做一做1_二次函数y=ax2的图象和性质-优质公开课-青岛9下精品
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
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探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
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青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》优质公开课课件
东平县初中数学
w二次函数y=3(x-1)2-2的 图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
y 3x2
y3x12
y3x122
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/252021/7/252021/7/252021/7/25
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
二次函数y=ax2的图象和性质
5
课前预习
课堂合作 课堂合作
当堂检测
������2 + m-4 = 2, 解:(1)由题意得 ������ + 2 ≠ 0, 解得 ������ = 2 或������ = -3, ������ ≠ -2,
故当 m=2 或 m=-3 时,原函数为二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上, 于是 m+2>0,即 m>-2.故 m=2. ∵ 抛物线顶点为最低点,∴ 其坐标为(0,0), 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (3)若抛物线有最大值,则抛物线开口向下, 于是 m+2<0,即 m<-2.故 m=-3. ∵ 抛物线最大值为抛物线顶点的纵坐标,顶点坐标为(0,0),∴ 当 m=-3 时,抛 物线有最大值为 0,在此条件下,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小.
关闭
解析
答案
13
3
右侧(x>0),函数 y 随 x 的增大而
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课堂合作
当堂检测
4.已知函数 y=ax2, (1)当 a>0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≥ 0;当 x= 0 时,y 有最小 0 值,最小值是 . (2)当 a<0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≤ 0;当 x= 时,y 有 0 0 最大值,最大值是 . 5.抛物线 y=ax2 的开口大小由|a|决定,|a|越大,抛物线的开 口
越小 ;|a|越小,抛物线的开口 越大 .
1 2 1 3
6.在同一坐标系中,作出函数 y=x2,y=- x2,y= x2 的图象,它们的共同特点 是( D ) A.抛物线的开口方向都是向上 B.都有最小值 C.都是关于 y 轴对称的抛物线,且 y 随 x 的增大而减小 D.都是关于 y 轴对称的抛物线,有公共的顶点
《二次函数y=ax2的图象和性质》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式. 【过程与方法】通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论表达较好的给予肯定，对不够完整的或表达欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出以下函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3〔1〕在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？〔2〕当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后答复，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：〔1〕a的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；〔2〕对于函数的增减性及最大〔小〕值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.假设抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，那么a= .2.以下关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的选项是〔〕B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y随x的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x2的图象，结合图象，指出当x取何值时，y1>y2；当x取何值时，y1<y2.4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点〔-1，14〕.〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕画出这个二次函数的图象；〔3〕根据图象指出，当x>0时，假设x增大，y怎样变化？当x<0时，假设x增大，y 怎样变化？〔4〕当x取何值时，y有最大〔或最小〕值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言表达，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步表达数形结合的思想.2.C【解析】当a>0时，a值越大，开口越小，a值越小，开口越大；当a<0时，a值越大，开口越大，a值越小，开口越小.所以C项说法不对.3.列表如下：如下图：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<x<0时，y2>y1.4.解：〔1〕设这个二次函数解析式为y=ax2,将〔-1，14〕代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪局部没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.“课时作业〞局部.本课时的设计比拟注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行比照.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA ，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕 [生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕． 〔演示课件〕 [例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题． [生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识．D CA BD CABDC ABⅢ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D CA BEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ，∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ． 同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．E D C A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解 〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷---〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算： (1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab - 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》公开课课件.ppt
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y…9 4 1 0 1 4 9…
(2) 描点
y 10
(3) 连线
9
8 7
y=x2
根据表中x,y的数
6
5
值在坐标平面中描点
4
(x,y),再用平滑曲线
3 2
顺次连接各点,就得到
1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=－x2的图像都是一条曲线，这 条曲线叫做抛物线
y=x2的图像叫做抛物线y=x2
y=－x2的图像叫做抛物线y=－ x2 实际上，二次函数的图像都是抛 物线，它们的开口向上或者向下， 一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
5.4 二次函数的图象和性质 第1课时
学习目标
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性 质的过程，进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验; 2．会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a对二次函数图象的影响; 3．能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标．
2
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=- 1 x2 …
2
-8 9 2
-2 1 0 1
2
2
-2 9 2
-8 …
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评
二次函数y=ax2的图象和性质教案的示范课讲解与点评的图象和性质教案的示范课讲解与点评一、教案设计主题：二次函数y=ax^2的图象和性质适用对象：高中一年级数学课程中学生授课时间：1学时（45分钟）教学内容：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征3.二次函数y=ax^2的性质：开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学目标：1.理解二次函数y=ax^2的基本概念2.熟练掌握二次函数y=ax^2的图象特征3.掌握二次函数y=ax^2的性质，包括开口方向、顶点、对称轴以及相关图象变换教学方法：讲授结合演示教学重点：1.二次函数y=ax^2的基本概念2.二次函数y=ax^2的图象特征教学难点：1.二次函数y=ax^2的性质2.图象变换的理解和应用二、课堂讲解1.二次函数y=ax^2的基本概念二次函数是指函数的自变量的二次项系数不为零的函数，其一般式为： y=ax^2 + bx + c（a≠0）。
其中，a为常数项，可以为正数、负数或零。
当a>0时，二次函数的图象开口向上；当a<0时，二次函数的图象开口向下。
2.二次函数y=ax^2的图象特征二次函数y=ax^2的图象具有以下特征：a.二次函数的图象是对称轴在坐标系的x轴上的一条对称U形曲线。
b.二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a）），其中△=b^2-4ac（△大于零时，函数有两个实数根；当△等于零时，函数有一个实数根；当△小于零时，函数无实数根）。
c.当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
3. 二次函数y=ax^2的性质a.开口方向：当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。
b.顶点：二次函数的图象的顶点坐标为（-b/（2a），-△/（4a））。
c.对称轴：二次函数的对称轴在坐标系的x轴上。
d.相关图象变换：1.沿x轴平移a个单位：y=a(x + b)^2+c。
22.1.2-二次函数y=ax2的图象和性质(公开课)
R· 九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
列表、描点、连线 一条直线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单 的二次函数y=ax2的图象.
x · · · -3 1 y x2 · · · 3 3 x · · · -3 -2 4 3 -1 1 3 0 0 0 1 1 3 2 4 3 3 3 3 · · · · · ·
y
y
1 2 x 3
O
x
-2 -1 4 1 1 y x2 · · · -3 3 3 3
1 2 1 4 0 3 3
· · ·
y 1 2 x 3
-3 · · ·
综合应用 5. 已知一次函数y=ax+b和二次函数是y=ax2，其中a≠0， b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（ C ）
× × y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0 y=ax+b单调递增 a>0，
y=ax2开口向上
√
交点在y轴负半轴，故B、D错； y=ax+b单调递减 a<0， 故A错； y=ax2开口向下
2. ④y =-4x2；⑤y = 4x2.
a>0
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
3 2 x ；③y=15x2； 5
② ③ ⑤ （填序号）； （1）其中开口向上的是________ ① （填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______ ① ④ （填序号）. （3）有最高点的是_______
-1
《二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．列表：x －1－12121…y ＝3x 2 3 34 0 343 … 描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如下列图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，那么y1>y3>y2；方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；方法三：∵该图象的对称轴为y轴，a>0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y3)．又∵3>2>1，∴y1>y3>y2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质的简单应用函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m2＋m －4＝2且m＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝2或m＝－3，m≠－2，∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x>0时，y随x的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；了解拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的召开方法背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
《二次函数的图像和性质》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版1
二次函数y=ax 2的图像和性质教学目标知识与技能 1会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质过程与方法 经历、探索二次函数y=ax 2的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。
情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。
重点 观察二次函数y=ax 2的图象，探索它的图像特征和性质 难点 分段讨论二次函数y=ax 2的增减性 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 直尺、导学案 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 知识回忆用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 我们是如何研究一次函数的图象和性质的？二次函数的一般形式是什么？对各项系数有何要求？ 你认为最简单的二次函数形式是什么？ 回忆出示学习目标1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。
2、通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质。
明确目标出示自学提纲1、在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x2、y ＝12x 2 的图象2、观察并比拟三个图象，答复以下问题。
⑴图象形状是一条________，⑵图象是轴对称图形，对称轴为______。
⑶图象与对称轴的交点坐标是_______.此点也是抛物线的最_____点。
⑷图象的开口方向________.⑸当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而______，当x ＜0时，y 随着x 的增大而________.⑹三个图象中________开口最大，________开口最小。
3、归纳：当a ＞0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
x … －3 －2 －10 1 2 3 …y=x 2… 9 4 1 0 1 4 9 …y=2x 2… … y ＝12x 2… … 阅读提纲， 〔1〕~〔4〕y=ax 2开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 a ＞0a 越大，抛物线的开口越______.4、在同一直角坐标系中，画出函数y=－x 2、y=－2x2y ＝－12x 2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点? x … -2 -1 0 1 y=-x 2… y=-2x 2 … y ＝-12x 2…5、归纳：当a ＜0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。
人教版九年级数学下册精品教案2套 二次函数y=ax2的图象和性质
22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质教案11．会用描点法画出y ＝ax 2的图象，理解抛物线的概念．2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象和性质，并会应用．一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】图象的识别已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2的图象开口向上，函数y ＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数y＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”． 【类型二】实际问题中图象的识别已知h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为( )解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A. 方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质 【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y ＝(m ＋3)xm ＋3m －2是关于x 的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m 为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值． (2)图象的开口向下，则m ＋3＜0；(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax (a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2. 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax (a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13x 2. (2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)． 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质教案2教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2022年初中数学《二次函数y=ax2的图象和性质1》精品教案》公开课教案
21．2二次函数的图象和性质1．二次函数y＝ax2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运发动投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2的图象【类型一】画二次函数y＝ax2的图象在同一平面直角坐标系中，画出以下函数的图象：①y＝12x2；②y＝2x2；③y＝－12x2；④y＝－2x2.根据图象答复以下问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如以下图．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．应选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，那么a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如以下图，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象答复以下问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比拟y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比拟y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比拟，是一种比拟常用的方法．解：(1)图象如以下图，由图象可知y 1＞y 2；(2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数y ＝ax 2的最值函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题 【类型一】利用二次函数y ＝ax 2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm 2－m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：此题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如以下图的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否平安通过此桥？假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，那么D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ＝＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能平安通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车平安通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧图象⎩⎪⎨⎪⎧画y ＝ax 2图象y ＝ax 2图象的形状、特点性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而减小当x >0时，函数y 随x 的增大而增大当x ＝0时，函数取得最小值，y 最小值＝0，且y 没有最大值，即y ≥0a <0⎩⎪⎨⎪⎧当x <0时，函数y 随x 的增大而增大当x >0时，函数y 随x 的增大而减小当x ＝0时，函数取得最大值，y 最大值＝0，且y 没有最小值，即y ≤0教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．第2课时用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数复原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2021年6月18日中商网报道，一种重量为千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人用科学记数法可表示为()A×10－4×10－5×10－5D．106×10－6解析：×10－4.应选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数复原为原数用小数表示以下各数：(1)2×10－7; ×10－5；×10－3; ×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7×10－5＝0.0000314；×10－3＝0.00708；×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n复原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活泼，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量。
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 公开课获奖课件
• 蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
第22章：二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
人教版·九年级上册
学习目标：
1.会用描点法画二次函数y=ax²的图象，经历探索二次函数 y=ax² 的图象与性质的过程。
2.掌握二次函数y=ax² 的性质，并能运用其性质解决简单的实际问题， 体会数形结合思想。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用用用用自自自用用自光光光用自自用光自左左左光光自左滑滑滑光左左光滑左向向向滑滑左向曲曲曲滑向向滑曲向右右右曲曲向右线线线曲右右曲线右顺顺顺线线右顺连连连线顺顺线连顺次次次连连顺次结结结连次次连结次连连连结结次连时时时结连连结时连结结结时时连结要要要时结结时要结要要结要要
y 2x2
y 2 x2 3
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0,0） ,
对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 0
时，
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》公开课课件1.ppt
而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
2.不同点:
((13))位对置称不轴同不.同(2:分)顶别点是不_同__:_分__别__是___直__和_线_y_轴x__.___和b (0,20ba).，4ac4a
b2
(4)最值不同:分 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
通过图象你能看出当 x取何值时y随x的增 大而减小， 当x取何值时，y随x 的增大而增大吗？
y 3x2 6x 5
当x<1时y随x的增 大而减小;当x>1时， y随x的增大而增大.
● (1，2)
x=1 0
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同 学们，你想到了什么？
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
y
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
O x
3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则
函数y＝－ax+b的图象
不经过（ ）A
Y
A．第一象限
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看4a成c yb=2 ax²的图象先沿
4a
x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位
(当______>0时向上平移;当_2b_a___<0时,向下平移)2得ba 到的.