夹逼定理的应用，以及无穷小与无穷大的讨论。
我们还将探讨数列极限和函数极限的求解方法。
在我们将总结极限问题的重要性，讨论研究的局限性，并展望未来研究方向。
通过本文的阐述，读者将对数学分析中极限问题有更深入的理解和认识。
【关键词】数学分析、极限问题、存在性、求解方法、夹逼定理、无穷小、无穷大、数列极限、函数极限、重要性、局限性、未来展望1. 引言1.1 研究背景数统计、格式要求等。
数学分析中的极限问题一直是研究的重要内容之一。
极限的概念贯穿于整个数学领域，在微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。
极限的存在性和求解方法是数学分析中的基础，对于理解数学中的各种问题起着至关重要的作用。
随着数学分析的发展，极限问题的研究也在不断深入。
数学家们通过不断探索和总结，提出了各种证明方法和求解技巧，为解决复杂的极限问题提供了重要的指导。
对于学习数学分析的学生来说，深入理解极限的概念和性质，掌握极限存在性的证明方法以及灵活运用夹逼定理等技巧，都是提高数学分析水平的必经之路。
在当今科技发展日新月异的时代，数学分析中的极限问题不仅仅是学术研究，更是应用于工程、物理、计算机等领域的重要工具。
深入研究数学分析中的极限问题，既有理论意义，又具有现实意义，值得我们深入探讨和研究。
1.2 研究意义数不够了，需要继续添加等。
部分内容如下：研究数学分析中极限问题的存在性和求解方法具有重要的理论和实际意义。
对于数学分析这一基础学科而言，极限是一个核心概念，它贯穿了整个数学分析的学习过程，是许多数学问题的基础。
通过对极限问题的研究，可以加深对数学分析理论的理解，提高数学分析能力。
极限问题在物理、工程、经济学等应用学科中也有着广泛的应用。
数学分析中极限问题的浅析 (1)
《数学分析》中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。
极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。
这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
例1、证明 （1） (a > 0)（2） 证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
当a >1时，令则：a = (1 + h n )n = 1 + nh n + 故0 < h n <h n = 0即： (1 + h n ) = 1 当 0 < a < 1时：lim ∞→n 1=n a lim ∞→n 1=n n n n h a +=1 (h n > 0)n nn n nh h h n n >++- 22)1(na由迫敛性定理lim∞→n lim ∞→n =n a lim∞→n lim ∞→n =n a lim ∞→n =na 11 1 lim ∞→n n a1= 1（2） 设n = (1 + h n )n = 1 + nh n +>由迫敛性定理得 h n = 0从而：例：求极限即：e n由迫敛性定理可得：从而：由连续函数定义知：极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么nn h n +=1其中h n > 0 则2≥n nn n h h n n ++- 22)1(22)1(nh n n -即： 0 < h n <)2(12≥-n n lim∞→n lim ∞→n =n n lim ∞→n (1 + h n ) = 1lim+→0λ⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλn e e e n 21时：解：当0>λλλλλnnn ne e e e ≤++< 1n n e n e e λλλλ≤ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫++≤ 1令 +→0λlim +→0n n n e e e e =⎪⎪⎭⎫+++ ⎝⎛λλλλ21lim+→0n λn ee n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλ 1⋅λ{}，，，对任意自然数，若存在设数列01000N N N a n >∃>ε{}为极限。
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法数学分析中的极限问题是一种基本的数学概念和工具，在数学分析中有着重要的地位。
在现实生活和学科研究中，极限问题的存在性和求解方法是非常重要的。
本文将从几个方面对数学分析中极限问题的存在性和求解方法进行浅论，希望能够对读者有所启发。
一、极限问题的存在性所谓极限，是指当自变量趋于某一数值时，因变量的取值趋于某一确定的数。
在数学分析中，极限的存在性是一个重要的问题。
对于一个函数而言，当自变量趋于某一点时，因变量是否会趋于某一确定的值，这就是极限存在性的问题。
在数学分析中，最常见的极限存在性问题可以用数学定义来表述。
假设函数f(x)的自变量x趋于x0时，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x-x0|＜δ时，就有|f(x)-L|＜ε，那么就称函数f(x)在x0处有极限，并且极限值为L。
这就是极限存在性的数学定义。
极限存在性的证明通常使用极限的定义进行推导，通过逻辑推理可以得出结论。
并不是所有函数都具有极限存在性，有些函数在某些点上是不存在极限的。
函数f(x)=1/x在x=0处就没有极限，因为当x趋于0时，f(x)的取值趋于无穷大。
对于函数的极限存在性问题，数学分析中还有一些相关的定理可以使用，比如柯西收敛准则、单调有界数列的极限存在性等定理，都是用来判断函数的极限存在性的重要工具。
二、极限问题的求解方法针对数学分析中的极限问题，有多种不同的方法可以用来求解。
1.数列极限法数列极限法是求解极限问题中最基本的方法之一。
对于任意一个函数f(x)，当x趋于某一点x0时，可以选择一系列x的取值构成一个数列{x_n}，然后分析这个数列的极限是否存在。
如果数列{x_n}的极限存在，且极限值等于f(x0)，那么就可以得出函数f(x)在x0处有极限。
这就是数列极限法的基本思想。
2.夹逼定理法夹逼定理法是求解极限问题中常用的方法之一。
夹逼定理指出，如果一个函数在某一点x0附近被夹在两个函数之间，而这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数在x0处的极限也存在且等于这个相等的极限值。
浅谈数学分析中求极限的常用方法
浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysis摘要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。
极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。
因此要学好数学分析，就要学好极限。
解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。
我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。
因为极限贯穿于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。
所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。
但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。
由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。
关键词：数列极限；函数极限；方法Preliminary analysis on the common method of limit problem inmathematical analysisAbstractLimit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progression. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis.目录摘要 (I)Abstract (III)引言 (1)1 极限相关的概念 (2)1.1 数列极限 (2)1.2 函数极限 (2)1.3 函数极限和数列极限的关系 (3)2 求极限的常用方法 (4)2.1 极限的四则运算法则 (4)2.2 两个重要极限 (5)2.3 用函数的连续性求极限 (7)2.4 等价无穷小代换 (8)2.5 洛必达法则 (9)2.6 根据定积分的定义求极限 (11)2.7 利用泰勒公式求极限 (12)2.8 利用极限存在准则求极限 (13)2.9 拉格朗日中值定理求极限 (15)3 求极限的小技巧 (15)3.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量 (16)3.2 换元法 (16)3.3 数列极限转化成函数极限 (17)结论 (18)参考文献 (19)引言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。
数列极限的求法探讨
数列极限的求法探讨用数学符号简记0, N 0,当 n Nx n x 0n n n n a 例1 用 N 语言证明 lim(a1).证明：设 a由于 a 1, 所以0. 有二项式定理关于数列极限的求法探讨摘 要: 数列极限是高等数学中最重要的概念之一 , 本文主要探讨了数学分析中 数列极限求解的几种 思路和 方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过 程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路 . 关键词 : 数列极限 单调有界 归结原则极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的 终极状态。
纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一 段漫长的过程。
它把初等数学扩展为一个新的阶段——变量数学，整个数学分 析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。
利用极限定义了函数的连续性、 导数、积分等。
同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。
本文主要结合相 关概念、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总 结.本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解 的相关的方法予以归纳总结 .1. 利用定义求数列极限定义11：（点列 x n 以x 0为极限的定义 ） 对于任意给定的 0 ，存在正整数N 0，当n N 时， x n x 0，则称点列 x n 当n 趋于无穷时以 x 0为极限.记为 lim x n x 0 . （ n 必须用公式编辑器中的符号） n1n，解此不等式得n 22因此1.0, 取N 2 21 ,当n N 时，有a 1 2这说明 lim nn 0 a 1 . n定义 21 ：（ 点列x nnn0 a不以 x 0为极限的定义 ） 存在定数 0 0, 对于任意 k 0,存在x n kx 0 0.用数学符号简记0,0，k, x nkx 0例 2 用 N 语言证明lim n1.证明：取 0 1, n 0,令k 2n 1 n, 则有 x 2n 1 1 2 1 0.的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子 步一步放大，有时还需 则alimnx ny nl n im nx n lim n limnx n y n lim x n n lim y n ; nxlim x nlimnn ( lim y ny nl n im y n nn 1， lim y n 2 ， 则求 lim l n im x n y nl n im x n y n12x n ，有注：用极限的定义时，只需要证明存在 N ，故求解的关键在于不等式的建立在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有 n 的因子移到不等式加入一些限制条件，限制条件必须和所求的 N 一致，最后结合在一起考虑 .2. 利用极限的运算性质求数列极限定理 6 ：若lim x n 和lim y n 存在， nn解：根据数列极限的运算性质有3. 利用两边夹定理求数列极限b c y n ;例 3 若 lim x n nx n y nn 0) .两边夹定理）若x n , y n , z n 满足例4 证明lim1g3gL g2n 1x 2g4gL g2n0（在我的电脑上此题不显示数字之间的运算符号）证明：由于两相异的算术平均值大于几何平均值， 2 1 31g3 4故分母中因3 53g522n 1 2n 12n22n 2n 11g3gL g2n 1由此可知： 02g4gL g2n12n 10ng2n 1 故由两边夹定理，得 lim1g3gLx2g4gL g2n注：两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，和缩小的数列是容易求得相同的极限。
数学分析中的极限理论
数学分析中的极限理论数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是实数和复数的性质以及它们之间的关系。
而在数学分析的学习中，极限理论是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基石之一。
本文将从数学分析中的极限理论入手，探讨其在数学中的重要性和应用。
一、极限的定义和性质在数学分析中，极限是一个基本概念，它描述了一个函数或者数列在自变量趋近于某个值时的行为。
一般来说，我们用符号“lim”来表示极限，用“x→a”表示自变量x趋近于a的过程。
对于函数f(x)，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某个点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
其次，极限与函数在该点的取值无关。
也就是说，函数在某个点的极限与该点的函数值无关，只与函数在该点附近的取值有关。
最后，极限与函数在该点的定义无关。
也就是说，函数在某个点的极限只与函数在该点附近的取值有关，而与函数在该点的具体定义无关。
二、极限的计算方法在数学分析中，计算极限是一个非常重要的任务。
对于一些简单的函数，我们可以直接通过代入法来计算极限。
例如，对于函数f(x)=x²，当x趋近于2时，我们可以直接代入x=2，得到f(2)=4，因此lim(x→2)f(x)=4。
对于一些复杂的函数，我们可以通过一些特定的计算方法来求解极限。
例如，对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋近于0时，我们可以通过泰勒展开将sin(x)展开成x的无穷级数，然后利用极限的性质求解。
这种方法被称为泰勒展开法。
此外，我们还可以利用极限的性质和一些常用的极限公式来计算极限。
例如，对于函数f(x)=(1+x)^(1/x)，当x趋近于无穷大时，我们可以利用自然对数的性质和极限的性质来计算。
数列极限的求解方法探讨
数列极限的求解方法探讨杨雄【摘要】极限是高等数学中的一个重要概念,是微积分的理论基础,而数列极限对函数的极限、定积分的教学与学习有很大影响,尤其数列极限的求解方法可以延伸到函数的极限求解.通过应用数列极限的定义、数列的求和、两面夹定理、Stolz定理、数列的单调性及递推公式对数列极限的解法进行了探讨,有助于高等数学的教学和学习.%Limit is high, and so on an important concept in mathematics, is the theoretical basis of calculus, and the limit of the function of sequence limit, definite integral has great effect on teaching and learning, especially the method of calculating the sequence limit can be extended to the functionof the limit. Thus solving the sequence limit and summarizing the methodof exploration can help the number of high teaching and learning.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)001【总页数】4页(P44-47)【关键词】数列极限;数列求和;Stolz定理;数列单调性【作者】杨雄【作者单位】娄底职业技术学院会计学院,湖南娄底417000【正文语种】中文【中图分类】O171极限是高等数学中最基本的一个概念，极限以及极限的思维方法贯穿高等数学的始终，在微积分中，如函数的连续性、可导性、微分、定积分等几乎所有的概念都是通过极限来定义的，所以准确理解极限的概念，掌握极限的计算方法是学好高等数学的基础，而数列极限又是极限的起点，因此对数列极限的求解进行分析探讨具有很重要的作用。
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知识结构， 语言表述等 3 个方面给出了学习和理解数列极限 数学分析课碰到的第一个难点 。探讨从选取例题， 的一些建议。 关键词：数学分析； 极限； 收敛 中图分类号：O177 文献标志码：A 文章编号：1008 － 8008 （ 2011 ） 05 － 0013 － 03
《数学分析 》 是所有学习数学专业的人们都要 它是一门以极限概念 学习而且还要学好的基础课， 为基础、 极限理论为主要工具来研究函数的学科 。 极限的重要性就可想而知了。数列极限是大一新生 刚接触的第一个极限， 也是《数学分析 》 的一个重点 和难点。在教学过程中， 作者发现华东师大第四版 《数学分析》 较第三版有了一些改动， 以下结合自 的 己在教学和学生理解接受知识 列极限内容提出自己的建议。 1． 对选取例题的建议 定义 1 ． 1
n→∞ n→∞
做铺垫。 我们只要这个结论是不成立的。 例 an = ， 虽然从第二项开始后 a {1 n}
n
使得当 n ＞ N 时有 a n ＜ b n ． 在 N， a +b lim b n = b， a ＜ ＜ b， 证明： 因为 lim a n = a， bn = n→∞ n→∞ 2 所以由保号性， 存在 N1 ， 当 n ＞ N1 时有 a n ＜ 存在 N2 ， 当 n ＞ N2 时有 bn ＞ a +b 2
［2 ］ ［1 ］
在这个定义之后， 教材中给出了这样一个例子， 例1 lim y n = b． 作数列｛ z n ｝ 为 设 lim x n = a，
n→∞ n→∞
x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， …， xn ， yn ， … 求证： 数列｛ z n ｝ 收敛的充分必要条件是 a = b． 证明： 充分性 因为 a = b， 即 lim x n = lim y n =
n→∞ n→∞
a， 所以对于任给的 ε ＞ 0 ， 数列 ｛ x n ｝ 和 ｛ y n ｝ 落在 U（ a； ε） 之外的项至多只有有限个， 从而数列 ｛ z n ｝ 落在 U（ a； ε） 之外的项至多只有有限个。 由定义 1 ． 2， 证得 lim z n = a．
n→∞
这两方面针对数
a 为定数。 设｛ a n ｝ 为数列， 若对任 | a n － a | ＜ ε，
第 29 卷
第5 期
运城学院学报 Journal of Yuncheng University
Vol． 29
No． 5
2011 年 10 月
Oct． 2011
关于《数学分析 》 中数列极限的一些探讨
李晓霞， 姚喜妍①
（ 运城学院 应用数学系， 山西 运城 044000 ） 摘 《数学分析》 要：数列极限是普通本科院校 大纲要求中的一个重点内容 ， 同时也是数学系大一学生学习
必要性
设 lim z n = A． 那么对于任给的 ε ＞ 0 ，
n→∞
给的正数 ε， 总存在正整数 N， 使得当 n ＞ N 时有 则称数列｛ a n ｝ 收敛于 a， 定数 a 称为数列｛ a n ｝ 的极 限， 并记作
n→∞
数列｛ z n ｝ 落在 U（ a； ε） 之外的项至多只有有限个， 从而数列 ｛ x n ｝ 和 ｛ y n ｝ 落在 U（ A； ε） 之外的项至多 只有有限个。 由定义 1 ． 2 ， 证得 a = lim x n = A = lim y n = b．
· 13·
求证： 数列｛ z n ｝ 收敛且 lim z n = a．
n→∞
对创造性思维 利于训练他们思维的严密和完整性， 的提高有一定的帮助。 lim b n 针对推论 2 ． 2 ， 反之成立吗？ 即 lim a n = a，
n→∞ n→∞
2 ． 对知识结构的建议 性质 2 ． 1
［2 ］
（ 保号性） 若 lim a n = a ＞ 0 （ 或 ＜
n→∞ n→∞
lim a n = a， 或 a n →a （ n →∞ ） ，
n→∞
在必要性的证明过程中就出现了这样的问题： lim x n = A． lim x n = a． 在讲课的过程中学生就提出
n→∞
“当 n 趋于无穷大时， ｛ a n ｝ 的极限等于 a 或 a n 读作 ． 趋于 a n ” 简记：
n→∞
N1 ， N2 ｝ ， 取 N = max｛ N0 ， 则当 n ＞ N 时， 按假设及不
当 n ＞ N 时， 有 a n ＞ b（ 或 a n ＜ b） ． 数 N， 只需在保号性的证明过程中将 ε0 取为 a － b 即 可。 方法二： 对推论 2 ． 2 的证明采用另外一种方法 lim b n = b， a ＜ b， 取 ε0 = 证明： 因为 lim a n = a，
1］ 陈天权． 数学分析教学中学到的和想到的［ J］ ． 高等数学 研究数学的人看定理 3 ． 1 的内容时， 大部分都会有 ［
Discussions on Limit of a Sequence In Mathematical Analysis
LI Xiao － xia， YAO Xi － yan
{ n1 }，
2Байду номын сангаас
＜ bn ， 但是他们
a +b ， 的极限相等。 那么是否将上述的结论 a ＜ b 改为 a ≤ 2 b 就成立呢？ 答案是肯定的。 lim b n = b 若存在正数 N0 ， 结论： lim a n = a， 使得
n→∞ n→∞
当 n ＞ N0 时有 a n ＜ b n ， 那么 a ≤ b． lim b n = b， 证明： 设 lim a n = a， 对 ε ＞ 0 ， 分别
n→∞ n→∞ ［3 ］
N 时 | a n － a | ＜ ε． 由它的几何意义， 给出了等价定义 定义 1 ． 2 a．
①
任给 ε ＞ 0 ， 若在 U（ a； ε） 之外数列
｛ a n ｝ 中的至多只有有限个， 则称数列 ｛ a n ｝ 收敛于
lim x n = lim y n = a， 作数列｛ z n ｝ 为
n→∞
列。 对任给的正数 ε， 存在正数 N， 当 k ＞ N 时有 | a k － a | ＜ ε． 又因为 n k ≥ k， 所以当 k ＞ N 时有 | a nk －
a | ＜ ε． 这就证明了｛ a nk ｝ 收敛（ 且与｛ a n ｝ 有相同的 极限） 。 按照数列收敛的定义， 只要这个数列有极限就 收敛。 那么学生就提出这样的问题： 若 ｛ a n ｝ 的任何 子列都 收 敛， 但 他 们 收 敛 的 值 不 相 等， 那么数列 ｛ a n ｝ 收敛吗？ 结论是肯定不收敛的。 有的人说从证 明过程中就可以看出来收敛值必须相等 。 如果不是 歧义产生。 所以应该将定理 3 ． 1 叙述为 定理 3 ． 1＇ 数列｛ a n ｝ 收敛的充要条件是： ｛ a n ｝ 的任何子列都收敛且相等。 根据定理 3 ． 1 ， 要判断数列 ｛ a n ｝ 发散有两种方 （ 1 ） 数列 ｛ a n ｝ 有一个子列发散； （ 2 ） 数列 ｛ a n ｝ 法。 有两个子列收敛但极限不相等。 那么如何用定理 3 ． 1 去判断数列｛ a n ｝ 收敛呢？ 因为数列｛ a n ｝ 的所有子 列就找不出来。 由上述例题选取中的例子就可知道 只需判断数列 ｛ a n ｝ 的奇数列与偶数列收敛且极限 这同时也说明教材中例题的选取是非 相等就可以。
［4 ］
如果教材按上述编排， 学生就好理解保号性与 保不等式性的关系， 而不是生硬地让学生接受数列 极限的性质了。 3 ． 对语言表述的建议 在子列的定义之后， 有下述性质： 定理 3 ． 1
［2 ］
数列｛ a n ｝ 收敛的充要条件是： ｛ a n ｝ 因为 ｛ a n ｝ 也是自身的一个子
的任何子列都收敛。 证明： 充分性 必要性 所以结论是显然的。 列， ｛ a nk ｝ 是｛ a n ｝ 的任一子 设 lim a n = a，
n→∞ n→∞
N2 ｝ ， 取 N = max｛ N1 ， 那么当 n ＞ N 时有 an ＜ bn 在证明的过程中有学生提出这样的问题： a +b 2
存在正数 N1 与 N2 ， 使得当 n ＞ N1 时有 a － ε ＜ an ， 当 n ＞ N2 时有 b － ε ＜ bn ， 等式（ 2 ． 1 ） 和（ 2 ． 2 ） 有 a － ε ＜ an ＜ bn ＜ b + ε （ 2． 3） 由此得到 a ＜ b + 2 ε． 由 ε 的任意性推得 a ≤ b． 在上述这个结论中， 条件 a n ＜ b n 有些强， 假如 将它改为 a n ≤ b n ， 那么是否成立呢？ 显然成立， 因为 在上述（ 2 ． 3 ） 中不管 a n ＜ b n 还是 a n ≤ b n 都不影响 结果的改变。 这就是数列极限的保不等式性 性质 2 ． 2 （ 保不等式性 ） 设 ｛ a n ｝ 与 ｛ b n ｝ 均为收 敛数列。 若存在正数 N0 ， 使得当 n ＞ N0 时有 a n ≤ b n ， 那么 lim a n ≤ lim b n ．
n→∞ n→∞
b －a ， 则 2 ε ＞ 0 ， 存在 N1 ， 当 n ＞ N1 时 ， 有 | an － a | ＜ b －a a +b ． 即 an ＜ ， 2 2 ε ＞ 0 ， 存在 N2 ， 当 n ＞ N2 时 ， 有 | bn － b | ＜ b －a a +b ． 即 bn ＜ 2 2 N2 ｝ ， 取 N = max｛ N1 ， 那么当 n ＞ N 时有 a n ＜ bn ． 不管是哪种方法， 都可以将学生的思维过程穿 成一条线， 顺理成章就可以想到了。 有利于激发他们 调动他们的积极性。 也有 主动学习数学分析课， · 14·
n→∞
使得当 n ＞ N 时有 a n ＜ b n ， 那么 a ＜ 0） ， a） （ 或 a' ∈ （ a， 0 ） 正数 N， = b 若存在 N， 则对 a' ∈ （ 0 ， b 吗？ 如果在教材的编排上有这个问题的话， 既能培 当 n ＞ N 时， 有 a n ＞ a' （ 或 a n ＜ a' ） ． ， 紧接着在教材的编排上给出了下面的这个推论 养学生的逆向思维能力 也可以为引出保不等式性 推论 2 ． 2 lim b n = b， a ＜ b， 设 lim a n = a， 则存