2.7.3 二次根式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式
二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。
在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。
本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。
二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。
我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。
$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。
2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。
当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。
$\sqrt{25}=5$。
3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。
在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。
三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。
这个公式在化简乘法运算时非常有用。
2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
通过学习二次根式，为学生后续学习函数、方程等数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式的理解可能存在一定的困难，因此需要通过具体例子和实际操作，让学生深入理解二次根式的概念和性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质；2.学会二次根式的运算方法，能够进行简单的二次根式运算；3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体例子让学生理解二次根式的概念和性质；2.采用归纳总结法，引导学生总结二次根式的运算方法；3.采用小组合作学习法，让学生在合作中思考、交流、解决问题。
六. 教学准备1.准备相关例题和练习题；2.准备多媒体教学设备，如投影仪等；3.准备二次根式的相关素材，如图片、实物等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中实际问题，引入二次根式的概念。
例如，讲解一个物体的高度为3√2米，让学生思考如何表示这个高度的平方根。
通过这个例子，让学生初步了解二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）呈现几个二次根式的例子，让学生观察、分析，引导学生发现二次根式的性质。
如：√9 = 3，√16 = 4，√25 = 5等。
通过这些例子，让学生深入理解二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：计算√16 + √25，√81 - √16等。
在练习过程中，引导学生总结二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）出示一些有关二次根式的应用题，让学生运用所学知识解决问题。
如：一个正方形的边长为3√2米，求其面积。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿一. 教材分析北师大版八年级数学上册第2.7节《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上，进一步深入研究根式的一种拓展。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生对根式的理解和运用能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但二次根式作为一种特殊的根式，其定义和性质与一次根式有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要掌握二次根式的运算规则，并能够灵活运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.教学难点：二次根式的运算规则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探索、讨论和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、练习题等教学手段，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次根式的相关知识，引导学生思考二次根式的定义和性质。
2.讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算规则，通过例题和练习题的形式，使学生能够理解和掌握相关知识。
3.小组合作：学生分组讨论，通过解决实际问题，运用二次根式的相关知识，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则的重要性和运用。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
八年级数学上册2.7.3二次根式教案北师大版
课题：2。
7。
3二次根式教学目标：1。
继续理解二次根式的概念，熟练二次根式的化简,熟练进行二次根式的简单四则运算并解决简单的实际问题.2。
利用二次根式的化简解决数学问题的过程中,掌握分析问题、解决问题的一些方法,并通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．3.在运算过程中巩固知识,感受问题解决方法的多样性,在小组交流中总结方法．教学重、难点：重点:熟练地进行简单的二次根式的混合运算.难点：选择合理的方法进行有关二次根式的混合运算.课前准备：多媒体课件.教学过程：一、前置诊断，复习引入活动内容：1．什么是二次根式?它有哪些性质？2．判断下面哪个是二次根式？CA4．下列二次根式中,是最简二次根式是（）AB C D．6．计算:(1）-；（2；(3)-⎝ （4)2．处理方式：教师提问,学生回答．计算题学生板演练习，教师指导点评．在练习过程中,学生可能出现的问题（1）不能正确判断最简二次根式；(2)混合运算是弄错运算顺序;（3) 遇到被开方数相同的二次根式时,不知道合并；（4）不会利用乘法公式简化运算．教师要针对学生出现的问题分析出现的原因，并强调以前学习的有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用，运算结果中出现某些项,在各自化简后被开方数相同时,能合并的合并,这节课我们继续研究二次根式的混合运算及对其结果的处理。
引入新课。
设计意图：通过简单复习之前学过的知识，直接引入本节课题，较为自然,可以使学生迅速的进入到本节课的知识学习中去，帮助学生更快地进入状态.二、例题解析,巩固运用 例6 计算： (1）3223-； （2）81818+-;（3）3)6124(÷-; （4）处理方式：教师板演第一题，其余三个题目学生完成，三位学生黑板练习，对于第（3）题学生可能会出现不同的解法．教师在分析问题时,说明二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减,有括号的先算括号里的，能用运算律和乘法公式简化运算的,可以简化运算．解：(1)3223-=33322223⨯⨯-⨯⨯=631621-=6)3121(-=661；（= （3）3) 6124(÷-= 361324÷-÷= 361324÷-÷= 3618⨯-= 66224⨯-⨯= 26122-= 2611； 或124346366⎛⎫⎛-÷=⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎭126636⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 111163266=÷=; （4）252 +99—182********⨯=+-⨯⨯5299322=+- 12992=-+．设计意图:教师适时的例题练习，有助于学生做题的条理性,仿照整式的加减对二次根式混合运算的结果能合并的合并，不能合并的照抄，不仅提高了学生的计算能力，还培养学生严谨的学习态度．三、巩固练习，挑战自我 计算： （1）10152-； (2）31312+-； (3)8)2118(⨯-； （4)275827+-． 处理方式：教师出示题目，学生练习，四位学生黑板练习,教师指导学生做题,关注学生的解题过程，对出现的错误及时更正．设计意图：题目的设置能及时了解学生对知识的应用程度，帮助学生掌握做题的方法，进一步提高学生综合运算能力．四、探索交流,融会贯通 1．化简：1()b ab a-⨯,其中3a =，2b =,你该怎么做? 2．如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD 的 面积．你认为该如何去做？小组交流． 处理方式:学生分组讨论,小组代表将各组的答案展示，学生的解题方法可能不相同，教师要积极评价学生的不同解法，做好题目的点评，并在此基础上解决问题．（1）解法1: 解法2：2（2）思路1:梯形的面积公式，求出CD、AB的长及梯形的高（CD，AB之间的距离)．思路2：将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积．思路3：将梯形ABCD分割，过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥BE于点F,则梯形ABCD成两个三角形和一个梯形，求其面积和．设计意图:给学生充足的思维空间，养成爱思考的好习惯，结合题目能具体分析问题，提高学生的综合运用能力．五、知识归纳，总结反思总结本节课你运用了哪些知识？哪些数学思想方法？有哪些收获？在解题时需注意哪些问题？处理方式：以学生讨论，小组集中发言的形式进行．设计意图：一方面强化学生对所学知识的理解与运用，另一方面培养学生善于归纳和总结的好习惯．六、达标测试，反馈矫正A组：10的结果为（）A．21 C ．3 D ．52n 等于_____. 3．计算(1)(2)21)2)+； (3）(11115-⎛⎫+- ⎪⎝⎭(4)(((20142015222-+--．4．现有一块长7。
八年级数学上册 2.7 二次根式 2.7.3 二次根式的加减教案 北师大版
二次根式的加减【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本节课通过复习整式的加减法合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
北师大版八年级上册 2.7.3 二次根式(共21张PPT)
(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看做一 个“单项式”,多个不同的二次根式可以看做“ 多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结 合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完
全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形
式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同
(பைடு நூலகம் 0,b 0, c 0, d 0).
（3）（ a b）（ a b）型，即
（ a b）（ a b） ( a )2 ( b )2 a b
(a 0,b 0)，运用平方差公式.
（4）（ a b）2型，即（ a b）2 a 2 ab b
(a 0,b 0)，运用完全平方公式.
第二章 实 数
2.7.3 二次根式
温故知新
(1)说一说什么是最简二次根式？
(2)二次根式化简过程中,你有哪些体会?
(3)上节课课后作业:已知 2 1.414， 3 1.732，
6 2.449，
你是怎样解决的?
3 计. 算
2
最简二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简 二次根式
类二次根式的和或差,或有理式.
随堂练习
1、计算：
（1）( 80 90) 5
（2） 24 3 6 2 3
（3）( a3b 3ab ab3 ) ( ab) （a>0,b>0）（4）(2 6 5 2)( 2 6 5 2)
2.计算
(1)
x 1 ;(2)
2x 2
0.125a5b6c7
;(3)
解：（1） 28 4
1 -（ 7 2
2）
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。
学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。
以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。
2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。
3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。
二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。
2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。
4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。
三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。
2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。
3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。
四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。
2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。
3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。
五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。
2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它在解决实际问题和其他学科中有着广泛的应用。
通过学习二次根式，学生能够更好地理解和掌握数学中的根式概念，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对二次根式的运算规则和性质理解不够深入，需要在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题；4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实例和练习引导学生理解二次根式的概念和性质，通过讲解和练习让学生掌握二次根式的运算规则，通过实际问题让学生应用二次根式解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件；2.相关例题和练习题；3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决这些问题。
让学生认识到二次根式在实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关定义和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
同时，给出一些例子，让学生加深对二次根式的认识。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质和运算规则，解答练习题。
在此过程中，教师应及时解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
2.7 二次根式(第2课时)
B．4
C． 10
D．2 2
2. 一个长方形的长和宽分别为 10和 2 2 ，则这个长方
形的面积为___4___5___．
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
C. 4 3 3 2 7 5
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
2.7 二次根式
二次根
整式加
式性质 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
连接中考
2.7 二次根式
1. 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除
以单项式法则，易得 m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
探究新知
2.7 二次根式
素养考点 1 利用二次根式的除法进行计算
二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总二次根式是数学中的重要概念之一，常见于代数、几何以及物理等领域。
下面将系统地总结和介绍与二次根式相关的知识点，包括定义、性质、运算、求解等内容。
定义：二次根式，也称为根式，通常表示为√a，其中a是一个非负实数，被称为被开方数。
根号√表示求平方根的运算，是指找到一个非负实数b，使得b的平方等于a，即b²=a。
其中，b被称为二次根式的值。
常见的二次根式有：1.√1=1，√0=0，√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，√36=6，√49=7，……可以继续一直往下找；2.√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236，√6≈2.449，……这些值是无限不循环的无理数，不能精确表示为有限小数或分数。
性质：1.非负实数的平方根是非负实数，即对于任意非负实数a，有√a≥0；2.如果a≥b，则√a≥√b；3.对于任意的非负实数a和b，有√(a·b)=√a·√b；4.对于任意的非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b（其中b不等于0）；5.对于任意非负实数a和b，有√(a+b)≠√a+√b；6.对于非负实数a和b，有，√a-√b，≤√(，a-b，)；运算：1.二次根式的加减法：-两个相同根式相加或相减，直接将根号内的数相加或相减，根号不变。
-不同根式相加或相减，可以通过有理化的方法转换为相同根式后再进行运算。
2.二次根式的乘法：-两个二次根式相乘，可以直接将根号内的数相乘，根号不变。
3.二次根式的除法：-两个二次根式相除，可以直接将根号内的数相除，根号不变。
4.二次根式的化简：-化简一个二次根式，可以将根号内的数进行因式分解，并利用根式的性质进行合并和简化。
求解：在代数方程中，二次根式经常出现在方程的根的求解中。
一般而言，求解二次根式可以经过以下几个步骤：1.通过解方程的方法将二次根式转化为一个方程；2.平方处理，将方程中的二次根式平方并合并同类项；3.解得一个或两个方程，并判断方程的解是否满足题目给定的条件。
八级数学上册 2.7.3 二次根式的运算课件 北师大版精品
试应用
1
2
3
4
4.计算:
(1)()+;
(2)()()·;
(3).
关闭
解:(1)原式=3 5+3 3 +
2
11
3-5 5=
3-2 5.
3
3
(2)原式=[( 3)2-( 2)2]· 2 × 8=(3-2)· 2 × 8 = 16=4.
2
3
(3)原式=
2
18· -ab
2 2 2
4
· = 36-ab
公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
关闭
C
解析
答案
轻松尝试应用轻
松尝试应用轻松
尝试应用轻松尝
试应用
1
2.计算的结果是
2
3
4
.
关闭
2- 2
答案
轻松尝试应用轻
松尝试应用轻松
尝试应用轻松尝
试应用
1
3.计算÷2的结果是
2
3
4
.
关闭
原式= 6 2-2 ×
八年级上册数学2.7《二次根式》(3)(教案)
2.7二次根式（3）教学目标知识与技能1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；ba b a = (a ≥0,b ＞0)的运用. 2.进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.过程与方法让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.情感态度与价值观能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.重点难点重点：1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.难点：灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.教学过程【新课导入】请大家先回忆一下算术平方根的定义.（若一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根.）下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系.问：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果.（由正方形面积公式得a 2=8,b 2=2.所以大正方形边长a =8，小正方形边长b =2.） 问：那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.（大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以8=22.）那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务.【新知构建】一、共同探究请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ （b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a b a = (a ≥0,b ＞0) ） 请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33⨯； (2)42⨯；(3)273；(4)12253⨯. 解：(1)3333332==⨯=⨯；(2)84242=⨯=⨯；(3)3191273273===；(4)254251225312253==⨯=⨯. 请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推（因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.）确实成立.下面再分析这些式子：.1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(⨯=⨯==⨯=⨯⨯=⨯ 并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.大家能否用式子表示出来？ 小结：b a b a ⋅=⋅（ a ≥0,b ≥0）b a ba = （a ≥0,b ＞0.） 化简：(1)27； (2)45；(2)128；(4)54；(5)932；(6)16125. 大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？（是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.）也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子22424221===叫不叫化简呢？（化简） 能否说一下它的特征呢？如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？（如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.）上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.二、例题讲解例6计算： (1)3223-； (2)81818+-； (3)3)6124(÷-；(4)1899225-+； 解：6616316212223222332231=-=⨯⨯-⨯⨯=-）（； (2) 245241222316222238181822=+-=+⨯-⨯=+-(3) 2611261223613243)6124(=-=÷=÷=÷- （4）9922992)325(23992222518992252+-=+-=⨯-+⨯⨯=-+ 做一做：如图所示,图中小正方形的边长为1,试求图中梯形ABCD 的面积.你有哪些方法?与同伴进行交流.(1)直接求法.过点D 作AB 边上的高DE ,可发现边AB ,DC 及DE 都是某一个直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得AB =25, CD =2,DE =23,梯形ABCD 的面积是()182123252=⨯⨯+. (2)间接求法(割补法).将梯形ABCD 补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形ABCD 的面积是5×7-21×5×5-21×4×2-21×1×1=18. 【课堂小结】在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点:(1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.(2)在运算过程中,每个二次根式都可以看作一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看作“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.【课后作业】教材第47页随堂练习.教材第48页习题2.11第1,3,4题.。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，是学习更高阶数学的基础。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解数学的本质和内在联系。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的代数运算能力。
但二次根式作为一种新的数学概念，对学生来说较为抽象，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念和性质。
2.培养学生运用二次根式进行代数运算的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法，引导学生主动探索、发现和总结二次根式的性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用数学知识来解决这些问题。
从而引入二次根式的概念。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示二次根式的定义和性质，让学生初步了解二次根式。
同时，给出一些例子，让学生观察和总结二次根式的特点。
3.操练（15分钟）让学生进行一些二次根式的运算练习，巩固所学知识。
教师可引导学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.巩固（10分钟）通过一些填空题、选择题等，检查学生对二次根式的掌握程度。
教师可适时给予解答和指导。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如几何中的面积、体积等问题。
同时，可引导学生探讨二次根式与其他数学知识之间的联系，如函数、方程等。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确二次根式的概念、性质和运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式基础知识点
初中数学二次根式的基础知识点包括以下内容：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a（a≥0）的数，其中a被称为根式的被开方数。
2. 二次根式的化简：化简二次根式的方法为把根号内的被开方数分解成互素的因子，然后把每个因子的二次根式提取出来。
3. 二次根式的运算：二次根式之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
运算法则如下：
- 加减法：只有当二次根式内的被开方数完全相同时，才可以进行加减法运算。
- 乘法：将二次根式的因子分别相乘，然后化简。
- 除法：将二次根式的被除数与除数进行有理化，即将分母有理化为整数，然后进行除法运算。
4. 二次根式的合并：合并二次根式是把其中相同根号内的被开方数合并在一起。
- 合并加减法：只有相同根号内的被开方数相同，才能进行合并加减法运算。
- 合并乘法：将二次根式的因子合并后再进行乘法运算。
5. 二次根式的定义域：二次根式的定义域是指使得根式有意义的实数集合。
对于二次根式来说，被开方数必须为非负实数，即定义域是非负实数集合[0,+∞)。
6. 二次根式的性质：二次根式具有以下性质：
- 非负性：二次根式的值大于等于0。
- 单调性：二次根式的值随着被开方数的增大而增大。
- 零点：当被开方数为0时，二次根式的值为0。
- 消去：二次根式的分子分母同时乘以相同的数，二次根式的值不变。
以上是初中数学二次根式的基础知识点，掌握了这些知识，可以进行二次根式的化简、运算和合并等操作。
2.7(3)二次根式的混合运算(教案)
3.二次根式混合运算的步骤：
a.先进行乘除运算，再进行加减运算。
b.化简二次根式，使其尽可能简单。
c.合并同类二次根式。
4.应用二次根式的混合运算解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
1.教学重点
（1）掌握二次根式的乘法×c)√b
-除法法则：a√b ÷ c√b = (a÷c)√b（其中c≠0）
（2）能够将二次根式的混合运算化简，并合并同类项。
-例如：2√3 + 3√3 = 5√3
（3）运用二次根式的混合运算解决实际问题。
2.7（3）二次根式的混合运算（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第七节（3）二次根式的混合运算。主要内容包括：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则。
2.熟练运用二次根式的乘法、除法法则进行混合运算。
3.能够解决实际问题中涉及的二次根式混合运算。
教学内容如下：
1.二次根式的乘法法则：a√b × c√d = (a×c)√(b×d)（其中a、b、c、d为正实数）。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（如计算长方形地的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
-例题2：计算(4√5) ÷ (2√5)。
-例题3：化简并计算2√3 + 3√3 - √3。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是高中数学中的重要知识点，主要涉及到二次方程、二次函数和根的性质等内容。
下面将从概念、性质、应用和解题方法等方面详细探讨二次根式相关知识，共计2000字。
第一部分：概念和性质引入二次根式的概念，首先需要明确根的定义。
根，也称为平方根，是指一个非负数b，使得b的平方等于一个给定的数a。
根的符号为√，如√a表示根号下a。
在二次根式中，被开方的数被称为被开方数或者被开方式，√a称为二次根式。
二次根式的性质包括如下几点：1. 二次根式的结果为非负数，即√a≥0。
2. 二次根式的结果可以是一个有限小数，也可以是一个无限循环小数。
3. 二次根式的运算可以进行加、减、乘、除等操作，遵循相应的运算规则。
第二部分：应用二次根式在数学中的应用广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 几何中的长度计算：在三角形或其他几何图形中，二次根式可以用来计算边长、斜边等长度。
例如，在勾股定理中，直角三角形的斜边长度就可以通过二次根式求解。
2. 物理中的速度计算：在物理中，速度的大小通常使用二次根式表示。
例如，某物体从静止开始以匀加速度运动，其速度可以表示为v=a√t，其中a为加速度，t为时间。
3. 统计中的标准差计算：在统计学中，标准差用于衡量数据的离散程度。
标准差的计算中涉及到对平方根的运算。
第三部分：解题方法解决二次根式相关问题需要掌握一些常用的解题方法。
1. 提取公因式法：当二次根式分子、分母都有相同的因式时，可以提取公因式进行简化。
例如，化简√(20/45)，可以提取公因式得到√(4/9)。
2. 平方差公式：平方差公式可以用来化简一些特殊形式的二次根式。
例如，化简√(a-b)(a+b)，可以利用平方差公式得到√(a^2-b^2)。
3. 有理化分母法：当二次根式的分母是一个二次根式时，可以通过有理化分母的方法来进行化简。
例如，化简1/√3，可以将分母有理化为√3/3。
4. 定理运算法：在一些复杂的二次根式运算中，可以通过引入一个合适的定理来进行化简。
北师大版八年级数学上册2.7 二次根式 第2课时 二次根式的四则运算
＋ 2
1 4＋
＋…＋ 3
1 100＋
； 99
(2)若 a＝ 21－1，求 4a2－8a＋1 的值．
解：(1)原式＝9.
(2)因为 a＝
21－1＝（
2＋1
＝
2－1）（ 2＋1）
2＋1，
所以 a－1＝ 2.所以(a－1)2＝2，即 a2－2a＋1＝2.所以
a2－2a＝1.所以 4a2－8a＋1＝4(a2－2a)＋1＝4×1＋1＝
2
形的面积为 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.如图，在
△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别记为 a，b，c，
若 a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC 的面积为( A )
A．6 6
B．6 3
C．18
D.129
15.
小明在解决问题：已知 a＝2＋1
，求 2a2－8a 3
＋1 的值，他是这样分析与解答的：
5.
3. 计算：
(1) 3× 15；(2) 6× 12；
(3) 14；(4)3 42. 6 56
解：(1)原式＝3 5；
(2)原式＝6 2；
(3)原式＝
21； 3
(4)原式＝35 7.
知识点 二次根式的加减
4. (中考·兰州)计算： 12－ 3＝( A )
A. 3
B．2 3
C．3
D．4 3
5. 计算 4 12＋3 A. 3＋ 2 C. 3
A. 18－
8＝7 93
2
B. 2＋2＝2 2
3
3
C. 8＋ 18＝ 4＋ 9＝5 2
D.
1 3＋
＝ 2
3－
2
9. 下列说法正确的有( D )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学（上）导学案
班级 姓名 学号
2.7.3 二次根式
教学目标：
1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．
第一环节：复习引入
（1）最简二次根式的概念； （2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：若
414.12≈，732.13≈，449.26≈，求
2
3
．你是怎样解决的？ 第二环节：知识巩固
1.巩固提升 例4 计算： （1）
322
3
-；（2）8
1818+-；（3）3)6
1
24(÷-
．
当堂练习 化简：（1）
10152-；（2）3
1
312+-；（3）8)2
1
18(⨯-．
第三环节：问题解决
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形
的面积，你有哪些方法，与同伴交流．
1.交流
让学生充分发表意见．
2.答案
（1）直接求法．
过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE
都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得
AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是
23)225(2
1
⨯+＝18. （2）间接求法．
将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形
ABCD
的面积是
112
1
2421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18．
第四环节：知识提升
1.知识探索
问题：2a （0>a ）等于多少？
根据算术平方根的定义，可知a a =2（0>a ）． 2.知识运用 例5 化简：
（1）3325b a （0>a ，0>b ）；
（2）3)(y x +（0≥+y x ）；（3）a
b
b a
（0>a ，0>b ）．
第五环节：课堂小结
（1）二次根式的化简：
二次根式的化简一定要化成最简二次根式．
（2）利用式子a a =2（0>a ）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．。