爱智康2017七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题

平行线动点问题

模块一 课前检测

【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 ．

【题2】如图，AB ∥DE ，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数．

【题3】如图AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ．

（1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图1所示，求证：∠D ＝

1

2

∠AOB ； （2）当点O 在AM 上方时，如图2所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明．

模块二 动点与角度

21E D C B A 2

1

图1N

M O A B C D P

图2

M N A

B C O

D

P

知识点睛

变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则．

典型例题

【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于E 、F ． （1）如图1，当∠A ＝20°，∠APC ＝70°时，求∠C 的度数； （1）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；

（3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．

【巩固】直线AB ∥CD ，直线a 分别交AB 、CD 于E 、F ，点M 在直线EF 上，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与点F 重合）．

（1）如图，当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP +∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系，请说明理由；

（2）当点P 在射线FD 上移动时，请画出图形并探究∠BEM 、∠DPM 、∠EMP 有什么数量关系，请说明

图3

图1图2A E B C F D P A E B C F D P A B C D P E F

理由．

【变式】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、MN 上的动点，且∠ACB ＝90°，BD 平分∠CBN 交EF 于D ．

（1）若∠FDB ＝120°，如图1，求∠MBC 的度数； （2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；

（3）延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交DB 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请求其值；若不是，请说明理由．

能力提升

【例2】已知：如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a 、b 分别相交于C 、D 两点，直线d 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点．

（1）如图1，当点P 在线段AB 上（不与A 、B 重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；

（2）如图2，当点P 在线段AB 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？ （2）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？

图1

图2

G

H E M

N

F D A C B

E F

A B C D M

N

巅峰冲刺

【巩固】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC +∠ACE ＝90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E ＝90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE ＝∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD

（3）如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD Q 在射线CD 上运动时（点C 除外）∠CPQ +∠CQP 与∠BAC

1

3

21

323

21

C

c d

A

a

P D

图3

B b

C

c d A

a

P

D

图2

B b P d c b

a

A B C

D

图1

A B B A

【变式】如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别截AB 、CD 于E 、C 两点，M 是线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），过M 点作MN ⊥CD 于N ，连结EN ．

（1）如图1，当∠ECD ＝40°时，填空：∠FEB ＝ ；∠MEN +∠MNE ＝ ；

（2）如图2，当∠ECD ＝α°时，猜想∠MEN +∠MNE 的度数与α的关系，并证明你的结论．

A B E C N

D 图2

A B C D 图1E M

N M

模块三平行线与三角板

知识点睛

三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．

典型例题

【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．

（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；

（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转过程中，能否使CD⊥AB？若能，求此进∠AOC的度数；若不能，请说明理由．

能力提升

【巩固】小明将一直角三角板（∠A＝30°）放在如图所示的位置．

（1）经测量知∠GEA＝∠A，求∠BDF；

（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M在线段CD上，且∠CEM＝∠CEH，给出

下列结论：①

MEG

BDF

∠

∠

的值不变；②∠MEG－∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你做出正

确的选择并求值．

模块四动线段（动直线）与平行线

知识点睛

图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．

典型例题

【例4】如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在BC上，满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，则

OBC

OFC

∠

∠

的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变求其值．

E F

A

C

O

B